الهندسة التفاضلية للأسطح

في الرياضيات ، تتناول الهندسة التفاضلية للأسطح الهندسة التفاضلية للأسطح الملساء ^[^أ^] مع هياكل إضافية متنوعة، وغالبًا ما تكون مقياسًا ريمانيًا . ^[^ب^]

خضعت الأسطح لدراسات مستفيضة من زوايا نظر متعددة: خارجية ، تتعلق بتضمينها في الفضاء الإقليدي، وداخلية ، تعكس خصائصها المحددة فقط بالمسافة داخل السطح كما تُقاس على طول المنحنيات الموجودة عليه. ومن المفاهيم الأساسية التي دُرست انحناءة غاوس ، التي درسها كارل فريدريش غاوس لأول مرة بتعمق ^{[ 1 ]} ، حيث بيّن أن الانحناءة خاصية جوهرية للسطح، مستقلة عن تضمينه المتساوي القياس في الفضاء الإقليدي.

تنشأ الأسطح بشكل طبيعي كرسوم بيانية لدوال زوج من المتغيرات ، وتظهر أحيانًا في شكل وسيطي أو كمواضع مرتبطة بمنحنيات الفضاء . وقد لعبت زمر لي دورًا هامًا في دراستها (على غرار برنامج إرلانجن )، وتحديدًا زمر التناظر للمستوى الإقليدي ، والكرة ، والمستوى الزائدي . يمكن استخدام زمر لي هذه لوصف الأسطح ذات الانحناء الغاوسي الثابت؛ كما أنها تُشكل عنصرًا أساسيًا في المنهج الحديث للهندسة التفاضلية الجوهرية من خلال الاتصالات . من ناحية أخرى، دُرست الخصائص الخارجية التي تعتمد على تضمين سطح في الفضاء الإقليدي على نطاق واسع. ويتضح هذا جيدًا من خلال معادلات أويلر-لاغرانج غير الخطية في حساب التفاضل والتكامل : على الرغم من أن أويلر طور معادلات المتغير الواحد لفهم الجيوديسيات ، المعرفة بشكل مستقل عن التضمين، إلا أن أحد التطبيقات الرئيسية للاغرانج لمعادلات المتغيرين كان للأسطح الدنيا ، وهو مفهوم لا يمكن تعريفه إلا من حيث التضمين.

تاريخ

قام أرخميدس بحساب أحجام بعض الأسطح التربيعية الدورانية . [ ²^]^وقد وفر تطور علم التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر طريقة أكثر منهجية لحسابها. ^[³^] درس أويلر انحناء الأسطح العامة لأول مرة . ففي عام 1760 ^[⁴^] أثبت صيغة لانحناء مقطع مستوٍ من سطح ما، وفي عام 1771 ^[⁵^] تناول الأسطح الممثلة بصيغة بارامترية. وضع مونج أسس نظريتهم في كتابه الكلاسيكي "تطبيق التحليل على الهندسة" ^[⁶^] الذي نُشر عام 1795. وقدّم غاوس إسهامًا جوهريًا في نظرية الأسطح من خلال ورقتين بحثيتين بارزتين كتبهما عامي 1825 و1827. ^[¹^] شكّل هذا تحولًا جذريًا عن المألوف، إذ تناول غاوس لأول مرة الهندسة الجوهرية للسطح، أي الخصائص التي تُحدد فقط بالمسافات الجيوديسية بين النقاط على السطح، بغض النظر عن موقع السطح في الفضاء الإقليدي المحيط. وكانت النتيجة الحاسمة، وهي نظرية غاوس الشاملة، التي أثبتت أن انحناء غاوس ثابت جوهري، أي ثابت تحت التناظرات المحلية. وقد وسّع ريمان هذا المنظور ليشمل الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى، مما أدى إلى ما يُعرف اليوم بالهندسة الريمانية . كان القرن التاسع عشر العصر الذهبي لنظرية الأسطح، من وجهة النظر الطوبولوجية والهندسية التفاضلية على حد سواء، حيث كرس معظم علماء الهندسة البارزين أنفسهم لدراستها. جمع داربو العديد من النتائج في أطروحته المكونة من أربعة مجلدات بعنوان "نظرية الأسطح " (1887-1896).

ملخص

إنّ الكائن الرياضي الأساسي هو السطح المنتظم . ورغم اختلاف الاصطلاحات في تعريفه الدقيق، إلا أنه يشكّل فئة عامة من المجموعات الجزئية للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ( $ℝ³)$ ، والتي تُجسّد جزءًا من المفهوم المألوف لـ"السطح". ومن خلال تحليل فئة المنحنيات التي تقع على هذا السطح، ومدى إجبار الأسطح لها على الانحناء في $ℝ³ ،$ يُمكن ربط كل نقطة من نقاط السطح برقمين، يُطلق عليهما الانحناءان الرئيسيان . ويُسمى متوسطهما متوسط انحناء السطح، ويُسمى حاصل ضربهما انحناء غاوس .

هناك العديد من الأمثلة الكلاسيكية للأسطح المنتظمة، بما في ذلك:

أمثلة مألوفة مثل المستويات والأسطوانات والكرات
تُعرَّف الأسطح الدنيا بأنها الأسطح التي يكون متوسط انحنائها صفرًا عند كل نقطة. ومن أشهر الأمثلة عليها الأسطح القطعية واللولبية ، على الرغم من اكتشاف العديد من الأسطح الأخرى. كما يمكن تعريف الأسطح الدنيا بخصائص تتعلق بمساحة السطح ، مما يجعلها نموذجًا رياضيًا لشكل أغشية الصابون عند شدها على إطار سلكي.
الأسطح المسطرة ، وهي أسطح تحتوي على خط مستقيم واحد على الأقل يمر عبر كل نقطة؛ ومن الأمثلة على ذلك الأسطوانة والقطع الزائد المكون من ورقة واحدة.

أظهرت نتيجةٌ مُفاجئةٌ لكارل فريدريش غاوس ، تُعرف باسم نظرية إغريغيوم ، أن انحناء غاوس لسطحٍ ما، والذي يُعرَّف بأنه كيفية تغيير المنحنيات على السطح لاتجاهاتها في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يُمكن قياسه فعليًا بأطوال المنحنيات الواقعة على السطح بالإضافة إلى الزوايا التي تتشكل عند تقاطع منحنيين على السطح. وبعبارةٍ أخرى، يُمكن حساب انحناء غاوس من الشكل الأساسي الأول (المعروف أيضًا باسم موتر القياس ) للسطح. أما الشكل الأساسي الثاني ، فهو يُمثل كيفية تشوه أطوال وزوايا المنحنيات على السطح عند دفعها بعيدًا عنه.

على الرغم من قياسهما لجوانب مختلفة من الطول والزاوية، فإن الشكلين الأساسيين الأول والثاني ليسا مستقلين عن بعضهما البعض، ويخضعان لقيود معينة تُعرف بمعادلات غاوس-كوداتزي . وتنص نظرية رئيسية، تُعرف غالبًا باسم النظرية الأساسية للهندسة التفاضلية للأسطح، على أنه كلما حقق جسمان قيود غاوس-كوداتزي، فإنهما سيظهران كشكلين أساسيين أول وثاني لسطح منتظم.

باستخدام الصيغة الأساسية الأولى، يُمكن تعريف أشكال جديدة على سطح منتظم. تُعرف الخطوط الجيوديسية بأنها منحنيات على السطح تُحقق معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية ، مُحددة بالصيغة الأساسية الأولى. وترتبط هذه الخطوط ارتباطًا وثيقًا بدراسة أطوال المنحنيات؛ فالخط الجيوديسي ذو الطول القصير بما فيه الكفاية هو دائمًا أقصر منحنى على السطح الذي يربط بين نقطتيه. لذا، تُعد الخطوط الجيوديسية أساسية في مسألة التحسين المتمثلة في تحديد أقصر مسار بين نقطتين مُعطيتين على سطح منتظم.

يمكن أيضًا تعريف النقل المتوازي على طول أي منحنى معين، مما يوفر وصفة لكيفية تحويل متجه المماس للسطح عند نقطة واحدة من المنحنى إلى متجهات مماسية عند جميع النقاط الأخرى. وتُحدد هذه الوصفة بواسطة معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى ، والتي تُحدد بدورها بالصيغة الأساسية الأولى.

تتعلق المفاهيم المذكورة أعلاه بشكل أساسي بحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات . أما نظرية غاوس-بونيه فهي نتيجة أشمل، تربط انحناء غاوس لسطح ما بنوعه الطوبولوجي. وتؤكد هذه النظرية أن القيمة المتوسطة لانحناء غاوس تتحدد كليًا بخاصية أويلر للسطح ومساحته.

أي سطح منتظم هو مثال على كل من مشعب ريماني وسطح ريماني . وبشكل أساسي، فإن جميع نظريات الأسطح المنتظمة التي نوقشت هنا لها تعميم في نظرية المشعبات الريمانية ومشعباتها الفرعية.

الأسطح المنتظمة في الفضاء الإقليدي

تعريف

من البديهي أن الكرة سطح أملس، بينما المخروط أو الهرم ليسا كذلك، نظرًا لرؤوسهما أو حوافهما. يُعد مفهوم "السطح المنتظم" صياغةً رسميةً لمفهوم السطح الأملس. يعتمد هذا التعريف على التمثيل المحلي للسطح عبر دوال بين الفضاءات الإقليدية . يوجد مفهوم معياري للأملسة لهذه الدوال؛ فالدالة بين مجموعتين جزئيتين مفتوحتين من الفضاء الإقليدي تكون ملساء إذا كانت مشتقاتها الجزئية من كل رتبة موجودة عند كل نقطة من نقاط المجال. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

السطح المنتظم في الفضاء الإقليدي $ℝ³$ هو مجموعة جزئية $S$ من $ℝ³$ بحيث تقبل كل نقطة من $S$ $أحد$ المفاهيم الثلاثة التالية: المعاملات المحلية ، أو $رقع$ مونج $،$ أو الدوال الضمنية . يوضح الجدول التالي تعريفات هذه الكائنات؛ ولعل رقع مونج هي الأكثر وضوحًا من الناحية البصرية، إذ تشير أساسًا إلى أن السطح المنتظم هو مجموعة جزئية من $ℝ³$ تمثل محليًا رسمًا بيانيًا لدالة ملساء (سواء على منطقة في المستوى $yz$ أو المستوى $xz$ أو المستوى $xy$ ).

أشياء	تعريف
المعلمات المحلية	جوار مفتوح $U \subset S$ بحيث توجد مجموعة جزئية $مفتوحة$ $V$ من $ℝ²$ وتماثل شكلي $f : V \to U$ بحيث $الدالة f$ ، كدالة $V \to ℝ 3$ ، قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية (أي سلسة). لكل نقطة من $V$ ، يكون المشتقان الجزئيان $\partial u f$ و $\partial v f$ مستقلين خطيًا كعناصر من $ℝ 3$ . ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}
رقع مونج	جوار مفتوح $U \subset ℝ 3$ توجد فيه مجموعة جزئية مفتوحة $V$ من $ℝ 2$ ودالة سلسة $h : V \to ℝ$ بحيث يتحقق أحد الشروط التالية: $S \cap U = {(h (u, v), u, v) : (u, v) \in V$ } $S \cap U = {(u, h (u, v), v) : (u, v) \in V$ } $S \cap U = {(u, v, h (u, v)) : (u, v) \in V$ }.
الدوال الضمنية	جوار مفتوح $U \subset ℝ 3$ توجد له دالة سلسة $F : U \to ℝ$ مع: $S \cap U = {(x, y, z) \in U : F (x, y, z) = 0$ } عند كل نقطة من $S \cap U$ ، يكون مشتق جزئي واحد على الأقل من $F$ غير صفري.

تُعرف التشاكلات المتماثلة الواردة في التعريف الأول باسم المعاملات المحلية أو أنظمة الإحداثيات المحلية أو ^{المخططات} المحلية على $S.$ ^{[ 14} ] يؤكد تكافؤ التعريفين الأولين أنه حول أي نقطة على سطح منتظم، توجد دائمًا معاملات محلية من الشكل $(u, v) \mapsto (h (u, v), u, v)$ ، أو $(u, v) \mapsto (u, h (u, v), v)$ ، أو $(u, v) \mapsto (u, v, h (u, v))$ ، والمعروفة باسم رقع مونج.تُسمى الدوال $F كما في التعريف الثالث$ بالدوال التعريفية المحلية . وينتج تكافؤ التعريفات الثلاثة جميعها من نظرية الدالة الضمنية . ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

بالنظر إلى أي معلمات محلية $f : V \to U$ و $f' : V'\to U'$ لسطح منتظم، فإن التركيب f $-1 \circ f' يكون$ بالضرورة أملسًا كدالة بين مجموعات جزئية مفتوحة من $ℝ 2.$ ^{[ 18 ]} وهذا يدل على أن أي سطح منتظم له بطبيعته بنية مشعب أملس ، حيث يتم إعطاء أطلس أملس بواسطة معكوسات المعلمات المحلية.

في النظرية الكلاسيكية للهندسة التفاضلية، تُدرس الأسطح عادةً في الحالة المنتظمة فقط. ^{[ 8 ]}^{[ 19 ]} ومع ذلك، من الشائع أيضًا دراسة الأسطح غير المنتظمة، حيث قد لا يكون المشتقان الجزئيان $\partialu / f$ و∂ $v /f للمعاملات$ المحلية مستقلين خطيًا . في هذه الحالة، قد يحتوي $السطح S$ على نقاط شاذة مثل الحواف المدببة . تُدرس هذه الأسطح عادةً في نظرية النقاط الشاذة . تظهر أشكال أخرى أضعف من الأسطح المنتظمة في التصميم بمساعدة الحاسوب ، حيث يُقسّم السطح إلى أجزاء منفصلة، ولا تكون مشتقات المعاملات المحلية متصلة حتى على طول الحدود.

أمثلة بسيطة. مثال بسيط على سطح منتظم هو الكرة ثنائية الأبعاد ${(x, y, z) | x² + y² + z² = 1} ؛ يمكن تغطية هذا السطح بستة رقع مونج (رقعتان$ من كل نوع من الأنواع الثلاثة المذكورة أعلاه)، مع اعتبار $h$ $(u, v) = \pm(1 - u² - v²) ¹ /² .$ كما يمكن تغطيته باستخدام تمثيلين محليين، باستخدام الإسقاط المجسم . المجموعة ${(x, y, z) : ((x² + y²) ¹/² - r) ² + z² = R²}$ هي حلقة دورانية $بنصف$ قطر $r$ و $R.$ وهي سطح منتظم؛ ويمكن إعطاء التمثيلات المحلية على الشكل $التالي$ $:$

f(s,t)={\big (}(R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s{\big )}.

السطح الزائدي على ورقتين ${(x, y, z) : z² = 1 + x² + y²$ } هو سطح منتظم؛ ويمكن تغطيته برقعتين من نوع مونج، حيث $h$ $($ $u, v) =$ $\pm$ $(1 +$ $u²$ $+$ $v²$ $)$ $¹/²$ $.$ $يظهر$ السطح الحلزوني في نظرية الأسطح الدنيا . ويُغطى بتمثيل محلي واحد، $f (u, v) = (u sin v, u cos v, v)$ .

المتجهات المماسية والمتجهات العمودية

ليكن $S$ سطحًا منتظمًا في $ℝ³ ،$ وليكن $p$ عنصرًا من $S. باستخدام أي من التعريفات المذكورة أعلاه$ $،$ يمكن تحديد متجهات معينة في $ℝ³$ باعتبارها مماسة لـ $S$ عند $p$ ، ومتجهات أخرى في $ℝ³$ باعتبارها متعامدة (أو عمودية) على $S$ عند $p$ $.$

الكائنات المستخدمة في التعريف	يكون المتجه $X$ في $ℝ³$ مماسًا للمتجه $S$ عند $النقطة$ $p$ إذا...	يكون المتجه $n$ في $ℝ³$ عموديًا على $S$ عند $النقطة$ $p$ إذا...
المعلمات المحلية	... بالنظر إلى أي تمثيل محلي للمعاملات $f : V \to S$ حيث $p \in f (V)$ ، فإن $X$ عبارة عن توليفة خطية من $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial u}}{\big \|}_{f^{-1}(p)}$ و $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial v}}{\big \|}_{f^{-1}(p)}$	... وهو متعامد مع كل متجه مماس لـ $S$ عند $النقطة p$
رقع مونج	... لأي رقعة Mong $(u, v) \mapsto (u, v, h (u, v))$ التي يشمل مداها $p$ ، يكون لدينا $X^{1}{\frac {\partial h}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial h}{\partial v}}-X^{3}=0,$ $مع حساب$ المشتقات الجزئية عند النقطة $(p1 ، p2) .$ وينطبق التعريف المماثل في حالة رقع مونج من الشكلين الآخرين.	... لأي رقعة مونج $(u, v$ $)$ $\mapsto ($ $u$ $,$ $v$ $,$ $h$ $($ $u$ $,$ $v$ $))$ $التي$ يشمل مداها النقطة $p$ ، $فإن$ $n$ $هو$ مضاعف لـ $(\partialh / \partialu, \partialh / \partialv,$ $-1$ $) كما تم تقييمه$ $عند$ النقطة $($ $p1$ $,$ $p2$ $)$ $.$ وينطبق التعريف المماثل في حالة رقع مونج من الشكلين $الآخرين$ $.$
الدوال الضمنية	... لأي دالة تعريف محلية $F$ التي يحتوي مجالها على $p$ ، فإن $X$ متعامد مع $\nabla F (p)$	... لأي دالة تعريف محلية $F$ التي يحتوي مجالها على $p$ ، فإن $n$ هو مضاعف لـ $\nabla F (p)$

يرى المرء أن الفضاء المماسي أو المستوى المماسي لـ $S$ عند $p$ ، والذي يُعرَّف بأنه يتكون من جميع المتجهات المماسية لـ $S$ عند $p$ ، هو فضاء فرعي خطي ثنائي الأبعاد من $ℝ 3$ ؛ وغالبًا ما يُشار إليه بـ $T p S.$

الفضاء العمودي على $S$ عند $النقطة p$ ، والذي يُعرَّف بأنه يتكون من جميع المتجهات العمودية على $S$ عند $النقطة$ $p$ ، هو فضاء خطي أحادي البعد من $ℝ³$ متعامد مع الفضاء المماسي $T p S.$ وبالتالي، عند كل نقطة $p$ من $S$ ، يوجد متجهان عموديان بطول وحدة واحدة (متجهات عمودية وحدوية). يمكن التعبير عن المتجهات العمودية الوحدوية عند $p$ بدلالة المعاملات المحلية، أو رقع مونج، أو الدوال التعريفية المحلية، باستخدام الصيغ التالية:

\pm \left.{\frac {{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}}{\left\|{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}\right\|}}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm \left.{\frac {\left({\frac {\partial h}{\partial u}},{\frac {\partial h}{\partial v}},-1\right)}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial h}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial h}{\partial v}}\right)^{2}}}}\right|_{(p_{1},p_{2})},\qquad {\text{or}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}},

باتباع نفس الرموز المستخدمة في التعريفات السابقة.

