رباعي

المصدر: ^{[ 3 ]}

يمكن تمثيل شعاع ثلاثي الأبعاد بشكل بارامتري كما يلي: $${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&x_{0}+\alpha t\\y&=&y_{0}+\beta t\\z&=&z_{0}+\gamma t\end{array}}}$$أين${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$، و${\displaystyle \gamma }$هي${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، و${\displaystyle z}$مكونات متجه الاتجاه المعياري للشعاع و${\displaystyle t}$هي المسافة على طول الشعاع. بإدخال هذه القيم في معادلة السطح التربيعي ثلاثي الأبعاد، نحصل على معادلة تربيعية لـ${\displaystyle t}$إذا كان للمعادلة جذران حقيقيان، فإن ذلك يُحدد نقطتي تقاطع الشعاع مع السطح التربيعي. أما إذا كان للمعادلة جذران، فإن الشعاع يلامس السطح. وإذا لم يكن للمعادلة أي جذرين حقيقيين، فإن الشعاع لا يلامس السطح التربيعي.

بدلاً من ذلك، باستخدام الإحداثيات المتجانسة ، يمكن تمثيل الشعاع على النحو التالي ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle {\mathbf {r}}={\mathbf {p_{0}}}+{\mathbf {d}}t}$$أين$${\displaystyle {\mathbf {p_{0}}}={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\\1\end{bmatrix}}}$$هو خط يمر عبر النقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$و$${\displaystyle {\mathbf {d}}={\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \\\gamma \\0\end{bmatrix}}}$$يمثل متجه اتجاه الشعاع. وتُكتب معادلة تقاطع الشعاع مع سطح تربيعي على النحو التالي:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}0&={\mathbf {r}}^{T}{\mathbf {Mr}}\\&={({{\mathbf {p}}_{0}}+t{\mathbf {d}})}^{T}{\mathbf {M}}({\mathbf {p_{0}}}+t{\mathbf {d}})\\&=({\mathbf {d}}^{t}{\mathbf {Md}})t^{2}+(2{\mathbf {d}}^{T}{\mathbf {Mp_{0}}})t+({{\mathbf {p}}_{0}}^{T}{\mathbf {Mp_{0}}})\end{alignedat}}}$$مما ينتج عنه نفس المعادلة التربيعية في t .

العمودي على أي نقطة على السطح هو$${\displaystyle {\mathbf {n}}=norm({\mathbf {Mp}}).}$$

في مجال رسومات الحاسوب، غالبًا ما يتم تحديد التمثيل المرئي للأجسام المُنمذجة رياضيًا عن طريق تتبع الأشعة . عادةً ما تُوصف أسطح الأجسام بدلالة عدد من النقاط على السطح والمتجهات العمودية على السطح عند تلك النقاط. أما النقاط الوسيطة على السطح فتُوصف بمجموعة من رقع السطح الواقعة بين تلك النقاط. تُستخدم الأسطح التربيعية بكثرة بهذه الطريقة عندما يُوصف السطح كمجموعة من المثلثات باستخدام مواقع هذه المثلثات والمتجهات العمودية على نقاطها. يتميز استخدام الأسطح التربيعية لنمذجة هذه الرقع بسهولة تحديد ما إذا كان شعاع الضوء يتقاطع مع رقعة ما، وأين، كما وُصف في القسم السابق. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

تحتوي معادلة السطح التربيعي على عشرة متغيرات، ولكن تسعة منها فقط مستقلة، لأن ضرب المعادلة بأي ثابت غير صفري لا يُحدث أي تغيير. تُعطي المتجهات العمودية ومواقع ثلاث نقاط تسعة قيود. لذا، يبدو أنه من الممكن تحديد رقعة مثلثية للسطح التربيعي بشكل فريد انطلاقًا من هذه المعلومات. في الواقع، يمكن إنشاء${\displaystyle 9\times 9}$تُستخدم مصفوفة خطية لتحديد هذه القيود. ومع ذلك، يمكن إثبات أن هذه المصفوفة ستكون دائمًا منفردة، لذا يجب إضافة قيد إضافي لتحديد السطح التربيعي لتلك الرقعة بشكل فريد. ^{[ 6 ]}

