مركز تسع نقاط

في الهندسة ، يُعرف مركز النقاط التسع بأنه مركز المثلث ، وهي نقطة تُحدد من مثلث مُعطى بطريقة لا تعتمد على موضع المثلث أو حجمه. سُمي بهذا الاسم لأنه مركز دائرة النقاط التسع ، وهي دائرة تمر بتسع نقاط مهمة في المثلث: منتصفات الأضلاع الثلاثة، وقواعد الارتفاعات الثلاثة ، والنقاط الواقعة في منتصف المسافة بين مركز التعامد وكل رأس من رؤوس المثلث الثلاثة. يُشار إلى مركز النقاط التسع بالنقطة X(5) في موسوعة مراكز المثلثات لكلارك كيمبرلينج . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يقع مركز النقاط التسع N على خط أويلر للمثلث، في منتصف المسافة بين مركز التعامد H ومركز الدائرة المحيطة O. ويقع مركز الثقل G أيضًا على نفس الخط، على بعد ثلثي المسافة من مركز التعامد إلى مركز الدائرة المحيطة، ^{[ 2 ]} لذا $${\displaystyle |NO|=|NH|=3|NG|.}$$

وبالتالي، إذا عُرف أي اثنين من مراكز المثلثات الأربعة هذه، فيمكن تحديد مواقع الاثنين الآخرين انطلاقاً منهما.

أثبت أندرو غيناند في عام 1984، كجزء مما يُعرف الآن بمسألة تحديد مثلث أويلر ، أنه إذا عُلمت مواقع مراكز هذه المثلثات المجهولة، فإن مركز الدائرة الداخلية للمثلث يقع داخل الدائرة المتعامدة المركزية (الدائرة التي قطرها هو القطعة المستقيمة الواصلة بين مركز المثلث ومركزه). النقطة الوحيدة داخل هذه الدائرة التي لا يمكن أن تكون مركز الدائرة الداخلية هي مركز النقاط التسع، وكل نقطة داخلية أخرى على الدائرة هي مركز دائرة داخلية لمثلث فريد. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

المسافة من مركز النقاط التسع إلى مركز الدائرة الداخلية I تحقق الشرط التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}&|IN|<{\tfrac {1}{2}}|IO|,\\&|IN|={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}},\\&2R\cdot |IN|=|OI|^{2},\end{aligned}}}$$ حيث R و r هما نصف القطر المحيط ونصف القطر الداخلي على التوالي.

مركز النقاط التسع هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث المتوسط ​​للمثلث المعطى، ومركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم للمثلث المعطى، ومركز الدائرة المحيطة بمثلث أويلر. وبشكل أعم، هو مركز الدائرة المحيطة بأي مثلث مُعرَّف من ثلاث من النقاط التسع التي تُحدِّد دائرة النقاط التسع.

يقع مركز النقاط التسع عند مركز ثقل أربع نقاط: رؤوس المثلث الثلاثة ومركزه العمودي . ^{[ 7 ]}

تتقاطع خطوط أويلر للمثلثات الأربعة المتكونة من نظام متعامد (مجموعة من أربع نقاط، كل منها مركز تعامد المثلث الذي تقع رؤوسه عند النقاط الثلاث الأخرى) في نقطة مركزية تساعية مشتركة بين جميع المثلثات. ^{[ 8 ] : ص 111}

من بين النقاط التسع التي تحدد دائرة النقاط التسع، تمثل النقاط الثلاث التي تقع في منتصف القطع المستقيمة الواصلة بين رؤوس الدائرة ومركز التعامد انعكاسات لمنتصفات المثلث حول مركز النقاط التسع. وبالتالي، يشكل مركز النقاط التسع مركز انعكاس نقطي يحول المثلث المتوسط ​​إلى مثلث أويلر، والعكس صحيح.

وفقًا لنظرية ليستر ، يقع مركز النقاط التسع على دائرة مشتركة مع ثلاث نقاط أخرى: نقطتا فيرما ومركز الدائرة المحيطة. ^{[ 9 ]}

نقطة كوسنيتا للمثلث، وهي مركز المثلث المرتبط بنظرية كوسنيتا ، هي المرافق المتساوي الزوايا لمركز النقاط التسع. ^{[ 10 ]}

الإحداثيات الثلاثية الخطية لمركز النقاط التسع هي ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\cos(BC)&:&\cos(CA)&:&\cos(AB)\\[2pt]=&\cos A+2\cos B\cos C&:&\cos B+2\cos C\cos A&:&\cos C+2\cos A\cos B\\[2pt]=&\cos A-2\sin B\sin C&:&\cos B-2\sin C\sin A&:&\cos C-2\sin A\sin B\\[2pt]=&bc\left[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}\right]&:&ca\left[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}\right]&:&ab\left[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\right].\end{array}}}$$

الإحداثيات الباريسنترية للمركز ذي النقاط التسع هي ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}(&a\cos(BC),&b\cos(CA),&c\cos(AB)&)\\[2pt]={}(&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2},&b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2},&c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}&).\end{array}}}$$

وبالتالي، إذا وفقط إذا كان هناك اختلاف بين زاويتين من زوايا الرأس بأكثر من 90 درجة، فإن أحد الإحداثيات المركزية يكون سالبًا وبالتالي فإن مركز النقاط التسع يقع خارج المثلث.

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "مركز النقاط التسع" ، عالم الرياضيات