مثلث

مثلث
الحواف والرؤوس​	3
رمز شلايفلي	{3} (للمتساوي الأضلاع)
منطقة	طرق مختلفة؛ انظر أدناه

المثلث هو مضلع له ثلاثة زوايا وثلاثة أضلاع، وهو أحد الأشكال الأساسية في الهندسة . الزوايا، والتي تسمى أيضًا الرؤوس ، هي نقاط ذات أبعاد صفرية بينما الأضلاع التي تربط بينها، والتي تسمى أيضًا الحواف ، هي قطع مستقيمة أحادية البعد . يحتوي المثلث على ثلاث زوايا داخلية ، كل منها محاطة بزوج من الحواف المتجاورة؛ مجموع زوايا المثلث يساوي دائمًا زاوية مستقيمة (180 درجة أو π راديان). المثلث هو شكل مستوٍ وداخله منطقة مستوية . في بعض الأحيان يتم اختيار حافة عشوائية لتكون القاعدة ، وفي هذه الحالة تسمى الرأس المقابلة بالرأس ؛ أقصر قطعة بين القاعدة والرأس هي الارتفاع . مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب الارتفاع في طول القاعدة.

في الهندسة الإقليدية ، تحدد أي نقطتين قطعة مستقيمة فريدة تقع داخل خط مستقيم فريد ، وتحدد أي ثلاث نقاط لا تقع جميعها على نفس الخط المستقيم مثلثًا فريدًا يقع داخل مستوٍ مستوٍ فريد . وبشكل عام، تحدد أربع نقاط في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد شكلًا رباعي السطوح .

في الهندسة غير الإقليدية ، تحدد أيضًا ثلاثة أجزاء "مستقيمة" (ذات انحناء صفري ) مثلثًا، على سبيل المثال، مثلث كروي أو مثلث زائدي . المثلث الجيوديسي هو منطقة من سطح ثنائي الأبعاد عام محاط بثلاثة أضلاع مستقيمة بالنسبة للسطح ( الجيوديسيات ).المثلث المنحني هو شكل له ثلاثة أضلاع منحنية ، على سبيل المثال، مثلث دائري له أضلاع دائرية . تتناول هذه المقالة المثلثات ذات الأضلاع المستقيمة في الهندسة الإقليدية، ما لم يُذكر خلاف ذلك.

يتم تصنيف المثلثات إلى أنواع مختلفة بناءً على زواياها وأطوال أضلاعها. تعد العلاقات بين الزوايا وأطوال الأضلاع محورًا رئيسيًا في علم المثلثات . على وجه الخصوص، تربط دوال الجيب وجيب التمام والظل بين أطوال الأضلاع والزوايا في المثلثات القائمة .

المثلث هو شكل يتكون من ثلاثة أجزاء مستقيمة، كل طرف منها متصل. ^[1] وهذا يشكل مضلعًا بثلاثة أضلاع وثلاث زوايا. المصطلحات المستخدمة لتصنيف المثلثات عمرها أكثر من ألفي عام، حيث تم تعريفها في الكتاب الأول من عناصر إقليدس . ^[2] الأسماء المستخدمة للتصنيف الحديث هي إما ترجمة مباشرة للغة اليونانية لإقليدس أو ترجماتها اللاتينية.

للمثلثات أنواع عديدة بناءً على طول الأضلاع والزوايا. المثلث الذي تكون أضلاعه متساوية الطول هو مثلث متساوي الأضلاع ، ^[3] والمثلث الذي يكون فيه ضلعان لهما نفس الطول هو مثلث متساوي الساقين ، ^{[4] [أ]} والمثلث الذي يكون فيه ثلاثة أضلاع مختلفة الطول هو مثلث غير متساوي الأضلاع . ^[7] والمثلث الذي تكون فيه إحدى زواياه قائمة هو مثلث قائم الزاوية ، والمثلث الذي تكون جميع زواياه أقل من تلك الزاوية هو مثلث حاد الزاوية ، والمثلث الذي تكون فيه إحدى زواياه أكبر من تلك الزاوية هو مثلث منفرج الزاوية . ^[8] تعود هذه التعريفات إلى إقليدس على الأقل . ^[9]

