المثلثات الحادة والمنفرجة

إذا كانت الزاوية C منفرجة، فإن أطوال الأضلاع a و b و c لدينا ^{[ 4 ] : ​​ص 1، #74}$${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$$ مع اقتراب المتباينة اليسرى من المساواة في النهاية فقط عندما تقترب زاوية رأس المثلث متساوي الساقين من 180 درجة، ومع اقتراب المتباينة اليمنى من المساواة فقط عندما تقترب الزاوية المنفرجة من 90 درجة.

إذا كان المثلث حاد الزوايا، $${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$$

إذا كانت C هي أكبر زاوية و h _c هو الارتفاع من الرأس C ، فبالنسبة للمثلث الحاد الزوايا ^{[ 4 ] : ​​ص 135، #3109}$${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$$ مع وجود متباينة معاكسة إذا كانت الزاوية C منفرجة.

مع أطول ضلع c والمتوسطات m _a و m _b من الأضلاع الأخرى، ^{[ 4 ] :} ص 136 ^{، #3110}$${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$$ بالنسبة للمثلث الحاد الزوايا، ولكن مع عكس المتباينة بالنسبة للمثلث المنفرج الزاوية.

يكون متوسط ​​طول الضلع الأطول (m _{_c)} أكبر أو أصغر من نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث الحاد أو المنفرج الزاوية على التوالي: ^{[ 4 ] : ​​ص 136، رقم 3113}$${\displaystyle m_{c}>R}$$ بالنسبة للمثلثات الحادة، والعكس صحيح بالنسبة للمثلثات المنفرجة.

متباينة أونو للمساحة أ ، $${\displaystyle 27\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}\leq (4A)^{6},}$$ ينطبق هذا على جميع المثلثات الحادة الزوايا، ولكن ليس على جميع المثلثات المنفرجة الزوايا.

بالنسبة للمثلث الحاد الزوايا، لدينا، بالنسبة للزوايا A و B و C ، ^{[ 4 ] : ​​ص 26، رقم 954}$${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$$ مع تحقق المتباينة العكسية بالنسبة للمثلث المنفرج الزاوية.

بالنسبة للمثلث الحاد الزوايا ذي نصف القطر المحيط R ، ^{[ 4 ] : ​​ص 141، #3167}$${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$$ و ^{[ 4 ] : ص 155، #S25}$${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$$

بالنسبة للمثلث الحاد الزوايا، ^{[ 4 ] : ​​ص 115، رقم 2874}$${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$$ مع عكس المتباينة للمثلث المنفرج الزاوية.

بالنسبة للمثلث الحاد الزوايا، ^{[ 4 ] : ​​ص178، #241.1}$${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$$

تنص متطابقة الظل الثلاثي لأي مثلث على أن مجموع ظلال زواياه يساوي حاصل ضربها. وبما أن الزاوية الحادة لها ظل موجب بينما الزاوية المنفرجة لها ظل سالب، فإن صيغة حاصل ضرب الظلال تُظهر أن $${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$$ بالنسبة للمثلثات الحادة الزوايا، بينما يكون الاتجاه المعاكس للمتباينة صحيحًا بالنسبة للمثلثات المنفرجة الزوايا.

لدينا ^{[ 4 ] : ​​ص 26، رقم 958}$${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$$ بالنسبة للمثلثات الحادة، والعكس صحيح بالنسبة للمثلثات المنفرجة.

بالنسبة لجميع المثلثات الحادة، ^{[ 4 ] : ​​ص 40، رقم 1210}$${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$$

لجميع المثلثات الحادة ذات نصف قطر داخلي r ونصف قطر محيطي R ، ^{[ 4 ] : ​​ص 53، #1424}$${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$$

بالنسبة للمثلث الحاد الزاوية ذي المساحة K ، ^{[ 4 ] : ​​ص 103، #2662}$${\displaystyle \left({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}}\right)^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$$

في المثلث الحاد الزوايا، يكون مجموع نصف قطر الدائرة المحيطة R ونصف قطر الدائرة الداخلية r أقل من نصف مجموع أقصر ضلعين a و b : ^{[ 4 ] : ​​ص 105، #2690}$${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$$ بينما ينطبق التباين العكسي على المثلث المنفرج الزاوية.

بالنسبة لمثلث حاد الزوايا ذي متوسطات m _a و m _b و m _c ونصف قطر دائرة محيطة R ، لدينا ^{[ 4 ] : ​​ص 26، #954}$${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$$ بينما ينطبق التباين المعاكس على المثلث المنفرج الزاوية.

كذلك، يحقق المثلث الحاد الزاوية ^{[ 4 ] : ​​ص 26، رقم 954}$${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$$ من حيث أنصاف أقطار الدائرة الخارجية r _a و r _b و r _c ، مرة أخرى مع وجود المتباينة العكسية للمثلث المنفرج الزاوية.

