رقم الحالة

في التحليل العددي ، يقيس رقم شرط الدالة مدى تغير قيمة مخرجاتها بتغير طفيف في مُدخلاتها. يُستخدم هذا الرقم لقياس مدى حساسية الدالة للتغيرات أو الأخطاء في المُدخلات، ومقدار الخطأ في المخرجات الناتج عن خطأ في المُدخلات. في كثير من الأحيان، يتم حل المسألة العكسية: معطى${\displaystyle f(x)=y,}$يتم حل المعادلة لإيجاد قيمة x، وبالتالي يجب استخدام رقم شرط المعكوس (المحلي). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يُستمدّ رقم الحالة من نظرية انتشار عدم اليقين ، ويُعرَّف رسميًا بأنه قيمة أسوأ حالة تقاربية للتغير النسبي في المخرجات مقابل تغير نسبي في المدخلات. تمثل "الدالة" حل المسألة، بينما تمثل "المدخلات" بيانات المسألة. يُستخدم رقم الحالة بكثرة في مسائل الجبر الخطي ، حيث يكون حساب المشتقة بسيطًا، لكن الخطأ قد يكون في اتجاهات متعددة، ولذا يُحسب من هندسة المصفوفة. وبشكل أعم، يمكن تعريف أرقام الحالة للدوال غير الخطية في عدة متغيرات.

تُوصف المسألة ذات رقم الحالة المنخفض بأنها جيدة التكييف ، بينما تُوصف المسألة ذات رقم الحالة المرتفع بأنها سيئة التكييف . بعبارة أخرى، المسألة سيئة التكييف هي تلك التي يؤدي فيها تغيير طفيف في المدخلات ( المتغيرات المستقلة ) إلى تغيير كبير في الإجابة ( المتغير التابع ) . وهذا يعني أن إيجاد الحل الصحيح للمعادلة يصبح صعبًا. رقم الحالة هو خاصية من خواص المسألة. ويرتبط بالمسألة عدد من الخوارزميات التي يمكن استخدامها لحلها، أي لحساب الحل. تتميز بعض الخوارزميات بخاصية تُسمى الاستقرار العكسي ؛ وبشكل عام، يُتوقع أن تحل الخوارزمية المستقرة عكسيًا المسائل جيدة التكييف بدقة. تُقدم كتب التحليل العددي صيغًا لأرقام حالة المسائل وتُحدد الخوارزميات المستقرة عكسيًا المعروفة.

كقاعدة عامة، إذا كان رقم الحالة${\displaystyle \kappa (A)=10^{k}}$ثم حتى${\displaystyle k}$قد تُفقد أرقام إضافية من الدقة، بالإضافة إلى ما يُفقد في الطريقة العددية نتيجةً لفقدان الدقة في الطرق الحسابية. ^{[ 3 ]} مع ذلك، لا يُعطي رقم الحالة القيمة الدقيقة لأقصى خطأ قد يحدث في الخوارزمية، بل يُحددها عادةً بتقدير (تعتمد قيمته المحسوبة على اختيار المعيار لقياس الخطأ).

على سبيل المثال، يُعطي رقم الحالة المرتبط بالمعادلة الخطية Ax  = b حدًا أقصى لدقة الحل x بعد التقريب. تجدر الإشارة إلى أن هذا قبل احتساب تأثيرات خطأ التقريب ؛ فالحالة خاصية للمصفوفة ، وليست للخوارزمية أو دقة الفاصلة العائمة للحاسوب المستخدم لحل النظام المقابل. على وجه الخصوص، ينبغي اعتبار رقم الحالة (بشكل تقريبي جدًا) معدل تغير الحل x بالنسبة لتغير b . وبالتالي، إذا كان رقم الحالة كبيرًا، فقد يتسبب حتى خطأ صغير في b في خطأ كبير في x . من ناحية أخرى، إذا كان رقم الحالة صغيرًا، فلن يكون الخطأ في x أكبر بكثير من الخطأ في b . 