• 
  مثلث متساوي الأضلاع
• 
  مثلث متساوي الساقين
• 
  مثلث غير متماثل

• 
  مثلث قائم الزاوية
• 
  مثلث حاد
• 
  مثلث منفرج الزاوية

توجد جميع أنواع المثلثات بشكل شائع في الحياة الواقعية. في البناء من صنع الإنسان، يمكن العثور على المثلثات متساوية الساقين على شكل الجملونات والقواعد ، ويمكن العثور على المثلث متساوي الأضلاع في علامة الخضوع. ^[10] تعتبر وجوه الهرم الأكبر في الجيزة أحيانًا متساوية الأضلاع، لكن القياسات الأكثر دقة تظهر أنها متساوية الساقين بدلاً من ذلك. ^[11] تظهر مظاهر أخرى في الرموز الشعارية كما في علم سانت لوسيا وعلم الفلبين . ^[12]

تظهر المثلثات أيضًا في الأجسام ثلاثية الأبعاد. متعدد السطوح هو جسم صلب تُغطى حدوده بمضلعات مسطحة تُعرف باسم الوجوه، وزوايا حادة تُعرف باسم الرؤوس، وأجزاء مستقيمة تُعرف باسم الحواف. يمكن تصنيف متعددات السطوح في بعض الحالات، استنادًا إلى شكل وجوهها. على سبيل المثال، عندما يكون متعدد السطوح له جميع المثلثات متساوية الأضلاع كوجوه، تُعرف باسم مثلثات السطوح . ^{[13] تحتوي} المنشورات المضادة على مثلثات متناوبة على جوانبها. ^[14] الأهرامات والأهرامات ثنائية الأضلاع هي متعددات سطوح ذات قواعد متعددة الأضلاع ومثلثات للوجوه الجانبية؛ تكون المثلثات متساوية الساقين كلما كانت أهرامات قائمة وأهرامات ثنائية. كليتوب متعدد السطوح هو متعدد سطوح جديد مصنوع عن طريق استبدال كل وجه من الأصل بهرم، وبالتالي ستكون وجوه كليتوب مثلثات. ^[15] بشكل عام، يمكن العثور على المثلثات في أبعاد أعلى، كما هو الحال في المفهوم العام للمثلثات المعروف باسم البسيط ، والمتعددات السطوح ذات الأوجه المثلثية المعروفة باسم متعددات السطوح البسيطة . ^[16]

يحتوي كل مثلث على العديد من النقاط الخاصة بداخله أو على حوافه أو مرتبطة به بطريقة أخرى. يتم إنشاؤها من خلال إيجاد ثلاثة خطوط مرتبطة بشكل متماثل بالأضلاع الثلاثة (أو الرؤوس) ثم إثبات أن الخطوط الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة. أداة مهمة لإثبات وجود هذه النقاط هي نظرية سيفا ، والتي تعطي معيارًا لتحديد متى تكون ثلاثة من هذه الخطوط متزامنة . ^[17] وبالمثل، غالبًا ما يتم إنشاء الخطوط المرتبطة بالمثلث من خلال إثبات أن ثلاث نقاط مبنية بشكل متماثل تكون على خط مستقيم واحد ؛ هنا تقدم نظرية مينيلوس معيارًا عامًا مفيدًا. ^[18] في هذا القسم، يتم شرح عدد قليل فقط من أكثر الإنشاءات شيوعًا.

منصف عمودي على ضلع المثلث هو خط مستقيم يمر عبر نقطة منتصف الضلع ويكون عموديًا عليه، ويشكل معه زاوية قائمة. ^{[19] تلتقي المنصفات العمودية الثلاثة في نقطة واحدة، وهي} مركز محيط المثلث ؛ هذه النقطة هي مركز الدائرة المحيطة ، الدائرة التي تمر عبر الرؤوس الثلاثة. ^{[20] تشير} نظرية طاليس إلى أنه إذا كان مركز محيط المثلث يقع على ضلع المثلث، فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون زاوية قائمة. ^[21] إذا كان مركز محيط المثلث يقع داخل المثلث، فإن المثلث حاد؛ إذا كان مركز محيط المثلث يقع خارج المثلث، فإن المثلث منفرج الزاوية. ^[22]

