مصفوفة التحويل

في الجبر الخطي ، يمكن تمثيل التحويلات الخطية بالمصفوفات . إذا كان تحويل خطي يطابق و متجه عمودي به إدخالات ، فبالنسبة لبعض المصفوفات ، تسمى مصفوفة التحويل لـ . ^{[ بحاجة لمصدر ]} لاحظ أن بها صفوف وأعمدة ، في حين أن التحويل من إلى . هناك تعبيرات بديلة لمصفوفات التحويل تتضمن متجهات صف يفضلها بعض المؤلفين. ^{[1] [2]}${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T}$${\displaystyle A}$${\displaystyle م}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

تسمح المصفوفات بعرض التحويلات الخطية التعسفية بتنسيق ثابت ومناسب للحساب. ^{[3] وهذا يسمح أيضًا} بتكوين التحويلات بسهولة (عن طريق ضرب مصفوفاتها).

التحويلات الخطية ليست التحويلات الوحيدة التي يمكن تمثيلها بالمصفوفات. يمكن تمثيل بعض التحويلات غير الخطية على فضاء إقليدي ذو أبعاد n R ⁿ كتحويلات خطية على فضاء ذو ​​أبعاد n +1 R ^{n +1} . وتشمل هذه كل من التحويلات التآلفية (مثل التحويل الإسقاطي ) والتحويلات الإسقاطية . لهذا السبب، تُستخدم مصفوفات التحويل 4 × 4 على نطاق واسع في رسومات الكمبيوتر ثلاثية الأبعاد . تسمى مصفوفات التحويل ذات الأبعاد n +1 هذه ، اعتمادًا على تطبيقها، مصفوفات التحويل التآلفية أو مصفوفات التحويل الإسقاطي أو بشكل عام مصفوفات التحويل غير الخطية . فيما يتعلق بمصفوفة ذات أبعاد n ، يمكن وصف مصفوفة ذات أبعاد n +1 بأنها مصفوفة موسعة .

في العلوم الفيزيائية ، التحويل النشط هو التحويل الذي يغير فعليًا الموضع الفيزيائي للنظام ، ويكون منطقيًا حتى في غياب نظام إحداثيات بينما التحويل السلبي هو تغيير في وصف إحداثيات النظام الفيزيائي ( تغيير الأساس ). يعد التمييز بين التحويلات النشطة والسلبية أمرًا مهمًا. بشكل افتراضي، يقصد علماء الرياضيات عادةً بالتحويل التحويلات النشطة ، بينما يمكن لعلماء الفيزياء أن يقصدوا أيًا منهما.

بعبارة أخرى، يشير التحويل السلبي إلى وصف نفس الكائن كما يُنظر إليه من إطارين إحداثيين مختلفين.

إذا كان لدينا تحويل خطي في شكل وظيفي، فمن السهل تحديد مصفوفة التحويل A عن طريق تحويل كل متجه من متجهات الأساس القياسي بواسطة T ، ثم إدخال النتيجة في أعمدة المصفوفة. بعبارة أخرى، ${\displaystyle T(x)}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}T(\mathbf {e} _{1})&T(\mathbf {e} _{2})&\cdots &T(\mathbf {e} _{n}) \end{بمصفوفة}}}$$

على سبيل المثال، الدالة عبارة عن تحويل خطي. تطبيق العملية أعلاه (افترض أن n = 2 في هذه الحالة) يكشف أن ${\displaystyle T(x)=5x}$$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=5\mathbf {x} =5I\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}\mathbf {x} }$$

يعتمد تمثيل المصفوفة للمتجهات والعوامل على الأساس المختار؛ وسوف تنتج مصفوفة مماثلة من أساس بديل. ومع ذلك، تظل طريقة العثور على المكونات كما هي.

للتوضيح، يمكن تمثيل المتجه في متجهات أساسية، مع الإحداثيات : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle E={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{E}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _ {n}=\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}=E[\mathbf {v} ]_{E}}$$

الآن، قم بالتعبير عن نتيجة مصفوفة التحويل A على ، في الأساس المعطى: ${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}A(\mathbf {v} )&=A\left(\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}\right)=\sum _{ i}{v_{i}A(\mathbf {e} _{i})}\\&={\begin{bmatrix}A(\mathbf {e} _{1})&A(\mathbf {e} _{2})&\cdots &A(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}[\mathbf {v} ]_{E}= A\cdot [\mathbf {v} ]_ {E}\\[3pt]&= {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1 }&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n, n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\end{محاذاة}}}$$

يتم تحديد عناصر المصفوفة A لأساس معين E من خلال تطبيق A على كل ، وملاحظة متجه الاستجابة ${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &(v_{j}=1)&\cdots &0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$${\displaystyle A\mathbf {e} _{j}=a_{1,j}\mathbf {e} _{1}+a_{2,j}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_ {n,j}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}.}$$