المصادر: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

بشكل عام، قد لا تكون المعادلات التربيعية في صورتها الطبيعية، وقد يصعب تحديد نوع السطح التربيعي بالمعاينة البصرية إلا إذا كان مركز السطح التربيعي عند نقطة الأصل وكانت محاوره الرئيسية على امتداد الاتجاهات س ، ص ، ع. ومع ذلك، إذا تم تعريف المصفوفة الفرعية لـ${\displaystyle {\mathbf {M}}}$$${\displaystyle {\mathbf {A}}={\begin{bmatrix}m_{xx}&m_{xy}&m_{xz}\\m_{xy}&m_{yy}&m_{yz}\\m_{xz}&m_{yz}&m_{zz}\end{bmatrix}}}$$ثم يسمح الجدول التالي بتصنيف السطح التربيعي، بناءً على الرتب والمحددات والقيم الذاتية لـ${\displaystyle {\mathbf {A}}}$و${\displaystyle {\mathbf {M}}}$المصفوفات.

رتبة${\displaystyle {\mathbf {A}}}$	رتبة${\displaystyle {\mathbf {M}}}$	علامة المحدد لـ${\displaystyle {\mathbf {M}}}$	القيم الذاتية غير الصفرية لـ${\displaystyle {\mathbf {M}}}$من نفس العلامة؟	هل جميع القيم الذاتية لـ${\displaystyle {\mathbf {A}}}$من نفس العلامة؟	نوع السطح التربيعي
3	4	سلبي	لا	نعم	شكل بيضاوي حقيقي
3	4	إيجابي	نعم	نعم	شكل بيضاوي وهمي
3	4	إيجابي	لا	لا	سطح زائد ذو ورقة واحدة
3	4	سلبي	لا	لا	سطح زائد ذو ورقتين
3	3	-	لا	لا	مخروط رباعي حقيقي
3	3	-	نعم	نعم	مخروط رباعي وهمي
2	4	سلبي	لا	نعم	القطع المكافئ الإهليلجي
2	4	إيجابي	لا	لا	القطع المكافئ الزائدي
2	3	-	لا	نعم	أسطوانة إهليلجية حقيقية
2	3	-	نعم	لا	أسطوانة إهليلجية وهمية
2	2	-	لا	لا	مستويات متقاطعة حقيقية
2	2	-	نعم	نعم	مستويات متقاطعة وهمية
1	3	-	لا	-	أسطوانة مكافئة
1	2	-	لا	-	أسطوانة مكافئة
1	2	-	نعم	-	مستويات متوازية وهمية
1	1	-	-	-	طائرات متزامنة

جميع الأسطح التربيعية الحقيقية، باستثناء القطع الناقص والقطع الزائد، هي حالات خاصة. يمكن التعبير عن أي قطع ناقص أو قطع زائد حقيقي كمصفوفة مُعاد تموضعها على الشكل التالي:$${\displaystyle {\mathbf {M}}={\mathbf {P}}^{T}{\mathbf {M}}{\acute {}}{\mathbf {P}}=0}$$مع${\displaystyle {\mathbf {M}}{\acute {}}}$تحتوي فقط على المكونات القطرية لـ${\displaystyle m_{xx}{\acute {}},m_{yy}{\acute {}},m_{zz}{\acute {}}}$، و${\displaystyle m_{0}{\acute {}}}$والباقي أصفار. هنا أعمدة المحاور x و y و z للمصفوفة الأفينية${\displaystyle {\mathbf {P}}}$هي المتجهات الذاتية المعيارية لـ${\displaystyle {\mathbf {A}}}$حيث تشير علامة النبرة الحادة إلى منقولة المصفوفة. موقع مركز الثقل ،${\displaystyle {\mathbf {p}}}$(في العمود الرابع من${\displaystyle {\mathbf {P}}}$) يكون$${\displaystyle {\mathbf {p}}={\mathbf {A}}^{-1}{\begin{bmatrix}q_{x}\\q_{y}\\q_{z}\end{bmatrix}}}$$أنصاف أقطار المحاور لها القيم التالية$${\displaystyle {radius}^{2}={\frac {C}{eigenvalue\;of{\mathbf {A}}}}}$$حيث المحاور القطرية وعلى طول المتجهات الذاتية للقيم الذاتية المقابلة، و$${\displaystyle C={\mathbf {p}}^{T}{\mathbf {Ap}}-m_{0}}$$بالنسبة للقطع الناقص الحقيقي، تكون أنصاف أقطار جميع القيم الذاتية موجبة. أما بالنسبة للقطع الزائد ذي الورقة الواحدة، فإن أحد مربعات أنصاف الأقطار سالب، بينما يمثل المربعان الآخران نصفي قطر القطع الناقص عند عنق القطع الزائد. وبالنسبة للقطع الزائد ذي الورقتين، فإن مربعي نصفي قطر سالبين، ويكون نصف القطر الحقيقي هو المسافة من مركز القطع الزائد إلى نقاط الورقتين. إذا كانت جميع القيم الذاتية الثلاثة تعطي مربعات أنصاف أقطار سالبة، فإن السطح التربيعي يكون قطعًا ناقصًا تخيليًا. ^{[ 7 ]}