ارتفاع المثلث هو خط مستقيم يمر عبر رأس وعمودي على الجانب المقابل. يسمى هذا الجانب المقابل قاعدة الارتفاع، وتسمى النقطة التي يتقاطع فيها الارتفاع مع القاعدة (أو امتدادها) بسفح الارتفاع. ^[23] طول الارتفاع هو المسافة بين القاعدة والرأس. تتقاطع الارتفاعات الثلاثة في نقطة واحدة تسمى مركز تقويم المثلث. ^[24] يقع مركز التقويم داخل المثلث إذا وفقط إذا كان المثلث حادًا. ^[25]

منصف زاوية المثلث هو خط مستقيم يمر عبر الرأس ويقطع الزاوية المقابلة إلى نصفين. تتقاطع منصفات الزوايا الثلاث في نقطة واحدة، وهي مركز الدائرة الداخلية للمثلث . الدائرة الداخلية هي الدائرة التي تقع داخل المثلث وتلامس جميع الأضلاع الثلاثة. يسمى نصف قطرها نصف القطر الداخلي. هناك ثلاث دوائر مهمة أخرى، الدوائر الخارجية ؛ تقع خارج المثلث وتلامس أحد الأضلاع، بالإضافة إلى امتدادات الضعين الآخرين. تشكل مراكز الدوائر الداخلية والخارجية نظامًا متعامدًا مركزيًا . ^[26] تقع نقاط المنتصف للأضلاع الثلاثة وأقدام الارتفاعات الثلاثة على دائرة واحدة، وهي دائرة المثلث ذات النقاط التسع . ^[27] النقاط الثلاث المتبقية التي سميت باسمها هي نقاط المنتصف لجزء الارتفاع بين الرؤوس ومركز التعامد . نصف قطر الدائرة ذات النقاط التسع هو نصف نصف قطر الدائرة المحيطة. تلامس الدائرة الداخلية (عند نقطة فيورباخ ) والدوائر الثلاث الخارجية . يقع مركز التقويم (النقطة الزرقاء)، ومركز الدائرة ذات النقاط التسع (الأحمر)، ومركز الثقل (البرتقالي)، ومركز الدائرة المحيطة (الأخضر) على خط واحد، يُعرف باسم خط أويلر (الخط الأحمر). يقع مركز الدائرة ذات النقاط التسع في منتصف المسافة بين مركز التقويم ومركز الدائرة المحيطة، والمسافة بين مركز الثقل ومركز الدائرة المحيطة هي نصف المسافة بين مركز الثقل ومركز الثقل. ^[27] بشكل عام، لا يقع مركز الدائرة الداخلية على خط أويلر. ^{[28] [29]}

المتوسط ​​في المثلث هو خط مستقيم يمر عبر رأس ونقطة منتصف الضلع المقابل، ويقسم المثلث إلى منطقتين متساويتين. تتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة واحدة، وهي مركز ثقل المثلث أو مركز الثقل الهندسي. مركز ثقل الجسم المثلثي الصلب (المقطوع من صفيحة رقيقة ذات كثافة موحدة) هو أيضًا مركز كتلته : يمكن موازنة الجسم على مركز ثقله في مجال جاذبية منتظم. ^[30] يقطع مركز الثقل كل متوسط ​​بنسبة 2:1، أي أن المسافة بين الرأس ومركز الثقل هي ضعف المسافة بين مركز الثقل ونقطة منتصف الضلع المقابل. إذا عكس المرء متوسطًا في منصف الزاوية التي تمر عبر نفس الرأس، فإنه يحصل على متوسط . تتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة واحدة، وهي نقطة منتصف المثلث. ^[31]

مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث في الفضاء الإقليدي يساوي دائمًا 180 درجة. ^[32] هذه الحقيقة تعادل فرضية التوازي لإقليدس . وهذا يسمح بتحديد قياس الزاوية الثالثة لأي مثلث، معطى قياس زاويتين. ^[33] الزاوية الخارجية للمثلث هي زاوية تكون زوجًا خطيًا (وبالتالي مكملة ) لزاوية داخلية. قياس الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع قياس الزاويتين الداخليتين غير المتجاورتين لها؛ هذه هي نظرية الزاوية الخارجية . ^[34] مجموع قياسات الزوايا الخارجية الثلاث (واحدة لكل رأس) لأي مثلث يساوي 360 درجة، وهذا صحيح بالفعل لأي مضلع محدب، بغض النظر عن عدد أضلاعه. ^[35]