يتم تعريف رقم الحالة بشكل أكثر دقة على أنه النسبة القصوى للخطأ النسبي في x إلى الخطأ النسبي في b .

ليكن e الخطأ في b . بافتراض أن A مصفوفة غير منفردة ، فإن الخطأ في الحل A ⁻¹ b هو A ⁻¹ e . نسبة الخطأ النسبي في الحل إلى الخطأ النسبي في b هي

${\displaystyle {\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}/{\frac {\|e\|}{\|b\|}}={\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}{\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}.}$

ثم يتبين أن القيمة القصوى (لقيم b و e غير الصفرية ) هي حاصل ضرب معياري المؤثرين كما يلي:

$\begin{aligned}\max_{e,b\neq 0}\left\{\frac{\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}{\frac{\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right\}&=\max_{e\neq 0}\left\{\frac{\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}\right\}\,\max_{b\neq 0}\left\{\frac{\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right\}\\&=\max_{e\neq 0}\left\{\frac{\frac{\frac{\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right\}\\&=\max_{e\neq 0}\left\{\frac{\frac{\frac{\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right\} {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}\right\}\,\max _{x\neq 0}\left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}\right\}\\&=\left\|A^{-1}\right\|\,\|A\|.\end{aligned}}}$

يُستخدم التعريف نفسه لأي معيار متسق ، أي المعيار الذي يحقق

${\displaystyle \kappa (A)=\left\|A^{-1}\right\|\,\left\|A\right\|\geq \left\|A^{-1}A\right\|=1.}$

عندما يكون رقم الحالة واحدًا بالضبط (وهو ما لا يمكن أن يحدث إلا إذا كان A مضاعفًا قياسيًا للتساوي الخطي )، فإن خوارزمية الحل يمكنها إيجاد (من حيث المبدأ، أي إذا لم تُدخل الخوارزمية أي أخطاء خاصة بها) تقريبًا للحل الذي لا تقل دقته عن دقة البيانات.

ومع ذلك، هذا لا يعني أن الخوارزمية ستتقارب بسرعة إلى هذا الحل، بل يعني فقط أنها لن تتباعد بشكل تعسفي بسبب عدم الدقة في البيانات المصدرية (الخطأ العكسي)، بشرط ألا يتباعد الخطأ الأمامي الذي أدخلته الخوارزمية أيضًا بسبب تراكم أخطاء التقريب الوسيطة.

قد يكون رقم الحالة لانهائيًا أيضًا، لكن هذا يعني أن المشكلة غير محددة جيدًا (لا تمتلك حلًا فريدًا ومحددًا جيدًا لكل اختيار من البيانات؛ أي أن المصفوفة غير قابلة للعكس )، ولا يمكن توقع أن تجد أي خوارزمية حلًا بشكل موثوق.

يعتمد تعريف رقم الحالة على اختيار المعيار ، كما يمكن توضيحه من خلال مثالين.

لو${\displaystyle \|\cdot \|}$المعيار المصفوفي الناتج ^عن المعيار الإقليدي (المتجهي) (المعروف أحيانًا باسم معيار L2 ويرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$)، ثم

${\displaystyle \kappa (A)={\frac {\sigma _{\text{max}}(A)}{\sigma _{\text{min}}(A)}},}$

أين${\displaystyle \sigma _{\text{max}}(A)}$و${\displaystyle \sigma _{\text{min}}(A)}$القيم المفردة القصوى والدنيا لـ${\displaystyle A}$على التوالي. ومن ثم:

• لو${\displaystyle A}$إذا كان هذا طبيعياً ،$${\displaystyle \kappa (A)={\frac {\max\{\left|\lambda (A)\right|\}}{\min\{\left|\lambda (A)\right|\}}},}$$أين${\displaystyle \lambda _{\text{max}}(A)}$و${\displaystyle \lambda _{\text{min}}(A)}$القيم الذاتية القصوى والدنيا (حسب المعيار) لـ${\displaystyle A}$على التوالى.
• لو${\displaystyle A}$إذا كانت وحدة ،${\displaystyle \kappa (A)=1.}$

يظهر رقم الحالة بالنسبة إلى L ² بشكل متكرر في الجبر الخطي العددي لدرجة أنه يُطلق عليه اسم رقم حالة المصفوفة .

