مصفوفة فاندرموند

في الجبر الخطي ، مصفوفة فاندرموند ، نسبةً إلى ألكسندر-ثيوفيل فاندرموند ، هي مصفوفة تحتوي على حدود متتالية هندسية في كل صف:${\displaystyle (m+1)\times (n+1)}$مصفوفة

${\displaystyle V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{m})={\begin{pmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{pmatrix}}}$

مع إدخالات${\displaystyle V_{i,j}=x_{i}^{j}}$، ^القوة j للعدد${\displaystyle x_{i}}$، لجميع المؤشرات التي تبدأ من الصفر${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$[ ^{1 ] يُعرّف} بعض المؤلفين مصفوفة فاندرموند بأنها منقولة المصفوفة المذكورة أعلاه. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

محدد مصفوفة فاندرموند المربعة ( عندما${\displaystyle n=m}$يُطلق على هذه القيمة اسم محدد فاندرموند أو متعدد حدود فاندرموند . وقيمتها هي:

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})=(-1)^{n(n+1)/2}\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j}).}$

هذا لا يساوي الصفر إذا وفقط إذا كان كل${\displaystyle x_{i}}$متميزة (لا يوجد اثنان متساويان)، مما يجعل مصفوفة فاندرموند قابلة للعكس .

تتمثل مشكلة الاستيفاء متعدد الحدود في إيجاد متعدد الحدود${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$وهو ما يرضي${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{m})=y_{m}}$بالنسبة لنقاط البيانات المعطاة${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{m},y_{m})}$يمكن إعادة صياغة هذه المشكلة من حيث الجبر الخطي باستخدام مصفوفة فاندرموند، على النحو التالي.${\displaystyle V}$يحسب قيم${\displaystyle p(x)}$عند النقاط${\displaystyle x=x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}}$عن طريق ضرب المصفوفات${\displaystyle Va=y}$، أين${\displaystyle a=(a_{0},\ldots ,a_{n})}$هو متجه المعاملات و${\displaystyle y=(y_{0},\ldots ,y_{m})=(p(x_{0}),\ldots ,p(x_{m}))}$هو متجه القيم (كلاهما مكتوب كمتجهات عمودية):

$$\begin{pmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p(x_{0})\\p(x_{1})\\\vdots \\p(x_{m})\end{pmatrix}}.}$$لو${\displaystyle n=m}$و${\displaystyle x_{0},\dots ,\ x_{n}}$إذا كانت المصفوفات V و y متميزة، فإن V مصفوفة مربعة ذات محدد غير صفري، أي مصفوفة قابلة للعكس . وبالتالي، بمعرفة V و y ، يمكن إيجاد المصفوفة المطلوبة.${\displaystyle p(x)}$عن طريق حل معاملاته${\displaystyle a}$في المعادلة${\displaystyle Va=y}$:

${\displaystyle a=V^{-1}y}$.

أي أن الدالة التي تربط معاملات كثيرات الحدود بقيمها هي دالة خطية تقابلية ذات مصفوفة V ، وأن مسألة الاستيفاء لها حل وحيد. تُعرف هذه النتيجة بنظرية الحل الأحادي ، وهي حالة خاصة من نظرية الباقي الصينية لكثيرات الحدود .

في الإحصاء ، المعادلة${\displaystyle Va=y}$وهذا يعني أن مصفوفة فاندرموند هي مصفوفة التصميم للانحدار متعدد الحدود .

في التحليل العددي ، حل المعادلة${\displaystyle Va=y}$باستخدام طريقة الحذف الغاوسي البسيطة، ^نحصل على خوارزمية ذات تعقيد زمني O( n³ ). وباستغلال بنية مصفوفة فاندرموند، يمكن استخدام طريقة الفروق المقسمة لنيوتن ^{[ 4 ] [ 5 ]} لحل المعادلة في زمن O( n² ⁾ ، مما يُعطي أيضًا تحليل UL لـ${\displaystyle V^{-1}}$تُنتج الخوارزمية الناتجة حلولاً دقيقة للغاية، حتى لو${\displaystyle V}$هي سيئة التكييف . ^{[ 2 ]} (انظر الاستيفاء متعدد الحدود ). باستخدام رتبة الإزاحة، نحصل على طريقة تتطلب${\displaystyle {\tilde {O}}({\alpha ^{\omega -1}}n)}$العمليات باستخدام خوارزميات ضرب المصفوفات السريعة ، حيث${\displaystyle \alpha }$هو مجرد الرتبة و${\displaystyle \omega <2.372}$هو أس ضرب المصفوفات ^{[ 6 ]} .