تُستخدم مصفوفات التحويل الأفيني لتمثيل تحويلات الإحداثيات. وتأخذ هذه المصفوفة الشكل ^{[ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle {\mathbf {P_{10}}}={\begin{bmatrix}x_{x}&x_{y}&x_{z}&x_{0}\\y_{x}&y_{y}&y_{z}&y_{0}\\z_{x}&z_{y}&z_{z}&z_{0}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$يمثل العمود الأول من المصفوفة هنا متجه الاتجاه المعياري لـ${\displaystyle x}$المحور - لنظام الإحداثيات الجديد${\displaystyle C_{1}}$بالنسبة لنظام الإحداثيات الأصلي،${\displaystyle C_{0}}$يمثل العمود الثاني${\displaystyle y}$المحور السيني، العمود الثالث${\displaystyle z}$المحور السيني، والعمود الرابع هو موقع نقطة الأصل في${\displaystyle C_{1}}$في نظام الإحداثيات الأصلي. نقطة في الموقع${\displaystyle {\mathbf {p_{1}}}}$، من حيث${\displaystyle C_{1}}$نظام الإحداثيات عند النقطة$${\displaystyle {\mathbf {p_{0}}}={\mathbf {P_{10}p_{1}}}}$$في نظام الإحداثيات الأصلي. لاحظ أنه هنا،${\displaystyle {\mathbf {p_{1}}}}$يحتوي المتجه على القيمة "1" كحد رابع، لأنه متجه موقع، بينما تحتوي متجهات الاتجاه على القيمة "0" كحد رابع. وباستخدام القواعد المعتادة لجبر المصفوفات، يتم الحصول على التحويل العكسي كمعكوس للمصفوفة.${\displaystyle {\mathbf {P_{10}}}}$، إنه،$${\displaystyle {\mathbf {P_{01}}}={\mathbf {P_{10}}}^{-1}}$$يمكن دمج هذه التحويلات، بحيث إذا كان هناك نظام إحداثيات${\displaystyle C_{2}}$، مع تحديد الموقع والاتجاه${\displaystyle {\mathbf {P_{21}}}}$بالنسبة إلى${\displaystyle C_{1}}$، واتجاهها بالنسبة إلى${\displaystyle C_{0}}$يكون$${\displaystyle {\mathbf {P_{20}}}={\mathbf {P_{21}P_{10}}}}$$كما تم حسابها باستخدام ضرب المصفوفات. تُستخدم مصفوفات التحويل هذه بشكل متكرر لحساب مواقع واتجاهات المركبات. على سبيل المثال، طائرة عند نقطة${\displaystyle {\mathbf {p_{1}}}}$في إطار مرجعية الطائرة ، سيكون عند نقطة${\displaystyle {\mathbf {p_{0}}}}$في نظام الإحداثيات الأرضية، إذا${\displaystyle {\mathbf {P_{10}}}}$هو التحويل بين الإطار المرجعي الأرضي والإطار المرجعي للطائرة.

تتميز الأسطح التربيعية بخاصية رائعة وهي أنها تتحول أيضًا تحت تحويلات الإحداثيات الأفينية. إذا كان السطح التربيعي،${\displaystyle {\mathbf {M}}}$يتم نقلها إلى موقع إحداثيات واتجاه${\displaystyle C_{1}}$، وصفها كما يُرى من نظام الإحداثيات الأصلي${\displaystyle C_{1}}$هو ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\mathbf {M}}_{moved\;to}={\mathbf {P_{01}}}^{T}{\mathbf {M}}\;{\mathbf {P_{01}}}}$$ومع ذلك، يجب التمييز بين هذا وبين السطح التربيعي المحدد في نظام الإحداثيات${\displaystyle C_{0}}$كما يُرى من نظام إحداثيات${\displaystyle C_{1}}$حيث يكون التحول

${\displaystyle {\mathbf {M}}_{viewed\;from}={\mathbf {P_{10}}}^{T}{\mathbf {M}}\;{\mathbf {P_{10}}}}$

لاحظ ذلك منذ${\displaystyle {\mathbf {M}}^{T}={\mathbf {M}}}$، لا يهم ما إذا كانت هذه المصفوفة منقولة أم لا، ويمكن للمرء أن يراها بأي من الطريقتين في الأدبيات.