من المفيد أيضًا ملاحظة تعريف "جوهري" لمتجهات المماس، وهو تعريف نموذجي لتعميم نظرية الأسطح المنتظمة على فضاءات متعددة الشعب الملساء . يُعرّف هذا التعريف فضاء المماس على أنه فضاء متجهي حقيقي ثنائي الأبعاد مجرد ، وليس فضاءً فرعيًا خطيًا من $ℝ³ .$ في هذا التعريف، يُقال إن متجه المماس لـ $S$ عند $النقطة$ $p$ هو تعيين، لكل معلمة محلية $f : V \to S$ حيث $p \in f (V)$ ، لعددين $X₁$ و $X₂ ،$ بحيث أنه لأي معلمة محلية أخرى $f' : V \to S$ حيث $p \in f (V)$ (وبالتالي العددين المناظرين $(X') ₁$ و $(X') ₂$ )، يكون لدينا

{\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}=A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}},

حيث $A f'(p)$ هي مصفوفة جاكوبي للتطبيق $f -1 \circ f'$ ، عند النقطة $f'(p)$ . مجموعة متجهات المماس لـ $S$ عند $p$ لها بطبيعتها بنية فضاء متجهي ثنائي الأبعاد. متجه المماس بهذا المعنى يقابل متجه المماس بالمعنى السابق عند النظر إلى المتجه

X^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}.

في $ℝ 3.$ يضمن شرط جاكوبي على $X 1$ و $X 2$ ، من خلال قاعدة السلسلة ، أن هذا المتجه لا يعتمد على $f$ .

بالنسبة للدوال الملساء على سطح ما، فإن حقول المتجهات (أي حقول المتجهات المماسية) لها تفسير مهم باعتبارها مؤثرات أو مشتقات من الدرجة الأولى. $S$ أن يكون سطحًا منتظمًا، $U$ مجموعة فرعية مفتوحة من المستوى و $f:U\rightarrow S$ مخطط إحداثيات. إذا $V=f(U)$ ، المساحة $C^{\infty }(U)$ يمكن التعرف عليها من خلال $C^{\infty }(V)$ . بصورة مماثلة $f$ يحدد حقول المتجهات على $U$ مع حقول المتجهات قيد التشغيل $V$ بأخذ المتغيرات القياسية $u$ و $v$ ، يكون لحقل المتجهات الشكل التالي : $X=a\partial _{u}+b\partial _{v}$ ، حيث $a$ و $b$ دالتان سلسلتان. إذا $X$ هو حقل متجهي و $g$ إذا كانت دالة سلسة، $Xg$ وهي أيضاً دالة سلسة. المؤثر التفاضلي من الدرجة الأولى $X$ هو اشتقاق ، أي أنه يحقق قاعدة لايبنتز $X(gh)=(Xg)h+g(Xh).$ ^{[ 20 ]}

بالنسبة لحقول المتجهات $X$ و $Y،$ من السهل التحقق من أن المؤثر $[X,Y]=XY-YX$ هو اشتقاقٌ يُقابل حقلًا متجهيًا. ويُسمى قوس لي $[X,Y]$ . إنه متماثل معكوس $[X,Y]=-[Y,X]$ ويحقق هوية جاكوبي :

[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.

باختصار، حقول المتجهات على $U$ أو $V$ قم بتشكيل جبر لي تحت قوس لي. ^{[ 21 ]}

الشكلان الأساسيان الأول والثاني، ومؤثر الشكل، والانحناء

ليكن $S$ سطحًا منتظمًا في $ℝ³ .$ بفرض وجود دالة محلية $f : V \to S$ وحقل متجه عمودي $n$ على $f (V)$ ، تُعرَّف الكائنات التالية كدوال حقيقية أو مصفوفية على $V.$ يعتمد الشكل الأساسي الأول على $f$ فقط ، وليس على $n$ . يسجل العمود الرابع كيفية اعتماد هذه الدوال على $f$ ، وذلك بربط الدوال $E'، F'، G'، L'،$ إلخ، الناتجة عن اختيار مختلف للدالة المحلية $f' : V' \to S$ ، بتلك الناتجة عن $f$ . هنا $، A$ تُمثل مصفوفة جاكوبي لـ $f - 1 \circ f'$ . العلاقة الأساسية في تحديد صيغ العمود الرابع هي

{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f'}{\partial u}}\\{\frac {\partial f'}{\partial v}}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{pmatrix}},

كما هو موضح في قاعدة السلسلة .

مصطلحات	الترميز	تعريف	الاعتماد على المعلمات المحلية
الشكل الأساسي الأول	$هـ$	$E={\frac {\partial f}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial u}}$	${\begin{pmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}A^{T}$
	$F$	$F={\frac {\partial f}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial v}}$
	$جي$	$G={\frac {\partial f}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial v}}$
الشكل الأساسي الثاني	$ل$	$L={\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}\cdot n$	${\begin{pmatrix}L'&M'\\M'&N'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}A^{T}$
	$م$	$M={\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}\cdot n$
	$شمال$	$N={\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}\cdot n$
عامل الشكل ^{[ 22 ]}	$P$	$P={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}$	$P'=APA^{-1}$
انحناء غاوسي	$ك$	$K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}$	$K'=K$
متوسط الانحناء	$ح$	$H={\frac {GL-2FM+EN}{2(EG-F^{2})}}$	$H'=H$
الانحناءات الرئيسية	$\kappa _{\pm }$	$H\pm {\sqrt {H^{2}-K}}$	$\kappa _{\pm }'=\kappa _{\pm }$

من خلال حساب مباشر باستخدام المصفوفة التي تُعرّف مُؤثر الشكل، يُمكن التحقق من أن انحناء غاوس هو مُحدد مُؤثر الشكل، وأن متوسط الانحناء يساوي نصف أثر مُؤثر الشكل، وأن الانحناءات الرئيسية هي القيم الذاتية لمُؤثر الشكل؛ علاوة على ذلك، فإن انحناء غاوس هو حاصل ضرب الانحناءات الرئيسية، ومتوسط الانحناء يساوي مجموعها. يُمكن أيضًا صياغة هذه الملاحظات كتعريفات لهذه الكائنات. تُوضح هذه الملاحظات أيضًا أن الصفوف الثلاثة الأخيرة من العمود الرابع تتبع مباشرةً من الصف السابق، حيث أن المصفوفات المُتشابهة لها نفس المُحدد والأثر والقيم الذاتية. من الضروري ملاحظة أن $E$ و $G$ و $EG - F 2$ جميعها موجبة بالضرورة. هذا يضمن أن معكوس المصفوفة في تعريف مُؤثر الشكل مُعرّف جيدًا، وأن الانحناءات الرئيسية أعداد حقيقية.

لاحظ أيضًا أن نفي اختيار حقل متجه الوحدة العمودي سينفي الشكل الأساسي الثاني، ومؤثر الشكل، ومتوسط الانحناء، والانحناءات الرئيسية، ولكنه سيبقي انحناء غاوس دون تغيير. باختصار، لقد أظهر هذا أنه، بالنظر إلى سطح منتظم $S$ ، يمكن اعتبار انحناء غاوس لـ $S$ دالة حقيقية القيمة على $S$ ؛ وبالنسبة لاختيار حقل متجه الوحدة العمودي على كامل $S$ ، فإن الانحناءين الرئيسيين ومتوسط الانحناء هما أيضًا دوال حقيقية القيمة على $S.$

هندسيًا، يمكن اعتبار الشكلين الأساسيين الأول والثاني بمثابة معلومات حول كيفية تحرك الدالة $f (u, v) في$ $الفضاء$ $ℝ³$ كما تتحرك $(u, v) في الفضاء$ $V.$ وبالتحديد، يُشير الشكل الأساسي الأول إلى سرعة حركة $f$ ، بينما يُشير الشكل الأساسي الثاني إلى مدى اتجاه حركتها في اتجاه المتجه العمودي $n$ . بمعنى آخر، يُشير الشكل الأساسي الثاني عند النقطة $p$ إلى طول الإسقاط العمودي من $S$ إلى المستوى المماس لـ $S$ عند $p$ ؛ وبالتحديد، يُعطي الدالة التربيعية التي تُقارب هذا الطول بأفضل شكل. ويمكن توضيح هذا المفهوم بدقة باستخدام الصيغ التالية:

{\begin{aligned}\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big |}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big |}^{2}-{\big (}Eh^{2}+2Fhk+Gk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0\\\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big (}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big )}\cdot n-{\frac {1}{2}}{\big (}Lh^{2}+2Mhk+Nk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0,\end{aligned}}

كما يتضح مباشرةً من تعريفات الأشكال الأساسية ونظرية تايلور في بُعدين. يمكن النظر إلى الانحناءات الرئيسية على النحو التالي: عند نقطة معينة $p$ على السطح $S$ ، نعتبر مجموعة جميع المستويات التي تحتوي على الخط العمودي على $S.$ لكل مستوى من هذه المستويات منحنى تقاطع مع $S$ ، والذي يمكن اعتباره منحنى مستويًا داخل المستوى نفسه. الانحناءان الرئيسيان عند $p$ هما القيمتان القصوى والدنيا الممكنتان لانحناء هذا المنحنى المستوي عند $p$ ، أثناء دوران المستوى قيد الدراسة حول الخط العمودي.

يلخص ما يلي حساب الكميات المذكورة أعلاه بالنسبة إلى رقعة مونج $f (u, v) = (u, v, h (u, v))$ . هنا ، يرمز $h <sub>u$ </sub> و $h<sub> v</sub>$ إلى المشتقين الجزئيين للدالة $h$ ، مع استخدام ترميز مماثل للمشتقات الجزئية الثانية. يتم حساب الشكل الأساسي الثاني وجميع الكميات اللاحقة بالنسبة إلى اختيار حقل متجه الوحدة العمودي المحدد.

كمية	صيغة
حقل متجه الوحدة العمودي	$n={\frac {(-h_{u},-h_{v},1)}{\sqrt {1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2}}}}$
الشكل الأساسي الأول	${\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+h_{u}^{2}&h_{u}h_{v}\\h_{u}h_{v}&1+h_{v}^{2}\end{pmatrix}}$
الشكل الأساسي الثاني	${\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2}}}}{\begin{pmatrix}h_{uu}&h_{uv}\\h_{uv}&h_{vv}\end{pmatrix}}$
مُشغِّل الشكل	$P={\frac {1}{(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{3/2}}}{\begin{pmatrix}h_{uu}(1+h_{v}^{2})-h_{uv}h_{u}h_{v}&h_{uv}(1+h_{v}^{2})-h_{vv}h_{u}h_{v}\\h_{uv}(1+h_{u}^{2})-h_{uu}h_{u}h_{v}&h_{vv}(1+h_{u}^{2})-h_{uv}h_{u}h_{v}\end{pmatrix}}$
انحناء غاوسي	$K={\frac {h_{uu}h_{vv}-h_{uv}^{2}}{(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{2}}}$
متوسط الانحناء	$H={\frac {(1+h_{v}^{2})h_{uu}-2h_{u}h_{v}h_{uv}+(1+h_{u}^{2})h_{vv}}{2(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{3/2}}}$

رموز كريستوفيل، ومعادلات غاوس-كوداتزي، ونظرية إغريغيوم

ليكن $S$ سطحًا منتظمًا في $ℝ 3.$ تُعيّن رموز كريستوفيل ، لكل معلمة محلية $f : V \to S$ ، ثماني دوال على $V$ ، معرفة بواسطة ^{[ 23 ].}

{\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}&\Gamma _{12}^{1}&\Gamma _{21}^{1}&\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}&\Gamma _{12}^{2}&\Gamma _{21}^{2}&\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{\frac {\partial F}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{pmatrix}}.

ويمكن تعريفها أيضًا بالصيغ التالية، حيث $n$ هو حقل متجه عمودي على طول $f (V)$ و $L و M و N$ هي المكونات المقابلة للشكل الأساسي الثاني:

{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}&=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Ln\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}&=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Mn\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}&=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Nn.\end{aligned}}

$يكمن$ جوهر هذا التعريف في أن $\partialf/$ $\partialu و\partialf/$ $\partialv$ $و$ $n$ $تُشكّل$ $أساسًا$ $للفضاء$ $ℝ³$ $عند$ كل $نقطة$ ، $حيث$ $تُحدّد$ $كل$ معادلة من المعادلات الثلاث رموز كريستوفيل بشكل فريد كإحداثيات للمشتقات الجزئية الثانية للدالة $f$ . $ولا$ يؤثر اختيار المتجه العمودي على رموز كريستوفيل، لأنه إذا $تم استبدال$ $n$ بنفيه، فإن مركبات الشكل الأساسي الثاني تُنقل نفيًا أيضًا، وبالتالي تبقى إشارات $Ln$ $و$ $Mn$ $و$ $Nn دون تغيير.$

يُبين التعريف الثاني، في سياق المعاملات المحلية، أن رموز كريستوفيل طبيعية هندسيًا. ورغم أن الصيغ في التعريف الأول تبدو أقل طبيعية، إلا أنها تكمن أهميتها في إظهار إمكانية حساب رموز كريستوفيل من الشكل الأساسي الأول، وهو ما لا يتضح مباشرةً من التعريف الثاني. ويمكن التحقق من تكافؤ التعريفين بالتعويض المباشر من التعريف الأول في التعريف الثاني، باستخدام تعريفات $E و F و G.$

تؤكد معادلات كوداتزي أن ^{[ 24 ]}

{\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}&=L\Gamma _{12}^{1}+M(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-N\Gamma _{11}^{2}\\{\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}&=L\Gamma _{22}^{1}+M(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-N\Gamma _{12}^{2}.\end{aligned}}

يمكن اشتقاق هذه المعادلات مباشرةً من التعريف الثاني لرموز كريستوفيل المذكور أعلاه؛ فعلى سبيل المثال، تُستنتج معادلة كوداتزي الأولى باشتقاق المعادلة الأولى بالنسبة إلى $v$ ، والمعادلة الثانية بالنسبة إلى $u$ ، ثم طرحهما، وأخذ الضرب القياسي مع $n$ . وتؤكد معادلة غاوس أن ^{[ 25 ]}

{\begin{aligned}KE&={\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}\\KF&={\frac {\partial \Gamma _{12}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{22}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{1}\\KG&={\frac {\partial \Gamma _{22}^{1}}{\partial u}}-{\frac {\partial \Gamma _{12}^{1}}{\partial v}}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{22}^{1}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{21}^{1}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{12}^{2}\end{aligned}}

يمكن اشتقاق هذه المعادلات بطريقة مشابهة لمعادلات كوداتزي، مع استخدام معادلات واينغارتن بدلاً من حساب الضرب القياسي مع $n$ . على الرغم من كتابتها كثلاث معادلات منفصلة، إلا أنها متطابقة عند استبدال تعريفات رموز كريستوفيل، بدلالة الشكل الأساسي الأول. توجد طرق عديدة لكتابة التعبير الناتج، إحداها اشتقها بريوشي عام 1852 باستخدام المحددات ببراعة: ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

K={\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial u^{2}}}&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial u}}-{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}\\{\frac {\partial F}{\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial v}}&F&G\end{pmatrix}}-{\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}0&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&F&G\end{pmatrix}}.

عند اعتبار رموز كريستوفيل مُعرَّفة بالصيغة الأساسية الأولى، فإن معادلات غاوس وكوداتزي تُمثل قيودًا معينة بين الصيغتين الأساسيتين الأولى والثانية. وتُعد معادلة غاوس جديرة بالذكر بشكل خاص، إذ تُبين إمكانية حساب انحناء غاوس مباشرةً من الصيغة الأساسية الأولى، دون الحاجة إلى أي معلومات أخرى؛ أي بعبارة أخرى، يُمكن كتابة $LN - M²$ كدالة لـ $E و F و G ، على الرغم من عدم إمكانية$ $كتابة$ المكونات الفردية $L و M و N.$ يُعرف هذا باسم نظرية الانحناء ، وكان اكتشافًا هامًا لكارل فريدريش غاوس . ويبرز هذا الأمر بشكل خاص عند تذكر التعريف الهندسي لانحناء غاوس لـ $S$ باعتباره مُعرَّفًا بأقصى وأدنى أنصاف أقطار الدوائر المُلامسة؛ إذ يبدو أنها مُعرَّفة بشكل أساسي بهندسة انحناء $S$ داخل $ℝ³ .$ ومع ذلك، تُظهر النظرية أنه يمكن تحديد حاصل ضربهما من الهندسة "الجوهرية" لـ $S$ ، والتي تتعلق فقط بأطوال المنحنيات على طول $S$ والزوايا المتكونة عند تقاطعاتها. كما قال مارسيل بيرغر : ^{[ 28 ]}

هذه النظرية محيرة. [...] إنها من نوع النظريات التي كان من الممكن أن تنتظر عشرات السنين قبل أن يكتشفها عالم رياضيات آخر، لأنها، على عكس الكثير من تاريخ الفكر، لم تكن مطروحة للنقاش آنذاك. [...] على حد علمنا، لا يوجد برهان هندسي بسيط لنظرية إيغريغيوم اليوم.

