فرضية ملء المساحة

في الهندسة التفاضلية ، تنص فرضية ميخائيل غروموف لملء المساحة على أن نصف الكرة له أقل مساحة بين الأسطح القابلة للتوجيه التي تملأ منحنى مغلقًا بطول معين دون إدخال اختصارات بين نقاطه.

التعريفات وبيان الفرضية

كل سطح أملس $M$ أو منحنى في الفضاء الإقليدي هو فضاء متري ، حيث تُعرَّف المسافة (الجوهرية) $dM (x, y)$ بين نقطتين $x و y$ على $M$ بأنها الحد الأدنى لأطوال المنحنيات التي تمتد من $x$ إلى $y$ على طول $M.$ $على$ سبيل المثال، على منحنى مغلق $C$ بطول $2 L$ ، لكل نقطة $x$ من المنحنى توجد نقطة أخرى فريدة من نوعها على المنحنى (تسمى نقطة مضادة لـ $x$ ) على مسافة $L$ من $x$ .

يملأ سطح متراص $M$ منحنى مغلقًا $C$ إذا كان حده (ويُسمى أيضًا حدوده ، ويُرمز له $بـ \partialM$ $)$ هو المنحنى $C.$ ويُقال إن الملء $M$ متساوي القياس إذا كانت المسافة dM(x, y) بين أي نقطتين x و y على منحنى الحدود C، على $طول$ $M،$ $مساوية$ $($ $لا$ $تقل$ ) $عن$ $المسافة$ $dC$ $($ x $,$ y $)$ $على$ طول $الحدود$ $.$ $بعبارة$ $أخرى$ $،$ $ملء$ منحنى بشكل متساوي القياس يعني ملؤه دون اختصارات.

السؤال: ما أصغر مساحة ممكنة لسطح يملأ منحنى حدوده بشكل متساوي القياس، بطول معين؟

على سبيل المثال، في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، الدائرة

C=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}=1\}

(طولها 2π $)$ مملوءة بالقرص المسطح

D=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}

وهو ليس تعبئة متساوية القياس، لأن أي وتر مستقيم على طوله هو اختصار. على النقيض من ذلك، نصف الكرة

H=\{(x,y,z):\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1{\text{ and }}z\geq 0\}

هل هذه المساحة هي أصغر مساحة ممكنة $؟$

يمكن تخيل السطح كما لو كان مصنوعًا من مادة مرنة غير قابلة للتمدد، مما يسمح بتحريكه وثنيه في الفضاء الإقليدي. لا تُغير أي من هذه التحويلات مساحة السطح ولا طول المنحنيات المرسومة عليه، وهما الكميتان المهمتان في هذه المسألة. يمكن إزالة السطح من الفضاء الإقليدي تمامًا، فنحصل على سطح ريماني ، وهو سطح أملس مجرد ذو مقياس ريماني يُحدد الأطوال والمساحة. وبالمقابل، وفقًا لنظرية ناش-كويبر ، يمكن تضمين أي سطح ريماني ذي حدود في الفضاء الإقليدي مع الحفاظ على الأطوال والمساحة المحددة بواسطة المقياس الريماني. وبالتالي، يمكن صياغة مسألة التعبئة بشكل مكافئ كسؤال حول الأسطح الريمانية التي لا تُوضع في الفضاء الإقليدي بطريقة محددة.

تخمين (تخمين غروموف حول مساحة التعبئة، 1983): يمتلك نصف الكرة أصغر مساحة بين الأسطح الريمانية المدمجة القابلة للتوجيه التي تملأ منحنى حدودها بشكل متساوي القياس، بطول مُعطى. ^{[ 1 ]}^{: ص 13}

برهان غروموف لحالة الأقراص الريمانية

في نفس الورقة التي طرح فيها غروموف التخمين، أثبت أن

يمتلك نصف الكرة أقل مساحة بين الأسطح الريمانية التي تملأ دائرة ذات طول معين بشكل متساوي القياس، وتكون متماثلة شكليًا مع قرص . ^{[ 1 ]}