لو${\displaystyle \|\cdot \|}$هل معيار المصفوفة الناتج عن ${\displaystyle L^{\infty }}$المعيار (المتجهي) و${\displaystyle A}$مصفوفة مثلثية سفلية غير منفردة (أي${\displaystyle a_{ii}\neq 0}$للجميع${\displaystyle i}$)، ثم

${\displaystyle \kappa (A)\geq {\frac {\max _{i}{\big (}|a_{ii}|{\big )}}{\min _{i}{\big (}|a_{ii}|{\big )}}}}$

مع الأخذ في الاعتبار أن القيم الذاتية لأي مصفوفة مثلثية هي ببساطة عناصر القطر الرئيسي.

يكون رقم الحالة المحسوب باستخدام هذا المعيار أكبر بشكل عام من رقم الحالة المحسوب بالنسبة إلى المعيار الإقليدي ، ولكن يمكن تقييمه بسهولة أكبر (وغالبًا ما يكون هذا هو رقم الحالة الوحيد القابل للحساب عمليًا، عندما تتضمن المشكلة المراد حلها جبرًا غير خطي ، على سبيل المثال عند تقريب الدوال أو الأعداد غير النسبية والمتسامية بالطرق العددية).

إذا لم يكن رقم الحالة أكبر بكثير من واحد، فإن المصفوفة جيدة التكييف ، مما يعني أنه يمكن حساب معكوسها بدقة جيدة. أما إذا كان رقم الحالة كبيرًا جدًا، فتُسمى المصفوفة سيئة التكييف . عمليًا، تكون هذه المصفوفة شبه منفردة، ويكون حساب معكوسها، أو حل نظام المعادلات الخطية، عرضةً لأخطاء عددية كبيرة.

يُقال غالبًا أن المصفوفة غير القابلة للعكس لها عدد شرط يساوي اللانهاية. أو يمكن تعريفها على النحو التالي:${\displaystyle \kappa (A)=\|A\|\|A^{\dagger }\|}$، أين${\displaystyle A^{\dagger }}$هو المعكوس الزائف لمور-بنروز . بالنسبة للمصفوفات المربعة، يؤدي هذا للأسف إلى عدم استمرارية رقم الحالة، ولكنه تعريف مفيد للمصفوفات المستطيلة، التي لا يمكن عكسها أبدًا ولكنها لا تزال تُستخدم لتعريف أنظمة المعادلات.

يمكن تعريف أرقام الحالة للدوال غير الخطية، ويمكن حسابها باستخدام حساب التفاضل والتكامل . يختلف رقم الحالة باختلاف النقطة؛ ففي بعض الحالات، يمكن استخدام رقم الحالة الأقصى (أو الأعلى ) على مجال الدالة أو مجال المسألة كرقم حالة شامل، بينما في حالات أخرى يكون رقم الحالة عند نقطة معينة أكثر أهمية.

متغير واحد

رقم الحالة المطلق لدالة قابلة للتفاضل${\displaystyle f}$في أحد المتغيرات القيمة المطلقة لمشتقة الدالة :

${\displaystyle \left|f'(x)\right|}$

رقم الحالة النسبي لـ${\displaystyle f}$كدالة هي${\displaystyle \left|xf'/f\right|}$تم تقييمه عند نقطة معينة${\displaystyle x}$، هذا هو

${\displaystyle \left|{\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right|=\left|{\frac {(\log f)'}{(\log x)'}}\right|.}$

لاحظ أن هذه هي القيمة المطلقة لمرونة دالة ما في علم الاقتصاد.

