نقطة السرج

في الرياضيات ، تُعرف نقطة السرج أو نقطة المينيماكس ^{[ 1 ]} بأنها نقطة على سطح منحنى دالة حيث تكون ميول (مشتقات) المنحنى في الاتجاهات المتعامدة جميعها صفرًا ( نقطة حرجة )، ولكنها ليست قيمة قصوى محلية للدالة. ^{[ 2 ]} مثال على نقطة السرج هو وجود نقطة حرجة ذات قيمة صغرى نسبية على طول أحد المحاور (بين قمتين) وقيمة عظمى نسبية على طول المحور المتقاطع. مع ذلك، لا يشترط أن تكون نقطة السرج بهذا الشكل. على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$توجد نقطة حرجة في${\displaystyle (0,0)}$هذه نقطة سرجية لأنها ليست قيمة عظمى نسبية ولا قيمة صغرى نسبية، ولكنها لا تحتوي على قيمة عظمى نسبية أو قيمة صغرى نسبية في${\displaystyle y}$-اتجاه.

يُستمد الاسم من حقيقة أن المثال النموذجي في بُعدين هو سطح ينحني لأعلى في اتجاه، وينحني لأسفل في اتجاه آخر، مُشابهًا لسرج ركوب الخيل . من حيث خطوط الكنتور ، تُنتج نقطة السرج في بُعدين خريطة كنتورية، من حيث المبدأ، يتقاطع فيها زوج من الخطوط عند هذه النقطة. تُعدّ هذه التقاطعات نادرة في خرائط الكنتور المرسومة بخطوط كنتورية منفصلة، ​​مثل خرائط المسح الجيولوجي، لأن ارتفاع نقطة السرج من غير المرجح أن يتطابق مع المضاعفات الصحيحة المستخدمة في هذه الخرائط. بدلًا من ذلك، تظهر نقطة السرج كمساحة فارغة في منتصف أربع مجموعات من خطوط الكنتور التي تقترب منها وتبتعد عنها. بالنسبة لنقطة سرج أساسية، تظهر هذه المجموعات في أزواج، مع زوج مرتفع مقابل وزوج منخفض مقابل، موضوعين في اتجاهين متعامدين. لا يشترط عادةً أن تتقاطع خطوط الكنتور الأساسية بشكل متعامد.

تتمثل إحدى المعايير البسيطة للتحقق مما إذا كانت نقطة ثابتة معينة لدالة حقيقية F ( x , y ) لمتغيرين حقيقيين هي نقطة سرجية في حساب مصفوفة هيسيان للدالة عند تلك النقطة: إذا كانت مصفوفة هيسيان غير محددة ، فإن تلك النقطة هي نقطة سرجية. على سبيل المثال، مصفوفة هيسيان للدالة${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$عند النقطة الثابتة${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$هي المصفوفة

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}}$

وهو غير محدد. لذلك، هذه النقطة هي نقطة سرجية. هذا المعيار يعطي شرطًا كافيًا فقط. على سبيل المثال، النقطة${\displaystyle (0,0,0)}$تمثل نقطة سرجية للدالة${\displaystyle z=x^{4}-y^{4},}$لكن مصفوفة هيسيان لهذه الدالة عند نقطة الأصل هي المصفوفة الصفرية ، وهي ليست غير محددة.

بأبسط العبارات، فإن نقطة السرج لدالة سلسة (التي يكون رسمها البياني منحنى أو سطحًا أو سطحًا فائقًا ) هي نقطة ثابتة بحيث لا يكون المنحنى/السطح/إلخ في جوار تلك النقطة بالكامل على أي جانب من الفضاء المماسي عند تلك النقطة.

في مجال أحادي البعد، تُعرف نقطة السرج بأنها نقطة ثابتة ونقطة انعطاف في آن واحد . ولأنها نقطة انعطاف، فهي ليست قيمة قصوى محلية .

السطح السرجي هو سطح أملس يحتوي على نقطة سرجية واحدة أو أكثر.

من الأمثلة الكلاسيكية على أسطح السرج ثنائية الأبعاد في الفضاء الإقليدي أسطح الرتبة الثانية، والقطع المكافئ الزائدي${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$(والتي يُشار إليها غالبًا باسم " سطح السرج " أو "سطح السرج القياسي") والقطع الزائد ذو الورقة الواحدة . تُعد رقائق البطاطس برينجلز مثالًا شائعًا على شكل القطع المكافئ الزائدي.

تتميز الأسطح السرجية بانحناء غاوسي سالب ، مما يميزها عن الأسطح المحدبة/البيضاوية ذات الانحناء الغاوسي الموجب. ومن الأمثلة الكلاسيكية على الأسطح السرجية من الدرجة الثالثة سطح سرجي يُعرف باسم " سرج القرد" . ^{[ 3 ]}

في لعبة مجموعها صفر بين لاعبين معرفة على فضاء متصل، تكون نقطة التوازن نقطة سرجية.

بالنسبة لنظام خطي مستقل من الدرجة الثانية، تكون النقطة الحرجة نقطة سرجية إذا كانت المعادلة المميزة تحتوي على قيمة ذاتية حقيقية موجبة وقيمة ذاتية حقيقية سالبة . ^{[ 4 ]}

في عملية التحسين الخاضعة لقيود المساواة، تصف شروط الدرجة الأولى نقطة سرجية للدالة اللاغرانجية .

في الأنظمة الديناميكية ، إذا كانت الديناميكية معطاة بدالة قابلة للتفاضل f، فإن النقطة تكون زائدية إذا وفقط إذا لم يكن لتفاضل ƒ ⁿ (حيث n هي دورة النقطة) أي قيمة ذاتية على دائرة الوحدة (المركبة) عند حسابه عند تلك النقطة. عندئذٍ، تكون النقطة السرجية نقطة دورية زائدية يكون لمتشعباتها المستقرة وغير المستقرة بُعد غير صفري.

نقطة السرج في المصفوفة هي عنصر يكون أكبر عنصر في عموده وأصغر عنصر في صفه.

• طريقة نقطة السرج هي امتداد لطريقة لابلاس لتقريب التكاملات.
• الحد الأقصى والحد الأدنى
• اختبار المشتقة
• نقطة التوازن الزائدي
• الهندسة الزائدية
• نظرية مينيمكس
• متباينة الحد الأقصى والأدنى
• نظرية ممر الجبل

• هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952). الهندسة والخيال (  الطبعة الثانية). تشيلسي. ISBN 0-8284-1087-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

• الوسائط المتعلقة بنقطة السرج على ويكيميديا ​​كومنز