يمكن أيضًا التعبير عن معادلات غاوس-كوداتزي واشتقاقها بإيجاز باستخدام لغة أشكال الاتصال التي وضعها إيلي كارتان . ^{[ 29 ]} في لغة حساب الموترات ، وباستخدام المقاييس الطبيعية والاتصالات على حزم الموترات ، يمكن كتابة معادلة غاوس على الصورة $H² - | h | ² = R$ $،$ ويمكن كتابة معادلتي كوداتزي على الصورة $\nabla¹h¹²$ $= \nabla²h¹¹ و\nabla¹ h²² =$ $\nabla²h¹²$ $؛$ $أما$ التعبيرات المعقدة المتعلقة برموز كريستوفيل والشكل الأساسي الأول، فقد تم دمجها بالكامل في تعريفات مشتقة الموترات المتغيرة $\nablah$ $والانحناء$ $القياسي$ $R.$ $وقد$ $أثبت$ بيير $بونيه أن شكلين تربيعيين يحققان معادلات غاوس$ $-$ كوداتزي يحددان دائمًا سطحًا مضمنًا $محليًا$ بشكل فريد . ^[³⁰^] لهذا السبب، تُسمى معادلات غاوس-كوداتزي غالبًا بالمعادلات الأساسية للأسطح المضمنة، إذ تحدد بدقة مصدر الانحناءات الداخلية والخارجية. وهي تقبل تعميمات على الأسطح المضمنة في مشعبات ريمانية أكثر عمومية .

التماثلات

التمايز الشكلي $\varphi$ بين المجموعات المفتوحة $U$ و $V$ على سطح منتظم $S$ يُقال إن الشكل متساوي القياس إذا حافظ على القياس، أي الشكل الأساسي الأول. ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}^{[ 33 ]} وبالتالي، لكل نقطة $p$ في $U$ والمتجهات المماسية $w_{1},\,\,w_{2}$ في $p$ هناك مساواة

E(p)w_{1}\cdot w_{1}+2F(p)w_{1}\cdot w_{2}+G(p)w_{2}\cdot w_{2}=E(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{1})+2F(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2})+G(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2}).

أما بالنسبة للضرب الداخلي الناتج عن الشكل الأساسي الأول، فيمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي:

(w_{1},w_{2})_{p}=(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}

.

من ناحية أخرى، طول المنحنى المُعَلم $\gamma (t)=(x(t),y(t))$ يمكن حسابها على النحو التالي

L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {E{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+2F{\dot {x}}\cdot {\dot {y}}+G{\dot {y}}\cdot {\dot {y}}}}\,dt

وإذا كان المنحنى يقع في $U$ توضح قواعد تغيير المتغيرات أن

L(\varphi \circ \gamma )=L(\gamma ).

على العكس من ذلك إذا $\varphi$ يحافظ على أطوال جميع المعاملات في المنحنيات ثم $\varphi$ هو تماثل قياسي. في الواقع، بالنسبة للاختيارات المناسبة لـ $\gamma$ ، متجهات المماس ${\dot {x}}$ و ${\dot {y}}$ أعطِ متجهات مماسية عشوائية $w_{1}$ و $w_{2}$ يجب أن تتحقق المتساويات لجميع اختيارات متجهات المماس. $w_{1}$ و $w_{2}$ إلى جانب $\varphi ^{\prime }(w_{1})$ و $\varphi ^{\prime }(w_{2})$ ، لهذا السبب $(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}=(w_{1},w_{1})_{p}$ [ ³⁴^]

يُقدّم مثال بسيط على التماثل الهندسي من خلال نموذجين بارامتريين $f_{1}$ و $f_{2}$ من مجموعة مفتوحة $U$ في الأسطح العادية $S_{1}$ و $S_{2}$ . لو $E_{1}=E_{2}$ ، $F_{1}=F_{2}$ و $G_{1}=G_{2}$ ، ثم $\varphi =f_{2}\circ f_{1}^{-1}$ هو تماثل قياس لـ $f_{1}(U)$ على $f_{2}(U)$ [ ³⁵^]

يُعدّ كلٌّ من الأسطوانة والمستوى مثالين على الأسطح المتساوية القياس محليًا، ولكن لا يمكن تمديدها إلى قياس متساوي القياس لأسباب طوبولوجية. ^{[ 36 ]} وكمثال آخر، يُعدّ كلٌّ من السطح السلسلي والسطح الحلزوني متساوي القياس محليًا. ^{[ 37 ]}

المشتقات المتغيرة

يُعيّن حقل متجهي مماسّي $X$ على $S$ ، لكل $p$ في $S$ ، متجهًا مماسّيًا $Xp$ إلى $S$ عند $p$ $.$ ووفقًا للتعريف "الجوهري" للمتجهات المماسية المذكور أعلاه، يُعيّن حقل متجهي مماسّي $X$ $،$ لكل معلمة محلية $f : V \to S$ $،$ دالتين حقيقيتين $X1$ و $X2$ على $V$ ، بحيث

X_{p}=X^{1}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+X^{2}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}

لكل $p$ في $S.$ يُقال إن $X$ سلس إذا كانت الدالتان $X1 و$ $X2 سلستين$ ، لأي اختيار لـ $f$ . ^{[ 38 ]} وفقًا للتعريفات الأخرى للمتجهات المماسية المذكورة أعلاه، يمكن أيضًا اعتبار حقل المتجهات المماسية $X$ على $S$ بمثابة تطبيق $X : S \to ℝ³ بحيث$ يكون $X (p)$ مُحتوى في الفضاء المماسي $TpS$ $\subset ℝ³ لكل$ p $في$ S. $وكما$ هو شائع في الحالة الأكثر عمومية للمشعبات السلسة ، يمكن أيضًا تعريف حقول المتجهات المماسية على أنها مؤثرات تفاضلية معينة على فضاء الدوال السلسة $على$ $S.$

تُوفّر المشتقات المتغيرة (وتُسمى أيضًا "المشتقات المماسية") لتوليو ليفي-سيفيتا وغريغوريو ريتشي-كورباسترو وسيلةً لتفاضل حقول المتجهات المماسية الملساء. بفرض وجود حقل متجه مماس $X$ ومتجه مماس $Y$ للمتجه $S$ عند $النقطة p ،$ $فإن$ المشتقة المتغيرة $\nablaYX$ هي متجه مماس معين للمتجه $S$ عند $النقطة$ $p$ . وبالتالي، إذا كان كل $من$ $X$ و $Y$ حقلي متجه مماسين، فيمكن اعتبار $\nablaYX حقل$ متجه مماس أيضًا؛ وبالمثل، إذا كانت $X$ و $Y$ و $Z$ حقول متجهات مماسية، فيمكن حساب $\nablaZ \nablaYX ،$ والذي سيكون حقل متجه مماس آخر. توجد عدة طرق لتعريف المشتقة المتغيرة؛ تستخدم الطريقة الأولى أدناه رموز كريستوفيل والتعريف "الجوهري" للمتجهات المماسية، بينما تُعدّ الطريقة الثانية هندسية بشكل $أوضح$ $.$

$بفرض وجود$ حقل متجه مماس $X$ ومتجه مماس $Y$ إلى $S$ عند $النقطة p$ $،$ يُعرَّف $\nablaYX$ بأنه المتجه المماس للنقطة $p$ الذي يُسند إلى المعامل المحلي $f : V \to S$ العددين

(\nabla _{Y}X)^{k}=D_{(Y^{1},Y^{2})}X^{k}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\big (}\Gamma _{ij}^{k}X^{j}{\big )}{\Big |}_{f^{-1}(p)}Y^{i},\qquad (k=1,2)

حيث $D (Y1, Y2)$ هي المشتقة الاتجاهية . ^[ $39$ $]$ $غالبًا ما$ يُختصر هذا إلى الصيغة الأقل تعقيدًا $(\nablaYX) k$ ⁼ $\partialY$ $($ $Xk$ $)$ $+$ $Yi$ ^ΓkijXj $،$ $باستخدام$ ترميز أينشتاين مع فهم ضمني لمواقع تقييم الدالة. يتبع هذا $وصفة$ $قياسية$ $في$ الهندسة الريمانية للحصول $على$ اتصال $من$ مقياس ريماني . من الحقائق الأساسية $أن$ المتجه

(\nabla _{Y}X)^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+(\nabla _{Y}X)^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}

في $ℝ 3$ يكون مستقلاً عن اختيار المعلمة المحلية $f$ ، على الرغم من أن هذا الأمر شاق نوعًا ما للتحقق منه.

يمكن أيضًا تعريف المشتقة المتغيرة باستخدام المنهج الهندسي التالي، الذي لا يستخدم رموز كريستوفيل أو المعاملات المحلية. ^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}^{[ 42 ]} ليكن $X$ حقلًا متجهيًا على $S$ ، يُنظر إليه كدالة $S \to ℝ³ .$ لأي منحنى $c : (a, b) \to S$ ، يمكن اعتبار التركيب $X \circ c : (a, b) \to ℝ³ .$ باعتباره تطبيقًا بين الفضاءات الإقليدية، يمكن اشتقاقه عند أي قيمة مُدخلة للحصول على عنصر $(X \circ c)'(t)$ من $ℝ³ .$ يُعرّف الإسقاط المتعامد لهذا المتجه على $T c (t) S$ المشتقة المتغيرة $\nabla c'(t) X$ . على الرغم من أن هذا تعريف هندسي دقيق للغاية، فمن الضروري إثبات أن النتيجة تعتمد فقط على $c'(t)$ و $X$ ، وليس على $c$ و $X.$ يمكن استخدام المعلمات المحلية لهذا النقاش التقني البسيط.

لا يتضح مباشرةً من التعريف الثاني أن التفاضل المتغير يعتمد فقط على الشكل الأساسي الأول لـ $S$ ؛ ومع ذلك، يتضح ذلك مباشرةً من التعريف الأول، حيث يمكن تعريف رموز كريستوفيل مباشرةً من الشكل الأساسي الأول. من السهل التحقق من تكافؤ التعريفين. يكمن المفتاح في أنه عند اعتبار $X₁$ $\partialf$ $/$ $\partialu + X₂ \partialf / \partialv دالة ذات قيم في ℝ³$ ، $فإن$ $تفاضلها$ على $طول$ $منحنى$ ينتج $عنه$ $مشتقات$ $جزئية$ $ثانية$ $\partial²f$ $.$ تدخل رموز كريستوفيل بإسقاط متعامد على الفضاء المماسي، وذلك بسبب صياغة رموز كريستوفيل على أنها المكونات المماسية للمشتقات الثانية لـ $f$ بالنسبة للأساس $⁠$ $\partial$ $f$ $/$ $\partial$ $u$ $⁠$ , $⁠$ $\partial$ $f$ $/$ $\partial$ $v$ $⁠$ , $n$ . ^[³⁹^] تمت مناقشة هذا في القسم أعلاه.

يمكن التعبير عن الطرف الأيمن من معادلات غاوس الثلاث باستخدام التفاضل المتغير. على سبيل المثال، الطرف الأيمن

{\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}

يمكن التعرف عليها على أنها الإحداثية الثانية لـ

\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial f}{\partial u}}-\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial f}{\partial u}}

بالنسبة للأساس $\partialf$ $/$ $\partialu$ $و\partial$ $f$ $/$ $\partialv$ $، كما يمكن التحقق$ $منه$ $مباشرةً$ باستخدام تعريف التفاضل المتغير بواسطة رموز كريستوفيل. بلغة الهندسة الريمانية $، يمكن صياغة هذه الملاحظة أيضًا على أنها$ $تعني$ $أن$ الأطراف اليمنى لمعادلات غاوس هي مكونات مختلفة لانحناء ريتشي لوصلة ليفي $-$ تشيفيتا للشكل الأساسي الأول، عند تفسيرها كمقياس ريماني .

أمثلة

أسطح الدوران

يُحصل على سطح دوراني بتدوير منحنى في المستوى $xz$ حول المحور $z$ . تشمل هذه الأسطح الكرات والأسطوانات والمخاريط والحلقات والسطح السلسلي . أما الأشكال العامة مثل القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ فلا تُعتبر أسطح دورانية. لنفترض أن المنحنى مُعطى بالمعاملات التالية:

x=c_{1}(s),\,\,z=c_{2}(s)

مع رسم $s$ من الفترة $(a, b)$ . إذا لم $تكن$ $c1$ $تساوي$ صفرًا أبدًا، وإذا $لم تكن$ $c1'$ و $c2'$ تساويان صفرًا معًا أبدًا، وإذا كانت $c1$ $و$ $c2$ كلاهما $أملسين$ ، فإن سطح الدوران المقابل

S={\Big \{}{\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}\colon s\in (a,b){\text{ and }}t\in \mathbb {R} {\Big \}}

سيكون سطحًا منتظمًا في $ℝ³ .$ ويُعطى تمثيلٌ محليٌّ للمعاملات $f : (a, b) \times (0, 2π) \to S كما يلي:$

f(s,t)={\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}.

بالنسبة لهذه المعلمة، فإن البيانات الهندسية هي: ^{[ 43 ]}

كمية	صيغة
حقل متجه الوحدة العمودي	$n={\frac {{\big (}-c_{2}'(s)\cos t,-c_{2}'(s)\sin t,c_{1}'(s){\big )}}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}$
الشكل الأساسي الأول	${\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}&0\\0&c_{1}(s)^{2}\end{pmatrix}}$
الشكل الأساسي الثاني	${\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}&0\\0&{\frac {c_{1}(s)c_{2}'(s)}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}\end{pmatrix}}$
الانحناءات الرئيسية	${\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{{\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{3/2}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s){\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}$
انحناء غاوسي	$K={\frac {c_{2}'(s){\big (}c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s){\big )}}{c_{1}(s){\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{2}}}$
متوسط الانحناء	$H={\frac {1}{2}}{\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{{\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{3/2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s){\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}.$

في الحالة الخاصة التي يكون فيها المنحنى الأصلي مُعطىً بمعامل طول القوس، أي $(c₁' (s)) ² + (c₂' (s)) ² = 1$ ، يمكن اشتقاق المعادلة لإيجاد $c₁' (s) c₁''(s) + c₂' (s) c₂''(s) = 0.$ وبالتعويض في انحناء غاوس، نحصل على المعادلة المبسطة.

K=-{\frac {c_{1}''(s)}{c_{1}(s)}}\qquad {\text{and}}\qquad H=c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)+{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s)}}.

$إن$ بساطة هذه الصيغة تجعل دراسة فئة الأسطح المتناظرة دورانيًا ذات الانحناء الغاوسي الثابت أمرًا في غاية السهولة. ^{[ 44 ]} وبالاختزال إلى الحالة البديلة حيث $c² (s) = s$ ، يمكن دراسة الأسطح الدنيا المتناظرة دورانيًا، مما ينتج عنه أن أي سطح من هذا القبيل هو جزء من مستوى أو سطح سلسلي مُقاس. ^{[ 45 ]}

يمكن تمثيل كل منحنى ثابت $t$ على $S$ كخط جيوديسي؛ ويمكن تمثيل منحنى ثابت $s$ على $S كخط جيوديسي$ إذا وفقط إذا كانت $c 1'(s)$ تساوي صفرًا. وبشكل عام، تخضع الخطوط الجيوديسية على $S$ لعلاقة كليروت .

الأسطح التربيعية

ضع في اعتبارك السطح التربيعي المحدد بواسطة ^{[ 46 ]}

{x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.

هذا السطح يسمح بتحديد المعلمات

x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.

يُعطى انحناء غاوس وانحناء المتوسط بالصيغة التالية

K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.

الأسطح المسطرة

السطح المُسطَّر هو سطح يمكن توليده بحركة خط مستقيم في $الفضاء$ $E³$ . ^{[ 47 ]} باختيار دليل على السطح، أي منحنى سلس بسرعة وحدة $c (t)$ متعامد مع الخطوط المستقيمة، ثم اختيار $u (t)$ كمتجهات وحدة على طول المنحنى في اتجاه الخطوط، فإن متجه السرعة $v = c t$ و $u$ يحققان

u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.

يتكون السطح من نقاط

c(t)+s\cdot u(t)

حيث يختلف $s$ و $t .$

ثم، إذا

a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}},\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},

يُعطى الانحناء الغاوسي والمتوسط بالصيغة التالية:

K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2}},\,\,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.

يتلاشى انحناء غاوس للسطح المسطر إذا وفقط إذا كان المتجهان $u و t$ و $v$ متناسبين، ^{[ 48 ]} وهذا الشرط مكافئ لكون السطح غلافًا للمستويات على طول المنحنى التي تحتوي على متجه المماس $v$ والمتجه العمودي $u$ ، أي أن السطح قابل للتطوير على طول المنحنى. ^{[ 49 ]} وبشكل أعم، يكون لسطح في الفضاء $E3$ $انحناء$ غاوس متلاشٍ بالقرب من نقطة ما إذا وفقط إذا كان قابلاً للتطوير بالقرب من تلك النقطة. ^{[ 50 ]} (يرد أدناه شرط مكافئ بدلالة المقياس).

أسطح قليلة

في عام 1760، وسّع لاغرانج نتائج أويلر في حساب التفاضل والتكامل، والتي تتضمن تكاملات في متغير واحد، لتشمل متغيرين. ^{[ 51 ]} وكان يفكر في المسألة التالية:

بالنظر إلى منحنى مغلق في $E 3$ ، أوجد سطحًا يكون المنحنى حدوده بأقل مساحة ممكنة.

يُطلق على هذا السطح اسم السطح الأدنى .

في عام 1776، أظهر جان بابتيست ميوسنييه أن المعادلة التفاضلية التي اشتقها لاغرانج كانت مكافئة لانعدام متوسط انحناء السطح:

يكون السطح في حده الأدنى إذا وفقط إذا كان متوسط انحنائه يساوي صفرًا.

