التنصيف

• المنصف العمودي لقطعة مستقيمة هو خط يتقاطع مع القطعة عند نقطة منتصفها بشكل عمودي.
• المنصف العمودي لقطعة مستقيمة${\displaystyle AB}$كما أنها تتمتع بخاصية أن كل نقطة من نقاطها${\displaystyle X}$وهي متساوية البعد عن نهايتي القطعة AB:

(د)${\displaystyle \quad |XA|=|XB|}$.

ويستند البرهان إلى${\displaystyle |MA|=|MB|}$ونظرية فيثاغورس :

${\displaystyle |XA|^{2}=|XM|^{2}+|MA|^{2}=|XM|^{2}+|MB|^{2}=|XB|^{2}\;.}$

تُستخدم الخاصية (D) عادةً لإنشاء منصف عمودي:

في الهندسة الكلاسيكية، يعتبر التنصيف عملية بسيطة باستخدام الفرجار والمسطرة ، وتعتمد إمكانية القيام بها على القدرة على رسم أقواس متساوية في نصف القطر ومراكز مختلفة:

المقطع${\displaystyle AB}$يتم تقسيمها إلى نصفين برسم دوائر متقاطعة متساوية في نصف القطر${\displaystyle r>{\tfrac {1}{2}}|AB|}$مركزا الدائرتين هما طرفا القطعة المستقيمة. الخط المحدد بنقطتي تقاطع الدائرتين هو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة. ولأن إنشاء المنصف يتم دون معرفة نقطة منتصف القطعة المستقيمة${\displaystyle M}$يُستخدم هذا البناء لتحديد${\displaystyle M}$باعتبارها نقطة تقاطع المنصف مع القطعة المستقيمة.

يُستخدم هذا التركيب في الواقع عند إنشاء خط عمودي على خط معين${\displaystyle g}$عند نقطة معينة${\displaystyle P}$رسم دائرة مركزها${\displaystyle P}$بحيث يتقاطع مع الخط${\displaystyle g}$في نقطتين${\displaystyle A,B}$والعمود المراد إنشاؤه هو القطعة المستقيمة المنصفة الوحيدة${\displaystyle AB}$.

لو${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$هما متجهات موضع نقطتين${\displaystyle A,B}$إذن، نقطة منتصفها هي${\displaystyle M:{\vec {m}}={\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}}$والمتجه${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}}$هو متجه عمودي على منصف القطعة المستقيمة العمودية. وبالتالي فإن معادلته المتجهة هي${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})=0}$إدخال ${\displaystyle {\vec {m}}=\cdots }$وبتوسيع المعادلة ينتج عنه المعادلة المتجهة

(V)${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

مع${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),B=(b_{1},b_{2})}$يمكن الحصول على المعادلة في شكل إحداثيات:

(ج)${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2})\;.}$

أو صراحةً: (هـ)${\displaystyle \quad y=m(x-x_{0})+y_{0}}$، أين${\displaystyle \;m=-{\tfrac {b_{1}-a_{1}}{b_{2}-a_{2}}}}$،${\displaystyle \;x_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})\;}$، و${\displaystyle \;y_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})\;}$.

تم استخدام منصفات القطع المستقيمة العمودية لحل مسائل هندسية متنوعة:

1. بناء مركز دائرة طاليس ،
2. إنشاء مركز الدائرة الخارجية للمثلث،
3. تتكون حدود مخطط فورونوي من أجزاء من هذه الخطوط أو المستويات.

• المنصف العمودي لقطعة مستقيمة هو مستوى يتقاطع مع القطعة عند نقطة منتصفها بشكل عمودي.

معادلتها المتجهة هي نفسها حرفيًا كما في حالة المستوى:

(V)${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

مع${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3}),B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$يمكن الحصول على المعادلة في شكل إحداثيات:

(ج3)${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y+(a_{3}-b_{3})z={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}+a_{3}^{2}-b_{3}^{2})\;.}$

الخاصية (د) (انظر أعلاه) صحيحة حرفيًا في الفضاء أيضًا: (د) المستوى العمودي المنصف لقطعة مستقيمة${\displaystyle AB}$له أي نقطة${\displaystyle X}$العقار:${\displaystyle \;|XA|=|XB|}$.

منصفات زاويتين خارجيتين ومنصف الزاوية الداخلية الأخرى تتقاطع في نقطة واحدة. ^{[ 3 ] : ص 149}

تقع ثلاث نقاط تقاطع، كل منها منصف زاوية خارجية مع امتداد الضلع المقابل ، على استقامة واحدة (تقع على نفس الخط). ^{[ 3 ] : ص 149}

تقع ثلاث نقاط تقاطع على استقامة واحدة، اثنتان منها بين منصف زاوية داخلية والضلع المقابل، والثالثة بين منصف الزاوية الخارجية الأخرى وامتداد الضلع المقابل. ^{[ 3 ] : ص 149}

نظرية منصف الزاوية

تُعنى نظرية منصف الزاوية بدراسة الأطوال النسبية للقطعتين المستقيمتين اللتين يقسمهما خط مستقيم ينصف الزاوية المقابلة في المثلث. وتُساوي هذه النظرية بين أطوالهما النسبية وأطوال الضلعين الآخرين في المثلث.