يُستخدم محدد فاندرموند في نظرية تمثيل المجموعة المتناظرة . ^{[ 7 ]}

عندما تكون القيم${\displaystyle x_{i}}$ينتمي إلى حقل منتهٍ ، ويسمى محدد فانديرموند أيضًا محدد مور ، وله خصائص مهمة في نظرية رموز BCH ورموز تصحيح الأخطاء ريد-سولومون .

يُعرَّف تحويل فورييه المنفصل بواسطة مصفوفة فانديرموند محددة، وهي مصفوفة DFT ، حيث${\displaystyle x_{i}}$يتم اختيارها لتكون الجذور النونية للوحدة . يحسب تحويل فورييه السريع حاصل ضرب هذه المصفوفة مع متجه في${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$الوقت. ^{[ 8 ]} انظر المقالة حول تقييم كثيرات الحدود متعددة النقاط لمزيد من التفاصيل.

في النظرية الفيزيائية لتأثير هول الكمومي ، يُظهر مُحدد فاندرموند أن دالة موجة لافلين ذات عامل التعبئة 1 تُساوي مُحدد سلاتر . لكن هذا لا ينطبق على عوامل التعبئة المختلفة عن 1 في تأثير هول الكمومي الكسري .

في هندسة المجسمات متعددة الأوجه ، تعطي مصفوفة فاندرموند الحجم المعياري لأي شكل هندسي.${\displaystyle k}$- وجوه متعددة السطوح الدورية . على وجه التحديد، إذا${\displaystyle F=C_{d}(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}})}$هو${\displaystyle k}$-وجه متعدد الوجوه الحلقي${\displaystyle C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}}$بما يتوافق مع${\displaystyle T=\{t_{1}<\cdots <t_{N}\}\subset \mathbb {R} }$، ثم$${\displaystyle \mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.}$$

يُطلق على مُحدِّد مصفوفة فاندرموند المربعة اسم متعددة حدود فاندرموند أو مُحدِّد فاندرموند . وقيمته هي متعددة الحدود.

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}$

وهو غير صفري إذا وفقط إذا كان كل${\displaystyle x_{i}}$متميزة.

كان يُطلق على مُحدِّد فاندرموند سابقًا اسم المُميِّز ، ولكن في المصطلحات الحالية يُطلق عليه مُميِّز كثير الحدود${\displaystyle p(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$مربع محدد فاندرموند للجذور${\displaystyle x_{i}}$محدد فاندرموند هو شكل متناوب في${\displaystyle x_{i}}$، مما يعني أن تبادل اثنين${\displaystyle x_{i}}$يغير الإشارة، و${\displaystyle \det(V)}$وبالتالي يعتمد الأمر على ترتيب${\displaystyle x_{i}}$على النقيض من ذلك، فإن التمييز${\displaystyle \det(V)^{2}}$لا يعتمد على أي ترتيب، لذا فإن نظرية غالوا تشير إلى أن المميز هو دالة متعددة الحدود لمعاملات${\displaystyle p(x)}$.

تُثبت صيغة المحدد أدناه بثلاث طرق. تستخدم الأولى خصائص كثيرات الحدود، وخاصة خاصية التحليل الفريد لكثيرات الحدود متعددة المتغيرات . ورغم بساطتها المفاهيمية، إلا أنها تتضمن مفاهيم غير أساسية في الجبر المجرد . أما البرهان الثاني فيعتمد على مفاهيم الجبر الخطي المتعلقة بتغيير الأساس في فضاء متجهي ومحدد التحويل الخطي . وفي هذه العملية، يتم حساب تحليل LU لمصفوفة فانديرموند. أما البرهان الثالث فهو أبسط ولكنه أكثر تعقيدًا، إذ يستخدم فقط عمليات الصف والعمود الأساسية .

