المتوسط ​​المتماثل

في الهندسة ، تُعرف الخطوط المتناظرة بأنها ثلاثة خطوط محددة ترتبط بكل مثلث . تُنشأ هذه الخطوط بأخذ متوسط ​​المثلث (الخط الواصل بين رأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل )، ثم عكس هذا المتوسط ​​حول منصف الزاوية المناظرة له (الخط المار بنفس الرأس والذي يقسم الزاوية عنده إلى نصفين). الزاوية المحصورة بين الخط المتناظر ومنصف الزاوية لها نفس قياس الزاوية المحصورة بين المتوسط ​​ومنصف الزاوية، ولكنها تقع على الجانب الآخر من منصف الزاوية. باختصار، هي خطوط تناظر مركز الدائرة الداخلية ومركز المثلث.

تلتقي الخطوط المتناظرة الثلاثة في مركز مثلث يُسمى نقطة ليموين . وقد وصف روس هونسبرغر وجودها بأنها "إحدى جواهر التاج في الهندسة الحديثة". ^{[ 1 ]}

في كثير من الأحيان في الهندسة، إذا أخذنا ثلاثة خطوط خاصة تمر برؤوس مثلث، أو ما يُسمى بالخطوط المتساوية الزوايا ، فإن انعكاساتها حول منصفات الزوايا المناظرة لها، والتي تُسمى الخطوط المتساوية الزوايا ، ستتمتع أيضًا بخصائص مثيرة للاهتمام. على سبيل المثال، إذا تقاطعت الخطوط المتساوية الزوايا الثلاثة لمثلث عند نقطة P ، فإن خطوطها المتساوية الزوايا تتقاطع أيضًا عند نقطة تُسمى المرافق المتساوي الزوايا للنقطة P.

يوضح الوسيط هذه الحقيقة.

• في الرسم التخطيطي، تتقاطع الوسائط (باللون الأسود) عند المركز G.
• ولأن الخطوط المتناظرة (باللون الأحمر) متساوية الزوايا مع الخطوط المتوسطة، فإن الخطوط المتناظرة تتقاطع أيضًا عند نقطة واحدة ، L.

تُسمى هذه النقطة نقطة التماثل المتوسط ​​للمثلث ، أو بدلاً من ذلك نقطة ليموين أو نقطة غريب .

الخطوط المنقطة هي منصفات الزوايا؛ أما المتوسطات والخطوط المتناظرة فهي متناظرة حول منصفات الزوايا (ومن هنا جاء اسم "الخط المتناظر").

ليكن المثلث △ ABC مثلثًا. أنشئ نقطة D بتقاطع المماسين من B و C مع الدائرة المحيطة . عندئذٍ يكون AD هو المتوسط ​​المشترك للمثلث △ ABC المار بالرأس A. ^{[ 2 ]}

البرهان الأول. ليكن انعكاس AD حول منصف الزاوية ∠BAC يتقاطع مع BC عند النقطة M' . إذن:

${\displaystyle {\frac {|BM'|}{|M'C|}}={\frac {|AM'|{\frac {\sin \angle {BAM'}}{\sin \angle {ABM'}}}}{|AM'|{\frac {\sin \angle {CAM'}}{\sin \angle {ACM'}}}}}={\frac {\sin \angle {BAM'}}{\sin \angle {ACD}}}{\frac {\sin \angle {ABD}}{\sin \angle {CAM'}}}={\frac {\sin \angle {CAD}}{\sin \angle {ACD}}}{\frac {\sin \angle {ABD}}{\sin \angle {BAD}}}={\frac {|CD|}{|AD|}}{\frac {|AD|}{|BD|}}=1}$

البرهان الثاني. لنُعرّف D' بأنه المرافق المتساوي الزوايا للقطعة المستقيمة D. من السهل ملاحظة أن انعكاس CD حول المنصف هو الخط المار بـ C والموازي لـ AB . وينطبق الأمر نفسه على BD ، وبالتالي، فإن ABD'C متوازي أضلاع. من الواضح أن AD' هو المتوسط، لأن قطري متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر، و AD هو انعكاسه حول المنصف.

البرهان الثالث. لتكن ω دائرة مركزها D تمر بالنقطتين B و C ، ولتكن O مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC . لنفترض أن المستقيمين AB وAC يتقاطعان مع ω في النقطتين P وQ على التوالي. بما أن ∠ABC = ∠AQP ، فإن المثلثين △ ABC و △ AQP متشابهان.

${\displaystyle \angle PBQ=\angle BQC+\angle BAC={\frac {\angle BDC+\angle BOC}{2}}=90^{\circ },}$

نلاحظ أن PQ قطر في ω ، وبالتالي يمر بالنقطة D. لنفترض أن M هي منتصف BC . بما أن D هي منتصف PQ ، فإن التشابه يعني أن ∠BAM = ∠QAD ، ومن ثمّ نستنتج النتيجة.

البرهان الرابع. ليكن S منتصف القوس BC . بما أن | BS | = | SC | ، فإن AS هو منصف الزاوية ∠BAC . ليكن M منتصف BC ، ومنه D هو معكوس M بالنسبة للدائرة المحيطة. من ذلك، نعلم أن الدائرة المحيطة هي دائرة أبولونية بؤرتاها M وD. إذن AS هو منصف الزاوية ∠DAM ، وبذلك نكون قد حققنا النتيجة المطلوبة.

يمتد مفهوم النقطة المتناظرة إلى رباعيات الأوجه (غير المنتظمة). في رباعي الأوجه ABCD ، يكون المستويان P وQ إلى AB مترافقين متساويي الزوايا إذا كانا يشكلان زوايا متساوية مع المستويين ABC و ABD . ولتكن M منتصف الضلع CD . يُسمى المستوى الذي يحتوي على الضلع AB والمتساوي الزوايا مع المستوى ABM مستوىً متناظرًا لرباعي الأوجه. يمكن إثبات أن المستويين المتناظرين يتقاطعان في نقطة واحدة، وهي النقطة المتناظرة. هذه النقطة هي أيضًا التي تُقلل مربع المسافة من أوجه رباعي الأوجه. ^{[ 3 ]}

• التوازي المتناظر والتوازي المعاكس عند قطع العقدة
• التماثل واثنان من التوازي المعاكس عند قطع العقدة
• سيميديان والمماسات في حفل قطع العقدة
• تطبيق جافا تفاعلي لنقطة سيميديان
• المضلعات المتساوية والتناظر المتساوي