البرهان: ليكن $M$ ليكن قرص ريماني يملأ حدوده بشكل متساوي القياس بطول $2L$ ألصق كل نقطة $x\in \partial M$ مع نقطة التقابل $-x$ ، والتي تُعرَّف بأنها النقطة الفريدة لـ $\partial M$ أي على أقصى مسافة ممكنة $L$ من $x$ . من خلال اللصق بهذه الطريقة نحصل على سطح ريماني مغلق $M'$ المنحنى المتماثل مع المستوى الإسقاطي الحقيقي والذي يساوي طوله الانقباضي (طول أقصر منحنى غير قابل للانكماش) $L$ (وبالمقابل، إذا قمنا بفتح مستوى إسقاطي على طول أقصر حلقة غير قابلة للانكماش بطول $L$ ، فنحصل على قرص يملأ حدوده بشكل متساوي القياس بطول $2L$ وبالتالي، فإن الحد الأدنى للمساحة التي يتطلبها التعبئة المتساوية الأبعاد $M$ يمكن أن تكون المساحة مساوية لأصغر مساحة يمكن أن يمتلكها مستوى إسقاط ريماني للانقباض $L$ يمكن أن يكون كذلك. لكن متباينة بو الانقباضية تؤكد تحديدًا أن المستوى الإسقاطي الريماني لانقباض معين له أصغر مساحة إذا وفقط إذا كان مستديرًا (أي، مُستمدًا من كرة إقليدية بتحديد كل نقطة بنظيرتها). مساحة هذا المستوى الإسقاطي المستدير تساوي مساحة نصف الكرة (لأن مساحة كل منهما تساوي نصف مساحة الكرة).

ويعتمد إثبات متباينة بو، بدوره، على نظرية التوحيد .

حشوات بمقاييس فينسلر

في عام ٢٠٠١، قدّم سيرجي إيفانوف طريقة أخرى لإثبات أن نصف الكرة الأرضية له أصغر مساحة بين الحشوات المتساوية القياس المتماثلة مع القرص. ^{[ ٢ ]}^{[ ٣ ]}^{[ ٤ ]} لا تعتمد حجته على نظرية التوحيد ، بل تستند إلى الحقيقة الطوبولوجية القائلة بأن منحنيين على قرص يجب أن يتقاطعا إذا كانت نقاط نهايتهما الأربع على الحدود ومتداخلة. علاوة على ذلك، ينطبق برهان إيفانوف بشكل أعم على الأقراص ذات المقاييس الفينزلرية ، والتي تختلف عن المقاييس الريمانية في أنها لا تحتاج إلى تحقيق معادلة فيثاغورس على المستوى المتناهي الصغر . يمكن تعريف مساحة سطح فينزلر بطرق مختلفة غير متكافئة، والطريقة المستخدمة هنا هي مساحة هولمز-تومسون ، والتي تتطابق مع المساحة المعتادة عندما يكون المقياس ريمانيًا. ما أثبته إيفانوف هو أن

يمتلك نصف الكرة الأرضية الحد الأدنى من مساحة هولمز-تومسون بين أقراص فينسلر التي تملأ بشكل متساوي القياس منحنى مغلقًا بطول معين.

برهان نظرية إيفانوف

ليكن $(M, F)$ قرص فينسلر يملأ حدوده التي يبلغ طولها $2L$ $بشكل$ متساوي القياس . يمكننا أن نفترض أن $M$ هو القرص الدائري القياسي في $\mathbb {R} ^{2}$ ومقياس فينسلر $F:{\text{T}}M={\text{M}}\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow [0,+\infty )$ سطح أملس ومحدب بشدة. ^{[ 5 ]} يمكن حساب مساحة هولمز-تومسون للحشو باستخدام الصيغة التالية:

\operatorname {Area} _{\mathrm {HT}}(M,F)={\frac {1}{\pi }}\iint _{M}|B_{x}^{*}|\,\mathrm {d} x_{0}\,\mathrm {d} x_{1}

حيث لكل نقطة $x\in M$ المجموعة $B_{x}^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ هي الكرة ذات الوحدة المزدوجة للمعيار $F_{x}$ (كرة الوحدة للمعيار المزدوج) $F_{x}^{*}$ )، و $|B_{x}^{*}|$ وهي مساحتها المعتادة كجزء من $\mathbb {R} ^{2}$ .