تخلق علاقة أخرى بين الزوايا الداخلية والمثلثات مفهومًا جديدًا للدوال المثلثية . الدوال المثلثية الأساسية هي الجيب وجيب التمام ، بالإضافة إلى الدوال الأخرى. يمكن تعريفها على أنها النسبة بين أي ضلعين في مثلث قائم الزاوية . ^[36] في مثلث غير متماثل الزوايا، يمكن استخدام الدوال المثلثية لإيجاد القياس غير المعروف لضلع أو زاوية داخلية؛ تستخدم الطرق المستخدمة للقيام بذلك قانون الجيب وقانون جيب التمام . ^[37]

يمكن لأي ثلاث زوايا مجموعها يساوي 180 درجة أن تكون زوايا داخلية للمثلث. يوجد عدد لا نهائي من المثلثات لها نفس الزوايا، لأن تحديد زوايا المثلث لا يحدد حجمه. ( المثلث المتحلل ، الذي تكون رؤوسه متوازية ، له زوايا داخلية 0 درجة و180 درجة؛ ما إذا كان مثل هذا الشكل يعد مثلثًا هو مسألة اتفاقية. ^{[ بحاجة لمصدر ]} ) يمكن أيضًا تحديد الشروط الخاصة بثلاث زوايا ، ، ​​و ، كل منها بين 0 درجة و180 درجة، لتكون زوايا مثلث باستخدام الدوال المثلثية. على سبيل المثال، مثلث بزوايا ، ، ​​و موجود إذا وفقط إذا ^[38]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )= 1.}$$

يقال عن مثلثين أنهما متشابهان ، إذا كان لكل زاوية في أحد المثلثين قياس مماثل للزاوية المقابلة لها في المثلث الآخر. والأضلاع المقابلة في المثلثين المتشابهين لها أطوال متناسبة، وهذه الخاصية كافية أيضًا لإثبات التشابه. ^[39]

بعض النظريات الأساسية حول المثلثات المتشابهة هي:

• إذا وفقط إذا كان زوج من الزوايا الداخلية لمثلثين لهما نفس قياس بعضهما البعض، وكان زوج آخر أيضًا لهما نفس قياس بعضهما البعض، فإن المثلثين متشابهان. ^[40]
• إذا وفقط إذا كان زوج من الأضلاع المتناظرة في مثلثين بنفس النسبة مع زوج آخر من الأضلاع المتناظرة، وكانت زواياهما المحصورة لها نفس القياس، فإن المثلثين متشابهان. ^[41] ( الزاوية المحصورة لأي ضلعين في مضلع هي الزاوية الداخلية بين هذين الضلعين.)
• إذا وفقط إذا كانت ثلاثة أزواج من الأضلاع المتناظرة في مثلثين متناسبة جميعًا بنفس النسبة، فإن المثلثين يكونان متشابهين. ^[ب]

المثلثان المتطابقان لهما نفس الحجم والشكل تمامًا. جميع أزواج المثلثات المتطابقة متشابهة أيضًا، ولكن ليست كل أزواج المثلثات المتشابهة متطابقة. في مثلثين متطابقين، تكون جميع أزواج الزوايا الداخلية المتناظرة متساوية في القياس، وجميع أزواج الأضلاع المتناظرة لها نفس الطول. هذا هو المجموع ست مساويات، ولكن ثلاثًا غالبًا ما تكون كافية لإثبات التطابق. ^[42]

بعض الشروط الضرورية والكافية بشكل فردي لكي يكون زوج المثلثات متطابقًا هي: ^[43]

• مسلمة ساس: ضلعان في مثلث لهما نفس طول ضلعين في المثلث الآخر، والزوايا المحصورة بينهما لها نفس القياس.
• ASA: الزاويتان الداخليتان والضلع المحصور بينهما في مثلث لهما نفس القياس والطول، على التوالي، كما هو الحال في المثلث الآخر. (هذا هو أساس المسح باستخدام التثليث ).
• SSS: كل ضلع في المثلث له نفس طول الضلع المقابل في المثلث الآخر.
• AAS: زاويتان وضلع مقابل (غير متضمن) في مثلث لهما نفس القياس والطول، على التوالي، مثل الزاويتين والضلع المقابل لهما في المثلث الآخر. (يُشار إلى هذا أحيانًا باسم AAcorrS ثم يشمل ASA أعلاه.)