تُفسَّر الأسطح الدنيا ببساطة في الحياة الواقعية: فهي الشكل الذي يتخذه غشاء الصابون إذا غُمس هيكل سلكي على شكل المنحنى في محلول صابون ثم رُفع بحرص. يُطلق على مسألة وجود سطح أدنى بحدود معينة اسم مسألة بلاتو، نسبةً إلى الفيزيائي البلجيكي جوزيف بلاتو الذي أجرى تجارب على أغشية الصابون في منتصف القرن التاسع عشر. في عام 1930، قدّم جيسي دوغلاس وتيبور رادو إجابةً إيجابيةً لمسألة بلاتو (حصل دوغلاس على ميدالية فيلدز لهذا العمل عام 1936). ^{[ 52 ]}

تُعرف أمثلة عديدة صريحة للأسطح الدنيا، مثل السطح السلسلي ، والسطح الحلزوني ، وسطح شيرك ، وسطح إينيبر . وقد أُجريت أبحاثٌ مستفيضة في هذا المجال، لُخِّصت في أوسرمان (2002) . وعلى وجه الخصوص ، تُبين إحدى نتائج أوسرمان أنه إذا كان السطح الأدنى غير مستوٍ، فإن صورته تحت خريطة غاوس تكون كثيفة في $S² .$

أسطح ذات انحناء غاوسي ثابت

إذا كان للسطح انحناء غاوسي ثابت، فإنه يسمى سطح ذو انحناء ثابت . ^{[ 53 ]}

الكرة الوحدة في $E 3$ لها انحناء غاوسي ثابت +1.
يتمتع كل من المستوى الإقليدي والأسطوانة بانحناء غاوسي ثابت يساوي 0.
تتميز الكرة الزائفة ذات الوحدة بانحناء غاوسي ثابت مقداره -1 (باستثناء خط استوائها، الذي يُعدّ نقطةً شاذة ). ويمكن الحصول على الكرة الزائفة بتدوير منحنى جرّي حول خط تقاربه. في عام 1868، بيّن يوجينيو بلترامي أن هندسة الكرة الزائفة ترتبط ارتباطًا مباشرًا بهندسة المستوى الزائدي الأكثر تجريدًا ، والذي اكتشفه لوباتشيفسكي (1830) وبولياي (1832) بشكل مستقل. وفي عام 1840، حصل ف. ميندينغ، أحد تلاميذ غاوس، على صيغ مثلثية للكرة الزائفة مطابقة لتلك الخاصة بالمستوى الزائدي. ^{[ 54 ]} أصبح فهم الهندسة الجوهرية لهذا السطح أفضل الآن من خلال مقياس بوانكاريه على النصف العلوي من المستوى أو القرص الواحد ، وقد تم وصفها بنماذج أخرى مثل نموذج كلاين أو نموذج القطع الزائد ، الذي تم الحصول عليه من خلال اعتبار القطع الزائد ذي الورقتين $q (x, y, z) = -1 في$ فضاء مينكوفسكي ^ثلاثي الأبعاد ^، حيث $q (x, y, z$ ⁾ $=$ $x²$ $+$ $y²$ $-$ $z²$ $.$ [ $55$ $]$

تتمتع الكرة والمستوى والمستوى الزائدي بمجموعات لي متعدية من التناظرات. لهذه الحقيقة في نظرية المجموعات عواقب بعيدة المدى، لا سيما بالنظر إلى الدور المحوري الذي تلعبه هذه الأسطح الخاصة في هندسة الأسطح، وذلك بفضل نظرية التوحيد لبوانكاريه (انظر أدناه ).

ومن الأمثلة الأخرى للأسطح ذات الانحناء الغاوسي 0 المخاريط ، والأسطح المماسية القابلة للتطوير ، وبشكل عام أي سطح قابل للتطوير.

البنية المترية المحلية

بالنسبة لأي سطح مُضمّن في فضاء إقليدي ذي بُعد 3 أو أعلى، يُمكن قياس طول منحنى على السطح، والزاوية بين منحنيين، ومساحة منطقة على السطح. تُشفّر هذه البنية بشكل متناهي الصغر في مقياس ريماني على السطح من خلال عناصر الخط وعناصر المساحة . تقليديًا، في القرنين التاسع عشر وأوائل القرن العشرين، لم تُؤخذ في الاعتبار إلا الأسطح المُضمّنة في $R³ ،$ وكان المقياس يُعطى كمصفوفة 2×2 موجبة التحديد تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى في تمثيل محلي للسطح. لاحقًا، تمّت صياغة فكرة التمثيل المحلي وتغيير الإحداثيات من خلال المفهوم المجرد الحالي للمتشعب ، وهو فضاء طوبولوجي تُعطى فيه البنية السلسة بواسطة خرائط محلية على المتشعب، تمامًا كما تُرسم خريطة كوكب الأرض بواسطة الأطالس اليوم. يجب أن تكون تغييرات الإحداثيات بين خرائط مختلفة لنفس المنطقة سلسة. كما تُشير خطوط الكنتور على الخرائط الواقعية إلى تغيرات الارتفاع، مع مراعاة التشوهات المحلية لسطح الأرض لحساب المسافات الحقيقية، كذلك يصف المقياس الريماني المسافات والمساحات "بشكل دقيق" في كل خريطة محلية. في كل خريطة محلية، يُعطى المقياس الريماني بتخصيص مصفوفة موجبة محددة 2×2 لكل نقطة بسلاسة؛ وعند استخدام خريطة مختلفة، تُحوّل المصفوفة وفقًا لمصفوفة جاكوبي لتغير الإحداثيات. وبذلك، يكون للمتشعب بنية متشعب ريماني ثنائي الأبعاد .

مُشغِّل الشكل

يمكن استخدام التفاضل dn لخريطة غاوس $n$ لتعريف نوع من الانحناء الخارجي، يُعرف باسم مؤثر الشكل ^[⁵⁶ $]$ أو خريطة واينغارتن . ظهر هذا المؤثر لأول مرة ضمنيًا في عمل ويلهلم بلاشكه ، ثم بشكل صريح في أطروحة لبورالي فورتي وبورغاتي. ^[⁵⁷^] بما أن الفضاء المماسي عند كل نقطة $x$ على السطح هو فضاء جداء داخلي ، ^فإنه يمكن تعريف مؤثر الشكل $S$ $x$ كمؤثر خطي على هذا الفضاء بالصيغة التالية:

(S_{x}v,w)=(dn(v),w)

بالنسبة لمتجهي المماس $v$ و $w$ (يكون الضرب الداخلي منطقيًا لأن $dn (v)$ و $w$ يقعان في $E3)$ . ^{[ ج ]} الطرف الأيمن متناظر بالنسبة لـ $v$ و $w ، لذا$ $فإن$ مؤثر الشكل ذاتي الترافق على فضاء المماس. القيم الذاتية لـ $Sx$ $هي$ ببساطة الانحناءات الرئيسية $k1$ و $k2$ عند $x$ . على وجه الخصوص، $محدد$ مؤثر الشكل عند نقطة ما هو انحناء غاوس، ولكنه يحتوي أيضًا على معلومات أخرى، لأن متوسط الانحناء يساوي نصف أثر مؤثر الشكل. متوسط الانحناء ثابت خارجي. في الهندسة الجوهرية، الأسطوانة قابلة للتطوير، مما يعني أن كل جزء منها لا يمكن تمييزه جوهريًا عن جزء من مستوى لأن انحناء غاوس الخاص بها يتلاشى تمامًا. مع ذلك، فإن متوسط انحنائها ليس صفرًا؛ وبالتالي فهي تختلف خارجيًا عن المستوى.

وبالمثل، يمكن تعريف عامل الشكل كعامل خطي على الفضاءات المماسية. $S_{p}:T_{p}M\rightarrow T_{p}M$ إذا كان n حقلًا عموديًا وحدويًا على M وكان v متجهًا مماسًا ،

S(v)=\pm \nabla _{v}n

(لا يوجد اتفاق قياسي بشأن استخدام + أو − في التعريف).

بشكل عام، تحدد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لمؤثر الشكل عند كل نقطة اتجاهات انحناء السطح عند تلك النقطة. تتوافق القيم الذاتية مع الانحناءات الرئيسية للسطح، بينما تمثل المتجهات الذاتية الاتجاهات الرئيسية المقابلة. تحدد الاتجاهات الرئيسية المسارات التي يجب أن يسلكها منحنى مغمور في السطح لتحقيق أقصى وأدنى انحناء، وهما مُحددان بالانحناءات الرئيسية.

المنحنيات الجيوديسية على سطح

تُسمى المنحنيات على سطح ما، التي تُقلل المسافة بين نقطتي النهاية، بالجيوديسيات ؛ وهي الشكل الذي يتخذه شريط مطاطي ممتد بين هاتين النقطتين. رياضياً، تُوصف الجيوديسيات باستخدام المعادلات التفاضلية العادية وحساب التفاضل والتكامل . يدور علم الهندسة التفاضلية للأسطح حول دراسة الجيوديسيات. ولا يزال السؤال مطروحاً حول ما إذا كان كل مقياس ريماني على مخطط محلي ثنائي الأبعاد ينشأ من تضمين في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد: وقد استُخدمت نظرية الجيوديسيات لإثبات صحة ذلك في الحالة المهمة عندما تكون مكونات المقياس تحليلية .

الخطوط الجيوديسية

بالنظر إلى مسار أملس جزئيًا $c(t)=(x(t),y(t))$ في الرسم البياني لـ $t$ في $[a,b]$ يتم تحديد طوله بواسطة

L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{\frac {1}{2}}\,dt

والطاقة بواسطة

E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,dt.

لا يعتمد طول المسار على معلمات المسار. وبحسب معادلات أويلر-لاغرانج ، إذا كان $c (t)$ مسارًا يقلل الطول، ومُعطى بمعلمة طول القوس ، فيجب أن يحقق معادلات أويلر.

{\ddot {x}}+\Gamma _{11}^{1}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{1}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{1}{\dot {y}}^{2}=0

{\ddot {y}}+\Gamma _{11}^{2}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{2}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{2}{\dot {y}}^{2}=0

حيث تُعطى رموز كريستوفيل $Γ k ij بواسطة$

\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})

حيث $g₁₁ = E$ ، $و g₁₂$ $= F ،$ و $g₂₂$ $= G، و gₑᵢ$ هي $المصفوفة$ العكسية لـ $gₑᵢ$ $.$ يُسمى المسار الذي يحقق معادلات أويلر مسارًا جيوديسيًا . وبحسب متباينة كوشي-شفارتز، $فإن$ المسار الذي يُقلل الطاقة هو ببساطة مسار جيوديسي مُعطى بطول القوس؛ وبالنسبة لأي مسار جيوديسي، فإن المعامل $t$ يتناسب طرديًا مع طول القوس. ^{[ 58 ]}

انحناء الجيوديسي

يتم تعريف الانحناء الجيوديسي k $g عند$ نقطة من منحنى $c (t)$ ، المحدد بواسطة طول القوس، على سطح موجه على أنه ^{[ 59 ]}

k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {n} (t).

حيث $n (t)$ هو متجه الوحدة "الرئيسي" العمودي على المنحنى في السطح، والذي تم إنشاؤه عن طريق تدوير متجه المماس للوحدة $ċ (t)$ بزاوية +90 درجة.

إن انحناء الجيوديسية عند نقطة ما هو ثابت جوهري يعتمد فقط على المقياس بالقرب من تلك النقطة.
يكون منحنى السرعة الموحدة على سطح ما منحنى جيوديسي إذا وفقط إذا كان انحناؤه الجيوديسي يتلاشى عند جميع النقاط على المنحنى.
يكون منحنى السرعة الوحدوية $c (t)$ في سطح مضمن جيوديسيًا إذا وفقط إذا كان متجه التسارع الخاص به $c̈ (t)$ عموديًا على السطح.

يقيس الانحناء الجيوديسي بدقة مدى بُعد المنحنى الموجود على السطح عن كونه جيوديسيًا.

الإحداثيات المتعامدة

عندما تكون قيمة $F تساوي صفرًا$ في جميع أنحاء مخطط الإحداثيات، كما هو الحال مع الإحداثيات القطبية الجيوديسية الموضحة أدناه، فإن صور الخطوط الموازية للمحورين $x$ و $y$ تكون متعامدة ، مما يوفر إحداثيات متعامدة . إذا كانت $H = (EG) 1/2 ،$ فإن انحناء غاوس يُعطى بالمعادلة ^[⁶⁰^] $.$

K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}\left({\frac {G_{x}}{H}}\right)+\partial _{y}\left({\frac {E_{y}}{H}}\right)\right].

$إذا كانت E = 1$ بالإضافة إلى ذلك ، بحيث يكون $H = G 1 ⁄ 2$ ، فإن الزاوية $φ$ عند تقاطع الخط الجيوديسي $(x (t), y (t))$ مع الخط $y$ = ثابت تُعطى بالمعادلة التالية:

\tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.

يتم إعطاء مشتقة $φ$ بواسطة صيغة المشتقة الكلاسيكية لغوس: ^{[ 61 ]}

{\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}.

إحداثيات قطبية جيوديسية

خطوط الكنتور التي تتبع حركة النقاط على منحنى ثابت تتحرك على طول الخطوط الجيوديسية باتجاه نقطة أساسية

بمجرد تحديد مقياس على سطح ما وتثبيت نقطة أساسية، يوجد مسار جيوديسي فريد يربط هذه النقطة الأساسية بكل نقطة قريبة منها بدرجة كافية. يحدد اتجاه المسار الجيوديسي عند النقطة الأساسية والمسافة بينها وبين النقطة النهائية الأخرى بشكل فريد. هاتان المعلومتان، الاتجاه والمقدار، تحددان متجهًا مماسًا عند النقطة الأساسية. يقوم التحويل من المتجهات المماسية إلى النقاط النهائية بمسح سلس لجوار النقطة الأساسية، ويحدد ما يُسمى بالخريطة الأسية ، التي تُحدد بدورها مخطط إحداثيات محلي عند تلك النقطة. يتمتع الجوار الممسوح بخصائص مشابهة للكرات في الفضاء الإقليدي، أي أن أي نقطتين فيه متصلتان بمسار جيوديسي فريد. تُسمى هذه الخاصية "تحدب المسار الجيوديسي"، وتُسمى الإحداثيات الناتجة بالإحداثيات العادية . يمكن حساب الإحداثيات العادية بشكل صريح من خلال النظر في المعادلة التفاضلية التي تحققها المسارات الجيوديسية. تُعد خصائص التحدب نتيجةً لفرضية غاوس وتعميماتها. باختصار، تنص هذه اللمة على أن الخطوط الجيوديسية التي تبدأ من نقطة الأساس يجب أن تقطع الكرات ذات نصف القطر الثابت والمتمركزة حول نقطة الأساس بزوايا قائمة. تُحسب الإحداثيات القطبية الجيوديسية بدمج الدالة الأسية مع الإحداثيات القطبية على متجهات المماس عند نقطة الأساس. يُعطى انحناء غاوس للسطح بانحراف الرتبة الثانية للمقياس عند تلك النقطة عن المقياس الإقليدي. على وجه الخصوص، يُعد انحناء غاوس ثابتًا للمقياس، وهو ما يُعرف بنظرية غاوس الشهيرة " نظرية إغريغيوم" . يُمكن فهم الانحناء بسهولة من خلال معادلة تفاضلية عادية، تناولها غاوس أولًا ثم عممها جاكوبي، وهي ناتجة عن تغير الإحداثيات العمودية حول نقطتين مختلفتين. توفر معادلة غاوس - جاكوبي طريقة أخرى لحساب انحناء غاوس. من الناحية الهندسية، يشرح هذا ما يحدث للخطوط الجيوديسية انطلاقًا من نقطة أساسية ثابتة عندما تتغير نقطة النهاية على طول جزء منحني صغير، وذلك من خلال البيانات المسجلة في حقل جاكوبي ، وهو حقل متجهي على طول الخط الجيوديسي. ^{[ 62 ]} بعد قرن وربع من غاوس وجاكوبي، قدم مارستون مورس تفسيرًا أكثر تجريدًا لحقل جاكوبي من حيث المشتقات الثانية لدالة الطاقة على مشعب هيلبرت اللانهائي الأبعاد للمسارات. ^{[ 63 ]}

خريطة أسية

تُبين نظرية المعادلات التفاضلية العادية أنه إذا كانت الدالة $f (t, v)$ سلسة، فإن المعادلة التفاضلية $dv$ $/$ $dt$ $=$ $f$ $($ $t$ $,$ $v$ $)$ مع الشرط الابتدائي $v$ $(0) =$ $v₀$ لها حل وحيد عندما تكون قيمة $|$ $t$ $|$ $صغيرة$ $بما$ $فيه$ الكفاية، ويعتمد هذا الحل بسلاسة على $t$ و $v₀$ $.$ وهذا يعني أنه بالنسبة لمتجهات المماس $v الصغيرة$ $بما$ $فيه$ الكفاية عند نقطة معينة $p$ $= ($ $x₀$ $,$ $y₀$ $)$ ، يوجد مسار جيوديسي $cₐv$ $($ $t$ $)$ $مُعرَّف$ على $(-2, 2)$ حيث $cₐv$ $($ $0) = ($ $x₀$ $,$ $y₀$ $)$ و $ċₐv$ $(0) =$ $v$ $.$ علاوة على ذلك، إذا كانت $|$ $s$ $|$ $\leq$ $1$ ، فإن $cₐv$ $=$ $cₐv$ $($ $st$ $)$ $.$ ويُعرَّف التطبيق الأسي كما $يلي$ $:$

exp p (v) = c v

(1)

ويُعطي تماثلاً تفاضلياً بين قرص $‖ v ‖ < δ$ وجوار النقطة $p$ ؛ وبشكل أعم، فإن الدالة التي تُرسل $(p, v)$ إلى $exp p (v)$ تُعطي تماثلاً تفاضلياً محلياً على جوار النقطة $(p, p)$ . وتُعطي الدالة الأسية إحداثيات جيوديسية طبيعية بالقرب من $النقطة p$ . ^{[ 64 ]}

حساب الإحداثيات العادية

توجد تقنية قياسية (انظر على سبيل المثال Berger (2004) ) لحساب تحويل المتغيرات إلى الإحداثيات الطبيعية $u$ و $v$ عند نقطة ما، وذلك باستخدام متسلسلة تايلور الرسمية . إذا كانت الإحداثيات $x$ و $y$ عند (0,0) متعامدة محليًا، فاكتب

x (u, v) = αu + L (u, v) + λ (u, v) + \dots

y (u, v) = βv + M (u, v) + μ (u, v) + \dots

حيث $L$ و $M$ كثيرتا حدود متجانستان من الدرجة الثانية و $λ$ و $μ$ كثيرتا حدود متجانستان من الدرجة الثالثة في $u$ و $v$ . إذا كانت $u$ و $v$ ثابتتين، فيمكن اعتبار $x (t) = x (tu, tv)$ و $y (t) = y (tu, tv) حلولاً شكلية$ لمتسلسلات القوى لمعادلات أويلر: وهذا يحدد بشكل فريد $α$ و $β$ و $L$ و $M$ و $λ$ و $μ$ .

معضلة جاوس

في هذه الإحداثيات، تحقق المصفوفة $g (x) المعادلة$ $g (0) = I$ ، والمستقيمان $t \mapsto tv$ هما خطوط جيوديسية تمر بالنقطة 0. وتستلزم معادلات أويلر معادلة المصفوفة

g (v) v = v

,

نتيجة أساسية، تُعرف عادةً باسم مبرهنة غاوس . وتنص هندسياً على أن

الخطوط الجيوديسية المارة بالنقطة 0 تقطع الدوائر المتمركزة عند النقطة 0 بشكل متعامد .

