الهندسة الانقباضية

في الرياضيات ، الهندسة الانقباضية هي دراسة الثوابت الانقباضية للمتشعبات والمجسمات ، كما تصورها تشارلز لوينر في البداية وطورها ميخائيل غروموف ، ومايكل فريدمان ، وبيتر سارناك ، وميخائيل كاتز ، ولاري غوث ، وغيرهم، في مظاهرها الحسابية والإرجودية والطوبولوجية.

الانقباض في فضاء متري متراص X هو ثابت متري لـ X ، ويُعرَّف بأنه أقصر طول لحلقة غير قابلة للانكماش في X ( أي حلقة لا يمكن انكماشها إلى نقطة في الفضاء المحيط بـ X ). بعبارة أخرى، نُقلِّل الطول على الحلقات الحرة التي تُمثِّل فئات الاقتران غير التافهة في المجموعة الأساسية لـ X. عندما يكون X رسمًا بيانيًا ، يُشار إلى هذا الثابت عادةً باسم " المحيط" ، منذ مقالة WT Tutte المنشورة عام 1947 حول المحيط . ^{[ 1 ]} ربما استلهم لوفنر من مقالة Tutte، فبدأ بالتفكير في مسائل الانقباض على الأسطح في أواخر الأربعينيات، مما أدى إلى أطروحة عام 1950 لطالبه باو مينغ بو . أما مصطلح "الانقباض" نفسه فلم يُصاغ إلا بعد ربع قرن، على يد مارسيل بيرغر .

يبدو أن هذا المسار البحثي قد اكتسب زخماً إضافياً بفضل ملاحظة أدلى بها رينيه توم ، في محادثة مع بيرغر في مكتبة جامعة ستراسبورغ خلال العام الدراسي 1961-1962، بعد فترة وجيزة من نشر أوراق ر. أكولا ^{[ 2 ]} و س. بلاتر ^{[ 3 ]} . إذ يُروى أن توم، في إشارة إلى هذه التفاوتات الانقباضية، هتف قائلاً: " لكن هذه النتائج ذات أهمية جوهرية!".

بعد ذلك، قام بيرغر بنشر الموضوع على نطاق واسع من خلال سلسلة من المقالات والكتب. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

تضم قائمة المراجع على الموقع الإلكتروني الخاص بالهندسة والطوبولوجيا الانقباضية أكثر من 160 مقالة. تُعدّ الهندسة الانقباضية مجالًا سريع التطور، حيث نُشرت فيها العديد من الأبحاث الحديثة في دوريات رائدة. على سبيل المثال، ظهرت صلة بين الفئة الانقباضية وفئة لوسترنيك-شنيرلمان . ^{[ 7 ]} ويمكن اعتبار وجود هذه الصلة بمثابة نظرية في الطوبولوجيا الانقباضية .

^{كل متعدد السطوح} محدب متناظر مركزيًا P في R³ يقبل زوجًا من النقاط المتقابلة (المضادة) ومسارًا طوله L يصل بينهما ويقع على حدود ∂P لـ P ، ويحقق

${\displaystyle L^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\mathrm {area} (\partial P).}$

ويمكن صياغة بديلة كما يلي: أي جسم محدب متناظر مركزيًا ومساحة سطحه A يمكن ضغطه عبر حلقة طولها${\displaystyle {\sqrt {\pi A}}}$، مع تحقيق أفضل تطابق بواسطة كرة. هذه الخاصية تعادل حالة خاصة من متباينة بو (انظر أدناه)، وهي إحدى أقدم المتباينات الانقباضية.

لإعطاء فكرة أولية عن طبيعة هذا المجال، يمكن ملاحظة ما يلي. يبدو أن جوهر ملاحظة توم لبيرغر المذكورة أعلاه هو التالي: كلما صادفنا متباينة تربط بين الثوابت الهندسية، فإن هذه الظاهرة بحد ذاتها مثيرة للاهتمام؛ لا سيما عندما تكون المتباينة دقيقة (أي مثالية). وتُعد متباينة المحيط المتساوي الكلاسيكية مثالًا جيدًا على ذلك.