إذا كانت أعمدة مصفوفة فاندرموند، بدلاً من${\textstyle 1,x,x^{2},...}$، هي كثيرات حدود عامة${\textstyle p_{0},p_{1},...,p_{n}}$بحيث يكون لكل واحد درجة${\textstyle 0,1,...,n}$أي إذا${\displaystyle V=[p_{i}(x_{j})]_{i,j\in 0:n}}$، ثم:$${\displaystyle \det V(x_{0:n})=\left(\prod _{k}c_{k}\right)\Delta (x),}$$أين${\textstyle c_{0},...,c_{n}}$هي معاملات الرأس لـ${\textstyle p_{0},p_{1},...,p_{n}}$، و${\displaystyle \Delta (x)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}$هو المحدد الخاص بفانديرموند.

بضربها في المرافق الهيرميتي ، نجد أن$${\displaystyle \det \left[\sum _{l}p_{j}(z_{l})p_{k}(z_{l})^{*}\right]=\left(\prod _{k}|c_{k}|^{2}\right)|\Delta (z)|^{2}=\det \left[\sum _{l}p_{l}(z_{j})p_{l}(z_{k})^{*}\right]}$$

كما هو موضح أعلاه في قسم التطبيقات، فإن مسألة الاستيفاء متعدد الحدود لـ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$مُرضٍ${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{n})=y_{n}}$وهو ما يعادل معادلة المصفوفة${\displaystyle Va=y}$، والتي تمتلك الحل الفريد${\displaystyle a=V^{-1}y}$توجد صيغ أخرى معروفة لحل مشكلة الاستيفاء، والتي يجب أن تكون مكافئة للصيغة الفريدة.${\displaystyle a=V^{-1}y}$لذلك يجب عليهم تقديم صيغ صريحة للمصفوفة العكسية${\displaystyle V^{-1}}$على وجه الخصوص، يُظهر استيفاء لاغرانج أن أعمدة المصفوفة العكسية

$${\displaystyle V^{-1}={\begin{pmatrix}1&x_{0}&\dots &x_{0}^{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\[.5em]1&x_{n}&\dots &x_{n}^{n}\end{pmatrix}}^{-1}=L={\begin{pmatrix}L_{00}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{0n}\\\vdots &&\vdots \\L_{n0}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{nn}\end{pmatrix}}}$$

هي معاملات كثيرات حدود لاغرانج

${\displaystyle L_{j}(x)=L_{0j}+L_{1j}x+\cdots +L_{nj}x^{n}=\prod _{0\leq i\leq n \atop i\neq j}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {f(x)}{(x-x_{j})\,f'(x_{j})}}\,,}$

أين${\displaystyle f(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$وهذا واضح ويمكن إثباته بسهولة: فكثيرات الحدود تحقق الشرط بوضوح.${\displaystyle L_{j}(x_{i})=0}$ل${\displaystyle i\neq j}$بينما${\displaystyle L_{j}(x_{j})=1}$لذلك يمكننا حساب الناتج${\displaystyle VL=[L_{j}(x_{i})]_{i,j=0}^{n}=I}$، مصفوفة الوحدة .

كما سبق ذكره، تصف مصفوفة فاندرموند مشكلة الاستيفاء في الجبر الخطي لإيجاد معاملات متعددة الحدود${\displaystyle p(x)}$درجة علمية${\displaystyle n-1}$بناءً على القيم${\displaystyle p(x_{1}),\,...,\,p(x_{n})}$، أين${\displaystyle x_{1},\,...,\,x_{n}}$هي نقاط متميزة . إذا${\displaystyle x_{i}}$إذا لم تكن القيم متميزة، فلن يكون لهذه المسألة حل وحيد (وستكون مصفوفة فانديرموند المقابلة شاذة). مع ذلك، إذا حددنا قيم المشتقات عند النقاط المتكررة، فقد يكون للمسألة حل وحيد. على سبيل المثال، المسألة

