مركز الثقل

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (April 2013) (Learn how and when to remove this message)

في الرياضيات والفيزياء ، مركز الثقل ، والمعروف أيضًا باسم المركز الهندسي أو مركز الشكل ، لشكل مستوٍ أو شكل صلب هو المتوسط ​​الحسابي لموضع جميع النقاط على سطح الشكل. ^{[ بحاجة لشرح إضافي ]} ويمتد نفس التعريف إلى أي جسم في الفضاء الإقليدي داخل الأبعاد . ^[1]${\displaystyle n}$

في الهندسة ، غالبًا ما نفترض كثافة كتلة موحدة ، وفي هذه الحالة يتطابق مركز الثقل أو مركز الكتلة مع مركز الثقل. بشكل غير رسمي، يمكن فهمه على أنه النقطة التي يمكن عندها موازنة قطع الشكل (مع كتلة موزعة بالتساوي) تمامًا على طرف دبوس. ^[2]

في الفيزياء، إذا تم أخذ الاختلافات في الجاذبية بعين الاعتبار، فيمكن تعريف مركز الثقل على أنه المتوسط ​​المرجح لجميع النقاط الموزونة بوزنها النوعي .

في الجغرافيا ، مركز ثقل الإسقاط الشعاعي لمنطقة من سطح الأرض إلى مستوى سطح البحر هو المركز الجغرافي للمنطقة .

مصطلح "مركز الثقل" هو مصطلح حديث الصياغة (1814). ^[3] ويُستخدم كبديل للمصطلحين الأقدمين "مركز الثقل" و" مركز الكتلة " عندما يتم التأكيد على الجوانب الهندسية البحتة لتلك النقطة. المصطلح خاص باللغة الإنجليزية؛ على سبيل المثال، تستخدم اللغة الفرنسية " مركز الثقل " في أغلب الأحيان، وتستخدم لغات أخرى مصطلحات ذات معنى مماثل. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

مركز الثقل، كما يشير الاسم، هو مفهوم نشأ في الميكانيكا، على الأرجح فيما يتعلق بأنشطة البناء. من غير المؤكد متى ظهرت الفكرة لأول مرة، حيث من المرجح أن المفهوم خطر على بال العديد من الأشخاص بشكل فردي مع اختلافات طفيفة. ومع ذلك، تمت دراسة مركز ثقل الأشكال على نطاق واسع في العصور القديمة؛ ينسب بوسوت إلى أرخميدس (287-212 قبل الميلاد) الفضل في كونه أول من وجد مركز ثقل الأشكال المستوية، على الرغم من أنه لم يحدده أبدًا. ^[4] لقد ضاعت معالجة أرخميدس لمركز ثقل الأجسام الصلبة. ^[5]

من غير المرجح أن يكون أرخميدس قد تعلم نظرية أن متوسطات المثلث تلتقي في نقطة - مركز ثقل المثلث - مباشرة من إقليدس ، حيث أن هذه القضية ليست في العناصر . يرجع أول بيان صريح لهذه القضية إلى هيرون الإسكندري (ربما في القرن الأول الميلادي) ويظهر في كتابه الميكانيكا . قد نضيف، بالمناسبة، أن القضية لم تصبح شائعة في الكتب المدرسية عن الهندسة المستوية حتى القرن التاسع عشر. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يقع مركز الثقل الهندسي لجسم محدب دائمًا داخل الجسم. وقد يكون لجسم غير محدب مركز ثقل خارج الشكل نفسه. على سبيل المثال، يقع مركز ثقل حلقة أو وعاء في الفراغ المركزي للجسم.

إذا تم تعريف مركز الثقل، فهو نقطة ثابتة لجميع تماثلات مجموعة التماثل الخاصة به . وعلى وجه الخصوص، يقع مركز الثقل الهندسي لجسم ما في تقاطع جميع مستوياته الفائقة للتماثل . ويمكن تحديد مركز ثقل العديد من الأشكال ( مضلع منتظم ، متعدد السطوح منتظم ، أسطوانة ، مستطيل ، معين ، دائرة ، كرة ، قطع ناقص ، قطع ناقص ، قطع ناقص فائق ، قطع ناقص فائق ، إلخ) من خلال هذا المبدأ وحده.

على وجه الخصوص، مركز ثقل متوازي الأضلاع هو نقطة التقاء قطريه . وهذا لا ينطبق على الأشكال الرباعية الأخرى .