في المسائل الانقباضية المتعلقة بالأسطح، تلعب المتطابقات الهندسية التكاملية دورًا بالغ الأهمية. وبشكل عام، توجد متطابقة تكاملية تربط المساحة من جهة، ومتوسط ​​طاقات مجموعة مناسبة من الحلقات من جهة أخرى. وبحسب متباينة كوشي-شفارتز ، تُعدّ الطاقة حدًا أعلى لمربع الطول؛ ومن ثمّ نحصل على متباينة بين المساحة ومربع الانقباض. وينطبق هذا النهج على متباينة لوفنر أيضًا.

${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cdot \mathrm {area} }$

بالنسبة للحلقة ، حيث يتم تحقيق حالة المساواة بواسطة الحلقة المسطحة التي تشكل تحويلات سطحها شبكة من أعداد أيزنشتاين الصحيحة ،

وبالنسبة لمتباينة بو للمستوى الإسقاطي الحقيقي P ² ( R ):

${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\cdot \mathrm {area} }$،

مع المساواة التي تميز مقياسًا لانحناء غاوسي ثابت .

إن تطبيق الصيغة الحسابية للتباين في الواقع يؤدي إلى الصيغة التالية من متباينة لور لـ Loewner مع عيب متساوي الانقباض: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathrm {area} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {sys} ^{2}\geq \mathrm {var} (f)،}$

حيث يُمثل f عامل التوافق للمقياس بالنسبة لمقياس مسطح ذي مساحة وحدة في فئته التوافقية. ويمكن اعتبار هذه المتباينة مماثلة لمتباينة بونيسن مع عيب متساوي المحيط، وهي بمثابة تقوية لمتباينة متساوي المحيط.

تم اكتشاف عدد من المتباينات الجديدة من هذا النوع مؤخراً، بما في ذلك الحدود الدنيا العامة للحجم. يمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل في قسم "انقباضات الأسطح" .

إن أعمق نتيجة في هذا المجال هي متباينة جروموف للتماثل 1-systole لمتشعب أساسي من الرتبة n M :

${\displaystyle \operatorname {sys\pi } _{1}{}^{n}\leq C_{n}\operatorname {vol} (M),}$

حيث C _n ثابت عام يعتمد فقط على بُعد M. هنا ، يُعرَّف التماثل systole sysπ _{1 بأنه أقصر طول لحلقة غير قابلة للانكماش في} M. يُطلق على المتشعب اسم "أساسي" إذا كانت فئته الأساسية [M] تمثل فئة غير تافهة في علم التماثل لمجموعته الأساسية . يتضمن البرهان ثابتًا جديدًا يُسمى نصف قطر التعبئة ، قدمه غروموف، ويُعرَّف على النحو التالي.

لنرمز بـ A إلى حلقة المعاملات Z أو Z ₂ ، اعتمادًا على ما إذا كانت M قابلة للتوجيه أم لا. عندئذٍ، فإن الفئة الأساسية ، التي يُرمز لها بـ [M] ، لمتشعب مضغوط ذي n بُعد M هي مولد لـ${\displaystyle H_{n}(M;A)=A}$. بالنظر إلى تضمين M في الفضاء الإقليدي E ، نضع

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (M\subset E)=\inf \left\{\epsilon >0\left|\;\iota _{\epsilon }([M])=0\in H_{n}(U_{\epsilon }M)\right.\right\},}$

حيث ι _ε هو التشاكل المضمن الناتج عن تضمين M في جوارها ε- U _ε M في E.