${\displaystyle {\begin{cases}p(0)=y_{1}\\p'(0)=y_{2}\\p(1)=y_{3}\end{cases}}}$

أين${\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}$، لديه حل فريد للجميع${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$مع${\displaystyle y_{1}\neq y_{3}}$بشكل عام، لنفترض أن${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$هي أعداد (ليست بالضرورة مختلفة)، ولنفترض للتبسيط أن القيم المتساوية متجاورة:

${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{m_{1}},\ x_{m_{1}+1}=\cdots =x_{m_{2}},\ \ldots ,\ x_{m_{k-1}+1}=\cdots =x_{m_{k}}}$

أين${\displaystyle m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{k}=n,}$و${\displaystyle x_{m_{1}},\ldots ,x_{m_{k}}}$إذا كانت متميزة، فإن مسألة الاستيفاء المقابلة هي

${\displaystyle {\begin{cases}p(x_{m_{1}})=y_{1},&p'(x_{m_{1}})=y_{2},&\ldots ,&p^{(m_{1}-1)}(x_{m_{1}})=y_{m_{1}},\\p(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+1},&p'(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{2}-m_{1}-1)}(x_{m_{2}})=y_{m_{2}},\\\qquad \vdots &&&\qquad \vdots \\p(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+1},&p'(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(x_{m_{k}})=y_{m_{k}}.\end{cases}}}$

تُسمى المصفوفة المقابلة لهذه المسألة مصفوفة فاندرموند المتلاقية ، وتُعطى على النحو التالي. ^{[ 11 ]} إذا${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$، ثم${\displaystyle m_{\ell }<i\leq m_{\ell +1}}$للحصول على شيء فريد${\displaystyle 0\leq \ell \leq k-1}$(يشير إلى${\displaystyle m_{0}=0}$). نترك

${\displaystyle V_{i,j}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<i-m_{\ell },\\[6pt]{\dfrac {(j-1)!}{(j-(i-m_{\ell }))!}}x_{i}^{j-(i-m_{\ell })}&{\text{if }}j\geq i-m_{\ell }.\end{cases}}}$

يُضفي هذا التعميم لمصفوفة فاندرموند عليها خاصية عدم التفرد ، مما يعني وجود حل وحيد لنظام المعادلات، كما أنها تتمتع بمعظم خصائص مصفوفة فاندرموند الأخرى. وتُمثل صفوفها مشتقات (من رتبة معينة) لصفوف مصفوفة فاندرموند الأصلية.

هناك طريقة أخرى لاستنتاج الصيغة المذكورة أعلاه وهي بأخذ نهاية مصفوفة فانديرموند كـ${\displaystyle x_{i}}$يتقاربون فيما بينهم. على سبيل المثال، للحصول على حالة${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$، خذ واطرح الصف الأول من الصف الثاني في مصفوفة فانديرموند الأصلية، و${\displaystyle x_{2}\to x_{1}}$ينتج عن ذلك الصف المقابل في مصفوفة فانديرموند المتقاربة. ويستنتج من ذلك مسألة الاستيفاء المعممة بقيم ومشتقات معطاة كحد للحالة الأصلية ذات النقاط المتميزة: مما يعطي${\displaystyle p(x_{i}),p'(x_{i})}$يشبه العطاء${\displaystyle p(x_{i}),p(x_{i}+\varepsilon )}$للصغار${\displaystyle \varepsilon }$لقد درس علماء الهندسة مشكلة تتبع النقاط المتقاربة على طول خطوطها المماسية، والمعروفة باسم ضغط فضاء التكوين .

• مصفوفة مصاحبة §  قابلية القطرنة
• متعددة حدود شور – تعميم
• المصفوفة البديلة
• متعددة حدود لاغرانج
• فرونسكيان
• قائمة المصفوفات
• محدد مور على حقل منتهٍ
• وصفات فييتا

• Ycart، Bernard (2013)، “A case of eponymy رياضي: محدد Vandermonde”، Revue d’Histoire des Mathématiques ، 13 ، أرخايف : 1204.4716 ، بيب كود : 2012arXiv1204.4716Y.