وللسبب نفسه، فإن مركز ثقل جسم ذي تماثل ترجمي غير محدد (أو يقع خارج المساحة المحيطة)، لأن الترجمة ليس لها نقطة ثابتة.

مركز ثقل المثلث هو تقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث (كل متوسط ​​يربط رأسًا بنقطة منتصف الضلع المقابل). ^[6]

لمعرفة المزيد عن خصائص أخرى لمركز مثلث، انظر أدناه.

يمكن تحديد مركز ثقل صفيحة مستوية كثيفة بشكل موحد ، كما في الشكل (أ) أدناه، تجريبيًا باستخدام خط راسيا ودبوس لإيجاد مركز الكتلة الموجود في نفس المكان لجسم رفيع ذي كثافة موحدة له نفس الشكل. يتم تثبيت الجسم بواسطة الدبوس، الذي يتم إدخاله في نقطة ما، بعيدًا عن مركز ثقل الجسم المفترض بطريقة تمكنه من الدوران بحرية حول الدبوس؛ ثم يتم إسقاط خط الراسيا من الدبوس (الشكل ب). يتم تتبع موضع خط الراسيا على السطح، ويتم تكرار الإجراء مع إدخال الدبوس في أي نقطة مختلفة (أو عدد من النقاط) بعيدًا عن مركز ثقل الجسم. ستكون نقطة التقاطع الفريدة لهذه الخطوط هي مركز ثقل الجسم (الشكل ج). بشرط أن يكون الجسم ذا كثافة موحدة، فإن جميع الخطوط المرسومة بهذه الطريقة ستشمل مركز ثقل الجسم، وستتقاطع جميع الخطوط في نفس المكان تمامًا.

(أ)	(ب)	(ج)

يمكن توسيع هذه الطريقة (نظريًا) لتشمل الأشكال المقعرة حيث قد يقع مركز الثقل خارج الشكل، وافتراضيًا إلى الأجسام الصلبة (مرة أخرى، ذات الكثافة المتجانسة)، حيث قد يقع مركز الثقل داخل الجسم. يجب تسجيل المواضع (الافتراضية) لخطوط الشاقول بوسائل أخرى غير رسمها على طول الشكل.

بالنسبة للأشكال المحدبة ثنائية الأبعاد، يمكن إيجاد مركز الثقل عن طريق موازنة الشكل على شكل أصغر، مثل الجزء العلوي من أسطوانة ضيقة. يحدث مركز الثقل في مكان ما ضمن نطاق التلامس بين الشكلين (وعند النقطة التي يتوازن فيها الشكل على دبوس). من حيث المبدأ، يمكن استخدام أسطوانات أضيق تدريجيًا لإيجاد مركز الثقل بدقة عشوائية. في الممارسة العملية تجعل التيارات الهوائية هذا غير ممكن. ومع ذلك، من خلال تحديد نطاق التداخل من موازنات متعددة، يمكن للمرء تحقيق مستوى كبير من الدقة.

مركز ثقل مجموعة من النقاط في ^[1]، تقلل هذه النقطة مجموع المسافات الإقليدية التربيعية بينها وبين كل نقطة في المجموعة. ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}.}$$

يمكن حساب مركز ثقل الشكل المستوي عن طريق تقسيمه إلى عدد محدود من الأشكال الأبسط عن طريق حساب مركز ثقل كل جزء ومساحة كل جزء، ثم حساب ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}},\quad C_{y}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}.}$$

يمكن التعامل مع الثغرات الموجودة في الشكل والتي تتداخل بين الأجزاء، أو الأجزاء التي تمتد خارج الشكل باستخدام المساحات السلبية ، أي أنه يجب اتخاذ القياسات بإشارات موجبة وسالبة بحيث يكون مجموع إشارات لجميع الأجزاء التي تحيط بنقطة معينة هو إذا كان ينتمي إلى وإلا . ${\displaystyle X,}$${\displaystyle A_{i}.}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle 0}$

على سبيل المثال، يمكن تقسيم الشكل أدناه (أ) بسهولة إلى مربع ومثلث، كلاهما بمساحة موجبة؛ وثقب دائري، بمساحة سالبة (ب).