لتعريف نصف قطر ملء مطلق في حالة تزويد M بمقياس ريماني g ، يتبع غروموف الخطوات التالية. يستغل غروموف تضمينًا منسوبًا إلى سي. كوراتوفسكي. يُضمّن M في فضاء باناخ L∞ ( M ) للدوال البوريلية المحدودة على M ، المزودة بمعيار sup ^.${\displaystyle \|\;\|}$بمعنى آخر، نقوم بربط نقطة x ∈ M بالدالة f _x ∈ L ^∞ ( M ) المعرفة بالصيغة f _x (y) = d(x,y) لجميع y ∈ M ، حيث d هي دالة المسافة المعرفة بواسطة المقياس. وباستخدام متباينة المثلث، نحصل على${\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,}$وبالتالي، يكون التضمين متساوي القياس بقوة، بالمعنى الدقيق الذي تتطابق فيه المسافة الداخلية مع المسافة المحيطة. يستحيل وجود تضمين متساوي القياس بقوة كهذا إذا كان الفضاء المحيط فضاء هيلبرت، حتى عندما ^تكون M هي الدائرة الريمانية (يجب أن تكون المسافة بين النقاط المتقابلة π ، وليس 2!). عندئذٍ نضع E = L∞ ( M ) في الصيغة أعلاه، ونُعرّف

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (M)=\mathrm {FillRad} \left(M\subset L^{\infty }(M)\right).}$

وبالتحديد، أثبت غروموف وجود تباين حاد يربط بين الانقباض ونصف قطر الامتلاء،

${\displaystyle \mathrm {sys\pi } _{1}\leq 6\;\mathrm {FillRad} (M),}$

صالحة لجميع المتشعبات الأساسية M ؛ بالإضافة إلى متباينة

${\displaystyle \mathrm {FillRad} \leq C_{n}\mathrm {vol} _{n}{}^{1/n}(M),}$

صالحة لجميع المشعبات المغلقة M.

يُقدّم القسم 12.2 من كتاب "الهندسة والطوبولوجيا الانقباضية" المذكور أدناه ملخصًا لبرهانٍ يستند إلى نتائج حديثة في نظرية القياس الهندسي لـ س. فينغر، ويعتمد على أعمال سابقة لـ ل. أمبروسيو وب. كيرشهايم. وقد اقترح لاري غوث مؤخرًا منهجًا مختلفًا تمامًا لإثبات متباينة غروموف . ^{[ 9 ]}

ينبغي مراعاة وجود فرق جوهري بين الثوابت الانقباضية من الدرجة الأولى (المعرفة بدلالة أطوال الحلقات) والثوابت الانقباضية من الدرجة k الأعلى (المعرفة بدلالة مساحات الدورات، وما إلى ذلك). وبينما تم التوصل إلى عدد من المتباينات الانقباضية المثلى التي تتضمن الانقباضات من الدرجة الأولى، فإن المتباينة المثلى الوحيدة التي تتضمن الانقباضات من الدرجة k الأعلى هي متباينة غروموف المثلى المستقرة للانقباضات من الدرجة الثانية

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^{n})}$

في الفضاء الإسقاطي المركب ، حيث يتم الوصول إلى الحد الأمثل بواسطة مقياس فوبيني-ستودي المتناظر ، مما يشير إلى الصلة بميكانيكا الكم . هنا، يتم تعريف النظام الثنائي المستقر لمتشعب ريماني M عن طريق وضع

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}=\lambda _{1}\left(H_{2}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} },\|\;\|\right),}$

أين${\displaystyle \|\;\|}$يمثل λ المعيار المستقر، بينما يمثل λ ₁ أصغر معيار لعنصر غير صفري في الشبكة. لم تتضح مدى استثنائية متباينة غروموف المستقرة إلا مؤخرًا. فقد اكتُشف، خلافًا للتوقعات، أن المقياس المتناظر على المستوى الإسقاطي الرباعي ليس مقياسه الأمثل انقباضيًا، على عكس الانقباض الثنائي في الحالة المركبة. في حين أن المستوى الإسقاطي الرباعي بمقياسه المتناظر له نسبة انقباضية مستقرة متوسطة الأبعاد تبلغ 10/3، فإن النسبة المماثلة للمقياس المتناظر للفضاء الإسقاطي المركب رباعي الأبعاد تعطي القيمة 6، بينما أفضل حد أعلى متاح لمثل هذه النسبة لمقياس عشوائي على كلا الفضائين هو 14. يرتبط هذا الحد الأعلى بخصائص جبر لي E7 . إذا وُجدت متشعبة ثمانية الأبعاد ذات تماثلية استثنائية من نوع Spin(7) وعدد بيتي من الرتبة الرابعة يساوي 1، فإن القيمة 14 هي في الواقع القيمة المثلى. تمت دراسة المتشعبات ذات التماثل الدوراني (7) بشكل مكثف من قبل دومينيك جويس .