اختر مجموعة $P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M$ نقاط الحدود، مرتبة عكس اتجاه عقارب الساعة. لكل نقطة $p_{i}$ ، نُعرّف على M الدالة العددية $f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)$ تتمتع هذه الدوال بالخصائص التالية:

كل وظيفة $f_{i}:M\to \mathbb {R}$ هي دالة ليبشيتز على M، وبالتالي (بحسب نظرية رادماخر ) قابلة للتفاضل عند كل نقطة تقريبًا $x\in M$ .
لو $f_{i}$ قابلة للتفاضل عند نقطة داخلية $x\in M^{\circ }$ ثم هناك منحنى فريد هو الأقصر من $p_{i}$ إلى x (مع تحديد السرعة بوحدة واحدة)، والتي تصل إلى x بسرعة $v_{i}$ التفاضلي $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ له معيار 1 وهو المتجه المرافق الوحيد $\varphi \in B_{x}^{*}$ بحيث $\varphi (v_{i})=F_{x}(v_{i})$ .
في كل نقطة $x\in M^{\circ }$ حيث جميع الوظائف $f_{i}$ إذا كانت قابلة للتفاضل، فإن المتجهات المرافقة $\mathrm {d} f_{i}$ وهي متميزة ومرتبة عكس اتجاه عقارب الساعة على الكرة الثنائية للوحدة $\partial B_{x}^{*}$ في الواقع، يجب أن تكون متميزة لأن المسارات الجيوديسية المختلفة لا يمكنها الوصول إلى $x$ بنفس السرعة. كذلك، إذا كان ثلاثة من هذه المتجهات المرافقة $\mathrm {d} _{x}f_{i},\mathrm {d} _{x}f_{j},\mathrm {d} _{x}f_{k}$ (لبعضهم) $0\leq i<j<k<n$ ظهرت ) بترتيب معكوس، ثم اثنان من أقصر ثلاثة منحنيات من النقاط $p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M$ ل $x$ سيتقاطعان، وهو أمر غير ممكن.

باختصار، بالنسبة لكل نقطة داخلية تقريبًا $x\in M^{\circ }$ ، المتجهات المشتركة $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ هي رؤوس، مرتبة عكس اتجاه عقارب الساعة، لمضلع محدب مرسوم داخل الكرة الثنائية ذات الوحدة $B_{x}^{*}$ مساحة هذا المضلع هي $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ (حيث يتم حساب المؤشر i + 1 بتردد n ). لذلك، لدينا حد أدنى

c_{P}:=\int _{M}\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} f_{i}\wedge \mathrm {d} f_{i+1}\leq \pi \,\operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F),

بالنسبة لمنطقة الحشو. إذا قمنا بتعريف الشكل 1 $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ ثم يمكننا إعادة كتابة هذا الحد الأدنى باستخدام صيغة ستوكس على النحو التالي:

c_{P}=\int _{M}\mathrm {d} \theta _{P}=\int _{\partial M}\theta _{P}=\dots =2L^{2}-\sum _{i}\delta _{i}^{2}\ {\xrightarrow {P\ {\text{dense}}}}\ 2L^{2}

.

يُعرَّف التكامل الحدودي الذي يظهر هنا بدلالة دوال المسافة $f_{i}$ يقتصر على الحدود، ولا يعتمد على التعبئة المتساوية القياس . وبالتالي، فإن نتيجة التكامل تعتمد فقط على موضع النقاط. $p_{i}$ على دائرة طولها 2L . لقد حذفنا الحساب، وعبرنا عن النتيجة بدلالة الأطوال. $\delta _{i}$ لكل قوس حدودي عكس اتجاه عقارب الساعة من نقطة $p_{i}$ إلى النقطة التالية $p_{i+1}$ تكون العملية الحسابية صحيحة فقط إذا $\delta _{i}<{\frac {L}{2}}$ .

باختصار، يتقارب الحد الأدنى لمساحة التعبئة المتساوية الأبعاد لفينسلر إلى ${\frac {1}{\pi }}2L^{2}$ كمجموعة $P\subseteq \partial M$ يتم تكثيفها. وهذا يعني أن

\operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F)\geq {\frac {1}{\pi }}\,2L^{2}=\operatorname {Area} ({\text{hemisphere}})

،

كما كان علينا أن نثبت.