في المستوى الإقليدي، يتم تعريف المساحة بالمقارنة مع مربع طول ضلعه ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ ، ومساحته 1. هناك عدة طرق لحساب مساحة مثلث عشوائي. إحدى أقدم الطرق وأبسطها هي أخذ نصف حاصل ضرب طول أحد الأضلاع ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ (القاعدة) في الارتفاع المقابل ⁠ ⁠${\displaystyle h}$ : ^[44] $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh.}$$

يمكن إثبات هذه الصيغة عن طريق تقطيع المثلث ونسخة مطابقة له إلى قطع وإعادة ترتيب القطع على شكل مستطيل بقاعدة وارتفاع ${\displaystyle b}$.${\displaystyle h}$

إذا كان طول${\displaystyle أ}$ ضلعين وزاويتهما المحصورة معروفين ، فيمكن حساب الارتفاع باستخدام علم المثلثات، وبالتالي تكون مساحة المثلث: ${\displaystyle b}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle h=a\sin(\gamma )}$$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$$

صيغة هيرون ، التي سميت على اسم هيرون الإسكندري ، هي صيغة لإيجاد مساحة المثلث من أطوال أضلاعه ،، . لنفرض أن نصف المحيط ، ^[45]${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(أ+ب+ج)}$ $${\displaystyle T={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}.}$$

نظرًا لأن النسب بين مساحات الأشكال في نفس المستوى محفوظة بواسطة التحويلات التآلفية ، يمكن تعريف المساحات النسبية للمثلثات في أي مستوى تآلفي دون الرجوع إلى مفهوم المسافة أو المربعات. في أي فضاء تآلفي (بما في ذلك المستويات الإقليدية)، يكون لكل مثلث له نفس القاعدة والمساحة الموجهة رأسه (الرأس الثالث) على خط موازٍ للقاعدة، ومساحتهما المشتركة هي نصف مساحة متوازي الأضلاع بنفس القاعدة التي يقع ضلعها المقابل على الخط الموازي. تم تطوير هذا النهج التآلفي في الكتاب الأول من عناصر إقليدس . ^[46]

بالنظر إلى الإحداثيات الأفينية (مثل الإحداثيات الديكارتية ) ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$ لرؤوس المثلث، يمكن حساب مساحته الموجهة نسبيًا باستخدام صيغة رباط الحذاء ،

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_ {C}\\1&1&1\end{vmatrix}}={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}\\y_{A}&y_{B}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\ تبدأ {vmatrix} x_ {B} &x_ {C}\\y_ {B}&y_ {C}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{C}&x_{A}\\y_{C}&y_{A}\end{vmatrix}}\\&={\tfrac {1}{2} }(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}+x_{C}y_{A}-x_{A }y_{C})،\نهاية{محاذاة}}}$$

أين هو محدد المصفوفة . ^[47]${\displaystyle |\cdot |}$

تنص متباينة المثلث على أن مجموع أطوال أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من أو يساوي طول الضلع الثالث. ^[48] وعلى العكس من ذلك، يوجد مثلث بثلاثة أطوال أضلاع موجبة معينة إذا وفقط إذا كانت أطوال تلك الأضلاع تلبي متباينة المثلث. ^[49] يمكن لمجموع طولي ضلعين أن يساوي طول الضلع الثالث فقط في حالة المثلث المتحلل ، وهو المثلث الذي له رؤوس متوازية.

على عكس المستطيل، الذي قد ينهار إلى متوازي أضلاع من الضغط على إحدى نقاطه، ^[50] فإن المثلثات متينة لأن تحديد أطوال الأضلاع الثلاثة يحدد الزوايا. ^[51] لذلك، لن يتغير شكل المثلث ما لم تنثني أضلاعه أو تمتد أو تنكسر أو تنكسر مفاصله؛ في الأساس، يدعم كل من الأضلاع الثلاثة الضلعين الآخرين. على النقيض من ذلك، يعتمد المستطيل بشكل أكبر على قوة مفاصله من الناحية البنيوية.