وبالمثل، فإن الحد الأدنى غير التافه الوحيد تقريبًا لـ k -systole مع k = 2، ينتج عن أعمال حديثة في نظرية القياس والمنحنيات الهولومورفية J. وقد أدت دراسة الحدود الدنيا لـ 2-systole المطابق للمشعبات الرباعية إلى برهان مبسط لكثافة صورة خريطة الدورة، بواسطة جيك سولومون .

لعل أحد أبرز تطبيقات الانقباضات هو في سياق مشكلة شوتكي ، من قبل ب.  بوسر وب.  سارناك ، اللذان ميزا جاكوبيان أسطح ريمان بين الأصناف الأبيلية المستقطبة بشكل أساسي، مما وضع الأساس للحساب الانقباضي.

غالبًا ما تُثير الأسئلة المتعلقة بالفئة الانقباضية تساؤلات في مجالات ذات صلة. لذا، تم تعريف مفهوم الفئة الانقباضية للمتشعب ودراسته، مُظهرًا ارتباطًا بفئة لوسترنيك-شنيرلمان (فئة LS). تجدر الإشارة إلى أن الفئة الانقباضية (وكذلك فئة LS) هي، بحكم تعريفها، عدد صحيح. وقد ثبت أن الفئتين تتطابقان بالنسبة للأسطح والمتشعبات ثلاثية الأبعاد. علاوة على ذلك، بالنسبة للمتشعبات رباعية الأبعاد القابلة للتوجيه، تُعد الفئة الانقباضية حدًا أدنى لفئة LS. بمجرد إرساء هذا الارتباط، يصبح التأثير متبادلًا: فالنتائج المعروفة حول فئة LS تُحفز الأسئلة المتعلقة بالفئة الانقباضية، والعكس صحيح.

تم تقديم الثابت الجديد بواسطة كاتز ورودياك (انظر أدناه). ولأن هذا الثابت يرتبط ارتباطًا وثيقًا بفئة لوسترنيك-شنيرلمان (فئة LS)، فقد سُمّي بالفئة الانقباضية .

تُعرَّف الفئة الانقباضية لمتشعب M بدلالة الانقباضات k المختلفة لـ M. وبصورة عامة، الفكرة هي كالتالي: بالنظر إلى متشعب M ، نبحث عن أطول حاصل ضرب للانقباضات يُعطي حدًا أدنى "خاليًا من الانحناء" للحجم الكلي لـ M (مع ثابت مستقل عن المقياس). ومن الطبيعي تضمين الثوابت الانقباضية لأغلفة M في التعريف أيضًا. عدد العوامل في "أطول حاصل ضرب" هذا هو، بحسب التعريف، الفئة الانقباضية لـ M.

على سبيل المثال، بيّن غروموف أن أي فضاء متعدد الأبعاد أساسي من الرتبة n يقبل حدًا أدنى للحجم بدلالة القوة n للفئة الانقباضية أحادية التماثل (انظر القسم أعلاه). ويترتب على ذلك أن الفئة الانقباضية لأي فضاء متعدد الأبعاد أساسي من الرتبة n هي n تحديدًا . في الواقع، بالنسبة للفضاءات متعددة الأبعاد المغلقة من الرتبة n ، تُحقق القيمة القصوى لكل من الفئة الانقباضية والفئة الانقباضية في آن واحد.

ومن الدلائل الأخرى على وجود علاقة مثيرة للاهتمام بين الفئتين، العلاقة بالمتغير الثابت المسمى طول الكأس. وبالتالي، فإن طول الكأس الحقيقي يمثل حدًا أدنى لكلا الفئتين.