بأبسط صورة، يمكن فهم ذلك على أنه (القيمة المطلقة لـ) نسبة المشتق اللوغاريتمي لـ${\displaystyle f}$، وهو${\displaystyle (\log f)'=f'/f}$والمشتق اللوغاريتمي لـ${\displaystyle x}$، وهو${\displaystyle (\log x)'=x'/x=1/x}$، مما ينتج عنه نسبة من${\displaystyle xf'/f}$وذلك لأن المشتقة اللوغاريتمية هي معدل التغير النسبي المتناهي الصغر في الدالة: إنها المشتقة${\displaystyle f'}$مُقاسًا بقيمة${\displaystyle f}$لاحظ أنه إذا كانت للدالة قيمة صفرية عند نقطة ما، فإن رقم شرطها عند تلك النقطة يكون لانهائيًا، حيث أن التغييرات المتناهية الصغر في المدخلات يمكن أن تغير المخرجات من الصفر إلى موجب أو سالب، مما ينتج عنه نسبة يكون مقامها صفرًا، وبالتالي يكون التغير النسبي لانهائيًا.

وبشكل أكثر مباشرة، بالنظر إلى تغيير طفيف${\displaystyle \Delta x}$في${\displaystyle x}$، التغير النسبي في${\displaystyle x}$يكون${\displaystyle [(x+\Delta x)-x]/x=(\Delta x)/x}$، بينما التغير النسبي في${\displaystyle f(x)}$يكون${\displaystyle [f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)}$بأخذ النسبة نحصل على

${\displaystyle {\frac {[f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)}{(\Delta x)/x}}={\frac {x}{f(x)}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {x}{f(x)}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}$

الحد الأخير هو حاصل قسمة الفرق (ميل الخط القاطع )، وأخذ النهاية يعطي المشتقة.

تُعدّ أرقام الحالة للدوال الأولية الشائعة ذات أهمية خاصة في حساب الأرقام المعنوية ، ويمكن حسابها مباشرةً من المشتقة. فيما يلي بعض الأرقام المهمة:

اسم	رمز	رقم الحالة النسبي
الجمع / الطرح	${\displaystyle x+a}$	${\displaystyle \left|{\frac {x}{x+a}}\right|}$
الضرب القياسي	${\displaystyle ax}$	${\displaystyle 1}$
قسم	${\displaystyle 1/x}$	${\displaystyle 1}$
متعدد الحدود	${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle |n|}$
الدالة الأسية	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle |x|}$
دالة اللوغاريتم الطبيعي	${\displaystyle \ln(x)}$	${\displaystyle \left|{\frac {1}{\ln(x)}}\right|}$
دالة الجيب	${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle |x\cot(x)|}$
دالة جيب التمام	${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle |x\tan(x)|}$
دالة الظل	${\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle |x(\tan(x)+\cot(x))|}$
دالة الجيب العكسية	${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle {\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arcsin(x)}}}$
دالة جيب التمام العكسية	${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle {\frac {|x|}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arccos(x)}}}$
دالة الظل العكسي	${\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle {\frac {x}{(1+x^{2})\arctan(x)}}}$

• الطرق العددية للمربعات الصغرى الخطية
• الاستقرار العددي
• مُهيئ مسبق
• مصفوفة هيلبرت
• مشكلة غير محددة جيداً
• القيمة المفردة
• مصفوفة ويلسون

• ديميل، جيمس (1990). "أقرب المصفوفات المعيبة وهندسة سوء التكييف". في كوكس، إم جي؛ هامرلينج، إس (محرران). الحساب العددي الموثوق . أكسفورد: مطبعة كلارندون. ص 35-55 . ISBN  0-19-853564-3.
• لودفيج، أوزوالدو (2025). "رقم الحالة كبديل غير متغير المقياس لترميز المعلومات في الوحدات العصبية". arXiv : 2506.16289 [ stat.ML ].

• رقم حالة المصفوفة في معهد الأساليب العددية الشاملة
• دالة مكتبة MATLAB لتحديد رقم الحالة
• رقم الحالة – ​​موسوعة الرياضيات
• من اخترع رقم حالة المصفوفة؟ بقلم نيك هيغام