بأخذ الإحداثيات القطبية $(r, θ)$ ، ينتج أن المقياس له الشكل التالي

ds 2 = dr 2 + G (r, θ) dθ 2

.

في الإحداثيات الجيوديسية، يسهل التحقق من أن الخطوط الجيوديسية المارة بالصفر تُقلل الطول إلى أدنى حد. تُعطى طوبولوجيا مشعب ريمان بدالة المسافة $d (p, q)$ ، وهي الحد الأدنى لأطوال المسارات الملساء جزئيًا بين $p$ و $q$ . تتحقق هذه المسافة محليًا بواسطة الخطوط الجيوديسية، بحيث يكون $d (0, v) = ‖v‖$ في الإحداثيات العادية . إذا تم اختيار نصف القطر $δ$ صغيرًا بما يكفي، فإن تبسيطًا طفيفًا لفرضية غاوس يُظهر أن صورة القرص $U$ $حيث ‖v‖$ $<$ $δ$ $تحت$ تأثير التحويل الأسي محدبة جيوديسيًا ، أي $أن$ أي نقطتين في $U$ متصلتان بخط جيوديسي وحيد يقع بالكامل داخل $U.$ ^[⁶⁵^]^[⁶⁶^]

نظرية إيغريجيوم

تُبيّن نظرية غاوس الاستثنائية (Theorema Egregium ) أن انحناء غاوس لسطح ما يُمكن حسابه بدلالة المقياس فقط، وبالتالي فهو ثابت جوهري للسطح، مستقل عن أي تضمين متساوي القياس في $الفضاء E³ ،$ ولا يتغير تحت تحويلات الإحداثيات. وعلى وجه الخصوص، تحافظ عمليات التساوي في القياس، والتساوي في القياس الموضعي للأسطح، على انحناء غاوس. ^{[ 67 ]}

يمكن التعبير عن هذه النظرية بدلالة متسلسلة القوى للمقياس، $ds$ ، المعطاة في الإحداثيات الطبيعية $(u, v)$ كما يلي:

ds 2 = du 2 + dv 2 - K (u dv - v du) 2 /12 + \dots

.

معادلة جاوس-جاكوبي

يؤدي إجراء تغيير في الإحداثيات من الإحداثيات العادية عند النقطة $p$ إلى الإحداثيات العادية عند نقطة قريبة $q$ ، إلى معادلة ستورم-ليوفيل التي تحققها $H (r, θ) = G (r, θ) 1 ⁄ 2$ ، والتي اكتشفها جاوس وعمّمها جاكوبي لاحقًا .

H rr = - KH

.

مصفوفة جاكوبي لتغيير الإحداثيات عند $q$ تساوي $H(r)$ . وهذا يُعطي طريقة أخرى لتحديد الطبيعة الجوهرية لانحناء غاوس. ولأن $H (r, θ)$ يُمكن تفسيرها على أنها طول عنصر الخط في اتجاه $θ$ ، فإن معادلة غاوس-جاكوبي تُبين أن انحناء غاوس يقيس مدى انتشار الخطوط الجيوديسية على سطح هندسي أثناء ابتعادها عن نقطة ما. ^{[ 68 ]}

مؤثر لابلاس-بيلترامي

على سطح ذي مقياس محلي

ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}

ومؤثر لابلاس -بيلترامي

\Delta f={1 \over H}\left(\partial _{x}{G \over H}\partial _{x}f-\partial _{x}{F \over H}\partial _{y}f-\partial _{y}{F \over H}\partial _{x}f+\partial _{y}{E \over H}\partial _{y}f\right),

حيث $H 2 = EG - F 2$ ، يتم إعطاء انحناء غاوس عند نقطة ما بواسطة الصيغة ^{[ 69 ]}

K=-3\lim _{r\rightarrow 0}\Delta (\log r),

حيث يرمز $r$ إلى المسافة الجيوديسية من النقطة.

في الإحداثيات متساوية الحرارة ، التي تناولها غاوس لأول مرة، يجب أن يكون المقياس على شكل خاص

ds^{2}=e^{\varphi }(dx^{2}+dy^{2}).\,

في هذه الحالة، يُعطى مؤثر لابلاس-بيلترامي بالصيغة التالية

\Delta =e^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)

و $φ$ تحقق معادلة ليوفيل ^{[ 70 ]}

\Delta \varphi =-2K.\,

من المعروف أن الإحداثيات متساوية الحرارة موجودة في جوار أي نقطة على السطح، على الرغم من أن جميع البراهين حتى الآن تعتمد على نتائج غير بديهية في المعادلات التفاضلية الجزئية . ^{[ 71 ]} يوجد برهان أولي للأسطح الدنيا. ^{[ 72 ]}

نظرية غاوس-بونيه

على سطح الكرة أو السطح الزائدي ، تتناسب مساحة المثلث الجيوديسي ، أي المثلث الذي جميع أضلاعه جيوديسية، مع الفرق بين مجموع زواياه الداخلية و $π$ . ثابت التناسب هو انحناء غاوس، وهو ثابت لهذه الأسطح. أما بالنسبة للسطح الحلقي، فيكون الفرق صفرًا، مما يعكس حقيقة أن انحناء غاوس فيه يساوي صفرًا. هذه نتائج أساسية في حساب المثلثات الكروية والزائدية، وفي حساب المثلثات للمرحلة الثانوية (انظر أدناه). عمّم غاوس هذه النتائج لتشمل أي سطح، مُبينًا أن تكامل انحناء غاوس على السطح الداخلي للمثلث الجيوديسي يساوي أيضًا فرق الزاوية أو الزيادة. أوضحت صيغته أنه يمكن حساب انحناء غاوس بالقرب من نقطة ما، باعتباره نهاية المساحة مقسومة على الزيادة في الزاوية للمثلثات الجيوديسية التي تتقلص إلى تلك النقطة. بما أن أي سطح مغلق يمكن تقسيمه إلى مثلثات جيوديسية، يمكن استخدام الصيغة لحساب تكامل الانحناء على السطح بأكمله. وكحالة خاصة لما يُعرف الآن بنظرية غاوس-بونيه ، أثبت غاوس أن هذا التكامل يساوي دائمًا 2π مضروبًا في عدد صحيح، وهو ثابت طوبولوجي للسطح يُسمى خاصية أويلر . يسهل حساب هذا الثابت توافقيًا بدلالة عدد رؤوس وحواف ووجوه المثلثات في التقسيم، والذي يُسمى أيضًا بالتثليث . كان هذا التفاعل بين التحليل والطوبولوجيا بمثابة مقدمة للعديد من النتائج اللاحقة في الهندسة، والتي بلغت ذروتها في نظرية مؤشر أتياس-سينغر . وبشكل خاص، تفرض خصائص الانحناء قيودًا على طوبولوجيا السطح.

المثلثات الجيوديسية

أثبت غاوس أنه إذا كان $Δ$ مثلثًا جيوديسيًا على سطح بزوايا $α$ و $β$ و $γ$ عند الرؤوس $A$ و $B$ و $C$ ، فإن

\int _{\Delta }K\,dA=\alpha +\beta +\gamma -\pi .

في الواقع، بأخذ الإحداثيات القطبية الجيوديسية مع نقطة الأصل $A$ و $AB و$ $AC$ ، فإن أنصاف الأقطار عند الزوايا القطبية 0 و $α$ هي:

{\begin{aligned}\int _{\Delta }K\,dA&=\int _{\Delta }KH\,dr\,d\theta =-\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{r_{\theta }}\!H_{rr}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{\alpha }1-H_{r}(r_{\theta },\theta )\,d\theta =\int _{0}^{\alpha }d\theta +\int _{\pi -\beta }^{\gamma }\!\!d\varphi \\&=\alpha +\beta +\gamma -\pi ,\end{aligned}}

حيث أن المساواة الثانية تتبع من معادلة جاوس-جاكوبي والرابعة من صيغة مشتق جاوس في الإحداثيات المتعامدة $(r, θ)$ .

تُظهر صيغة غاوس أن الانحناء عند نقطة ما يُمكن حسابه كحدٍّ لمجموع زوايا الزيادة $α + β + γ - π$ على مساحة المثلثات الجيوديسية الأصغر حجمًا تباعًا بالقرب من تلك النقطة. وبشكلٍ نوعي، يكون السطح منحنيًا إيجابيًا أو سلبيًا وفقًا لإشارة زاوية الزيادة للمثلثات الجيوديسية الصغيرة جدًا. ^{[ 50 ]}

نظرية غاوس-بونيه

الخاصية المميزة لأويلر للكرة، المثلثة مثل المجسم العشري الوجوه ، هي $V - E + F = 12 - 30 + 20 = 2$ .

بما أن كل مشعب ثنائي الأبعاد مضغوط وموجه $M$ يمكن تقسيمه إلى مثلثات جيوديسية صغيرة، فإنه يترتب على ذلك أن

\int _{M}KdA=2\pi \,\chi (M)

حيث تشير $χ (M) إلى$ خاصية أويلر للسطح.

في الواقع، إذا كان هناك $F$ وجهًا و $E$ حافة و $V$ رأسًا، فإن $3 F = 2 E$ والجانب الأيسر يساوي $2π V - π F = 2π(V - E + F) = 2π χ (M)$ .

هذه هي نظرية غاوس-بونيه الشهيرة : تُبين أن تكامل انحناء غاوس هو ثابت طوبولوجي للمتشعب، أي خاصية أويلر. يمكن تفسير هذه النظرية بطرق عديدة؛ ولعلّ من أبرزها تفسيرها كنظرية مؤشر لمؤثر تفاضلي إهليلجي على $M$ ، وهي إحدى أبسط حالات نظرية مؤشر أتياس-سينغر . وهناك نتيجة أخرى ذات صلة، يمكن إثباتها باستخدام نظرية غاوس-بونيه، وهي نظرية مؤشر بوانكاريه-هوبف لحقول المتجهات على $M$ التي تتلاشى عند عدد محدود من النقاط فقط: مجموع المؤشرات عند هذه النقاط يساوي خاصية أويلر، حيث يُعرَّف مؤشر النقطة كما يلي: على دائرة صغيرة حول كل صفر معزول، يُحدد حقل المتجهات خريطة في دائرة الوحدة؛ والمؤشر هو ببساطة رقم لف هذه الخريطة. ^{[ 50 ]}^{[ 73 ]}^{[ 74 ]}

الانحناء والتضمينات

إذا كان انحناء غاوس لسطح $M$ موجبًا في كل مكان، فإن خاصية أويلر تكون موجبة أيضًا، وبالتالي $يكون$ $M$ متماثلًا (وبالتالي متماثلًا تفاضليًا) مع $S²$ . وإذا كان السطح مُضمنًا بشكل متساوي القياس في $E³$ $،$ فإن خريطة غاوس تُقدم تماثلًا تفاضليًا صريحًا. وكما لاحظ هادامارد ، يكون السطح في هذه الحالة محدبًا ؛ ويمكن اعتبار معيار التحدب هذا تعميمًا ثنائي الأبعاد لمعيار المشتقة الثانية المعروف لتحدب المنحنيات المستوية. وقد أثبت هيلبرت أن كل سطح مغلق مُضمن بشكل متساوي القياس يجب أن يحتوي على نقطة ذات انحناء موجب. وبالتالي $،$ لا يمكن أبدًا تضمين مشعب ريماني ثنائي الأبعاد مغلق ذي انحناء غير موجب بشكل متساوي القياس في $E³$ ؛ ومع ذلك، وكما أوضح أدريانو غارسيا باستخدام معادلة بلترامي للتطبيقات شبه المطابقة ، فإن هذا ممكن دائمًا بالنسبة لبعض المقاييس المكافئة توافقيًا . ^[⁷⁵^]

أسطح ذات انحناء ثابت

الأسطح المتصلة ببساطة ذات الانحناء الثابت 0 و+1 و-1 هي المستوى الإقليدي، والكرة الوحدة في $E³$ ، والمستوى الزائدي . لكل منها زمرة $لي$ ثلاثية الأبعاد متعدية من التماثلات الحافظة للاتجاه $G$ ، والتي يمكن استخدامها لدراسة هندستها. يمكن تعريف كل من السطحين غير المتراصين بالقسمة $G / K$ ، حيث $K$ هي زمرة جزئية متراصة قصوى من $G.$ هنا، $K$ متماثلة مع $SO(2)$ . أي مشعب ريماني مغلق آخر $M$ ذو انحناء غاوسي ثابت، بعد تغيير مقياسه بمعامل ثابت إذا لزم الأمر، سيكون له أحد هذه الأسطح الثلاثة كمساحة تغطية شاملة . في حالة قابلية التوجيه، يمكن تعريف الزمرة الأساسية $Γ$ لـ $M$ بزمرة جزئية منتظمة خالية من الالتواء من $G$ ، ويمكن بعد ذلك تعريف $M$ بمساحة المشاركة المزدوجة $Γ \$ $G$ $/$ $K$ . في حالة الكرة والمستوى الإقليدي، فإن الأمثلة الممكنة الوحيدة هي الكرة نفسها والأسطح الحلقية الناتجة عن قسمة $R²$ على مجموعات فرعية منفصلة من الرتبة 2. بالنسبة للأسطح المغلقة من $الجنس$ g $\geq$ $2$ ، فإن فضاء المعاملات لأسطح ريمان، الناتج عن $تغير$ $Γ$ على جميع هذه المجموعات الفرعية، له بُعد حقيقي $6g$ $- 6.$ [ ⁷⁶^]^وفقًا لنظرية التوحيد لبوانكاريه ، فإن أي مشعب ثنائي الأبعاد مغلق قابل للتوجيه يكون مكافئًا توافقيًا لسطح ذي انحناء ثابت 0 أو +1 أو -1. بعبارة أخرى، بضرب المقياس بمعامل قياس موجب، يمكن جعل انحناء غاوس يأخذ إحدى هذه القيم بالضبط (إشارة خاصية أويلر لـ $M$ ). ^[⁷⁷^]

الهندسة الإقليدية

في حالة المستوى الإقليدي، تكون مجموعة التناظر هي مجموعة الحركة الإقليدية ، وهي حاصل الضرب شبه المباشر لمجموعة الإزاحات ثنائية الأبعاد بواسطة مجموعة الدورانات. ^{[ 78 ]} أما الخطوط الجيوديسية فهي خطوط مستقيمة، ويتم ترميز هندستها في الصيغ الأولية لعلم المثلثات ، مثل قاعدة جيب التمام لمثلث أضلاعه $a$ و $b$ و $c$ وزواياه $α$ و $β$ و $γ$ .

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma .

يمكن الحصول على الأسطح الحلقية المسطحة بأخذ خارج قسمة $R²$ على شبكة $،$ أي زمرة أبيلية حرة من الرتبة 2. لا تحتوي هذه الأسطح المغلقة على تضمينات متساوية القياس في $E³$ $.$ ومع ذلك، فإنها تقبل تضمينات متساوية القياس في $E⁴$ ؛ في أبسط الحالات ، ينتج هذا عن حقيقة أن السطح الحلقي هو ناتج ضرب دائرتين، ويمكن تضمين كل دائرة بشكل متساوي القياس $في$ $E² .$ ^{[ 79 ]}

الهندسة الكروية

مجموعة التناظر للكرة الوحدة $S²$ في $E³$ هي المجموعة المتعامدة $O(3)$ $،$ حيث تمثل $مجموعة$ الدوران $SO(3)$ المجموعة الفرعية للتناظرات التي تحافظ على الاتجاه. وهي حاصل الضرب المباشر لـ $SO(3)$ مع التحويل المضاد ، الذي ينقل $x$ إلى $-x .$ ^{[ 80 ]} تؤثر المجموعة $SO(3)$ بشكل متعدٍ على $S² .$ يمكن تعريف المجموعة الفرعية المثبتة لمتجه الوحدة (0,0,1) مع $SO(2)$ ، بحيث يكون $S² = SO ($ 3 $)/SO(2)$ .

الخطوط الجيوديسية بين نقطتين على الكرة هي أقواس الدائرة العظمى التي لها هاتان النقطتان المحددتان. إذا لم تكن النقطتان متقابلتين، فهناك خط جيوديسي واحد أقصر بينهما. يمكن أيضًا وصف الخطوط الجيوديسية نظريًا باستخدام نظرية الزمر: كل خط جيوديسي يمر بالقطب الشمالي (0,0,1) هو مدار مجموعة فرعية من الدورانات حول محور يمر بنقطتين متقابلتين على خط الاستواء.

المثلث الكروي هو مثلث جيوديسي على سطح الكرة. يُعرَّف بالنقاط $A$ و $B$ و $C$ على سطح الكرة، وأضلاعه $BC$ و $CA$ و $AB$ مُشكَّلة من أقواس دوائر عظمى طولها أقل من $π$ . إذا كانت أطوال الأضلاع $a$ و $b$ و $c$ والزوايا بين الأضلاع $α$ و $β$ و $γ$ ، فإن قانون جيب التمام الكروي ينص على أن

\cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .

مساحة المثلث تُعطى بالصيغة التالية:

المساحة = α + β + γ - π

.

باستخدام الإسقاط المجسم من القطب الشمالي، يمكن تحديد الكرة بالمستوى المركب الممتد $C \cup {\infty}$ . ويُعطى الرسم البياني الصريح بواسطة

\pi (x,y,z)={x+iy \over 1-z}\equiv u+iv.

بموجب هذا التناظر، يتوافق كل دوران لـ $S 2$ مع تحويل موبيوس في $SU(2)$ ، وهو تحويل فريد حتى الإشارة. ^{[ 81 ]} بالنسبة للإحداثيات $(u, v)$ في المستوى المركب، يصبح المقياس الكروي ^{[ 82 ]}

ds^{2}={4(du^{2}+dv^{2}) \over (1+u^{2}+v^{2})^{2}}.

الكرة الوحدة هي السطح المغلق الوحيد القابل للتوجيه ذو الانحناء الثابت +1. يمكن تعريف خارج القسمة $SO(3)/O(2)$ بالمستوى الإسقاطي الحقيقي . وهو غير قابل للتوجيه، ويمكن وصفه بأنه خارج قسمة $S²$ $بواسطة$ الخريطة المضادة (الضرب في -1). الكرة متصلة ببساطة، بينما يمتلك المستوى الإسقاطي الحقيقي المجموعة الأساسية $Z²$ . لا تؤثر المجموعات الفرعية المنتهية لـ SO $($ $3)$ ، المقابلة للمجموعات الفرعية المنتهية لـ $O(2)$ ومجموعات التناظر للأجسام الأفلاطونية ، بحرية على $S² ،$ لذا فإن خارج القسمة المقابل ليس متعددات شعب ثنائية الأبعاد، بل هو مجرد مدارات .