المثلثات قوية من حيث الصلابة، ولكن بينما يتم تجميعها في ترتيب فسيفسائي ، فإن المثلثات ليست قوية مثل السداسيات تحت الضغط (ومن هنا انتشار الأشكال السداسية في الطبيعة ). ومع ذلك، لا تزال المثلثات الفسيفسائية تحتفظ بقوة فائقة للتعليق ، وهذا هو السبب في أن الهندسة تستخدم الجمالونات رباعية السطوح . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

تعني عملية التثليث تقسيم أي جسم مستوٍ إلى مجموعة من المثلثات. على سبيل المثال، في عملية التثليث المضلعي ، يتم تقسيم المضلع إلى مثلثات متعددة متصلة من الحافة إلى الحافة، مع الخاصية التي تجعل رؤوسها تتطابق مع مجموعة رؤوس المضلع. ^[52] في حالة المضلع البسيط ذي الأضلاع، توجد مثلثات مفصولة بأقطار. عملية التثليث للمضلع البسيط لها علاقة بالأذن ، وهي رأس متصل برأسين آخرين، يقع القطر بينهما بالكامل داخل المضلع. تنص نظرية الأذنين على أن كل مضلع بسيط ليس مثلثًا بحد ذاته له أذنان على الأقل. ^[53]${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n-3}$

إحدى الطرق لتحديد مواقع النقاط داخل (أو خارج) المثلث هي وضع المثلث في موقع واتجاه عشوائيين في المستوى الديكارتي ، واستخدام إحداثيات ديكارتية. وعلى الرغم من أن هذا النهج مناسب للعديد من الأغراض، إلا أنه يعاني من عيب يتمثل في اعتماد قيم إحداثيات جميع النقاط على الموضع العشوائي في المستوى. ^[54]

يتجنب نظامان هذه الميزة، بحيث لا تتأثر إحداثيات نقطة ما بتحريك المثلث، أو تدويره، أو عكسه كما في المرآة، حيث يؤدي أي من ذلك إلى الحصول على مثلث متطابق، أو حتى إعادة قياسه إلى مثلث مشابه: ^[55]

• تحدد الإحداثيات الثلاثية الخطوط المسافات النسبية لنقطة من الجانبين، بحيث تشير الإحداثيات إلى أن نسبة مسافة النقطة من الضلع الأول إلى بعدها عن الضلع الثاني هي ، وهكذا.${\displaystyle x:y:z}$${\displaystyle x:y}$
• تحدد إحداثيات مركز الثقل للنموذج موقع النقطة من خلال الأوزان النسبية التي يجب وضعها على الرؤوس الثلاثة من أجل موازنة المثلث عديم الوزن عند النقطة المحددة.${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

كما تمت مناقشته أعلاه، فإن كل مثلث له دائرة محاطة فريدة (دائرة داخلية) تكون داخلية للمثلث ومماسة لجميع الأضلاع الثلاثة. يحتوي كل مثلث على قطع ناقص شتاينر فريد يكون داخليًا للمثلث ومماسًا عند نقاط منتصف الأضلاع. توضح نظرية ماردن كيفية إيجاد بؤر هذا القطع الناقص . ^[56] يتمتع هذا القطع الناقص بأكبر مساحة من أي قطع ناقص مماس لجميع أضلاع المثلث الثلاثة. القطع الناقص لماندارت للمثلث هو القطع الناقص المحاط داخل المثلث مماسًا لأضلاعه عند نقاط اتصال دوائره الخارجية. لأي قطع ناقص محاط في مثلث ، دع البؤر تكون و ، ثم: ^[57]${\displaystyle أ ب ج}$${\displaystyle P}$${\displaystyle س}$ $${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\ overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\ overline {QC}}} {{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

من نقطة داخلية في مثلث مرجعي، تكون أقرب النقاط على الأضلاع الثلاثة بمثابة رؤوس مثلث الدواسة لتلك النقطة. إذا كانت النقطة الداخلية هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث المرجعي، فإن رؤوس مثلث الدواسة هي نقاط المنتصف لأضلاع مثلث المرجع، وبالتالي يُطلق على مثلث الدواسة اسم مثلث المنتصف أو المثلث الإنسي. يقسم مثلث المنتصف مثلث المرجع إلى أربعة مثلثات متطابقة تشبه مثلث المرجع. ^[58]