تُشكّل منصفات الزوايا الداخلية للرباعي المحدب إما رباعياً دائرياً (أي أن نقاط تقاطع منصفات الزوايا المتجاورة الأربع تقع على دائرة واحدة )، ^{[ 8 ]} أو تكون متلاقية . في الحالة الأخيرة، يكون الرباعي رباعياً مماساً .

المماس للقطع المكافئ عند أي نقطة ينصف الزاوية بين الخط الواصل بين النقطة والبؤرة والخط الواصل من النقطة والعمودي على الدليل.

يُمثل ثنائيا متوسطي الشكل الرباعي المحدب القطعتين المستقيمتين الواصلتين بين منتصفي ضلعين متقابلين، وبالتالي يُنصف كل منهما ضلعين. يتقاطع ثنائيا المتوسطين والقطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي قطري الشكل في نقطة تُسمى "مركز الرأس"، وتُنصف جميعها عند هذه النقطة. ^{[ 10 ] : ص 125}

تُعرف "الارتفاعات" الأربعة للشكل الرباعي المحدب بأنها الأعمدة المارة بمنتصف الضلع المقابل، وبالتالي تنصفه. إذا كان الشكل الرباعي دائريًا (مُحاطًا بدائرة)، فإن هذه الارتفاعات تتقاطع في نقطة واحدة تُسمى "المركز المضاد".

تنص نظرية براهمغوبتا على أنه إذا كان الشكل الرباعي الدائري متعامد الأقطار (أي أن له أقطارًا متعامدة )، فإن العمودي على أحد الأضلاع من نقطة تقاطع الأقطار ينصف دائمًا الضلع المقابل.

يشكل إنشاء المنصف العمودي شكلاً رباعياً من المنصفات العمودية لأضلاع شكل رباعي آخر.

يوجد عدد لا نهائي من الخطوط التي تنصف مساحة المثلث . ثلاثة منها هي متوسطات المثلث (التي تصل بين منتصفات الأضلاع والرؤوس المقابلة)، وتتقاطع هذه المتوسطات في مركز المثلث ؛ بل إنها منصفات المساحة الوحيدة التي تمر بمركز المثلث. ثلاثة منصفات مساحة أخرى موازية لأضلاع المثلث؛ يتقاطع كل منها مع الضلعين الآخرين ليقسمهما إلى قطع مستقيمة بنسب محددة.${\displaystyle {\sqrt {2}}+1:1}$[ ^{11 ] هذه} الخطوط الستة متقاطعة ثلاثة في كل مرة: بالإضافة إلى تقاطع المتوسطات الثلاثة، فإن أي متوسط ​​واحد متقاطع مع اثنين من منصفات المساحة الموازية للجانب.

غلاف عدد لا نهائي من منصفات المساحة هو شكل دلتاوي ( يُعرَّف عمومًا بأنه شكل له ثلاثة رؤوس متصلة بمنحنيات مقعرة نحو الخارج، مما يجعل النقاط الداخلية مجموعة غير محدبة). ^{[ 11 ]} تقع رؤوس الشكل الدلتاوي عند منتصفات المتوسطات؛ جميع النقاط داخل الشكل الدلتاوي تقع على ثلاثة منصفات مساحة مختلفة، بينما جميع النقاط خارجه تقع على منصف مساحة واحد فقط. أضلاع المثلث الدلتاوي هي أقواس من القطوع الزائدة التي تقترب من امتداد أضلاع المثلث. ^{[ 11 ]} نسبة مساحة غلاف منصفات المساحة إلى مساحة المثلث ثابتة لجميع المثلثات، وتساوي${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$أي 0.019860... أو أقل من 2%.

قاطع المثلث هو قطعة مستقيمة تنصف محيط المثلث ، وتنتهي عند منتصف أحد أضلاعه الثلاثة. تتقاطع هذه القطع الثلاث في مركز دائرة سبيكر ( الدائرة الداخلية للمثلث المتوسط ) . وتكون هذه القطع موازية لمنصفات زوايا المثلث.

فاصل المثلث هو قطعة مستقيمة لها إحدى نهايتيها عند أحد رؤوس المثلث الثلاثة وتنصف محيطه. وتلتقي الفواصل الثلاثة عند نقطة ناجل في المثلث .

أي خط يمر عبر مثلث ويقسم مساحته ومحيطه إلى نصفين يمر بمركز الدائرة الداخلية (مركز الدائرة الداخلية للمثلث ). يوجد مركز واحد أو مركزان أو ثلاثة مراكز للدائرة الداخلية في أي مثلث. ينصف الخط المار بمركز الدائرة الداخلية أحد المساحتين أو المحيط إذا وفقط إذا كان ينصف الآخر أيضًا. ^{[ 12 ]}

أي خط يمر بمنتصف متوازي الأضلاع يقسم المساحة ^{[ 11 ]} والمحيط.

جميع منصفات مساحة ومنصفات محيط الدائرة أو أي شكل بيضاوي آخر تمر بالمركز ، وأي وتر يمر بالمركز ينصف المساحة والمحيط. في حالة الدائرة، تكون هذه الأوتار هي أقطار الدائرة.

قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر.

إذا كان هناك قطعة مستقيمة تربط قطري شكل رباعي تقسم كلا القطرين، فإن هذه القطعة المستقيمة ( خط نيوتن ) يتم تقسيمها هي نفسها بواسطة مركز الرأس.