الهندسة الزائدية

نوقشت الهندسة اللاإقليدية ^{[ 83 ]} لأول مرة في رسائل غاوس، الذي أجرى حساباتٍ واسعة النطاق في مطلع القرن التاسع عشر، والتي رغم تداولها بشكلٍ خاص، قرر عدم نشرها. في عام 1830، نشر لوباتشيفسكي ، وبشكلٍ مستقل في عام 1832، نشر بولياي ، ابن أحد مراسلي غاوس، نسخًا تركيبية من هذه الهندسة الجديدة، والتي تعرضت لانتقاداتٍ لاذعة. مع ذلك، لم يُقدّم بلترامي نماذج تحليلية ملموسة لما أطلق عليه كلاين اسم الهندسة الزائدية إلا في عام 1868، تبعه كلاين في عام 1871 وبوانكاريه في عام 1882. النماذج الأربعة للهندسة الزائدية ثنائية الأبعاد التي ظهرت هي:

نموذج بلترامي-كلاين ؛
قرص بوانكاريه ؛
نصف المستوى العلوي لبوانكاريه ؛
نموذج القطع الزائد لويلهلم كيلينج في فضاء مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد .

يتميز النموذج الأول، القائم على القرص، بأن الخطوط الجيوديسية هي في الواقع قطع مستقيمة (أي تقاطعات الخطوط الإقليدية مع القرص المفتوح). أما النموذج الأخير، فيتميز بأنه يُعطي بنيةً موازيةً تمامًا لبنية كرة الوحدة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. ومع ذلك، ونظرًا لتطبيقاتها في التحليل المركب والهندسة، تُعد نماذج بوانكاريه الأكثر استخدامًا، إذ يمكن استبدالها بفضل تحويلات موبيوس بين القرص والنصف العلوي من المستوى.

يترك

D=\{z\,\colon |z|<1\}

ليكن قرص بوانكاريه في المستوى المركب مع متري بوانكاريه

ds^{2}={4(dx^{2}+dy^{2}) \over (1-x^{2}-y^{2})^{2}}.

في الإحداثيات القطبية $(r, θ)$ يُعطى المقياس بواسطة

ds^{2}={4(dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}) \over (1-r^{2})^{2}}.

يُعطى طول المنحنى $γ :[a, b] \to D$ بالصيغة التالية:

\ell (\gamma )=\int _{a}^{b}{2|\gamma ^{\prime }(t)|\,dt \over 1-|\gamma (t)|^{2}}.

المجموعة $G = SU(1,1)$ المعطاة بواسطة

G=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,\,|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}

تؤثر بشكل متعدٍ عن طريق تحويلات موبيوس على $D$ ، ومجموعة التثبيت الفرعية لـ 0 هي مجموعة الدوران

K=\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&{\overline {\zeta }}\end{pmatrix}}:\zeta \in \mathbf {C} ,\,|\zeta |=1\right\}.

مجموعة القسمة $SU(1,1)/\pm I$ هي مجموعة التماثلات المحافظة على الاتجاه في $D.$ أي نقطتين $z$ و $w$ في $D$ متصلتان بخط جيوديسي وحيد، يُحدد بجزء الدائرة أو الخط المستقيم المار بالنقطتين $z$ و $w$ والعمودي على دائرة الحدود. المسافة بين $z$ و $w$ تُعطى بالعلاقة التالية:

d(z,w)=2\tanh ^{-1}{\frac {|z-w|}{|1-{\overline {w}}z|}}.

على وجه الخصوص $، d (0, r) = 2 tanh -1 r$ و $c (t) = ⁠ 1 / 2 ⁠ tanh t$ هو المسار الجيوديسي الذي يمر عبر 0 على طول المحور الحقيقي، ويتم تحديده بواسطة طول القوس.

إن الطوبولوجيا المحددة بواسطة هذا المقياس تعادل الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة، على الرغم من أن الفضاء المتري $(D ، d)$ كامل.

المثلث الزائدي هو مثلث جيوديسي لهذا المقياس: أي ثلاث نقاط في $D$ هي رؤوس مثلث زائدي. إذا كانت أطوال أضلاعه $a$ و $b$ و $c$ وزواياه المتناظرة $α$ و $β$ و $γ$ ، فإن قاعدة جيب التمام الزائدي تنص على أن

\cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma .

مساحة المثلث الزائدي معطاة بالمعادلة ^{[ 84 ]}

المساحة = π - α - β - γ

.

القرص الواحد ونصف المستوى العلوي

H=\{w=x+iy\,\colon \,y>0\}

متكافئة توافقياً بواسطة تحويلات موبيوس

w=i{1+z \over 1-z},\,\,z={w-i \over w+i}.

بموجب هذا التناظر، فإن تأثير تحويلات موبيوس على $SL(2,R) على$ $H$ يُقابل تأثير $SU(1,1)$ على $D.$ ويصبح المقياس على $H كما يلي:$

ds^{2}={dx^{2}+dy^{2} \over y^{2}}.

بما أن الخطوط أو الدوائر محفوظة تحت تحويلات موبيوس، فإن الخطوط الجيوديسية توصف مرة أخرى بخطوط أو دوائر متعامدة مع المحور الحقيقي.

القرص الواحدي ذو المقياس البوانكاريه هو مشعب ريماني ثنائي الأبعاد فريد ومتصل ببساطة وموجه، ذو انحناء ثابت يساوي -1. أي سطح مغلق موجه $M$ بهذه الخاصية يكون $D$ هو فضاء تغطيته الشامل. يمكن تعريف مجموعته الأساسية بمجموعة فرعية متراصة خالية من الالتواء $Γ$ من $SU(1,1)$ ، بحيث

M=\Gamma \backslash G/K.

في هذه الحالة، Γ $هي$ مجموعة معروضة بشكل محدود . يتم ترميز المولدات والعلاقات في مضلع جيوديسي أساسي محدب جيوديسيًا في $D$ (أو $H$ ) يتوافق هندسيًا مع الجيوديسيات المغلقة على $M.$

أمثلة .

سطح بولزا للجنس 2؛
الرباعي كلاين من الجنس 3؛
سطح ماكبث من الجنس 7؛
أول ثلاثية هورويتز من الجنس 14.

التوحيد

بفرض وجود سطح مغلق موجه $M$ ذي انحناء غاوسي $K$ ، يمكن تغيير المقياس على $M$ بشكل توافقي عن طريق تغييره بمعامل $e²u .$ يُعطى الانحناء الغاوسي الجديد $K' بالعلاقة التالية$ $:$

K^{\prime }(x)=e^{-2u}(K(x)-\Delta u),

حيث $Δ$ هو لابلاس للمقياس الأصلي. وبالتالي، لإثبات أن سطحًا معينًا مكافئ توافقيًا لمقياس ذي انحناء ثابت $K'،$ يكفي حل الصيغة التالية لمعادلة ليوفيل :

\Delta u=K^{\prime }e^{2u}+K(x).

عندما تكون خاصية أويلر للمجال $M$ تساوي صفرًا، وبالتالي يكون متماثلًا مع سطح حلقي ، $فإن K' = 0$ ، وهذا يُعادل حل المعادلة

\Delta u=K(x).

بحسب نظرية القطع الناقص القياسية، هذا ممكن لأن تكامل $K$ على $M$ يساوي صفرًا، وفقًا لنظرية جاوس-بونيه. ^{[ 85 ]}

عندما يكون للمصفوفة $M$ خاصية أويلر سالبة، $فإن K' = -1$ ، وبالتالي فإن المعادلة المطلوب حلها هي:

\Delta u=-e^{2u}+K(x).

باستخدام خاصية استمرارية الدالة الأسية على فضاء سوبوليف التي وضعها نيل ترودينجر ، يمكن دائمًا حل هذه المعادلة غير الخطية. ^{[ 86 ]}

وأخيرًا، في حالة الكرة ثنائية الأبعاد، $K' = 1$ وتصبح المعادلة كالتالي:

\Delta u=e^{2u}+K(x).

لم تُحلل هذه المعادلة غير الخطية بشكل مباشر حتى الآن، على الرغم من أن نتائج كلاسيكية مثل نظرية ريمان-روخ تشير إلى أنها تمتلك حلاً دائمًا. ^{[ 87 ]} تُقدم طريقة تدفق ريتشي ، التي طورها ريتشارد إس. هاميلتون ، برهانًا آخر على وجود الحل استنادًا إلى المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية . ^{[ 88 ]} في الواقع ، يُعرَّف تدفق ريتشي على المقاييس المطابقة على $S² على الدوال$ $u (x, t)$ كما يلي $:$

u_{t}=4\pi -K'(x,t)=4\pi -e^{-2u}(K(x)-\Delta u).

بعد فترة زمنية محدودة، أظهر تشاو أن $K'$ تصبح موجبة؛ ويمكن بعد ذلك استخدام نتائج هاميلتون السابقة لإظهار أن $K'$ تتقارب إلى +1. ^{[ 89 ]} قبل هذه النتائج المتعلقة بتدفق ريتشي، قدم أوسجود وفيليبس وسارناك (1988) نهجًا بديلًا وأبسط تقنيًا للتوحيد يعتمد على التدفق على المقاييس الريمانية $g$ المعرفة بواسطة $log det Δ g$ .

يمكن إيجاد برهان باستخدام المؤثرات الإهليلجية، الذي اكتُشف عام ١٩٨٨، في $دينغ$ (٢٠٠١) . ليكن G $دالة$ غرين على $S²$ التي تحقق $ΔG = ١ + ٤πδP ،$ حيث $δP$ هو قياس النقطة عند نقطة ثابتة $P على S²$ $.$ للمعادلة $Δv$ $=$ ٢K $-$ $٢$ $حل$ $أملس$ v $،$ لأن الطرف الأيمن يساوي صفرًا وفقًا لنظرية غاوس-بونيه. وبالتالي، فإن $φ$ $=$ $٢G$ $+$ $v$ $تحقق$ Δφ $=$ $٢K$ $بعيدًا$ عن $P.$ يترتب على ذلك أن $g₁$ $=$ $eφg$ $هو$ مقياس كامل ذو انحناء ثابت يساوي صفرًا على متمم $P$ $،$ $وهو$ بالتالي متساوي القياس مع المستوى. وبتركيبه مع الإسقاط المجسم $،$ ينتج وجود دالة ملساء $u$ بحيث $يكون e²ug$ $ذا$ $انحناء غاوسي$ $يساوي$ $+١$ على متمم $P.$ تمتد الدالة $u تلقائيًا لتصبح دالة سلسة$ ^على كامل $S$ $2.$ [ ^د^]

الاتصال الريماني والنقل الموازي

كان النهج الكلاسيكي لغوس في الهندسة التفاضلية للأسطح هو النهج الأساسي القياسي ^{[ 90 ]} الذي سبق ظهور مفاهيم مشعب ريمان التي بدأها برنارد ريمان في منتصف القرن التاسع عشر، ومفاهيم الاتصال التي طورها توليو ليفي-سيفيتا وإيلي كارتان وهيرمان فايل في أوائل القرن العشرين. وقد وفر مفهوم الاتصال والمشتق المتغير والنقل المتوازي طريقة أكثر شمولية وتوحيدًا لفهم الانحناء، مما سمح ليس فقط بتعميمات على مشعبات ذات أبعاد أعلى، بل وفر أيضًا أداة مهمة لتعريف ثوابت هندسية جديدة، تُسمى الفئات المميزة . ^{[ 91 ]} ويُعد النهج الذي يستخدم المشتقات المتغيرة والاتصالات هو النهج المعتمد حاليًا في الكتب الدراسية الأكثر تقدمًا. ^{[ 92 ]}

المشتق المتغير

يمكن تعريف الاتصالات على سطح ما من وجهات نظر متكافئة ومتساوية الأهمية. ولعلّ أسهل فهم للاتصال الريماني، أو اتصال ليفي-تشيفيتا ^{[ 93 ]} ، يكمن في رفع حقول المتجهات ، التي تُعتبر مؤثرات تفاضلية من الرتبة الأولى تعمل على الدوال على المتشعب، إلى مؤثرات تفاضلية على الحزمة المماسية أو حزمة الإطار . في حالة السطح المُضمّن، يُوصف رفع المؤثر على حقول المتجهات، والذي يُسمى المشتقة المتغيرة ، ببساطة شديدة باستخدام الإسقاط المتعامد. في الواقع، يمكن اعتبار حقل متجه على سطح مُضمّن في $R³$ $دالة$ من السطح إلى $R³ .$ يعمل حقل متجه آخر كمؤثر تفاضلي على مستوى كل عنصر. لن يكون حقل المتجهات الناتج مماسًا للسطح، ولكن يمكن تصحيح ذلك بأخذ إسقاطه المتعامد على الفضاء المماسي عند كل نقطة من السطح. كما أدرك ريتشي وليفي -سيفيتا في مطلع القرن العشرين، فإن هذه العملية تعتمد فقط على المقياس ويمكن التعبير عنها محليًا من حيث رموز كريستوفيل.

النقل الموازي

كان النقل المتوازي للمتجهات المماسية على طول منحنى في السطح هو التقدم الرئيسي التالي في هذا المجال، بفضل ليفي-تشيفيتا .^{[ 50 ]} ويرتبط هذا المفهوم بالمفهوم السابق للمشتقة المتغيرة، لأنه يمثل أحادية المعادلة التفاضلية العادية على المنحنى، والمحددة بالمشتقة المتغيرة بالنسبة لمتجه سرعة المنحنى. كما يمكن وصف النقل المتوازي على طول الخطوط الجيوديسية، وهي "الخطوط المستقيمة" للسطح، بسهولة وبشكل مباشر. يُنقل المتجه في المستوى المماسي على طول خط جيوديسي كحقل متجهي فريد ذي طول ثابت ويصنع زاوية ثابتة مع متجه سرعة الخط الجيوديسي. بالنسبة لمنحنى عام، يجب تعديل هذه العملية باستخدام انحناء الخط الجيوديسي، الذي يقيس مدى انحراف المنحنى عن كونه خطًا جيوديسيًا.^{[ 65 ]}

يُقال إن حقل متجه $v (t)$ على طول منحنى سرعة الوحدة $c (t)$ ، ذي انحناء جيوديسي $kg (t) ،$ يكون موازياً للمنحنى إذا

له طول ثابت
الزاوية $θ (t)$ التي يصنعها مع متجه السرعة $ċ (t)$ تحقق

{\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)

يُعيد هذا استحضار قاعدة النقل المتوازي على طول منحنى جيوديسي أو منحنى جيوديسي مُجزأ، لأنه في هذه الحالة يكون $kg$ $= 0$ ، وبالتالي يجب أن تظل الزاوية $θ (t)$ ثابتة على أي جزء جيوديسي. وينتج وجود النقل المتوازي لأن $θ (t)$ يُمكن حسابها كتكامل لانحناء الجيوديسي. وبما أنها تعتمد بالتالي بشكل مستمر على معيار $L2 لـ$ $kg ،$ $فإنه يترتب على ذلك أنه يُمكن الحصول على$ النقل المتوازي لمنحنى عشوائي كحد للنقل المتوازي على منحنيات جيوديسية مُجزأة تقريبية. ^{[ 94 ]}

يمكن وصف هذا الارتباط من خلال ربط مسارات الرفع في الفضاء المتشعب بمسارات في حزمة الإطار المماسي أو المتعامد، مما يُضفي طابعًا رسميًا على النظرية الكلاسيكية لـ " الإطار المتحرك "، التي فضّلها الباحثون الفرنسيون. ^{[ 95 ]} يؤدي رفع الحلقات حول نقطة ما إلى ظهور زمرة التماثل عند تلك النقطة. ويمكن استخلاص انحناء غاوس عند نقطة ما من خلال النقل المتوازي حول حلقات متناهية الصغر عند تلك النقطة. وبالمثل، يمكن حساب الانحناء مباشرةً على مستوى متناهي الصغر بدلالة أقواس لي لحقول المتجهات المرفوعة.

نموذج الاتصال 1

يُقدّم نهج كارتان وويل، باستخدام أشكال الاتصال من الدرجة الأولى على حزمة الإطار M $،$ طريقةً ثالثةً لفهم الاتصال الريماني. لاحظا أن النقل المتوازي يقتضي رفع مسار في السطح إلى مسار في حزمة الإطار بحيث تقع متجهاته المماسية في فضاء فرعي خاص ذي بُعد مشترك واحد في الفضاء المماسي ثلاثي الأبعاد لحزمة الإطار. يُعرَّف الإسقاط على هذا الفضاء الفرعي بواسطة شكل تفاضلي من الدرجة الأولى على حزمة الإطار المتعامدة، وهو شكل الاتصال . وقد مكّن هذا من ترميز خصائص انحناء السطح في أشكال تفاضلية على حزمة الإطار وصيغ تتضمن مشتقاتها الخارجية .

