إنسنتر

في الهندسة ، مركز المثلث هو مركز المثلث ، وهي نقطة محددة لأي مثلث بطريقة مستقلة عن موضع المثلث أو مقياسه. يمكن تعريف مركز المثلث على نحو مكافئ على أنه النقطة التي تتقاطع عندها منصفات الزاوية الداخلية للمثلث، أو النقطة التي تقع على مسافة متساوية من أضلاع المثلث، أو نقطة التقاء المحور الإنسي والنقطة الداخلية لتحويل العشب في المثلث، أو نقطة مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.

إلى جانب مركز الثقل ، ومركز الدائرة ، ومركز التقويم ، فهو أحد مراكز المثلث الأربعة المعروفة لدى الإغريق القدماء، وهو الوحيد من بين الأربعة الذي لا يقع بشكل عام على خط أويلر . وهو أول مركز مدرج، X(1)، في موسوعة كلارك كيمبرلينج لمراكز المثلث ، وعنصر الهوية للمجموعة المضاعفة لمراكز المثلث. ^{[1] [2]}

بالنسبة للمضلعات التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أضلاع، لا يوجد مركز الدائرة إلا للمضلعات المماسية : تلك التي تحتوي على دائرة مماسية لكل جانب من جوانب المضلع. في هذه الحالة، يكون مركز الدائرة هو مركز هذه الدائرة ويكون على مسافة متساوية من جميع الجوانب.

إنها نظرية في الهندسة الإقليدية أن منصفات الزوايا الداخلية الثلاث للمثلث تلتقي في نقطة واحدة. في كتاب عناصر إقليدس ، يثبت الاقتراح الرابع من الكتاب الرابع أن هذه النقطة هي أيضًا مركز الدائرة المحيطة بالمثلث. يمكن إنشاء الدائرة الداخلية نفسها عن طريق إسقاط عمودي من المركز الداخلي إلى أحد أضلاع المثلث ورسم دائرة بحيث يكون هذا المقطع هو نصف قطرها. ^[3]

يقع مركز الدائرة الداخلية على مسافات متساوية من القطع المستقيمة الثلاثة التي تشكل أضلاع المثلث، وكذلك من الخطوط الثلاثة التي تحتوي على تلك القطع المستقيمة. وهي النقطة الوحيدة التي تبعد مسافة متساوية عن القطع المستقيمة، ولكن هناك ثلاث نقاط أخرى تبعد مسافة متساوية عن الخطوط، وهي النقاط الخارجية، والتي تشكل مراكز الدوائر الخارجية للمثلث المعطى. يشكل مركز الدائرة الداخلية والنقاط الخارجية معًا نظامًا متعامدًا مركزيًا . ^[4]

المحور الإنسي للمضلع هو مجموعة النقاط التي لا يكون أقرب جار لها على المضلع فريدًا: فهذه النقاط متساوية البعد عن جانبين أو أكثر من المضلع. إحدى الطرق لحساب المحاور الإنسي هي استخدام تحويل جراسفاير ، حيث يشكل المرء تسلسلًا مستمرًا من منحنيات الإزاحة ، كل منها على مسافة ثابتة من المضلع؛ يتم تتبع المحور الإنسي بواسطة رؤوس هذه المنحنيات. في حالة المثلث، يتكون المحور الإنسي من ثلاثة أجزاء من منصفات الزاوية، التي تربط رؤوس المثلث بالمركز الداخلي، وهي النقطة الفريدة على منحنى الإزاحة الداخلي. ^[5] الهيكل المستقيم ، المحدد بطريقة مماثلة من نوع مختلف من منحنى الإزاحة، يتزامن مع المحور الإنسي للمضلعات المحدبة وبالتالي يكون له تقاطعه أيضًا عند المركز الداخلي. ^[6]

ليكن نصف و يلتقيان عند ، ونصف و يلتقيان عند ، و و يلتقيان عند . ${\displaystyle \angle {BAC}}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \angle {ABC}}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\overline {AD}}}$${\displaystyle {\overline {BE}}}$${\displaystyle {أنا}}$

ودعنا نلتقي في . ${\displaystyle {\overline {CI}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle F}}$

ثم يتعين علينا أن نثبت أن هذا هو تقسيم . ${\displaystyle {\overline {CI}}}$${\displaystyle \angle {ACB}}$

في ، ، حسب نظرية منصف الزاوية . ${\displaystyle \triangle {ACF}}$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

في ، . ${\displaystyle \triangle {BCF}}$${\displaystyle {\overline {BC}}:{\overline {BF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

لذلك ، بحيث . ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {BC}}:{\overline {BF}}}$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AF}}:{\overline {BF}}}$

وهكذا هو تقسيم . ${\displaystyle {\overline {CF}}}$${\displaystyle \angle {ACB}}$

الخط الذي يمثل منصف زاوية يكون على مسافة متساوية من كلا الخطين عند القياس بالخط العمودي. عند نقطة تقاطع منصفين، تكون هذه النقطة على مسافة متساوية عموديًا من الخطوط التي تشكل الزاوية النهائية (لأنها على نفس المسافة من الحافة المقابلة لهذه الزاوية)، وبالتالي تقع على خط منصف زاويتها.