تعرف هذه المعادلة العناصر المطلوبة، ، للعمود j من المصفوفة A. ^[4 ]${\displaystyle a_{i,j}}$

ومع ذلك، هناك أساس خاص لمشغل حيث تشكل المكونات مصفوفة قطرية ، وبالتالي، يتم تقليل تعقيد الضرب إلى n . يعني أن تكون قطرية أن جميع المعاملات باستثناء هي أصفار مما يترك حدًا واحدًا فقط في المجموع أعلاه. تُعرف العناصر القطرية الباقية، ، بالقيم الذاتية ويتم تعيينها بـ في المعادلة المحددة، والتي يتم تقليلها إلى . تُعرف المعادلة الناتجة بمعادلة القيمة الذاتية . ^[5] يتم اشتقاق المتجهات الذاتية والقيم الذاتية منها عبر متعددة الحدود المميزة . ${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle a_{i,i}}$${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle a_{i,i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}}$

باستخدام التقسيم القطري ، من الممكن غالبًا الترجمة من وإلى القواعد الذاتية.

إن أكثر التحويلات الهندسية شيوعًا التي تحافظ على الأصل ثابتًا هي التحويلات الخطية، بما في ذلك الدوران والتدرج والقص والانعكاس والإسقاط المتعامد؛ إذا لم يكن التحويل الأفيني ترجمة خالصة فإنه يحافظ على نقطة ثابتة، ويمكن اختيار تلك النقطة كأصل لجعل التحويل خطيًا. في بعدين، يمكن تمثيل التحويلات الخطية باستخدام مصفوفة تحويل 2×2.

التمدد في المستوى xy هو تحويل خطي يكبر كل المسافات في اتجاه معين بعامل ثابت ولكنه لا يؤثر على المسافات في الاتجاه العمودي. نحن نأخذ في الاعتبار فقط التمددات على طول المحور x والمحور y. التمدد على طول المحور x يكون على هيئة x' = kx ؛ y' = y لبعض الثوابت الموجبة k . (لاحظ أنه إذا كان k > 1 ، فهذا في الواقع "تمدد"؛ إذا كان k < 1 ، فهو تقنيًا "ضغط"، ولكننا نسميه تمددًا. أيضًا، إذا كان k = 1 ، فإن التحويل يكون متطابقًا، أي أنه ليس له تأثير.)

المصفوفة المرتبطة بامتداد بعامل k على طول المحور x تعطى بالمعادلة: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

وبالمثل، فإن الامتداد بعامل k على طول المحور y يكون على الشكل x' = x ؛ y' = ky ، وبالتالي فإن المصفوفة المرتبطة بهذا التحويل هي $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}}$$

إذا تم دمج الامتدادين أعلاه بقيم متبادلة، فإن مصفوفة التحويل تمثل تعيين ضغط : يتم تحويل مربع بأضلاع موازية للمحاور إلى مستطيل له نفس مساحة المربع. الامتداد المتبادل والضغط يتركان المساحة ثابتة. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.}$$

بالنسبة للدوران بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة (اتجاه موجب) حول الأصل، يكون الشكل الوظيفي هو و . وعند كتابته في شكل مصفوفة، يصبح هذا: ^[6]${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta }$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

وبالمثل، بالنسبة للدوران في اتجاه عقارب الساعة (الاتجاه السلبي) حول الأصل، يكون الشكل الوظيفي هو وشكل المصفوفة هو: ${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

تفترض هذه الصيغ أن المحور x يشير إلى اليمين والمحور y يشير إلى الأعلى.

بالنسبة لرسم القص (المماثل بصريًا للانحدار)، هناك إمكانيتان.

يحتوي القص الموازي لمحور x على و . وعند كتابته في شكل مصفوفة، يصبح: ${\displaystyle x'=x+ky}$${\displaystyle y'=y}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

يحتوي القص الموازي للمحور y على و ، والذي له شكل مصفوفة: ${\displaystyle x'=x}$${\displaystyle y'=y+kx}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

للانعكاس حول خط يمر عبر الأصل، لنفترض أن متجهًا في اتجاه الخط. ثم استخدم مصفوفة التحويل: ${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y})}$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{x}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{x}l_{y}\\2l_{x}l_{y}&l_{y}^{2}-l_{x}^{2}\end{bmatrix}}}$$

لإسقاط متجه بشكل عمودي على خط يمر عبر الأصل، لنفترض أن متجهًا في اتجاه الخط. ثم استخدم مصفوفة التحويل: ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$$

كما هو الحال مع الانعكاسات، فإن الإسقاط العمودي على خط لا يمر عبر الأصل هو تحويل تآلفي وليس خطيًا.