يُنظر عادةً إلى خطوط الطول والعرض على أنها خطوط على سطح الكرة الأرضية، ولكن عند الأخذ في الاعتبار إمكانية عبور خط الطول أو العرض على ارتفاعات مختلفة، يتضح أن هذه الخطوط في الواقع أسطح، بل أسطح تربيعية. إذا افترضنا أن الأرض كروية، فإن خطوط الطول عبارة عن مستويات تقطع مركز الأرض والقطبين، بينما خطوط العرض عبارة عن مخاريط ، رأس كل منها في مركز الأرض. أما الارتفاعات فهي عبارة عن كرات ذات أنصاف أقطار مختلفة. هذا هو النموذج العام المستخدم حاليًا في الملاحة البحرية والجوية.

عندما يُقارب شكل الأرض بشكل أفضل شكلًا بيضاويًا، تظل خطوط الطول هي نفسها المستويات كما في حالة الأرض الكروية. تظل خطوط العرض مخاريط، لكن رؤوس المخاريط لم تعد في مركز الأرض، باستثناء خط الاستواء؛ ويظل محور المخروط على طول محور الأرض، ولكنه يقع شمال أو جنوب مركز الأرض. أما الارتفاعات فهي أشكال بيضاوية. في النظام الجيوديسي العالمي لعام 1984 (WGS84)، يبلغ نصف قطر الأرض عند خط الاستواء (${\displaystyle G_{a}}$تبلغ قيمته 6,378,137.0 مترًا ونصف قطره القطبي (${\displaystyle G_{b}}$) كـ 6,356,752.3142 مترًا. مربع الانحراف المركزي الأول هو$${\displaystyle {G_{e}}^{2}={\frac {{G_{a}}^{2}-{G_{b}}^{2}}{{G_{a}}^{2}}}=0.00669437999014}$$

خط العرض المحدد${\displaystyle \phi }$وخط الطول${\displaystyle \lambda }$، يمكن تحديد الإحداثيات التي تتمركز حول الأرض (الجيومركزية) على النحو التالي ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&(R_{N}+H)\cos \phi \cos \lambda \\y&=&(R_{N}+H)\cos \phi \sin \lambda \\z&=&({\frac {R_{N}G_{b}}{G_{a}}}+H)\sin \phi \end{array}}}$$ حيث H هو الارتفاع فوق سطح الأرض الإهليلجي و$${\displaystyle R_{N}=G_{a}/{\sqrt {1-{G_{e}}^{2}{\sin }^{2}\phi }}.}$$

السطح التربيعي في فضاء أفيني ذي بُعد n هو مجموعة أصفار متعددة حدود من الدرجة 2. أي أنه مجموعة النقاط التي تحقق إحداثياتها معادلة

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

حيث تأخذ كثيرة الحدود p الشكل التالي

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i,0}+a_{0,i})x_{i}+a_{0,0}\,,}$

للمصفوفة${\displaystyle A=(a_{i,j})}$مع${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$يبدأ من 0 إلى${\displaystyle n}$عندما لا تكون خاصية مجال المعاملات اثنين، بشكل عام${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$يُفترض ذلك؛ أو ما يعادله${\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}$عندما تكون خاصية مجال المعاملات اثنين، بشكل عام${\displaystyle a_{i,j}=0}$يُفترض ذلك عندما${\displaystyle j<i}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle A}$هو مثلث علوي .

يمكن اختصار المعادلة، لتصبح معادلة المصفوفة

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} =0\,,}$

مع

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}\,.}$

معادلة الإكمال الإسقاطي متطابقة تقريبًا:

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {X} =0,}$

مع

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$

تُعرّف هذه المعادلات السطح التربيعي بأنه سطح جبري ذو بُعد n − 1 ودرجة اثنين في فضاء ذي بُعد n .

يُقال إن السطح التربيعي غير منحل إذا كانت مصفوفته${\displaystyle A}$قابلة للعكس .