تعطي الإحداثيات الثلاثية الخطوط لنقطة في المثلث نسبة المسافات إلى أضلاع المثلث. تُعطى الإحداثيات الثلاثية الخطوط لنقطة المركز الداخلي بواسطة ^[2]

${\displaystyle \ 1:1:1.}$

يمكن إعطاء مجموعة مراكز المثلث بنية مجموعة تحت الضرب الإحداثي لإحداثيات ثلاثية الخطوط؛ في هذه المجموعة، يشكل المركز الداخلي عنصر الهوية . ^[2]

تعطي إحداثيات مركز الثقل لنقطة في مثلث أوزانًا بحيث تكون النقطة هي المتوسط ​​المرجح لمواضع رؤوس المثلث. تُعطى إحداثيات مركز الثقل لنقطة المركز الداخلي بواسطة

${\displaystyle \a:b:c}$

حيث ، ، و هي أطوال أضلاع المثلث، أو ما يعادلها (باستخدام قانون الجيب ) بواسطة ${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

حيث ، ، و هي الزوايا عند الرؤوس الثلاثة. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

الإحداثيات الديكارتية للمركز الداخلي هي متوسط ​​مرجح لإحداثيات الرؤوس الثلاثة باستخدام أطوال أضلاع المثلث بالنسبة للمحيط - أي باستخدام إحداثيات مركز الثقل الموضحة أعلاه، والموحدة لمجموعها إلى واحد - كأوزان. (الأوزان موجبة لذا فإن المركز الداخلي يقع داخل المثلث كما هو مذكور أعلاه.) إذا كانت الرؤوس الثلاثة تقع عند ، ، و ، والأضلاع المقابلة لهذه الرؤوس لها أطوال مقابلة ، ، و ، فإن المركز الداخلي يقع عند ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}},{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{A},y_{A})+b(x_{B},y_{B})+c(x_{C},y_{C})}{a+b+c}}.}$

بالإشارة إلى مركز الدائرة الداخلي للمثلث ABC بـ I ، فإن المسافات من مركز الدائرة الداخلي إلى الرؤوس مجتمعة مع أطوال أضلاع المثلث تتبع المعادلة ^[7]

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.}$

بالإضافة إلى ذلك، ^[8]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

حيث R و r هما نصف القطر المحيط ونصف القطر الداخلي للمثلث على التوالي.

المسافة من المركز الداخلي إلى مركز الثقل أقل من ثلث طول أطول متوسط ​​للمثلث. ^[9]

وفقًا لنظرية أويلر في الهندسة ، فإن المسافة التربيعية من مركز الدائرة الداخلي I إلى مركز الدائرة المحيطة O تُعطى بواسطة ^{[10] [11]}

${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r),}$

حيث R و r هما نصف القطر المحيط ونصف القطر الداخلي على التوالي؛ وبالتالي فإن نصف القطر المحيط يكون على الأقل ضعف نصف القطر الداخلي، مع المساواة فقط في حالة تساوي الأضلاع . ^{[12] : ص. 198}

المسافة من المركز الداخلي إلى المركز الشمالي للدائرة ذات النقاط التسع هي ^[11]

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

المسافة التربيعية من المركز الداخلي إلى المركز المستقيم H هي ^[13]

${\displaystyle IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

وتشمل عدم المساواة ما يلي:

${\displaystyle IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO.}$

نقطة المركز الداخلي هي نقطة ناجل للمثلث الإنسي (المثلث الذي تكون رؤوسه هي نقاط منتصف الأضلاع) وبالتالي تقع داخل هذا المثلث. وعلى العكس من ذلك، فإن نقطة ناجل لأي مثلث هي مركز المثلث المضاد له . ^[14]

يجب أن يقع المركز الداخلي في الجزء الداخلي من القرص الذي يربط قطره بين مركز الثقل G ومركز الثقل H ( القرص المركزي المستقيم )، ولكن لا يمكن أن يتطابق مع مركز النقاط التسع ، والذي يكون موضعه ثابتًا على بعد 1/4 من القطر (أقرب إلى G ). أي نقطة أخرى داخل القرص المركزي المستقيم هي مركز مثلث فريد. ^[15]

خط أويلر للمثلث هو خط يمر عبر مركز الدائرة ، ومركز الثقل ، ومركز الاستقامة ، من بين نقاط أخرى. لا يقع مركز الدائرة الداخلي بشكل عام على خط أويلر؛ ^[16] فهو يقع على خط أويلر فقط للمثلثات متساوية الساقين ، ^[17] حيث يتطابق خط أويلر مع محور تماثل المثلث ويحتوي على جميع مراكز المثلث.

من خلال الإشارة إلى المسافة من مركز الدائرة إلى خط أويلر بـ d ، وطول أطول متوسط ​​بـ v ، وطول أطول ضلع بـ u ، ونصف القطر المحيط بـ R ، وطول قطعة خط أويلر من مركز الدائرة إلى مركز الدائرة بـ e ، ونصف المحيط بـ s ، تنطبق المتباينات التالية: ^[18]

${\displaystyle {\frac {d}{s}}}{\frac {d}{u}}}{\frac {d}{v}}}{\frac {1}{3}};}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{3}}e;}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{2}}R.}$

أي خط يمر عبر مثلث يقسم مساحة المثلث ومحيطه إلى نصفين يمر عبر مركز المثلث الداخلي؛ وكل خط يمر عبر مركز المثلث الداخلي ويقسم المساحة إلى نصفين يقسم المحيط أيضًا إلى نصفين. يوجد إما خط واحد أو خطان أو ثلاثة من هذه الخطوط لأي مثلث معين. ^[19]

ليكن X نقطة متغيرة على منصف الزاوية الداخلية لـ A. عندئذٍ فإن X = I (المركز الداخلي) يزيد أو يقلل النسبة على طول منصف الزاوية تلك. ^{[20] [21]}${\displaystyle {\tfrac {BX}{CX}}}$

• وايسستين، إريك دبليو. “إنسينتر”. عالم الرياضيات .