يمكن إيجاد مركز ثقل كل جزء في أي قائمة من مراكز ثقل الأشكال البسيطة (ج). ثم يكون مركز ثقل الشكل هو المتوسط ​​المرجح للنقاط الثلاث. الموضع الأفقي لمركز الثقل من الحافة اليسرى للشكل هو الموضع الرأسي لمركز الثقل يتم إيجاده بنفس الطريقة. $${\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi 2.5^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2.5^{2}}}\approx 8.5{\text{ units}}.}$$

تنطبق نفس الصيغة على أي جسم ثلاثي الأبعاد، باستثناء أن كل جسم يجب أن يكون حجمه وليس مساحته. تنطبق أيضًا على أي مجموعة فرعية من أي بُعد مع استبدال المساحات بمقاييس الأبعاد السالبة للأجزاء. ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle X_{i},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle d}$

يمكن أيضًا حساب مركز ثقل مجموعة فرعية من خلال الصيغة ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\ dx}{\int g(x)\ dx}}}$$

حيث يتم أخذ التكاملات على كامل المساحة و هي الدالة المميزة للمجموعة الفرعية لـ إذا و خلاف ذلك. ^[7] لاحظ أن المقام هو ببساطة مقياس المجموعة لا يمكن تطبيق هذه الصيغة إذا كانت المجموعة لها مقياس صفر، أو إذا تباعد أي من التكاملات. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!:\ g(x)=1}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g(x)=0}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

صيغة أخرى لمركز الثقل هي

$${\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\ dz}{\int g(x)\ dx}},}$$

حيث هو إحداثي و هو مقياس تقاطع مع المستوى الفائق المحدد بواسطة المعادلة مرة أخرى، المقام هو ببساطة مقياس${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle S_{k}(z)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{k}=z.}$${\displaystyle X.}$

بالنسبة للشكل المستوي، على وجه الخصوص، فإن إحداثيات مركز الثقل هي

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\ dx}{A}},\quad C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\ dy}{A}},}$$

أين مساحة الشكل هي طول تقاطع مع الخط الرأسي عند الإحداثي و هي طول تقاطع مع الخط الأفقي عند الإحداثي${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {y} }(x)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$${\displaystyle S_{\mathrm {x} }(y)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y.}$

مركز ثقل المنطقة المحددة برسوم بيانية للدوال المستمرة بحيث تكون على الفترة معطى بواسطة ^{[7] [8]}${\displaystyle ({\bar {x}},\;{\bar {y}})}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle a\leq x\leq b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\\[5mu]{\bar {y}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\end{aligned}}}$$

أين مساحة المنطقة (المعطاة بواسطة ). ^{[9] [10]}${\displaystyle A}$${\textstyle \int _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx}$

يمكن استخدام الرسم البياني الصحيح (قريب من المخطط ) لإيجاد مركز ثقل جسم غير منتظم الشكل ذو حدود ناعمة (أو ناعمة جزئيًا). والمبدأ الرياضي المعني هو حالة خاصة من نظرية جرين . ^[11]

هذه طريقة لتحديد مركز ثقل جسم على شكل حرف L.

1. قسّم الشكل إلى مستطيلين كما هو موضح في الشكل 2. أوجد مركزي هذين المستطيلين عن طريق رسم الأقطار. ارسم خطًا يصل بين مركزي المستطيلين. يجب أن يقع مركز ثقل الشكل على هذا الخط.${\displaystyle AB.}$
2. قسّم الشكل إلى مستطيلين آخرين، كما هو موضح في الشكل 3. أوجد مركز ثقل هذين المستطيلين عن طريق رسم الأقطار. ارسم خطًا يصل بين مركزي الثقل. يجب أن يقع مركز ثقل الشكل L على هذا الخط.${\displaystyle CD.}$
3. وبما أن مركز ثقل الشكل يجب أن يقع على طول تقاطع هذين الخطين، فيجب أن تكون النقطة موجودة داخل أو خارج الجسم على شكل حرف L.${\displaystyle AB}$${\displaystyle CD,}$${\displaystyle O.}$${\displaystyle O}$

مركز ثقل المثلث هو نقطة تقاطع متوسطاته ( الخطوط التي تربط كل رأس بمنتصف الضلع المقابل). ^[6] يقسم مركز ثقل المثلث كل متوسط ​​بنسبة أي أنه يقع على مسافة من كل ضلع إلى الرأس المقابل (انظر الأشكال على اليمين). ^{[12] [13]} إحداثياته ​​الديكارتية هي متوسط ​​إحداثيات الرؤوس الثلاثة. أي إذا كانت الرؤوس الثلاثة هي و مركز ثقل المثلث (المشار إليه هنا ولكن يشار إليه بشكل شائع في هندسة المثلث ) هو ${\displaystyle 2:1,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),}$ ${\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),}$${\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle C={\tfrac {1}{3}}(L+M+N)={\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}.}$$

