مصفوفة هانكل

في الجبر الخطي ، مصفوفة هانكل (أو مصفوفة كاتاليكتينت )، نسبةً إلى هيرمان هانكل ، هي مصفوفة مستطيلة يكون فيها كل قطر معكوس تصاعدي من اليسار إلى اليمين ثابتًا. على سبيل المثال،

$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$

وبشكل أعم، فإن مصفوفة هانكل هي أي${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$من الشكل

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$

أما فيما يتعلق بالمكونات، إذا كان${\displaystyle i,j}$عنصر من${\displaystyle A}$يُشار إليه بـ${\displaystyle A_{ij}}$وبافتراض${\displaystyle i\leq j}$ثم لدينا${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,jk}}$للجميع${\displaystyle k=0,...,ji.}$

• أي مصفوفة هانكل مربعة متناظرة .
• يترك${\displaystyle J_{n}}$كن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة التبادل . إذا${\displaystyle H}$هو${\displaystyle m\times n}$مصفوفة هانكل، ثم${\displaystyle H=TJ_{n}}$أين${\displaystyle T}$هو${\displaystyle m\times n}$مصفوفة توبليتز .
• لو${\displaystyle T}$إذا كان حقيقيًا ومتناظرًا، فإن${\displaystyle H=TJ_{n}}$سيكون لها نفس القيم الذاتية مثل${\displaystyle T}$حتى التوقيع. ^{[ 1 ]}
• تُعد مصفوفة هيلبرت مثالاً على مصفوفة هانكل.
• يُطلق على محدد مصفوفة هانكل اسم العامل الحفاز .
• لو${\displaystyle H}$هو${\displaystyle n\times n}$مصفوفة هانكل، ثم${\displaystyle H=V^{T}DV}$أين${\displaystyle V}$هي مصفوفة فاندرموند متصلة و${\displaystyle D}$هي مصفوفة قطرية كتلية، مع كتل متناظرة ومضادة للمثلث العلوي ^{[ 2 ]} .

بالنظر إلى سلسلة لوران الرسمية$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},}$$يتم تعريف عامل هانكل المقابل على النحو التالي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].}$$ هذا يتطلب متعدد الحدود${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$ويرسلها إلى المنتج${\displaystyle fg}$لكنه يتخلى عن جميع صلاحيات${\displaystyle z}$مع أس غير سالب، وذلك لإعطاء عنصر في${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$، وهي متسلسلة القوى الرسمية ذات الأسس السالبة تمامًا. الخريطة${\displaystyle H_{f}}$بطريقة طبيعية${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$-خطي، ومصفوفته بالنسبة للعناصر${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$و${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$هي مصفوفة هانكل $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{-1}&a_{-2}&\ldots \\a_{-2}&a_{-3}&\ldots \\a_{-3}&a_{-4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$تنشأ أي مصفوفة هانكل بهذه الطريقة. تنص نظرية كرونكر على أن رتبة هذه المصفوفة تكون منتهية تحديدًا إذا${\displaystyle f}$هي دالة كسرية ، أي كسر من كثيرتي حدود $${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

نهتم غالبًا بتقريب مؤثرات هانكل، ربما باستخدام مؤثرات منخفضة الرتبة. ولتقريب ناتج المؤثر، يمكننا استخدام المعيار الطيفي (معيار المؤثر 2) لقياس خطأ التقريب. وهذا يشير إلى أن تحليل القيم المفردة قد يكون أسلوبًا مناسبًا لتقريب تأثير المؤثر.

لاحظ أن المصفوفة${\displaystyle A}$لا يشترط أن تكون المصفوفة محدودة. فإذا كانت غير محدودة، فلن تنجح الطرق التقليدية لحساب المتجهات المفردة بشكل مباشر. كما نشترط أن يكون التقريب عبارة عن مصفوفة هانكل، وهو ما يمكن إثباته باستخدام نظرية AAK .

تحويل مصفوفة هانكل ، أو ببساطة تحويل هانكل ، لمتتالية${\displaystyle b_{k}}$هي متتالية محددات مصفوفات هانكل المتكونة من${\displaystyle b_{k}}$. بالنظر إلى عدد صحيح${\displaystyle n>0}$، حدد المقابل${\displaystyle (n\times n)}$مصفوفة هانكل ذات الأبعاد n${\displaystyle B_{n}}$باعتبارها تحتوي على عناصر المصفوفة${\displaystyle [B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.}$ثم التسلسل${\displaystyle h_{n}}$مقدم من $${\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}$$ هو تحويل هانكل للمتتالية${\displaystyle b_{k}.}$يُعد تحويل هانكل ثابتًا تحت تحويل ذي الحدين لمتتالية. أي، إذا كتبنا $${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$$ باعتباره التحويل الثنائي للمتتالية${\displaystyle b_{n}}$ثم يكون لدى المرء${\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}$

تُشكَّل مصفوفات هانكل عندما يُراد ، عند إعطاء سلسلة من بيانات الإخراج، تمثيل نموذج فضاء الحالة أو نموذج ماركوف المخفي . ^{[ 4 ]} يوفر تحليل القيم المفردة لمصفوفة هانكل وسيلةً لحساب المصفوفات A و B و C التي تُحدد تمثيل فضاء الحالة. ^{[ 5 ]} وقد وُجد أن مصفوفة هانكل المُشكَّلة من الإشارة مفيدة في تحليل الإشارات غير المستقرة وتمثيلها في مجال التردد الزمني.

• مصفوفة كوشي
• مشغل جاكوبي
• مصفوفة توبليتز ، وهي مصفوفة هانكل "مقلوبة" (أي معكوسة الصفوف).
• مصفوفة فاندرموند

• برنت آر بي (1999)، "استقرار الخوارزميات السريعة للأنظمة الخطية المهيكلة"، خوارزميات سريعة وموثوقة للمصفوفات ذات البنية (المحررون - تي. كايلات، إيه إتش سيد)، الفصل 4 ( SIAM ).
• فورمان، بول أ. (2012). مدخل متعدد الحدود إلى الجبر الخطي . سلسلة يونيفرسيتكست (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4614-0338-8 . ISBN 978-1-4614-0337-1. Zbl 1239.15001 . 

• فيكتور واي. بان (2001). المصفوفات المهيكلة ومتعددات الحدود: خوارزميات موحدة فائقة السرعة . بيركهاوزر . ISBN 0817642404.
• جيه آر بارتينغتون (1988). مقدمة في مؤثرات هانكل . نصوص طلابية من جمعية لندن للرياضيات. المجلد  13. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-36791-3.