السطح التربيعي غير المنحط غير منفرد بمعنى أن إكماله الإسقاطي ليس له نقطة منفردة (الأسطوانة غير منفردة في الفضاء الأفيني، لكنها سطح تربيعي منحط له نقطة منفردة عند اللانهاية ).

النقاط الشاذة للسطح التربيعي المنحط هي النقاط التي تنتمي إحداثياتها الإسقاطية إلى الفضاء الصفري للمصفوفة A.

يكون السطح التربيعي قابلاً للاختزال إذا وفقط إذا كانت رتبة A هي واحد (حالة المستوى الفائق المزدوج) أو اثنين (حالة مستويين فائقين).

لنعتبر السطح التربيعي للمعادلة

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}-1=0.}$

ل${\displaystyle n=2,}$هذه هي دائرة الوحدة ؛ لـ${\displaystyle n=3}$هذه هي الكرة الوحدة ؛ في الأبعاد الأعلى، هذه هي الكرة الفائقة الوحدة .

النقطة${\displaystyle \mathbf {a} =(0,\ldots ,0,-1)}$ينتمي إلى السطح التربيعي (اختيار هذه النقطة من بين نقاط أخرى مماثلة هو مجرد مسألة ملاءمة). لذا، فإن المعادلة${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$يصبح ما ورد في القسم السابق

${\displaystyle (\lambda t_{1}^{2})+\cdots +(\lambda t_{n-1})^{2}+(1-\lambda )^{2}-1=0.}$

عن طريق توسيع المربعات، وتبسيط الحدود الثابتة، والقسمة على${\displaystyle \lambda ,}$وحلها في${\displaystyle \lambda ,}$يحصل المرء

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.}$

استبدال هذا${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$وبتبسيط تعبير الإحداثي الأخير، نحصل على المعادلة البارامترية

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2t_{1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\\vdots \\x_{n-1}={\frac {2t_{n-1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\x_{n}={\frac {1-t_{1}^{2}-\cdots -t_{n-1}^{2}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.\end{cases}}}$

عن طريق التجانس، نحصل على المعلمة الإسقاطية

${\displaystyle {\begin{cases}X_{0}=T_{1}^{2}+\cdots +T_{n}^{2}\\X_{1}=2T_{1}T_{n}\\\vdots \\X_{n-1}=2T_{n-1}T_{n}\\X_{n}=T_{n}^{2}-T_{1}^{2}-\cdots -T_{n-1}^{2}.\end{cases}}}$

يُظهر التحقق المباشر أن هذا يُنشئ تقابلاً بين نقاط السطح التربيعي بحيث${\displaystyle X_{n}\neq -X_{0}}$والنقاط التي بحيث${\displaystyle T_{n}\neq 0}$في الفضاء الإسقاطي للمعاملات. من ناحية أخرى، جميع قيم${\displaystyle (T_{1},\ldots ,T_{n})}$بحيث${\displaystyle T_{n}=0}$و${\displaystyle T_{1}^{2}+\cdots +T_{n-1}^{2}\neq 0}$أعطِ النقطة${\displaystyle A.}$

في حالة القطوع المخروطية (${\displaystyle n=2}$هناك نقطة واحدة فقط مع${\displaystyle T_{n}=0.}$ويكون هناك تقابل بين الدائرة والخط الإسقاطي.

ل${\displaystyle n>2,}$هناك العديد من النقاط المتعلقة بـ${\displaystyle T_{n}=0,}$وبالتالي العديد من قيم المعلمات للنقطة${\displaystyle A.}$من ناحية أخرى، النقاط الأخرى للسطح التربيعي التي${\displaystyle X_{n}=-X_{0}}$(وبالتالي${\displaystyle x_{n}=-1}$لا يمكن الحصول على هذه النقاط لأي قيمة من قيم المعاملات. هذه النقاط هي نقاط تقاطع السطح التربيعي ومستواه المماس عند${\displaystyle A.}$في هذه الحالة المحددة، تحتوي هذه النقاط على إحداثيات مركبة غير حقيقية، ولكن يكفي تغيير إشارة واحدة في معادلة السطح التربيعي لإنتاج نقاط حقيقية لا يتم الحصول عليها باستخدام المعلمات الناتجة.