تتطابق الفئة الانقباضية مع فئة LS في عدد من الحالات، بما في ذلك حالة المشعبات ذات الأبعاد 2 و 3. في البعد 4، تم إثبات مؤخرًا أن الفئة الانقباضية هي حد أدنى لفئة LS.

تكشف دراسة السلوك التقاربي للجنس الكبير g للانقباضات السطحية الزائدية عن بعض الثوابت المهمة. وهكذا، فإن أسطح هورويتز Σ _g المعرفة بواسطة سلسلة من مجموعات التطابق الرئيسية لمجموعة المثلث الزائدي (2، 3، 7) تحقق الحد

${\displaystyle \mathrm {sys} \pi _{1}(\Sigma _{g})\geq {\frac {4}{3}}\log g,}$

وينطبق حد مماثل على مجموعات فوكسية حسابية أكثر عمومية . تعمم هذه النتيجة التي توصل إليها كاتز وشابس وفيشني عام 2007 ^{[ 10 ]} نتائج بيتر بوسر وبيتر سارناك في حالة المجموعات الحسابية المعرفة على Q ، من ورقتهم البحثية الرائدة عام 1994. ^{[ 11 ]}

تضم قائمة المراجع الخاصة بالانقباضات في الهندسة الزائدية حاليًا أربعين مقالة. ومن الأمثلة المثيرة للاهتمام سطح بولزا ، وسطح كلاين الرباعي ، وسطح ماكبيث ، وثلاثية هورويتز الأولى .

يتم الحصول على مجموعة من المتباينات الانقباضية المثلى كتطبيق لتقنيات بوراجو وإيفانوف، من خلال استغلال خرائط أبيل-جاكوبي المناسبة ، والتي تم تعريفها على النحو التالي.

ليكن M متعدد الشعب ، وπ = π ₁ ( M )، زمرته الأساسية، و f : π → π ^{ab دالة} التبديل الخاصة به . ولتكن tor الزمرة الجزئية الالتوائية لـ π ^ab . ولتكن g : π ^ab → π ^ab / tor خارج القسمة بالالتواء. من الواضح أن π ^ab / tor = Z ^b ، حيث b = b ₁ ( M ). ولتكن φ: π → Z ^b التشاكل المركب.

التعريف: الغلاف${\displaystyle {\bar {M}}}$يُطلق على الغطاء الأبلي الحر الشامل (أو الأقصى) للمتشعب M الذي يتوافق مع المجموعة الفرعية Ker(φ) ⊂ π اسم الغطاء الأبلي الحر العالمي (أو الأقصى).

لنفترض الآن أن M لها مقياس ريماني . ولتكن E فضاء الأشكال التوافقية من الدرجة الأولى على M ، مع كون _الفضاء الثنائي E * مُعرَّفًا بشكل قانوني مع H1 ( M , R ). بتكامل شكل توافقي تكاملي من الدرجة الأولى على طول مسارات من نقطة أساسية x0 ∈ M ، _نحصل على دالة إلى الدائرة R / Z = S1 ^.

وبالمثل، من أجل تعريف تطبيق M → H₁ ( M _, R )/ H₁ ( M , Z ) _R دون اختيار أساس للتجانس، نبرهن على النحو التالي. ليكن _x نقطة في الغطاء الشامل${\displaystyle {\tilde {M}}}$من M. بالتالي، يُمثَّل x بنقطة من M مع مسار c من x ₀ إليها. وبإجراء التكامل على طول المسار c ، نحصل على صيغة خطية.${\displaystyle h\to \int _{c}h}$، على E. وبالتالي نحصل على خريطة${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbf {R} )}$والتي، علاوة على ذلك، تنحدر إلى خريطة

${\displaystyle {\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*},\;\;c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right),}$

أين${\displaystyle {\overline {M}}}$هو الغلاف الأبلي المجاني العالمي.