يُعدّ هذا النهج بسيطًا للغاية بالنسبة للأسطح المُضمّنة. فبفضل نتيجة كوباياشي (1956) ، $فإنّ$ شكل الاتصال من الدرجة الأولى على سطح مُضمّن في الفضاء الإقليدي $E3$ هو ببساطة السحب العكسي تحت خريطة غاوس لشكل الاتصال من الدرجة الأولى على $S2$ . ^[ $96$ ^] وباستخدام تعريف $S2$ مع الفضاء المتجانس $SO(3)/SO(2)$ ، فإنّ شكل الاتصال من الدرجة الأولى هو ببساطة أحد مُكوّنات شكل ماورر-كارتان $من$ الدرجة الأولى على $SO(3$ ⁾ . ^[⁹⁷^]

الهندسة التفاضلية العالمية للأسطح

على الرغم من أن توصيف الانحناء يقتصر على الهندسة المحلية للسطح، إلا أن هناك جوانب عالمية مهمة مثل نظرية غاوس-بونيه ، ونظرية التوحيد ، ونظرية فون مانغولد-هادامارد، ونظرية التضمين. وهناك جوانب أخرى مهمة للهندسة العالمية للأسطح. ^{[ 98 ]} وتشمل هذه:

نصف قطر الحقن ، يُعرَّف بأنه أكبر قيمة $لـ$ $r$ بحيث تتصلنقطتان على مسافة أقل من $r بخط جيوديسي واحد. أثبت فيلهلم كلينجنبرغ عام 1959 أن نصف قطر الحقن لسطح مغلق محدود من الأسفل بالحد الأدنى لـ$ $δ = π / \sqrt sup K$ وطول أقصر خط جيوديسي مغلق له. وقد حسّن هذا من نظرية بونيه التي بيّنت عام 1855 أن قطر سطح مغلق ذي انحناء غاوسي موجب يكون دائمًا محدودًا من الأعلى بـ $δ ؛ بعبارة أخرى$ $،$ لا يمكن أن يتجاوز طول الخط الجيوديسي الذي يحقق المسافة المترية بين نقطتين $δ$ .
الصلابة . في عام 1927، أثبت كوهن-فوسن أن سطحين بيضاويين - سطحين مغلقين ذوي انحناء غاوسي موجب - متساويي القياس، متطابقان بالضرورة وفقًا لتساوي القياس $E³ .$ علاوة على ذلك، فإن السطح المغلق المضمن ذو الانحناء الغاوسي الموجب ومتوسط الانحناء الثابت هو بالضرورة كرة؛ وبالمثل، فإن السطح المغلق المضمن ذو الانحناء الغاوسي الثابت هو بالضرورة كرة (ليبمان 1899). بيّن هاينز هوبف في عام 1950 أن السطح المغلق المضمن ذو متوسط الانحناء الثابت والجنس 0، أي المتماثل مع كرة، هو بالضرورة كرة؛ وبعد خمس سنوات، ألغى ألكسندروف الافتراض الطوبولوجي. في ثمانينيات القرن العشرين، أنشأ وينت أسطحًا حلقية مغمورة ذات متوسط انحناء ثابت في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد.
حدسية كاراثيودوري : تنص هذه الحدسية على أن السطح المحدب المغلق القابل للتفاضل ثلاث مرات يحتوي على نقطتين سريتين على الأقل . أُجري أول بحث حول هذه الحدسية عام 1924 على يد هانز هامبرغر ، الذي لاحظ أنها تستنتج من الادعاء الأقوى التالي: أن مؤشر انحناء التوريق الرئيسي لنقطة سرية معزولة، ذي القيمة النصفية الصحيحة، لا يتجاوز الواحد. وقد بُرهنت هذه الحدسية للأسطح الملساء على يد بريندان غيلفويل وويلهلم كلينجنبرغ في ثلاثة أجزاء^{[ 99 ]}^{[ 100 ]}^{[ 101 ]} ، واختُتمت في عام 2024، في الذكرى المئوية لهذه الحدسية.
انحناء غاوسي صفري : يجب أن يكون السطح الكامل في $E 3$ ذو الانحناء الغاوسي الصفري أسطوانة أو مستوى.
نظرية هيلبرت (1901): لا يمكن غمر أي سطح كامل ذي انحناء سلبي ثابت بشكل متساوي القياس في $E 3$ .

حدسية ويلمور . تنص هذه الحدسية على أن تكامل مربع متوسط انحناء سطح حلقي مغمور في الفضاء $E³$ $يجب$ أن يكون محدودًا من الأسفل بـ $2π²$ $.$ ومن المعروف أن هذا التكامل ثابت تحت تأثير موبيوس. وقد تم حلها في عام 2012 بواسطة فرناندو كودا ماركيز وأندريه نيفيس . ^{[ 102 ]}
متباينات تساوي المحيط . في عام 1939، أثبت شميدت أن متباينة تساوي المحيط الكلاسيكية للمنحنيات في المستوى الإقليدي صالحة أيضًا على الكرة أو في المستوى الزائدي: أي أنه بين جميع المنحنيات المغلقة التي تحدد نطاقًا ذا مساحة ثابتة، يكون المحيط في أدنى قيمة له عندما يكون المنحنى دائرة بالنسبة للمقياس. في بُعد أعلى، من المعروف أنه بين جميع الأسطح المغلقة في $E³$ الناشئة كحدود لنطاق محدود ذي حجم وحدة، تكون مساحة السطح في أدنى قيمة لها بالنسبة للكرة الإقليدية $.$
متباينات الانقباض للمنحنيات على الأسطح . يُعرَّف الانقباض لسطح مغلقبأنه أقصر طول لأي منحنى مغلق غير قابل للانكماش على هذا السطح. في عام ١٩٤٩،أثبت لوفنر متباينة الطارة للمقاييس على الطارة، وهي أن مساحة الطارة مقسومة على مربع انقباضها محدودة من الأسفل بـ $\sqrt٣$ $/$ $٢$ $،$ $مع تساويها في حالة السطح المستوي (الانحناء الثابت). وقد توصلت متباينة بو، التي نُشرت عام ١٩٥٢$ $،$ إلى نتيجة مماثلة للمستوى الإسقاطي الحقيقي ، حيث بلغ الحد الأدنى٢ $/$ $π$ $في$ حالة الانحناء الثابت أيضًا. أما بالنسبة لزجاجة كلاين ، فقد حصل بلاتر وبافارد لاحقًا $على$ $حد$ $أدنى$ $قدره$ $\sqrt٨$ $/$ $π$ $.$ بالنسبة لسطح مغلق من النوع $g$ ، أثبت هيبدا وبوراجو أن النسبة محدودة من الأسفل بـ $1/2$ $.$ $بعد$ ثلاث سنوات، $وجد$ ميخائيل غروموف حدًا أدنى يُعطى بثابت مضروبًا في $g$ $1/2$ $،$ $على الرغم من أن هذا ليس الأمثل. تُعزى الحدود العليا والسفلى الدقيقة تقاربًا$ $،$ والمُعطاة بثابت مضروبًا في $g$ $/$ $($ $log$ $g$ $)$ $2$ $،$ إلى غروموف وبوسر-سارناك، ويمكن الاطلاع عليها في $كاتز ($ 2007) $.$ يوجد أيضًا إصدار للمقاييس على الكرة، يأخذ طول أصغر مسار جيوديسي مغلق للانقباض . افترض غروموف حدًا أدنى قدره $1/2$ $\sqrt3$ $في$ عام 1980: أفضل نتيجة حتى الآن هي الحد الأدنى $1/8$ $الذي$ $حصلت$ $عليه$ $ريجينا$ روتمان في^عام $2006.$ $[$ ¹⁰³^]

دليل القراءة

يُعد كتاب بيرغر (2004) من أكثر الدراسات التمهيدية شمولاً في هذا الموضوع، إذ يرصد تطوره التاريخي منذ ما قبل غاوس وحتى العصر الحديث. وتُقدم دراسات عن النظرية الكلاسيكية في كتب أيزنهاورت (2004) ، وكريزيغ (1991) ، وسترويك (1988) . أما كتب غراي، وأبينا ، وسالامون (2006) ، وبريسلي (2001) ، وويلسون (2008) الحديثة والمُزودة برسوم توضيحية وافرة، فقد تكون أكثر سهولة في الفهم. ويمكن الاطلاع على شرح مبسط للنظرية الكلاسيكية في كتاب هيلبرت وكوهن -فوسن (1952) . أما المعالجات الأكثر تعقيدًا على مستوى الدراسات العليا، والتي تستخدم اتصال ريمان على سطح، فتُقدم في كتب سينغر وثورب (1967) ، ودو كارمو (2016) ، وأونيل (2006) .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ السطح الأملس هو سطح يكون لكل نقطة فيه جوار متماثل مع مجموعة مفتوحة في E ² .
↑ السطح الريماني هو سطح أملس مزود بمقياس ريماني.
↑ لاحظ أنه في بعض النصوص الأحدث، يُشار إلى الشكل الثنائي الخطي المتناظر على الجانب الأيمن باسم الشكل الأساسي الثاني؛ ومع ذلك، فإنه لا يتوافق بشكل عام مع الشكل الأساسي الثاني المحدد كلاسيكيًا.
↑ يتبع هذا من خلال حجة تتضمن نظرية ساكس وأولينبيك (1981) حول التفردات القابلة للإزالة للخرائط التوافقية ذات الطاقة المحدودة.

1 2 غاوس 1902 .
↑ ستريك 1987 ، الصفحات 50-53
↑ ويلز 2017 ، الصفحات 17-30
↑ أويلر 1760
↑ أويلر 1771
^ مونج ، غاسبار (1807). "تطبيق التحليل في الهندسة" (بالفرنسية).
↑ كريزيج 1991
1 2 ستريك 1988
↑ وارنر 1983
↑ هيتشين 2013 ، ص 45
^ دو كارمو 2016 ، ص 54-56
↑ ويلسون 2008 ، ص 115
↑ بريسلي 2001 ، الصفحات 68-77
↑ دو كارمو 2016 ، ص 55
^ دو كارمو 2016 ، ص 60-65
↑ أونيل 2006 ، ص 113
↑ لي "مقدمة في المشعبات الملساء"
↑ دو كارمو 2016 ، ص 72
↑ كريزيج 1991
↑ سينجر وثورب 1967 ، ص 100-114
↑ سينجر وثورب 1967 ، ص 133-134
^ دو كارمو 2016 ، ص 155 – 157
↑ دو كارمو، صفحة 235
↑ دو كارمو، صفحة 238
↑ دو كارمو، الصفحات 237-238
↑ ستريك 1988 ، ص 112
↑ داربو، المجلد الثالث، الصفحة 246
↑ بيرغر. نظرة بانورامية على الهندسة الريمانية.
↑ أونيل 2006 ، ص 257
^ دو كارمو 2016 ، ص 309-314
↑ هيتشين 2013 ، ص 57
^ دو كارمو 2016 ، ص. 221-222
↑ أونيل 2006 ، الصفحات 281-289
↑ هيتشين 2013 ، الصفحات 57-58
↑ دو كارمو 2016 ، ص 223
^ دو كارمو 2016 ، ص 222 – 223
^ دو كارمو 2016 ، ص 224-225
↑ دو كارمو، صفحة 183
1 2 دو كارمو، صفحة 242
↑ هيتشين 2013
↑ ستريك 1988
↑ أونيل 2006
↑ سبيفاك، "مقدمة شاملة للهندسة التفاضلية، المجلد الثالث." الصفحة 157.
↑ سبيفاك، الصفحات 161-166
↑ سبيفاك، صفحة 168
↑ أيزنهارت 2004 ، الصفحات 228-229
^ أيزنهارت 2004 ، ص 241-250 ؛ دو كارمو 2016 ، الصفحات من 188 إلى 197 .
↑ دو كارمو 2016 ، ص 194 .
↑ Eisenhart 2004 ، ص 61-65 .
1 2 3 4 أيزنهاورت 2004
^ أيزنهارت 2004 ، ص 250-269 ؛ دو كارمو 2016 ، الصفحات من 197 إلى 213 .
↑ تم وصف حل دوغلاس في كوران (1950) .
^ أيزنهارت 2004 ، ص 270-291 ؛ اونيل 2006 ، الصفحات من 249 إلى 251 ؛ هيلبرت وكون -فوسن 1952 .
↑ ستيلويل 1996 ، ص 1-5 .
↑ ويلسون 2008 .
↑ O'Neill 2006 ، ص 195–216 ؛ do Carmo 2016 ، ص 134–153 ؛ Singer & Thorpe 1967 ، ص 216–224 .
^ جراي وأبينا وسلامون 2006 ، ص. 386 .
↑ بيرغر 2004 ؛ ويلسون 2008 ؛ ميلنور 1963 .
↑ أيزنهارت 2004 ، ص 131 ؛ بيرغر 2004 ، ص 39 ؛ دو كارمو 2016 ، ص 248 ؛ أونيل 2006 ، ص 237
↑ Eisenhart 2004 ; Taylor 1996a , pp. 472–473 , Appendix C.
↑ Eisenhart 2004 ، القسم 88 ؛ Berger 2004 .
↑ دو كارمو 2016 ، ص 357
↑ ميلنور 1963
↑ ويلسون 2008
1 2 بيرغر 2004
^ دو كارمو 2016 ، ص 303-305
↑ بيرغر 2004 ، الصفحات 41، 61، 123-124
↑ أونيل 2006 ، ص 395
↑ هيلجاسون 1978 ، ص 92
↑ أونيل 2006 ، ص 286
↑ دو كارمو 2016 ، ص 227
↑ أوسرمان 2002 ، الصفحات 31-32
^ دو كارمو 2016 ، ص 283-286
↑ ثورب 1994 ، الصفحات 201-207
↑ سينغر وثورب 1967 ؛ غارسيا، أدريانو م. (1961)، "تضمين أسطح ريمان المغلقة في الفضاء الإقليدي"، تعليقات الرياضيات الهيلفيتية ، 35 : 93-110 ، doi : 10.1007/BF02567009 ، S2CID 120653575
^ إيمايوشي وتانيغوتشي 1992 ، ص 47-49
↑ بيرغر 1977 ؛ تايلور 1996ب .
↑ ويلسون 2008 ، الصفحات 1-23 ، الفصل الأول، الهندسة الإقليدية .
↑ دو كارمو 2016 .
↑ ويلسون 2008 ، الصفحات 25-49 ، الفصل الثاني، الهندسة الكروية .
↑ ويلسون 2008 ، الفصل 2.
↑ أيزنهارت 2004 ، ص 110 .
↑ ستيلويل 1996 ؛ بونولا، كارزلو وإنريكيس 1955 .
↑ ويلسون 2008 ، الفصل 5.
↑ تايلور 1996ب ، ص 107 ؛ بيرغر 1977 ، ص 341-343 .
↑ بيرغر 1977 ، ص 222-225 ؛ تايلور 1996ب ، ص 101-108 .
↑ تايلور 1996ب
↑ تشاو 1991
↑ أشار تشين ولو وتيان (2006) إلى خطوة مفقودة في نهج هاميلتون وتشاو وقاموا بتصحيحها؛ انظر أيضًا أندروز وبريان (2010) .
↑ Eisenhart 2004 ; Kreyszig 1991 ; Berger 2004 ; Wilson 2008 .
^ كوباياشي ونوميزو 1969 ، الفصل الثاني عشر.
^ دو كارمو 2016 ؛ أونيل 2006 ؛ المغني وثورب 1967 .
↑ ليفي-تشيفيتا 1917
↑ أرنولد 1989 ، الصفحات 301-306 ، الملحق الأول؛ بيرغر 2004 ، الصفحات 263-264 .
↑ داربو .
^ كوباياشي ونوميزو 1969
↑ إيفي ولاندسبيرج 2003 .
^ بيرغر 2004 ، ص 145 – 161 ؛ دو كارمو 2016 ؛ تشيرن 1967 ; هوبف 1989 .
↑ غيلفويل، ب.؛ كلينجنبرغ، و. (2019). "تدفق انحناء متوسط الأبعاد المشتركة الأعلى للمشعبات الفرعية المكانية المدمجة" . معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 372 (9): 6263-6281 . arXiv : 1812.00710 . doi : 10.1090/tran/7766 . S2CID 119253397 .
↑ غيلفويل، ب.؛ كلينجنبرغ، و. (2020). "انتظام فريدهولم للأقراص الهولومورفية في الحزم المستوية فوق الأسطح المدمجة" . حوليات كلية العلوم، تولوز، الرياضيات . السلسلة 6. 29 (3): 565-576 . arXiv : 1812.00707 . doi : 10.5802/afst.1639 . S2CID 119659239 .
↑ غيلفويل، ب.؛ كلينجنبرغ، و. (2024). "إثبات حدسية توبونوغوف على الأسطح الكاملة" . مجلة غوكوفا للهندسة والطوبولوجيا . 17 : 1-50 . arXiv : 2002.12787 .
↑ كودا ماركيز، فرناندو؛ نيفيس، أندريه (2014). "نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى وتخمين ويلمور". حوليات الرياضيات . 179 (2): 683-782 . arXiv : 1202.6036 . doi : 10.4007 / annals.2014.179.2.6 . JSTOR 24522767. S2CID 50742102 .
↑ روتمان، ر. (2006) "طول أقصر مسار جيوديسي مغلق ومساحة كرة ثنائية الأبعاد"، وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات 134 : 3041-3047. وقد تم الحصول على حدود دنيا سابقة بواسطة كروك، وروتمان-نابوتوفسكي، وسابورو.