بالنسبة للمثلث الحاد ذي نصف المحيط s ، ^{[ 4 ] : ​​ص 115، #2874}$${\displaystyle s-r>2R,}$$ وينطبق التباين العكسي على المثلث المنفرج الزاوية.

بالنسبة للمثلث الحاد الزاوية ذي المساحة K ، ^{[ 4 ] : ​​ص 185، #291.6}$${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$$

بالنسبة للمثلث الحاد الزوايا، فإن المسافة بين مركز الدائرة المحيطة O ومركز التعامد H تحقق ^{[ 4 ] : ​​ص 26، رقم 954}$${\displaystyle OH<R,}$$ مع وجود متباينة معاكسة تنطبق على المثلث المنفرج الزاوية.

بالنسبة للمثلث الحاد الزوايا، فإن المسافة بين مركز الدائرة الداخلية I ومركز التعامد H تحقق ^{[ 4 ] : ​​ص 26، رقم 954}$${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$$ حيث r هو نصف القطر الداخلي ، مع وجود المتباينة العكسية للمثلث المنفرج الزاوية.

إذا كان طول ضلع أحد المربعين المحيطين بمثلث حاد الزوايا x _a، وطول ضلع مربع آخر x _b، حيث x _a < x _b ، فإن ^{[ 2 ] : ص 115}$${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$$

إذا كان لمثلثين منفرجي الزاوية أضلاع ( أ ، ب ، ج ) و ( ف ، ق ، ر ) حيث ج و ر هما أطول ضلعين على التوالي، فإن ^{[ 4 ] : ​​ص 29، #1030}$${\displaystyle ap+bq<cr.}$$

المثلث كالابي ، وهو المثلث الوحيد غير متساوي الأضلاع الذي يمكن وضع أكبر مربع يناسب داخله بأي من ثلاث طرق مختلفة، هو مثلث منفرج ومتساوي الساقين بزوايا قاعدة 39.1320261...° وزاوية ثالثة 101.7359477...°.

المثلث متساوي الأضلاع ، بثلاث زوايا قياسها 60 درجة، حاد الزوايا.

المثلث مورلي ، الذي يتكون من أي مثلث من خلال تقاطعات منصفات الزوايا المجاورة له، متساوي الأضلاع وبالتالي حاد الزوايا.

المثلث الذهبي هو مثلث متساوي الساقين تكون فيه نسبة الضلع المكرر إلى الضلع الأساسي مساوية للنسبة الذهبية . وهو مثلث حاد الزوايا، بزوايا قياسها 36° و72° و72°، مما يجعله المثلث الوحيد الذي تكون فيه زواياه بنسبة 1:2:2. ^{[ 5 ]}

المثلث السباعي ، الذي تتطابق أضلاعه مع ضلع وقطره الأقصر وقطره الأطول في سباعي منتظم ، يكون منفرج الزاوية، بزوايا${\displaystyle \pi /7,}$${\displaystyle 2\pi /7,}$و${\displaystyle 4\pi /7.}$

المثلث الوحيد الذي يحتوي على أعداد صحيحة متتالية للارتفاع والأضلاع هو المثلث الحاد، وله أضلاع (13، 14، 15) والارتفاع من الضلع 14 يساوي 12.

المثلث ذو أصغر محيط بأضلاع صحيحة في متتابعة حسابية، والمثلث ذو أصغر محيط بأضلاع صحيحة بأضلاع مميزة، هو مثلث منفرج الزاوية: أي المثلث ذو الأضلاع (2، 3، 4).

المثلثات الوحيدة التي تكون فيها إحدى زواياها ضعف الأخرى ولها أضلاع صحيحة في متتالية حسابية هي المثلثات الحادة الزوايا: أي المثلث (4، 5، 6) ومضاعفاته. ^{[ 6 ]}

لا توجد مثلثات حادة ذات أضلاع صحيحة مساحتها تساوي محيطها ، ولكن هناك ثلاثة مثلثات منفرجة، لها أضلاع ^{[ 7 ]} (6،25،29)، (7،15،20)، و(9،10،17).

أصغر مثلث ذي أضلاع صحيحة بثلاثة متوسطات نسبية هو مثلث حاد الزوايا، بأضلاع ^{[ 8 ]} (68، 85، 87).

للمثلثات الهيرونية أضلاع ومساحة صحيحة. المثلث الهيروني المائل ذو أصغر محيط حاد الزاوية، وأضلاعه (6، 5، 5). المثلثان الهيرونيان المائلان اللذان يشتركان في أصغر مساحة هما المثلث الحاد الزاوية بأضلاعه (6، 5، 5) والمثلث المنفرج الزاوية بأضلاعه (8، 5، 5)، ومساحة كل منهما 12.