المثلث الداخلي لمثلث مرجعي له رؤوسه عند النقاط الثلاث مماس لجوانب المثلث المرجعي مع دائرته الداخلية. ^[59] المثلث الخارجي لمثلث مرجعي له رؤوسه عند نقاط مماس لدوائر المثلث المرجعي الخارجية مع أضلاعه (غير ممتدة). ^[60]

يحتوي كل مثلث حاد الزاوية على ثلاثة مربعات محاطة (مربعات في داخله بحيث تقع رؤوس المربع الأربعة على أحد أضلاع المثلث، لذا يقع اثنان منها على نفس الضلع وبالتالي يتطابق أحد أضلاع المربع مع جزء من ضلع المثلث). في المثلث القائم الزاوية يتطابق مربعان ويكون لهما رأس عند الزاوية القائمة للمثلث، لذا يحتوي المثلث القائم الزاوية على مربعين محاطين متميزين فقط . يحتوي المثلث المنفرج الزاوية على مربع محاط واحد فقط، حيث يتطابق أحد أضلاعه مع جزء من أطول ضلع في المثلث. داخل مثلث معين، يرتبط الضلع المشترك الأطول بمربع محاط أصغر. إذا كان للمربع المحيط ضلع طوله 1.5 وكان للمثلث ضلع طوله 1.5.5 . ويتطابق جزء من هذا الضلع مع ضلع المربع، فإن 1.5.5. من الضلع 1.5.5 . ومساحة المثلث متناسبة وفقًا لـ ^[61] أكبر نسبة ممكنة لمساحة المربع المحيط إلى مساحة المثلث هي 1/2، والتي تحدث عندما 1.5.5 . ويكون ارتفاع المثلث عن قاعدة الطول مساويًا لـ 1.5 . وأصغر نسبة ممكنة لضلع مربع محيط إلى ضلع آخر في نفس المثلث غير المنفرج الزاوية هي 1.5.5 . ^[62] تحدث كلتا الحالتين المتطرفتين للمثلث القائم متساوي الساقين. ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle q_{a}}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle q_{a}}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle h_{a}}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$$${\displaystyle a^{2}=2T}$${\displaystyle q=a/2}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle 2\sqrt {2}}/3}$

سداسي ليموين هو سداسي دائري برؤوس تُعطى بواسطة تقاطعات أضلاع المثلث الستة مع الخطوط الثلاثة الموازية للأضلاع والتي تمر عبر نقطة الوسط . سواء في شكله البسيط أو شكله المتقاطع ذاتيًا ، يكون سداسي ليموين داخليًا للمثلث برأسين على كل جانب من المثلث. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يمكن رسم كل مضلع محدب بمساحة لا تزيد عن . ولا تتحقق المساواة إلا إذا كان المضلع متوازي أضلاع . ^[63]${\displaystyle T}$${\displaystyle 2T}$

المثلث المماس للمثلث المرجعي (بخلاف المثلث القائم) هو المثلث الذي تكون أضلاعه على الخطوط المماسّة لدائرة المثلث المرجعي عند رؤوسه. ^[64]

كما ذكرنا سابقًا، لكل مثلث دائرة محيطة فريدة، وهي دائرة تمر عبر الرؤوس الثلاثة، ومركزها هو تقاطع المنصفات العمودية لأضلاع المثلث. علاوة على ذلك، لكل مثلث دائرة محيطية فريدة من نوعها وفقًا لـ Steiner ، والتي تمر عبر رؤوس المثلث ومركزها هو مركز ثقل المثلث. من بين جميع القطع الناقص التي تمر عبر رؤوس المثلث، فإن لها أصغر مساحة. ^[65]

القطع الزائد لكيبرت هو شكل مخروطي فريد يمر عبر الرؤوس الثلاثة للمثلث ومركزه ومركز محيطه. ^[66]

من بين جميع المثلثات الموجودة في مضلع محدب معين ، يمكن العثور على مثلث واحد بمساحة قصوى في زمن خطي؛ ويمكن اختيار رؤوسه كثلاثة من رؤوس المضلع المعطى. ^[67]