تعتبر الإسقاطات المتوازية أيضًا تحويلات خطية ويمكن تمثيلها ببساطة باستخدام مصفوفة. ومع ذلك، فإن الإسقاطات المنظورية ليست كذلك، ولتمثيلها باستخدام مصفوفة، يمكن استخدام إحداثيات متجانسة .

المصفوفة لتدوير الزاوية θ حول أي محور محدد بواسطة متجه الوحدة ( x ، y ، z ) هي ^[7] $${\displaystyle {\begin{bmatrix}xx(1-\cos \theta )+\cos \theta &yx(1-\cos \theta )-z\sin \theta &zx(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &yy(1-\cos \theta )+\cos \theta &zy(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &zz(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

لعكس نقطة عبر مستوٍ (يمر عبر الأصل)، يمكن للمرء استخدام ، حيث هي مصفوفة الهوية 3×3 و هي متجه الوحدة ثلاثي الأبعاد للمتجه العمودي للمستوى. إذا كان معيار L ² لـ ، ، و يساوي واحدًا، فيمكن التعبير عن مصفوفة التحويل على النحو التالي: ${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}}$$

لاحظ أن هذه حالات خاصة لانعكاس رب الأسرة في بعدين وثلاثة أبعاد. إن الانعكاس حول خط أو مستوى لا يمر عبر الأصل ليس تحويلاً خطيًا — إنه تحويل أفيني — كمصفوفة تحويل أفيني 4×4، يمكن التعبير عنه على النحو التالي (بافتراض أن العمودي هو متجه وحدة): حيث لبعض النقاط على المستوى، أو ما يعادله، . $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$

إذا كان المكون الرابع للمتجه يساوي 0 بدلاً من 1، فإن اتجاه المتجه فقط هو الذي ينعكس ويظل حجمه دون تغيير، كما لو كان منعكسًا عبر مستوى موازٍ يمر عبر الأصل. هذه خاصية مفيدة لأنها تسمح بتحويل كل من المتجهات الموضعية والمتجهات العمودية بنفس المصفوفة. راجع الإحداثيات المتجانسة والتحويلات التآلفية أدناه لمزيد من التوضيح.

أحد الدوافع الرئيسية لاستخدام المصفوفات لتمثيل التحولات الخطية هو أن التحولات يمكن بعد ذلك تكوينها وعكسها بسهولة.

يتم إنجاز التكوين عن طريق ضرب المصفوفات . يتم تشغيل متجهات الصفوف والأعمدة بواسطة المصفوفات، الصفوف على اليسار والأعمدة على اليمين. نظرًا لأن النص يُقرأ من اليسار إلى اليمين، فإن متجهات الأعمدة مفضلة عند تكوين مصفوفات التحويل:

إذا كانت A و B مصفوفات تحويلين خطيين، فإن تأثير تطبيق A أولاً ثم B على متجه العمود يعطى بواسطة: ${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {A} \mathbf {x} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} .}$$

بعبارة أخرى، مصفوفة التحويل المركب A متبوعة بـ B هي ببساطة حاصل ضرب المصفوفات الفردية.

عندما تكون A مصفوفة قابلة للعكس، توجد مصفوفة A ⁻¹ تمثل تحويلاً "يتراجع" عن A لأن تركيبها مع A هو مصفوفة الوحدة . في بعض التطبيقات العملية، يمكن حساب العكس باستخدام خوارزميات عكس عامة أو عن طريق إجراء عمليات عكسية (لها تفسير هندسي واضح، مثل الدوران في الاتجاه المعاكس) ثم تكوينها بترتيب عكسي. مصفوفات الانعكاس هي حالة خاصة لأنها معكوسات خاصة بها ولا يلزم حسابها بشكل منفصل.

لتمثيل التحويلات التآلفية باستخدام المصفوفات، يمكننا استخدام إحداثيات متجانسة . وهذا يعني تمثيل متجه ثنائي ( x ، y ) كمتجه ثلاثي ( x ، y ، 1)، وعلى نحو مماثل للأبعاد الأعلى. باستخدام هذا النظام، يمكن التعبير عن الترجمة بضرب المصفوفات. يصبح الشكل الوظيفي : ${\displaystyle x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

تُدرج جميع التحويلات الخطية العادية ضمن مجموعة التحويلات التآلفية، ويمكن وصفها بأنها شكل مبسط للتحويلات التآلفية. وبالتالي، يمكن تمثيل أي تحويل خطي أيضًا بمصفوفة تحويل عامة. يتم الحصول على الأخيرة عن طريق توسيع مصفوفة التحويل الخطي المقابلة بمقدار صف وعمود واحد، وملء المساحة الزائدة بالأصفار باستثناء الزاوية اليمنى السفلية، والتي يجب ضبطها على 1. على سبيل المثال، تصبح مصفوفة الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة من الأعلى : $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