على عكس حالة ريمان، توجد مجموعة متنوعة من أقراص فينسلر التي تملأ منحنى مغلقًا بشكل متساوي القياس ولها نفس مساحة هولمز-تومسون لنصف الكرة. إذا استُخدمت مساحة هاوسدورف بدلًا من ذلك، فإنّ خاصية الحد الأدنى لنصف الكرة تظل قائمة، لكن نصف الكرة يصبح هو المُصغِّر الوحيد. هذا ما يُستنتج من نظرية إيفانوف، حيث إنّ مساحة هاوسدورف لمتشعب فينسلر لا تقل أبدًا عن مساحة هولمز-تومسون ، وتتساوى المساحتان إذا وفقط إذا كان المقياس ريمانيًا.

عدم وجود حد أدنى لنصف الكرة الأرضية بين الحشوات العقلانية ذات المقاييس الفينزلرية

يمكن استبدال قرص إقليدي يملأ دائرة، دون تقليل المسافات بين نقاط حدوده، بقرص فينسلر يملأ الدائرة نفسها $N$ = 10 مرات (بمعنى أن حدوده تلتف حول الدائرة $N$ مرة)، ولكن مساحة هولمز-تومسون الخاصة به أقل من $N$ ضعف مساحة القرص. ^{[ 6 ]} بالنسبة لنصف الكرة، يمكن إيجاد استبدال مماثل. بعبارة أخرى، تكون فرضية مساحة الملء خاطئة إذا سُمح باستخدام سلاسل فينسلر ثنائية الأبعاد ذات معاملات نسبية كحشوات، بدلاً من الأسطح القابلة للتوجيه (والتي يمكن اعتبارها سلاسل ثنائية الأبعاد ذات معاملات صحيحة ).

الحشوات الريمانية من النوع الأول والقطع الناقص المفرط

لا يمكن أن تقل مساحة سطح ريماني قابل للتوجيه من النوع الأول، والذي يملأ الدائرة بشكل متساوي القياس، عن مساحة نصف الكرة الأرضية. ^{[ 7 ]} يبدأ البرهان في هذه الحالة بلصق النقاط المتقابلة على الحدود. السطح المغلق غير القابل للتوجيه الناتج بهذه الطريقة له غطاء مزدوج قابل للتوجيه من النوع الثاني، وبالتالي فهو سطح زائد إهليلجي . ثم يستغل البرهان صيغةً وضعها ج. هيرش من الهندسة التكاملية . تحديدًا، لنفترض مجموعة من حلقات الشكل 8 على كرة قدم، مع نقطة التقاطع الذاتي عند خط الاستواء. تعبر صيغة هيرش عن مساحة المقياس في الفئة المطابقة لكرة القدم، كمتوسط لطاقات حلقات الشكل 8 من المجموعة. تطبيق صيغة هيرش على حاصل القسمة الزائد الإهليلجي لسطح ريمان يثبت فرضية مساحة الملء في هذه الحالة.

تُعتبر المشعبات شبه المسطحة بمثابة الحد الأدنى من ملء مسافات حدودها.

إذا كانت مشعبة ريمانية $M$ (بأي بُعد) مسطحة تقريبًا (بشكل أدق، $M$ هي منطقة من $\mathbb {R} ^{n}$ بمقياس ريماني هو $C^{2}$ $إذا كانت M$ قريبة من المقياس الإقليدي القياسي، فإنها تُعتبر مُصغِّرة للحجم : لا يمكن استبدالها بمتشعب ريماني قابل للتوجيه يملأ نفس الحدود ويكون حجمه أقل دون تقليل المسافة بين بعض نقاط الحدود. ^{[ 8 ]} هذا يعني أنه إذا كانت قطعة من الكرة صغيرة بما فيه الكفاية (وبالتالي، مسطحة تقريبًا)، فإنها تُعتبر مُصغِّرة للحجم. إذا أمكن تعميم هذه النظرية على مناطق كبيرة (أي على نصف الكرة بأكمله)، فإن فرضية مساحة الملء تكون صحيحة. وقد طُرحت فرضية أن جميع المتشعبات الريمانية البسيطة (تلك المحدبة عند حدودها، والتي تتصل فيها كل نقطتين بخط جيوديسي فريد) هي مُصغِّرة للحجم. ^{[ 8 ]}