وبالتالي فإن مركز الثقل يقع عند إحداثيات مركز الثقل . ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$

في الإحداثيات الثلاثية الخطوط، يمكن التعبير عن مركز الثقل بأي من الطرق المكافئة التالية من حيث أطوال الأضلاع وزوايا الرؤوس : ^[14]${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle L,M,N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\[6pt]&=\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M.\end{aligned}}}$$

يكون مركز الكتلة أيضًا هو المركز الفيزيائي للكتلة إذا كان المثلث مصنوعًا من صفيحة موحدة من المادة؛ أو إذا كانت الكتلة بأكملها مركزة عند الرؤوس الثلاثة، ومقسمة بالتساوي بينها. من ناحية أخرى، إذا كانت الكتلة موزعة على طول محيط المثلث، بكثافة خطية موحدة ، فإن مركز الكتلة يقع عند مركز سبيكر (المركز الداخلي للمثلث الإنسي )، والذي لا يتطابق (بشكل عام) مع مركز الكتلة الهندسي للمثلث الكامل.

مساحة المثلث هي ضرب طول أي ضلع في المسافة العمودية من الضلع إلى مركز الثقل. ^[15]${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$

يقع مركز ثقل المثلث على خط أويلر بين مركزه المستقيم ومركز محيطه، على مسافة أقرب مرتين من الأخير مقارنة بالأول: ^{[16] [17]}${\displaystyle H}$ ${\displaystyle O,}$

$${\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}$$

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للمركز الداخلي ومركز النقاط التسع لدينا ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}.\end{aligned}}}$$

إذا كان هو مركز ثقل المثلث فإن ${\displaystyle G}$${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle ABG)=({\text{Area of }}\triangle ACG)=({\text{Area of }}\triangle BCG)={\tfrac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle ABC).}$$

المرافق المتساوي الأضلاع لمركز ثقل المثلث هو النقطة الوسطى له .

أي من الخطوط المتوسطة الثلاثة التي تمر عبر مركز الثقل تقسم مساحة المثلث إلى نصفين. وهذا لا ينطبق على الخطوط الأخرى التي تمر عبر مركز الثقل؛ يحدث أكبر انحراف عن تقسيم المساحة المتساوية عندما يكون الخط الذي يمر عبر مركز الثقل موازيًا لضلع من أضلاع المثلث، مما يؤدي إلى إنشاء مثلث أصغر وشبه منحرف ؛ في هذه الحالة تكون مساحة شبه المنحرف هي مساحة المثلث الأصلي. ^[18]${\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}$

ليكن أي نقطة في مستوى مثلث له رؤوس ومركز ثقل ثم مجموع مربعات المسافات من الرؤوس الثلاثة أكبر من مجموع مربعات المسافات من مركز الثقل من الرؤوس بمقدار ثلاثة أضعاف مربع المسافة بين و : ^[19]${\displaystyle P}$${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}$$

مجموع مربعات أضلاع المثلث يساوي ثلاثة أضعاف مجموع مربعات المسافات بين مركز الثقل والرؤوس: ^[19]

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$$

مركز ثقل المثلث هو النقطة التي تعظم حاصل ضرب المسافات الموجهة لنقطة من الخطوط الجانبية للمثلث. ^[20]

ليكن مثلثًا، وليكن مركز ثقله، وليكن منتصفي القطعتين على التوالي. لأي نقطة في المستوى ^[21]${\displaystyle ABC}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D,E,F}$${\displaystyle BC,CA,AB,}$${\displaystyle P}$${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

مركز ثقل مضلع مغلق غير متقاطع ذاتيًا ومحدد بواسطة الرؤوس هو النقطة ^[22] حيث ${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\;}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;\ldots ,\;}$${\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1}),}$${\displaystyle (C_{x},C_{y}),}$

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

و

$${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

وأين مساحة المضلع الموقعة، ^[22] كما هو موضح بصيغة رباط الحذاء : ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}$$

في هذه الصيغ، يُفترض أن تكون الرؤوس مرقمة حسب ترتيب حدوثها على طول محيط المضلع؛ وعلاوة على ذلك، يُفترض أن تكون الرأس هي نفسها كما في الحالة الأخيرة يجب أن تدور حول (إذا تم ترقيم النقاط حسب ترتيب عقارب الساعة، فإن المساحة المحسوبة كما هو مذكور أعلاه ستكون سلبية؛ ومع ذلك، ستكون إحداثيات مركز الثقل صحيحة حتى في هذه الحالة.) ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$${\displaystyle i+1}$${\displaystyle i=0.}$${\displaystyle A,}$