التعريف: منوع جاكوبي ( حلقة جاكوبي) لـ _M هو الحلقة J₁ ( M ) = _H₁ ( M , R ₎ / H₁ ₍ M , Z ) R

التعريف: خريطة أبيل - جاكوبي${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$يتم الحصول على هذه النتيجة من الخريطة أعلاه عن طريق تمريرها إلى نواتج القسمة. خريطة أبيل - جاكوبي فريدة من نوعها حتى عمليات إزاحة طارة جاكوبي.

كمثال على ذلك، يمكن للمرء أن يستشهد بالمتباينة التالية، التي تعود إلى د. بوراجو، س. إيفانوف، وم . جروموف .

ليكن M متعدد شعب ريماني ذو n بُعد، وله عدد بيتي أول n ، بحيث يكون للدالة من M إلى سطح جاكوبي الخاص به درجة غير صفرية . عندئذٍ، يحقق M متباينة الانقباض المستقرة المثلى.

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{1}{}^{n}\leq \gamma _{n}\mathrm {vol} _{n}(M),}$

أين${\displaystyle \gamma _{n}}$هو ثابت هيرميت الكلاسيكي .

لقد تبين أن الظواهر التقاربية لانقباض أسطح الجنس الكبير مرتبطة بظواهر إرجودية مثيرة للاهتمام ، وبخصائص مجموعات التوافق الفرعية للمجموعات الحسابية .

تُشير متباينة غروموف لعام 1983 الخاصة بالانقباض المتماثل، على وجه الخصوص، إلى حد أدنى موحد لمساحة سطح غير كروي بدلالة انقباضه. يُعمم هذا الحد متباينات لوفنر وبو، وإن كان ذلك بطريقة غير مثالية.

تحتوي ورقة جروموف الرائدة لعام 1983 أيضًا على حدود تقاربية تربط الانقباض والمساحة، مما يحسن الحد الموحد (صالح في جميع الأبعاد).

لقد تم اكتشاف مؤخرًا (انظر الورقة البحثية لكاتز وسابورو أدناه) أن إنتروبيا الحجم h ، جنبًا إلى جنب مع متباينة كاتوك المثلى لـ h ، هي الوسيط "الصحي" في برهان واضح للحد التقاربي لـ م. جروموف للنسبة الانقباضية للأسطح ذات الجنس الكبير.

تنص النتيجة الكلاسيكية لـ أ. كاتوك على أن كل مقياس على سطح مغلق M ذي خاصية أويلر سالبة يحقق متباينة مثلى تربط الإنتروبيا والمساحة.

اتضح أن الحد الأدنى للإنتروبيا لسطح مغلق يرتبط بنسبة الانقباض المثلى له. أي أن هناك حدًا أعلى لإنتروبيا سطح ذي انقباض متطرف، بدلالة انقباضه. وبدمج هذا الحد الأعلى مع الحد الأدنى الأمثل لكاتوك بدلالة الحجم، نحصل على برهان بديل أبسط لتقدير غروموف التقاربي لنسبة الانقباض المثلى للأسطح ذات الجنس الكبير. علاوة على ذلك، يُحسّن هذا النهج الثابت الضربي في نظرية غروموف.

كتطبيق عملي، تشير هذه الطريقة إلى أن كل مقياس على سطح من رتبة لا تقل عن 20 يحقق متباينة لوينر للسطح الحلقي. وهذا يُحسّن أفضل تقدير سابق بلغ 50، والذي تم التوصل إليه بناءً على تقدير جروموف.

تم إثبات فرضية منطقة ملء جروموف في إطار إهليلجي زائد (انظر المرجع الذي قدمه بانجرت وآخرون أدناه).

تفترض فرضية مساحة التعبئة أنه من بين جميع عمليات التعبئة الممكنة لدائرة ريمان ذات الطول 2π بسطح ذي خاصية التماثل القوي، فإن نصف الكرة المستدير له أقل مساحة. وتشير دائرة ريمان هنا إلى مشعب ريمان أحادي البعد مغلق فريد من نوعه، حجمه الكلي 2π وقطره الريماني π.