يتضح هذا جلياً من خلال الثلاثيات الفيثاغورية . الثلاثية الفيثاغورية هي ثلاثية${\displaystyle (a,b,c)}$من الأعداد الصحيحة الموجبة بحيث${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$تكون الثلاثية الفيثاغورية أولية إذا${\displaystyle a,b,c}$تكون أولية فيما بينها على مستوى المجموعة، أو بصورة مكافئة، إذا كان أي من الأزواج الثلاثة${\displaystyle (a,b),}$${\displaystyle (b,c)}$و${\displaystyle (a,c)}$هو عدد أولي فيما بينه.

باختيارك${\displaystyle A=(-1,0,1)}$و​${\displaystyle \mathbf {t} =(m,n)}$توفر الطريقة المذكورة أعلاه عملية تحديد المعلمات

${\displaystyle {\begin{cases}a=m^{2}-n^{2}\\b=2mn\\c=m^{2}+n^{2}\end{cases}}}$

بالنسبة للسطح التربيعي للمعادلة${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$(يتم تغيير أسماء المتغيرات والمعلمات من الأسماء المذكورة أعلاه إلى تلك الشائعة عند النظر في ثلاثيات فيثاغورس).

إذا كان m و n عددين صحيحين أوليين فيما بينهما بحيث${\displaystyle m>n>0,}$الثلاثية الناتجة هي ثلاثية فيثاغورسية. إذا كان أحد العددين m أو n زوجيًا والآخر فرديًا، فإن هذه الثلاثية الناتجة أولية؛ وإلا، فإن m و n كلاهما فرديان، ويمكن الحصول على ثلاثية أولية بالقسمة على 2.

باختصار، فإنّ التثليثات الفيثاغورية البدائية مع${\displaystyle b}$حتى يتم الحصول عليها كـ

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2},}$

حيث m و n عددان صحيحان أوليان فيما بينهما بحيث يكون أحدهما زوجيًا و${\displaystyle m>n>0}$(هذه صيغة إقليدس ). الضرب الثلاثي الفيثاغورسي البدائي مع${\displaystyle b}$يتم الحصول على الأرقام الفردية كما يلي:

${\displaystyle a={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad b=mn,\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}},}$

حيث m و n عددان صحيحان فرديان أوليان فيما بينهما بحيث${\displaystyle m>n>0.}$

بما أن تبادل a و b يحول ثلاثية فيثاغورس إلى ثلاثية فيثاغورس أخرى، فإن حالة واحدة فقط من الحالتين تكفي لإنتاج جميع ثلاثيات فيثاغورس الأولية حتى رتبة a و b .

يترك${\displaystyle K}$كن حقلاً و${\displaystyle V}$فضاء متجهي على${\displaystyle K}$رسم الخرائط${\displaystyle q}$من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle K}$بحيث

(س1)${\displaystyle \;q(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{2}q({\vec {x}})\;}$لأي${\displaystyle \lambda \in K}$و${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$.

(س2)${\displaystyle \;f({\vec {x}},{\vec {y}}):=q({\vec {x}}+{\vec {y}})-q({\vec {x}})-q({\vec {y}})\;}$هو شكل ثنائي الخطية .

يُطلق عليه الشكل التربيعي . الشكل الثنائي الخطي${\displaystyle f}$متناظر .

في حالة${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$الشكل الثنائي الخطي هو${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=2q({\vec {x}})}$، أي${\displaystyle f}$و${\displaystyle q}$يتم تحديدها بشكل متبادل بطريقة فريدة. في حالة${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$(وهذا يعني:${\displaystyle 1+1=0}$) الصيغة الثنائية الخطية لها الخاصية${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$، أي${\displaystyle f}$هو سيمبليكتيكي .

ل${\displaystyle V=K^{n}\ }$و${\displaystyle \ {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad }$ (${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$هي قاعدة لـ${\displaystyle V}$)${\displaystyle \ q}$له الشكل المألوف

${\displaystyle q({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}\ {\text{ with }}\ a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})\ {\text{ for }}\ i\neq k\ {\text{ and }}\ a_{ii}:=q({\vec {e}}_{i})\ }$و

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}(x_{i}y_{k}+x_{k}y_{i})}$.

على سبيل المثال:

${\displaystyle n=3,\quad q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},\quad f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$

يترك${\displaystyle K}$كن حقلاً،${\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} }$،

${\displaystyle V_{n+1}}$فضاء متجهي ذو ( ن + 1) بُعد على الحقل${\displaystyle K,}$

${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle }$الفضاء الفرعي أحادي البعد الناتج عن${\displaystyle {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V_{n+1}}$،

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \mid {\vec {x}}\in V_{n+1}\},\ }$مجموعة النقاط ،

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{{\text{2-dimensional subspaces of }}V_{n+1}\},\ }$مجموعة الخطوط .

