مصفوفة العزوم

في الرياضيات ، مصفوفة العزوم هي مصفوفة مربعة متناظرة خاصة، تُفهرس صفوفها وأعمدتها بواسطة أحاديات الحدود . وتعتمد عناصر المصفوفة على حاصل ضرب أحاديات الحدود المُفهرسة فقط (انظر مصفوفات هانكل ).

تلعب مصفوفات العزوم دورًا مهمًا في ملاءمة كثيرات الحدود ، وتحسين كثيرات الحدود (حيث أن مصفوفات العزوم شبه الموجبة تتوافق مع كثيرات الحدود التي هي عبارة عن مجموع مربعات ) ^{[ 1 ]} والاقتصاد القياسي . ^{[ 2 ]}

يمكن كتابة نموذج الانحدار الخطي المتعدد على النحو التالي

${\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+\dots \beta _{k}x_{k}+u}$

أين${\displaystyle y}$المتغير التابع،${\displaystyle x_{1},x_{2}\dots ,x_{k}}$هي المتغيرات المستقلة،${\displaystyle u}$هذا هو الخطأ، و${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1}\dots ,\beta _{k}}$هي معاملات مجهولة يجب تقديرها. بالنظر إلى الملاحظات${\displaystyle \left\{y_{i},x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{ik}\right\}_{i=1}^{n}}$لدينا نظام من${\displaystyle n}$المعادلات الخطية التي يمكن التعبير عنها باستخدام ترميز المصفوفات. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&x_{11}&x_{12}&\dots &x_{1k}\\1&x_{21}&x_{22}&\dots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n1}&x_{n2}&\dots &x_{nk}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}}$

أو

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {u} }$

أين${\displaystyle \mathbf {y} }$و${\displaystyle \mathbf {u} }$كل منها متجه ذو بُعد${\displaystyle n\times 1}$،${\displaystyle \mathbf {X} }$هي مصفوفة تصميم الترتيب${\displaystyle n\times (k+1)}$، و${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$هو متجه ذو بُعد${\displaystyle (k+1)\times 1}$في ظل افتراضات جاوس-ماركوف ، فإن أفضل مقدر خطي غير متحيز لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$هو مقدر المربعات الصغرى الخطي${\displaystyle \mathbf {b} =\left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$، والتي تتضمن مصفوفتي العزوم${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}n&\sum x_{i1}&\sum x_{i2}&\dots &\sum x_{ik}\\\sum x_{i1}&\sum x_{i1}^{2}&\sum x_{i1}x_{i2}&\dots &\sum x_{i1}x_{ik}\\\sum x_{i2}&\sum x_{i1}x_{i2}&\sum x_{i2}^{2}&\dots &\sum x_{i2}x_{ik}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum x_{ik}&\sum x_{i1}x_{ik}&\sum x_{i2}x_{ik}&\dots &\sum x_{ik}^{2}\end{bmatrix}}}$

و

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}\sum y_{i}\\\sum x_{i1}y_{i}\\\vdots \\\sum x_{ik}y_{i}\end{bmatrix}}}$

أين${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} }$هي مصفوفة مربعة عادية ذات بُعد${\displaystyle (k+1)\times (k+1)}$، و${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$هو متجه ذو بُعد${\displaystyle (k+1)\times 1}$.

• مصفوفة التصميم
• مصفوفة غراميان
• مصفوفة الإسقاط

• "مصفوفة العزوم" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]