لشرح التخمين، نبدأ بملاحظة أن الدائرة الاستوائية للكرة ثنائية الأبعاد، S ² ⊂ R ³ ، هي دائرة ريمانية S ¹ طولها 2π وقطرها π.

بتعبير أدق، فإن دالة المسافة الريمانية لـ ^S1 هي تقييد للمسافة الريمانية المحيطة على الكرة. هذه الخاصية لا تتحقق في التضمين القياسي لدائرة الوحدة في المستوى الإقليدي، حيث تكون المسافة بين نقطتين متقابلتين 2، وليس π.

نعتبر جميع عمليات ملء S ¹ بسطح، بحيث يكون المقياس المقيد المحدد بتضمين الدائرة كحدود للسطح هو المقياس الريماني لدائرة طولها 2π. ويُطلق على تضمين الدائرة كحدود اسم تضمين متساوي القياس قوي للدائرة.

في عام 1983، افترض غروموف أن نصف الكرة المستديرة يعطي "أفضل" طريقة لملء الدائرة من بين جميع أسطح الملء.

تُكافئ حالة الحشوات البسيطة الاتصال متباينة بو . وقد حُسمت حالة الحشوات من الرتبة -1 مؤخرًا بشكل إيجابي أيضًا (انظر مرجع بانجرت وآخرون أدناه). وبالتحديد، اتضح أنه يمكن الاستفادة من صيغة عمرها نصف قرن وضعها ج. هيرش في الهندسة التكاملية. لنفترض عائلة حلقات الشكل 8 على كرة قدم، مع نقطة التقاطع الذاتي عند خط الاستواء (انظر الشكل في بداية المقال). تُعبّر صيغة هيرش عن مساحة متري في الفئة المطابقة لكرة القدم، كمتوسط ​​لطاقات حلقات الشكل 8 من هذه العائلة. ويُثبت تطبيق صيغة هيرش على خارج القسمة الزائدي الإهليلجي لسطح ريمان صحة تخمين مساحة الحشو في هذه الحالة.

تم تحديد تداعيات انقباضية أخرى لفرط الإهليلجية في الجنس 2.

شرح الصيغة المُعززة لمتباينة لوينر أكثر تخصصًا من بقية هذا المقال، ولكن من المفيد إدراجه هنا من باب الإكمال. الصيغة المُعززة هي المتباينة التالية:

${\displaystyle \mathrm {area} (g)-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {sys} (g)^{2}\geq \mathrm {Var} (f),}$

حيث Var هو التباين الاحتمالي، بينما f هو العامل المطابق الذي يعبر عن المقياس g بدلالة المقياس المسطح لوحدة المساحة في الفئة المطابقة لـ g . وينتج البرهان من دمج الصيغة الحسابية للتباين مع نظرية فوبيني . ^{[ 8 ]}

تشمل الدراسات الاستقصائية في هذا المجال دراسة م. بيرغر (1993)، ودراسة غروموف (1996)، وكتاب غروموف (1999)، وكتاب بيرغر الشامل (2003)، بالإضافة إلى كتاب كاتز (2007). قد تساعد هذه المراجع المبتدئين على دخول هذا المجال، كما أنها تتضمن مسائل مفتوحة يمكن العمل عليها.

• فرضية ملء المساحة
• أول توأم هورويتز
• محيط الجسم (تحليل وظيفي)
• متباينة غروموف للفضاء الإسقاطي المركب
• متباينة غروموف الانقباضية للمشعبات الأساسية
• قائمة بمواضيع الهندسة التفاضلية
• متباينة لوينر الحلقية
• متباينة بو
• أنظمة الأسطح
• حرية الانقباض
• الهندسة شبه الريمانية

• صفحة AMS الإلكترونية الخاصة بكتاب ميخائيل كاتز.
• موقع إلكتروني للهندسة الانقباضية والطوبولوجيا
• وانر، ستيفان (مايو 2014). "مقدمة في الهندسة التفاضلية والنسبية العامة" (ملف PDF) . ملاحظات المحاضرات . قسمي الرياضيات والفيزياء، جامعة هوفسترا.