${\displaystyle P_{n}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}})\ }$هو الفضاء الإسقاطي ذو البعد n على${\displaystyle K}$.

مجموعة النقاط الموجودة في${\displaystyle (k+1)}$فضاء فرعي ذو أبعاد من${\displaystyle V_{n+1}}$هو${\displaystyle k}$فضاء فرعي ذو أبعاد من${\displaystyle P_{n}(K)}$الفضاء الجزئي ثنائي الأبعاد هو مستوى .

في حالة${\displaystyle \;n>3\;}$أ${\displaystyle (n-1)}$يُطلق على الفضاء الفرعي ذي الأبعاد n اسم المستوى الفائق .

شكل تربيعي${\displaystyle q}$في فضاء متجهي${\displaystyle V_{n+1}}$يُعرّف سطحًا تربيعيًا${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$في الفضاء الإسقاطي المرتبط${\displaystyle {\mathcal {P}},}$باعتبارها مجموعة النقاط${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$بحيث${\displaystyle q({\vec {x}})=0}$. إنه،

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid q({\vec {x}})=0\}.}$

أمثلة في${\displaystyle P_{2}(K)}$.: (E1): لـ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$نحصل على قطع مخروطي . (E2): لـ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$نحصل على زوج من الخطوط ذات المعادلات التالية:${\displaystyle x_{1}=0}$و${\displaystyle x_{2}=0}$على التوالي. يتقاطعان عند النقطة${\displaystyle \langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle }$;

في الاعتبارات الواردة أدناه، يُفترض ما يلي:${\displaystyle {\mathcal {Q}}\neq \emptyset }$.

بالنسبة للنقطة${\displaystyle P=\langle {\vec {p}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$المجموعة

${\displaystyle P^{\perp }:=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\}}$

يُطلق عليه اسم الفضاء القطبي لـ${\displaystyle P}$(بالنسبة إلى${\displaystyle q}$).

لو${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$للجميع${\displaystyle {\vec {x}}}$، يحصل المرء${\displaystyle P^{\perp }={\mathcal {P}}}$.

لو${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})\neq 0\;}$لواحد على الأقل${\displaystyle {\vec {x}}}$المعادلة${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$هي معادلة خطية غير تافهة تُعرّف مستوىً فائقًا. ومن ثم

${\displaystyle P^{\perp }}$إما أن يكون مستوى فائق أو${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

بالنسبة لتقاطع خط عشوائي${\displaystyle g}$مع رباعي حقيقي${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$قد تحدث الحالات التالية:

أ)${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=\emptyset \;}$و${\displaystyle g}$يُطلق عليه الخط الخارجي

ب)${\displaystyle g\subset {\mathcal {Q}}\;}$و${\displaystyle g}$يُطلق عليه اسم خط في السطح التربيعي

ج)${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1\;}$و${\displaystyle g}$يُطلق عليه اسم خط المماس

د)${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2\;}$و${\displaystyle g}$يُطلق عليه خط القاطع .

البرهان: ليكن${\displaystyle g}$ليكن خطًا يتقاطع${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$عند النقطة${\displaystyle \;U=\langle {\vec {u}}\rangle \;}$و${\displaystyle \;V=\langle {\vec {v}}\rangle \;}$وهي النقطة الثانية على${\displaystyle g}$. من${\displaystyle \;q({\vec {u}})=0\;}$يحصل المرء ${\displaystyle q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q(x{\vec {u}})+q({\vec {v}})+f(x{\vec {u}},{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})\;.}$ أولاً: في حالة${\displaystyle g\subset U^{\perp }}$المعادلة${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})=0}$وهو يحمل ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})\;}$لأي${\displaystyle x\in K}$وبالتالي إما${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=0\;}$ لأي​${\displaystyle x\in K}$أو${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})\neq 0\;}$لأي​${\displaystyle x\in K}$، مما يثبت (ب) و (ب'). ثانياً: في حالة${\displaystyle g\not \subset U^{\perp }}$يحصل المرء${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})\neq 0}$والمعادلة ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})=0\;}$له حل واحد فقط${\displaystyle x}$. لذلك:${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$، مما يثبت ج).