يتضمن إثبات أن كل مشعب مسطح تقريبًا $M$ هو مصغر للحجم تضمين $M$ في $L^{\infty }(\partial M)$ ثم يُبين أن أي استبدال متساوي القياس لـ $M$ يمكن أيضًا رسمه في نفس الفضاء $L^{\infty }(\partial M)$ ، ويتم إسقاطها على $M$ ، دون زيادة حجمها. وهذا يعني أن حجم الاستبدال لا يقل عن حجم المتشعب الأصلي $M.$

انظر أيضاً

مراجع

1 2 غروموف، ميخائيل (1983). "ملء المشعبات الريمانية" . مجلة الهندسة التفاضلية . 18 (1): 1-147 . doi : 10.4310/jdg/1214509283 . MR 0697984 .
↑Ivanov, Sergei V. (2001). "On two-dimensional minimal fillings". Algebra i Analiz (in Russian). 13 (1): 26–38.
↑Ivanov, Sergei V. (2002). "On two-dimensional minimal fillings". St. Petersburg Math. J. 13 (1): 17–25. MR 1819361.
↑Ivanov, Sergei V. (2011). "Filling minimality of Finslerian 2-discs". Proc. Steklov Inst. Math. 273 (1): 176–190. arXiv:0910.2257. doi:10.1134/S0081543811040079.
↑If the original metric is not smooth and strongly convex, then we approximate it by one that enjoys these properties.
↑Burago, Dmitri; Ivanov, Sergei V. (2002). "On Asymptotic Volume of Finsler Tori, Minimal Surfaces in Normed Spaces, and Symplectic Filling Volume". Ann. of Math. 2. 156 (3): 891–914. CiteSeerX 10.1.1.625.3347. doi:10.2307/3597285. JSTOR 3597285. MR 1954238.
↑Bangert, Victor; Croke, Christopher B.; Ivanov, Sergei; Katz, Mikhail G. (2005). "Filling area conjecture and ovalless real hyperelliptic surfaces". Geom. Funct. Anal. 15 (3): 577–597. arXiv:math/0405583. doi:10.1007/S00039-005-0517-8. MR 2221144.
1 2Burago, Dmitri; Ivanov, Sergei V. (2010). "Boundary rigidity and filling volume minimality of metrics close to a flat one". Ann. of Math. 2. 171 (2): 1183–1211. doi:10.4007/annals.2010.171.1183. MR 2630062.

Katz, Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 137, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4177-8

[gromov1983filling-1] 1 2 غروموف، ميخائيل (1983). "ملء المشعبات الريمانية" . مجلة الهندسة التفاضلية . 18 (1): 1-147 . doi : 10.4310/jdg/1214509283 . MR 0697984 .

[2] Ivanov, Sergei V. (2001). "On two-dimensional minimal fillings". Algebra i Analiz (in Russian). 13 (1): 26–38.

[3] Ivanov, Sergei V. (2002). "On two-dimensional minimal fillings". St. Petersburg Math. J. 13 (1): 17–25. MR 1819361.

[4] Ivanov, Sergei V. (2011). "Filling minimality of Finslerian 2-discs". Proc. Steklov Inst. Math. 273 (1): 176–190. arXiv:0910.2257. doi:10.1134/S0081543811040079.

[5] If the original metric is not smooth and strongly convex, then we approximate it by one that enjoys these properties.

[6] Burago, Dmitri; Ivanov, Sergei V. (2002). "On Asymptotic Volume of Finsler Tori, Minimal Surfaces in Normed Spaces, and Symplectic Filling Volume". Ann. of Math. 2. 156 (3): 891–914. CiteSeerX 10.1.1.625.3347. doi:10.2307/3597285. JSTOR 3597285. MR 1954238.

[7] Bangert, Victor; Croke, Christopher B.; Ivanov, Sergei; Katz, Mikhail G. (2005). "Filling area conjecture and ovalless real hyperelliptic surfaces". Geom. Funct. Anal. 15 (3): 577–597. arXiv:math/0405583. doi:10.1007/S00039-005-0517-8. MR 2221144.

[burago2010boundary-8] 1 2Burago, Dmitri; Ivanov, Sergei V. (2010). "Boundary rigidity and filling volume minimality of metrics close to a flat one". Ann. of Math. 2. 171 (2): 1183–1211. doi:10.4007/annals.2010.171.1183. MR 2630062.

[ 1 ]

[ ٢ ]

[ ٣ ]

[ ٤ ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