المصفوفة المثلثية

في الرياضيات، المصفوفة المثلثية هي نوع خاص من المصفوفات المربعة . وتسمى المصفوفة المربعةتُسمى المصفوفة مثلثية سفلية إذا كانت جميع العناصر الموجودةفوقالقطرالرئيسيتساوي صفرًا. وبالمثل، تُسمى المصفوفة مربعة.مثلث علوي إذا كانت جميع المدخلاتأسفلالقطر الرئيسي تساوي صفرًا.

نظرًا لسهولة حل المعادلات المصفوفية ذات المصفوفات المثلثية، فإنها ذات أهمية بالغة في التحليل العددي . وباستخدام خوارزمية تحليل LU ، يمكن كتابة المصفوفة القابلة للعكس كحاصل ضرب مصفوفة مثلثية سفلية L ومصفوفة مثلثية علوية U إذا وفقط إذا كانت جميع المحددات الرئيسية الرئيسية لها غير صفرية.

وصف

مصفوفة من الشكل

L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _ {n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}

تُسمى هذه المصفوفة مصفوفة مثلثية سفلية أو مصفوفة مثلثية يسارية ، وبالمثل تُسمى مصفوفة من الشكل

U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}

تُسمى هذه المصفوفة مصفوفة مثلثية علوية أو مصفوفة مثلثية يمنى . ويُرمز عادةً للمصفوفة المثلثية السفلية أو اليسرى بالمتغير L ، بينما يُرمز عادةً للمصفوفة المثلثية العلوية أو اليمنى بالمتغير U أو R.

المصفوفة التي تكون مثلثية من الأعلى والأسفل تُسمى مصفوفة قطرية . أما المصفوفات المشابهة للمصفوفات المثلثية فتُسمى مصفوفات قابلة للمثلثية .

تُسمى المصفوفة غير المربعة (أو أحيانًا أي مصفوفة) التي تحتوي على أصفار فوق (تحت) القطر الرئيسي بالمصفوفة شبه المنحرفة السفلى (العليا). وتشكل العناصر غير الصفرية شكل شبه منحرف .

أمثلة

المصفوفة

{\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\end{bmatrix}}

المصفوفة المثلثية السفلية للمصفوفة غير المتناظرة:

{\begin{bmatrix}1&5&8\\2&96&9\\4&9&69\end{bmatrix}}

و

{\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\end{bmatrix}}

المصفوفة المثلثية العلوية للمصفوفة غير المتناظرة:

{\begin{bmatrix}1&4&1\\99&6&9\\40&88&1\end{bmatrix}}

التبديل الأمامي والخلفي

معادلة مصفوفية على الصورة $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ أو $U\mathbf {x} =\mathbf {b}$ يسهل حل هذه المسألة من خلال عملية تكرارية تُسمى التعويض الأمامي للمصفوفات المثلثية السفلية، وبالمثل التعويض العكسي للمصفوفات المثلثية العلوية. سُميت هذه العملية بهذا الاسم لأنه بالنسبة للمصفوفات المثلثية السفلية، يتم أولاً حساب $x_{1}$ ثم يعوض ذلك في المعادلة التالية لحلها. $x_{2}$ ويتكرر ذلك حتى $x_{n}$ في المصفوفة المثلثية العلوية، يتم العمل بشكل عكسي، حيث يتم أولاً حساب $x_{n}$ ثم تعويض ذلك مرة أخرى في المعادلة السابقة لحلها. $x_{n-1}$ وتكرار ذلك خلال $x_{1}$ .

لاحظ أن هذا لا يتطلب قلب المصفوفة.

الاستبدال الأمامي

يمكن كتابة معادلة المصفوفة L x = b كنظام من المعادلات الخطية

{\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}

لاحظ أن المعادلة الأولى ( $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ ) لا يتضمن إلا $x_{1}$ وبالتالي يمكن للمرء أن يحل المعادلة لـ $x_{1}$ بشكل مباشر. المعادلة الثانية تتضمن فقط $x_{1}$ و $x_{2}$ وبالتالي يمكن حلها بمجرد استبدال القيمة التي تم حلها مسبقًا بـ $x_{1}$ . بالاستمرار على هذا المنوال، $k$ المعادلة رقم - تتضمن فقط $x_{1},\dots ,x_{k}$ ويمكن للمرء أن يحلها لـ $x_{k}$ باستخدام القيم التي تم حلها مسبقًا لـ $x_{1},\dots ,x_{k-1}$ الصيغ الناتجة هي:

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}

يمكن حل معادلة المصفوفة ذات المصفوفة المثلثية العلوية U بطريقة مماثلة، ولكن بالعمل بشكل عكسي.

التطبيقات

يُستخدم الاستبدال الأمامي في التمويل الذاتي لبناء منحنى العائد .