باستخدام مصفوفات التحويل التي تحتوي على إحداثيات متجانسة، تصبح الترجمات خطية، وبالتالي يمكن خلطها بسلاسة مع جميع أنواع التحويلات الأخرى. والسبب هو أن المستوى الحقيقي يتم تعيينه إلى المستوى w = 1 في الفضاء الإسقاطي الحقيقي، وبالتالي يمكن تمثيل الترجمة في الفضاء الإقليدي الحقيقي كقص في الفضاء الإسقاطي الحقيقي. على الرغم من أن الترجمة هي تحويل غير خطي في فضاء إقليدي ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد موصوف بإحداثيات ديكارتية (أي أنه لا يمكن دمجه مع تحويلات أخرى مع الحفاظ على التبديلية والخصائص الأخرى)، إلا أنها تصبح ، في الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد أو رباعي الأبعاد الموصوف بإحداثيات متجانسة، تحويلًا خطيًا بسيطًا ( قص ).

يمكن الحصول على المزيد من التحويلات الأفينية من خلال تركيب تحويلين أفينيين أو أكثر. على سبيل المثال، إذا أعطيت ترجمة T' مع متجه ودوران R بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة وتدرج S مع عوامل وترجمة T للمتجه ، فإن النتيجة M لـ T'RST هي: ^[8]${\displaystyle (t'_{x},t'_{y}),}$${\displaystyle (s_{x},s_{y})}$${\displaystyle (t_{x},t_{y}),}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

عند استخدام التحويلات التآلفية، لن يتغير المكون المتجانس لمتجه الإحداثيات (يُطلق عليه عادةً اسم w ) أبدًا. وبالتالي، يمكننا أن نفترض بأمان أنه دائمًا يساوي 1 ونتجاهله. ومع ذلك، هذا ليس صحيحًا عند استخدام الإسقاطات المنظورية.

نوع آخر من التحويلات، ذو أهمية في رسومات الكمبيوتر ثلاثية الأبعاد ، هو الإسقاط المنظوري . في حين تُستخدم الإسقاطات المتوازية لإسقاط النقاط على مستوى الصورة على طول خطوط متوازية، فإن الإسقاط المنظوري يُسقط النقاط على مستوى الصورة على طول خطوط تنبع من نقطة واحدة، تسمى مركز الإسقاط. وهذا يعني أن الجسم له إسقاط أصغر عندما يكون بعيدًا عن مركز الإسقاط وإسقاط أكبر عندما يكون أقرب (انظر أيضًا الدالة المتبادلة ).

يستخدم أبسط إسقاط منظور الأصل كمركز للإسقاط، والمستوى عند كمستوى للصورة. الشكل الوظيفي لهذا التحويل هو ؛ . يمكننا التعبير عن ذلك في إحداثيات متجانسة على النحو التالي: ${\displaystyle z=1}$${\displaystyle x'=x/z}$${\displaystyle y'=y/z}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\z\end{bmatrix}}}$$

بعد إجراء عملية ضرب المصفوفة ، فإن المكون المتجانس سيكون مساويًا لقيمة ولن تتغير المكونات الثلاثة الأخرى. لذلك، لإعادة رسم الخريطة إلى المستوى الحقيقي، يجب علينا إجراء القسمة المتجانسة أو القسمة المنظورية عن طريق قسمة كل مكون على : ${\displaystyle w_{c}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w_{c}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x/z\\y/z\\1\\1\end{bmatrix}}}$$

يمكن إنشاء إسقاطات منظور أكثر تعقيدًا عن طريق الجمع بين هذا المنظور مع الدورات والمقاييس والترجمات والقص لتحريك مستوى الصورة ومركز الإسقاط إلى أي مكان مرغوب فيه.

• عرض ثلاثي الأبعاد
• تغيير الأساس
• تصحيح الصورة
• وضعية (رؤية الكمبيوتر)
• التحول الجامد
• التحويل (الدالة)
• هندسة التحويل

• صفحة المصفوفة أمثلة عملية في POV-Ray
• صفحة مرجعية - دوران المحاور
• حاسبة التحويل الخطي
• أداة التحويل - إنشاء مصفوفات من تحويلات ثنائية الأبعاد والعكس.
• تحويل الإحداثيات أثناء الدوران في 2D
• Excel Fun - إنشاء رسومات ثلاثية الأبعاد من جدول بيانات