يقع مركز ثقل المخروط أو الهرم على القطعة المستقيمة التي تربط القمة بمركز ثقل القاعدة. بالنسبة للمخروط أو الهرم الصلب، يكون مركز الثقل هو المسافة من القاعدة إلى القمة. بالنسبة للمخروط أو الهرم الذي هو مجرد صدفة (مجوفة) بدون قاعدة، يكون مركز الثقل هو المسافة من مستوى القاعدة إلى القمة. ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

رباعي السطوح هو جسم في فضاء ثلاثي الأبعاد له أربعة مثلثات كوجوه . يُطلق على القطعة المستقيمة التي تصل بين رأس رباعي السطوح ومركز ثقل الوجه المقابل اسم المتوسط ، ويُطلق على القطعة المستقيمة التي تصل بين منتصفي حافتين متقابلتين اسم ثنائي المتوسط . وبالتالي، يوجد أربعة متوسطات وثلاثة ثنائيات متوسطات. تلتقي هذه القطع المستقيمة السبعة جميعها عند مركز ثقل رباعي السطوح. ^[23] تنقسم المتوسطات على مركز الثقل بنسبة مركز ثقل رباعي السطوح هو نقطة المنتصف بين نقطة مونج ومركز محيطه (مركز الكرة المحيطة). تحدد هذه النقاط الثلاث خط أويلر لرباعي السطوح الذي يشبه خط أويلر للمثلث. ${\displaystyle 3:1.}$

تُعمم هذه النتائج على أي مجسم بسيط ذي أبعاد بالطريقة التالية. إذا كانت مجموعة رؤوس المجسم البسيط هي عندئذٍ اعتبار الرؤوس كمتجهات ، فإن مركز الثقل هو ${\displaystyle n}$${\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}},}$

$${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}$$

يتطابق مركز الثقل الهندسي مع مركز الكتلة إذا كانت الكتلة موزعة بالتساوي على كامل المجسم، أو مركزة عند الرؤوس ككتل متساوية. ${\displaystyle n+1}$

يقسم مركز ثقل نصف الكرة الصلبة (أي نصف الكرة الصلبة) قطعة الخط المستقيم التي تربط مركز الكرة بقطب نصف الكرة بنسبة (أي أنه يقع بعيدًا عن المركز إلى القطب). يقسم مركز ثقل نصف الكرة المجوف (أي نصف الكرة المجوفة) قطعة الخط المستقيم التي تربط مركز الكرة بقطب نصف الكرة إلى نصفين. ${\displaystyle 3:5}$${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

• ألتشيللر كورت، ناثان (1925)، الهندسة الجامعية: مقدمة إلى الهندسة الحديثة للمثلث والدائرة (الطبعة الثانية)، نيويورك: بارنز أند نوبل ، LCCN  52013504
• بورك، بول (يوليو 1997). "حساب مساحة ومركز ثقل مضلع".
• جونسون، روجر أ. (2007)، الهندسة الإقليدية المتقدمة ، دوفر
• كاي، ديفيد سي. (1969)، هندسة الكلية ، نيويورك: هولت، رينهارت ووينستون ، LCCN  69012075
• لارسون، رولاند إي.؛ هوستيلر، روبرت بي.؛ إدواردز، بروس إتش. (1998)، حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد (الطبعة السادسة)، شركة هوتون ميفلين
• بروتر، موراي هـ.؛ موري، تشارلز ب. الابن. (1970)، حساب التفاضل والتكامل الجامعي مع الهندسة التحليلية (الطبعة الثانية)، ريدينغ: أديسون ويسلي ، LCCN  76087042
• سانجوين، سي جيه، تحديد مركز الكتلة بوسائل ميكانيكية (PDF) ، محفوظ من الأصل (PDF) في 13 نوفمبر 2013

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مركز الثقل الهندسي". MathWorld .
• موسوعة مراكز المثلثات بقلم كلارك كيمبرلينج. مركز الثقل مُفهرس بـ X(2).
• الخاصية المميزة لمركز الثقل عند قطع العقدة
• رسوم متحركة تفاعلية توضح مركز ثقل المثلث وطريقة بناء مركز الثقل باستخدام البوصلة والمسطرة
• العثور تجريبياً على المتوسطات ومركز ثقل المثلث في Dynamic Geometry Sketches، وهو رسم هندسي ديناميكي تفاعلي يستخدم محاكي الجاذبية لسندريلا.