مراجع

أندروز، بن؛ برايان، بول (2010)، "حدود الانحناء عن طريق المقارنة متساوية المحيط لتدفق ريتشي المعياري على الكرة الثنائية"، حساب التفاضل والتكامل، المعادلات التفاضلية الجزئية ، 39 ( 3-4 ): 419-428 ، arXiv : 0908.3606 ، doi : 10.1007/s00526-010-0315-5 ، S2CID 1095459
أرنولد، السادس (1989)، الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 60 ( الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90314-9ترجمها من الروسية ك. فوغتمان وأ. وينشتاين.
بيرغر، مارسيل (2004)، نظرة بانورامية على الهندسة الريمانية ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-3-540-65317-2
بيرغر، ميلفين س. (1977)، اللاخطية والتحليل الوظيفي ، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 978-0-12-090350-4
بونولا، روبرتو؛ كارزلو، إتش إس؛ إنريكيس، إف. (1955)، الهندسة اللاإقليدية: دراسة نقدية وتاريخية لتطورها ، دوفر، ISBN 978-0-486-60027-7{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
بوثبي، ويليام م. (1986)، مقدمة في المشعبات التفاضلية والهندسة الريمانية ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد 120 ( الطبعة الثانية)، دار النشر الأكاديمية، ISBN 0121160521
كارتان، إيلي (1983)، هندسة الفضاءات الريمانية ، دار نشر العلوم الرياضية، رقم ISBN 978-0-915692-34-7; مترجم من الطبعة الثانية من Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951) بقلم جيمس جلازبروك.
كارتان، إيلي (2001)، الهندسة الريمانية في إطار متعامد (من محاضرات ألقاها إيلي كارتان في جامعة السوربون في 1926-1927) ، وورلد ساينتيفيك، doi : 10.1142/4808 ، ISBN 978-981-02-4746-1; ترجمة من الروسية بواسطة VV Goldberg مع مقدمة بقلم SS Chern .
كارتان، هنري (1971)، حساب التفاضل والتكامل (بالفرنسية)، هيرمان ، رقم ISBN 9780395120330
تشين، شيوكسيونغ؛ لو، بنغ؛ تيان، غانغ (2006)، "ملاحظة حول توحيد أسطح ريمان بواسطة تدفق ريتشي"، وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 134 (11): 3391-3393 ، doi : 10.1090/S0002-9939-06-08360-2
تشيرن، إس إس (1967)، المنحنيات والأسطح في الفضاءات الإقليدية ، دراسات الجمعية الرياضية الأمريكية في الرياضيات
تشاو، ب. (1991)، "تدفق ريتشي على كرة ثنائية الأبعاد"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 33 (2): 325-334 ، doi : 10.4310/jdg/1214446319
كوران، ريتشارد (1950)، مبدأ ديريشليه، والتحويل المطابق، والأسطح الدنيا ، جون وايلي وأولاده، ISBN 978-0-486-44552-6{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
داربوكس، غاستون ، دروس في النظرية العامة للأسطح ، غوتييه فيلارالمجلد الأول (1887) ، المجلد الثاني (1915) [1889] ، المجلد الثالث (1894) ، المجلد الرابع (1896) .
دينغ، و. ( 2001)، "برهان نظرية التوحيد على S ² "، مجلة المعادلات التفاضلية الجزئية ، 14 : 247-250
دو كارمو، مانفريدو ب. (2016)، الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح (الطبعة الثانية المنقحة والمحدثة )، مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، ISBN 978-0-486-80699-0
دو كارمو، مانفريدو (1992)، الهندسة الريمانية ، الرياضيات: النظرية والتطبيقات، بيركهاوزر، ISBN 0-8176-3490-8
أيزنهارت، لوثر فاهلر (2004)، رسالة في الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح (طبعة مُعاد طباعتها من طبعة 1909 )، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-43820-1
أويلر ، ليونارد ( 1760)، “Recherches sur la courbure des Surfaces” ، مذكرات أكاديمية العلوم في برلين ، 16 (نشرت 1767): 119–143.
يولر ، ليونارد (1771)، “De Solidis quorum superficiem in Planum explicare licet” ، Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae ، 16 (نشرت 1772): 3–34.
غاوس، كارل فريدريش (1902)، دراسات عامة للأسطح المنحنية لعامي 1825 و1827 ، مكتبة جامعة برينستونتمت الترجمة بواسطة AM Hiltebeitel وJC Morehead؛ "Disquisitiones Generales circa superficies curvas" ، Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Residentiores Vol. السادس (1827)، الصفحات من 99 إلى 146.
- غاوس، كارل فريدريش (1965)، دراسات عامة للأسطح المنحنية ، ترجمة إيه إم هيلتبايتل؛ جيه سي مورهد، هيوليت، نيويورك: دار رافين للنشر، OCLC 228665499 .
- غاوس، كارل فريدريش (2005)، دراسات عامة للأسطح المنحنية ، حرره بيتر بيسيك مع مقدمة وتعليقات جديدة، مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-44645-5.
غراي، ألفريد؛ أبينا، إلسا؛ سالامون، سيمون (2006)، الهندسة التفاضلية الحديثة للمنحنيات والأسطح باستخدام برنامج Mathematica® ، دراسات في الرياضيات المتقدمة ( الطبعة الثالثة)، بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN 978-1-58488-448-4
هان، تشينغ؛ هونغ، جيا-شينغ (2006)، التضمين المتساوي القياس للمشعبات الريمانية في الفضاءات الإقليدية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 978-0-8218-4071-9
هيلجاسون، سيجوردور (1978)، الهندسة التفاضلية، زمر لي، والفضاءات المتناظرة ، دار النشر الأكاديمية، نيويورك، ISBN 978-0-12-338460-7
هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952)، الهندسة والخيال (الطبعة الثانية )، نيويورك: تشيلسي، ISBN 978-0-8284-1087-8{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
هيتشين، نايجل (2013)، هندسة الأسطح (ملف PDF)
هوبف، هاينز (1989)، محاضرات في الهندسة التفاضلية في الفضاء الكبير ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1000، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-3-540-51497-8
إيمايوشي، ي.؛ تانيغوتشي، م. (1992)، مقدمة في فضاءات تيكمولر ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-70088-5
إيفي، توماس أ.؛ لاندسبيرغ، ج.م. (2003)، كارتان للمبتدئين: الهندسة التفاضلية عبر الأطر المتحركة والأنظمة الخارجية ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد 61، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 978-0-8218-3375-9
كاتز، ميخائيل ج. (2007)، الهندسة والطوبولوجيا الانقباضية ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد 137، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ISBN 978-0-8218-4177-8
ميلنور، ج. (1963). نظرية مورس . حوليات دراسات الرياضيات. المجلد 51. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. MR 0163331. Zbl 0108.10401 .
كوباياشي، شوشيتشي (1956)، "الوصلات المستحثة والفضاء الريماني المضمن"، مجلة ناغويا للرياضيات ، 10 : 15-25 ، doi : 10.1017/S0027763000000052
كوباياشي ، شوشيشي (1957)، “نظرية الاتصالات”، Annali di Matematica Pura ed Applicata ، السلسلة 4، 43 : 119–194 ، دوى : 10.1007 / BF02411907 ، S2CID 120972987 ،
كوباياشي، شوشيشي؛ نوميزو، كاتسومي (1963)، أسس الهندسة التفاضلية، المجلد. أنا ، وايلي إنترساينس، ISBN 978-0-470-49648-0{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
كوباياشي، شوشيشي؛ نوميزو، كاتسومي (1969)، أسس الهندسة التفاضلية، المجلد. II ، وايلي إنترساينس، ISBN 978-0-470-49648-0
كريزيج، إروين (1991)، الهندسة التفاضلية ، دوفر، رقم ISBN 978-0-486-66721-8
كوهنيل، وولفغانغ (2006)، الهندسة التفاضلية: المنحنيات - الأسطح - المتشعبات ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 978-0-8218-3988-1
ليفي سيفيتا ، توليو (1917) ، “Nozione di موازية في una varietà qualunque” , Rend. سيرك. حصيرة. باليرمو ، 42 : 173-205 ، دوى : 10.1007 / BF03014898 ، S2CID 122088291
أونيل، باريت (2006)، الهندسة التفاضلية الابتدائية (الطبعة الثانية المنقحة )، أمستردام: إلسيفير/أكاديميك برس، رقم ISBN 0-12-088735-5
أوسجود، ب.؛ فيليبس، ر.؛ سارناك، ب. (1988)، "القيم القصوى لمحددات لابلاس"، مجلة التحليل الوظيفي ، 80 : 148-211 ، doi : 10.1016/0022-1236(88)90070-5
أوسرمان، روبرت (2002)، مسح للأسطح الدنيا ، دوفر، ISBN 978-0-486-49514-9
إيان ر. بورتيوس (2001) التفاضل الهندسي: من أجل ذكاء المنحنيات والأسطح ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-00264-8.
بريسلي، أندرو (2001)، الهندسة التفاضلية الابتدائية ، سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 978-1-85233-152-8
ساكس، ج.؛ أولينبيك، كارين (1981)، "وجود غمر أدنى للكرات ثنائية الأبعاد"، حوليات الرياضيات ، 112 (1): 1-24 ، doi : 10.2307/1971131 ، JSTOR 1971131
سينغر، إيزادور م .؛ ثورب، جون أ. (1967)، محاضرات في الطوبولوجيا والهندسة الابتدائية ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90202-9
سبيفاك، مايكل (1965)، حساب التفاضل والتكامل على المشعبات: مدخل حديث إلى النظريات الكلاسيكية في حساب التفاضل والتكامل المتقدم ، دبليو إيه بنجامين
ستيلويل، جون (1996)، مصادر الهندسة الزائدية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-8218-0558-9
ستريك، ديرك (1987)، تاريخ موجز للرياضيات (الطبعة الرابعة )، منشورات دوفر، رقم ISBN 0486602559
ستريك، ديرك ج. (1988) [1961]، محاضرات في الهندسة التفاضلية الكلاسيكية (إعادة طبع الطبعة الثانية )، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-65609-8
تايلور، مايكل إي. (1996أ)، المعادلات التفاضلية الجزئية II: دراسات نوعية للمعادلات الخطية ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-1-4419-7051-0
تايلور، مايكل إي. (1996ب)، المعادلات التفاضلية الجزئية III: المعادلات غير الخطية ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-1-4419-7048-0
ثورب، جون أ. (1994)، مواضيع أساسية في الهندسة التفاضلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0387903577
توبونوغوف، فيكتور أ. (2005)، الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح: دليل موجز ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-8176-4384-3
فاليرون، جورج (1986)، الهندسة التفاضلية الكلاسيكية للمنحنيات والأسطح ، دار نشر العلوم الرياضية، رقم ISBN 978-0-915692-39-2النص الكامل للكتاب
وارنر، فرانك دبليو. (1983)، أسس المشعبات التفاضلية ومجموعات لي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 94، سبرينغر، ISBN 0-387-90894-3
ويلز، آر أو (2017)، الهندسة التفاضلية والمركبة: الأصول والتجريدات والتضمينات ، سبرينغر، رقم ISBN 9783319581842
ويلسون، بيلهام (2008)، الفضاء المنحني: من الهندسات الكلاسيكية إلى الهندسة التفاضلية الأولية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-71390-0

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بالهندسة التفاضلية للأسطح على ويكيميديا كومنز

[1] السطح الأملس هو سطح يكون لكل نقطة فيه جوار متماثل مع مجموعة مفتوحة في E ² .

[2] السطح الريماني هو سطح أملس مزود بمقياس ريماني.

[60] لاحظ أنه في بعض النصوص الأحدث، يُشار إلى الشكل الثنائي الخطي المتناظر على الجانب الأيمن باسم الشكل الأساسي الثاني؛ ومع ذلك، فإنه لا يتوافق بشكل عام مع الشكل الأساسي الثاني المحدد كلاسيكيًا.

[93] يتبع هذا من خلال حجة تتضمن نظرية ساكس وأولينبيك (1981) حول التفردات القابلة للإزالة للخرائط التوافقية ذات الطاقة المحدودة.

[FOOTNOTEGauss1902-3] 1 2 غاوس 1902 .

[4] ستريك 1987 ، الصفحات 50-53

[5] ويلز 2017 ، الصفحات 17-30

[6] أويلر 1760

[7] أويلر 1771

[8] مونج ، غاسبار (1807). "تطبيق التحليل في الهندسة" (بالفرنسية).

[9] كريزيج 1991

[Struik_1988-10] 1 2 ستريك 1988

[11] وارنر 1983

[12] هيتشين 2013 ، ص 45

[13] دو كارمو 2016 ، ص 54-56

[14] ويلسون 2008 ، ص 115

[15] بريسلي 2001 ، الصفحات 68-77

[16] دو كارمو 2016 ، ص 55

[17] دو كارمو 2016 ، ص 60-65

[18] أونيل 2006 ، ص 113

[19] لي "مقدمة في المشعبات الملساء"

[20] دو كارمو 2016 ، ص 72

[21] كريزيج 1991

[22] سينجر وثورب 1967 ، ص 100-114

[23] سينجر وثورب 1967 ، ص 133-134

[24] دو كارمو 2016 ، ص 155 – 157

[25] دو كارمو، صفحة 235

[26] دو كارمو، صفحة 238

[27] دو كارمو، الصفحات 237-238

[28] ستريك 1988 ، ص 112

[29] داربو، المجلد الثالث، الصفحة 246

[30] بيرغر. نظرة بانورامية على الهندسة الريمانية.

[31] أونيل 2006 ، ص 257

[32] دو كارمو 2016 ، ص 309-314

[33] هيتشين 2013 ، ص 57

[34] دو كارمو 2016 ، ص. 221-222

[35] أونيل 2006 ، الصفحات 281-289

[36] هيتشين 2013 ، الصفحات 57-58

[37] دو كارمو 2016 ، ص 223

[38] دو كارمو 2016 ، ص 222 – 223

[39] دو كارمو 2016 ، ص 224-225

[40] دو كارمو، صفحة 183

[Do_Carmo,_page_242-41] 1 2 دو كارمو، صفحة 242

[42] هيتشين 2013

[43] ستريك 1988

[44] أونيل 2006

[45] سبيفاك، "مقدمة شاملة للهندسة التفاضلية، المجلد الثالث." الصفحة 157.

[46] سبيفاك، الصفحات 161-166

[47] سبيفاك، صفحة 168

[48] أيزنهارت 2004 ، الصفحات 228-229

[49] أيزنهارت 2004 ، ص 241-250 ؛ دو كارمو 2016 ، الصفحات من 188 إلى 197 .

[50] دو كارمو 2016 ، ص 194 .

[51] Eisenhart 2004 ، ص 61-65 .

[ref_-52] 1 2 3 4 أيزنهاورت 2004

[53] أيزنهارت 2004 ، ص 250-269 ؛ دو كارمو 2016 ، الصفحات من 197 إلى 213 .

[54] تم وصف حل دوغلاس في كوران (1950) .

[55] أيزنهارت 2004 ، ص 270-291 ؛ اونيل 2006 ، الصفحات من 249 إلى 251 ؛ هيلبرت وكون -فوسن 1952 .

[56] ستيلويل 1996 ، ص 1-5 .

[57] ويلسون 2008 .

[58] O'Neill 2006 ، ص 195–216 ؛ do Carmo 2016 ، ص 134–153 ؛ Singer & Thorpe 1967 ، ص 216–224 .

[59] جراي وأبينا وسلامون 2006 ، ص. 386 .

[61] بيرغر 2004 ؛ ويلسون 2008 ؛ ميلنور 1963 .

[62] أيزنهارت 2004 ، ص 131 ؛ بيرغر 2004 ، ص 39 ؛ دو كارمو 2016 ، ص 248 ؛ أونيل 2006 ، ص 237

[63] Eisenhart 2004 ; Taylor 1996a , pp. 472–473 , Appendix C.

[64] Eisenhart 2004 ، القسم 88 ؛ Berger 2004 .

[65] دو كارمو 2016 ، ص 357

[66] ميلنور 1963

[67] ويلسون 2008

[harvnb|Berger|2004-68] 1 2 بيرغر 2004

[69] دو كارمو 2016 ، ص 303-305

[70] بيرغر 2004 ، الصفحات 41، 61، 123-124

[71] أونيل 2006 ، ص 395

[72] هيلجاسون 1978 ، ص 92

[73] أونيل 2006 ، ص 286

[74] دو كارمو 2016 ، ص 227

[75] أوسرمان 2002 ، الصفحات 31-32

[76] دو كارمو 2016 ، ص 283-286

[77] ثورب 1994 ، الصفحات 201-207

[Garsia1961-78] سينغر وثورب 1967 ؛ غارسيا، أدريانو م. (1961)، "تضمين أسطح ريمان المغلقة في الفضاء الإقليدي"، تعليقات الرياضيات الهيلفيتية ، 35 : 93-110 ، doi : 10.1007/BF02567009 ، S2CID 120653575

[79] إيمايوشي وتانيغوتشي 1992 ، ص 47-49

[80] بيرغر 1977 ؛ تايلور 1996ب .

[81] ويلسون 2008 ، الصفحات 1-23 ، الفصل الأول، الهندسة الإقليدية .

[82] دو كارمو 2016 .

[83] ويلسون 2008 ، الصفحات 25-49 ، الفصل الثاني، الهندسة الكروية .

[84] ويلسون 2008 ، الفصل 2.

[85] أيزنهارت 2004 ، ص 110 .

[86] ستيلويل 1996 ؛ بونولا، كارزلو وإنريكيس 1955 .

[87] ويلسون 2008 ، الفصل 5.

[88] تايلور 1996ب ، ص 107 ؛ بيرغر 1977 ، ص 341-343 .

[89] بيرغر 1977 ، ص 222-225 ؛ تايلور 1996ب ، ص 101-108 .

[90] تايلور 1996ب

[91] تشاو 1991

[92] أشار تشين ولو وتيان (2006) إلى خطوة مفقودة في نهج هاميلتون وتشاو وقاموا بتصحيحها؛ انظر أيضًا أندروز وبريان (2010) .

[94] Eisenhart 2004 ; Kreyszig 1991 ; Berger 2004 ; Wilson 2008 .

[95] كوباياشي ونوميزو 1969 ، الفصل الثاني عشر.

[96] دو كارمو 2016 ؛ أونيل 2006 ؛ المغني وثورب 1967 .

[97] ليفي-تشيفيتا 1917

[98] أرنولد 1989 ، الصفحات 301-306 ، الملحق الأول؛ بيرغر 2004 ، الصفحات 263-264 .

[FOOTNOTEDarboux-99] داربو .

[100] كوباياشي ونوميزو 1969

[101] إيفي ولاندسبيرج 2003 .

[102] بيرغر 2004 ، ص 145 – 161 ؛ دو كارمو 2016 ؛ تشيرن 1967 ; هوبف 1989 .

[GuilKling19-103] غيلفويل، ب.؛ كلينجنبرغ، و. (2019). "تدفق انحناء متوسط الأبعاد المشتركة الأعلى للمشعبات الفرعية المكانية المدمجة" . معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 372 (9): 6263-6281 . arXiv : 1812.00710 . doi : 10.1090/tran/7766 . S2CID 119253397 .

[GuilKling20-104] غيلفويل، ب.؛ كلينجنبرغ، و. (2020). "انتظام فريدهولم للأقراص الهولومورفية في الحزم المستوية فوق الأسطح المدمجة" . حوليات كلية العلوم، تولوز، الرياضيات . السلسلة 6. 29 (3): 565-576 . arXiv : 1812.00707 . doi : 10.5802/afst.1639 . S2CID 119659239 .

[GuilKling24-105] غيلفويل، ب.؛ كلينجنبرغ، و. (2024). "إثبات حدسية توبونوغوف على الأسطح الكاملة" . مجلة غوكوفا للهندسة والطوبولوجيا . 17 : 1-50 . arXiv : 2002.12787 .

[106] كودا ماركيز، فرناندو؛ نيفيس، أندريه (2014). "نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى وتخمين ويلمور". حوليات الرياضيات . 179 (2): 683-782 . arXiv : 1202.6036 . doi : 10.4007 / annals.2014.179.2.6 . JSTOR 24522767. S2CID 50742102 .

[107] روتمان، ر. (2006) "طول أقصر مسار جيوديسي مغلق ومساحة كرة ثنائية الأبعاد"، وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات 134 : 3041-3047. وقد تم الحصول على حدود دنيا سابقة بواسطة كروك، وروتمان-نابوتوفسكي، وسابورو.

[

[

[ 1 ]

2

[

[

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

المخططات

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ].

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

34

35

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

ثلاثي

[

[

[ ج ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[

[

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[

76

[

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ 84 ]

[ 85 ]

[ 86 ]

[ 87 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

على

[ 90 ]

[ 91 ]

[ 92 ]

[ 93 ]

[ 94 ]

[ 95 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