المثلث الدائري هو مثلث ذو حواف دائرية مقوسة . قد تكون حواف المثلث الدائري محدبة (منحنية للخارج) أو مقعرة (منحنية للداخل). ^[ج] يشكل تقاطع ثلاثة أقراص مثلثًا دائريًا تكون جميع أضلاعه محدبة. ومن الأمثلة على المثلث الدائري ذو الحواف المحدبة مثلث رولو ، والذي يمكن صنعه عن طريق تقاطع ثلاث دوائر متساوية الحجم. يمكن إجراء البناء باستخدام الفرجار وحده دون الحاجة إلى مسطرة، وفقًا لنظرية مور-ماسكيروني . بدلاً من ذلك، يمكن بناؤه عن طريق تقريب أضلاع مثلث متساوي الأضلاع. ^[68]

يمكن رؤية حالة خاصة من المثلث الدائري المقعر في المثلث الزائف . ^[69] المثلث الزائف هو مجموعة فرعية متصلة بشكل بسيط من المستوى تقع بين ثلاث مناطق محدبة مماسة متبادلة. هذه الأضلاع عبارة عن ثلاثة خطوط منحنية ناعمة تربط بين نقاط النهاية الخاصة بها والتي تسمى نقاط الذروة . يمكن تقسيم أي مثلث زائف إلى العديد من المثلثات الزائفة بحدود أقراص محدبة وخطوط ثنائية الظل ، وهي عملية تُعرف باسم التثليث الزائف. بالنسبة للأقراص في المثلث الزائف، يعطي التقسيم مثلثات زائفة وخطوط ثنائية الظل. ^[70] الغلاف المحدب لأي مثلث زائف هو مثلث. ^[71]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n-2}$${\displaystyle 3n-3}$

المثلث غير المستوي هو مثلث غير مدرج في الفضاء الإقليدي ، أو بالأحرى فضاء مسطح. وهذا يعني أنه يمكن أيضًا اكتشاف المثلثات في عدة فضاءات، كما هو الحال في الفضاء الزائدي والهندسة الكروية . يُطلق على المثلث في الفضاء الزائدي اسم المثلث الزائدي ، ويمكن الحصول عليه بالرسم على سطح منحني سلبيًا، مثل سطح السرج . وبالمثل، يُطلق على المثلث في الهندسة الكروية اسم المثلث الكروي ، ويمكن الحصول عليه بالرسم على سطح منحني إيجابيًا مثل الكرة . ^[72]

المثلثات في كلا الفضاءين لها خصائص مختلفة عن المثلثات في الفضاء الإقليدي. على سبيل المثال، كما ذكر أعلاه، فإن الزوايا الداخلية للمثلث في الفضاء الإقليدي يساوي دائمًا 180 درجة. ومع ذلك، فإن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث الزائدي أقل من 180 درجة، وبالنسبة لأي مثلث كروي، يكون المجموع أكبر من 180 درجة. ^[72] على وجه الخصوص، من الممكن رسم مثلث على كرة بحيث يكون قياس كل من زواياه الداخلية يساوي 90 درجة، ويصل المجموع إلى 270 درجة. وفقًا لنظرية جيرارد ، فإن مجموع زوايا المثلث على كرة يساوي ، حيث هو جزء مساحة الكرة المحاطة بالمثلث. ^{[73] [74]}${\displaystyle 180^{\circ }\times (1+4f)}$${\displaystyle f}$

في المساحات الأكثر عمومية، توجد نظريات مقارنة تربط بين خصائص المثلث في المساحة وخصائص المثلث المقابل في مساحة نموذجية مثل الفضاء الزائدي أو الإهليلجي. ^[75] على سبيل المثال، تتميز مساحة CAT(k) بمثل هذه المقارنات. ^[76]

تتضمن الأشكال الكسورية المستندة إلى المثلثات حشية سيربينسكي وندفة الثلج كوش . ^[77]

• إيفانوف، أ. ب. (2001) [1994]. "المثلث". موسوعة الرياضيات . EMS Press .
• كلارك كيمبرلينج: موسوعة مراكز المثلثات. تحتوي على حوالي 5200 نقطة مثيرة للاهتمام مرتبطة بأي مثلث.