ملكيات

منقولة المصفوفة المثلثية العلوية هي مصفوفة مثلثية سفلية والعكس صحيح.

المصفوفة المتناظرة والمثلثة في آنٍ واحد هي مصفوفة قطرية. وبالمثل، فإن المصفوفة العادية (أي A ^*A = AA ^* ، حيث A ^* هي منقولة المصفوفة المرافقة ) والمثلثة في آنٍ واحد هي أيضًا مصفوفة قطرية. ويمكن ملاحظة ذلك بالنظر إلى عناصر القطر الرئيسي للمصفوفتين A ^*A و AA ^* .

إن المحدد والمتغير الدائم للمصفوفة المثلثية يساويان حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي، كما يمكن التحقق من ذلك عن طريق الحساب المباشر.

في الواقع، الأمر يتجاوز ذلك: القيم الذاتية للمصفوفة المثلثية هي بالضبط عناصر قطرها. علاوة على ذلك، تظهر كل قيمة ذاتية k مرة بالضبط على القطر، حيث k هي تعددها الجبري ، أي تعددها كجذر لكثير الحدود المميز . $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ من A. بعبارة أخرى، فإن متعددة الحدود المميزة لمصفوفة مثلثية من الرتبة n × n ، A، هي بالضبط

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

،

أي، متعددة الحدود الفريدة من الدرجة n التي تكون جذورها هي عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة A (مع التكرارات). ولتوضيح ذلك، لاحظ أن $xI-A$ وهي أيضًا مثلثية الشكل، وبالتالي فإن محددها $\det(xI-A)$ هو ناتج عناصر قطره $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ [ ¹^]

أشكال خاصة

مصفوفة أحادية المثلث

إذا كانت جميع عناصر القطر الرئيسي لمصفوفة مثلثية (سفلية أو علوية) تساوي 1، فإن المصفوفة تسمى مصفوفة مثلثية أحادية (سفلية أو علوية) .

تُعرف هذه المصفوفات أيضاً بأسماء أخرى، منها المصفوفة المثلثية (السفلى أو العليا) ذات الوحدة ، أو نادراً جداً المصفوفة المثلثية (السفلى أو العليا) المعيارية . مع ذلك، فإن المصفوفة المثلثية ذات الوحدة ليست هي نفسها مصفوفة الوحدة ، والمصفوفة المثلثية المعيارية لا علاقة لها بمفهوم معيار المصفوفة .

جميع المصفوفات المثلثية الأحادية المحدودة هي مصفوفات أحادية القوة .

مصفوفة مثلثية تمامًا

إذا كانت جميع المدخلات الموجودة على القطر الرئيسي لمصفوفة مثلثية (سفلية أو علوية) تساوي صفرًا أيضًا، فإن المصفوفة تسمى مثلثية (سفلية أو علوية) صارمة .

جميع المصفوفات المثلثية المحدودة تمامًا تكون عديمة القوة ذات دليل لا يتجاوز n كنتيجة لنظرية كايلي-هاميلتون .

المصفوفة الذرية المثلثية

المصفوفة المثلثية الذرية (السفلى أو العليا) هي شكل خاص من المصفوفة المثلثية الأحادية، حيث تكون جميع العناصر غير القطرية أصفارًا، باستثناء العناصر الموجودة في عمود واحد. تُسمى هذه المصفوفة أيضًا مصفوفة فروبينيوس ، أو مصفوفة غاوس ، أو مصفوفة تحويل غاوس .

مصفوفة مثلثية كتلية

المصفوفة المثلثية الكتلية هي مصفوفة كتلية (مصفوفة مقسمة) وهي مصفوفة مثلثية.

كتلة علوية مثلثة

مصفوفة $A$ يكون الجزء العلوي مثلث الشكل إذا

A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}

،

أين $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ للجميع $i,j=1,\ldots ,k$ [ ²^]

كتلة سفلية مثلثة

مصفوفة $A$ يكون الجزء السفلي مثلثيًا إذا

A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}

،

أين $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ للجميع $i,j=1,\ldots ,k$ [ ²^]

قابلية التثليث

تُسمى المصفوفة المشابهة للمصفوفة المثلثية بالمصفوفة المثلثية القابلة للمثلثة . وبشكل مجرد، يُعادل هذا تثبيت العلم : فالمصفوفات المثلثية العليا هي تحديدًا تلك التي تحافظ على العلم القياسي ، والذي يُعطى بواسطة الأساس المرتب القياسي. $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ والعلم الناتج $0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.$ جميع الأعلام مترافقة (حيث أن المجموعة الخطية العامة تعمل بشكل متعدٍ على القواعد)، لذا فإن أي مصفوفة تعمل على تثبيت العلم تشبه تلك التي تعمل على تثبيت العلم القياسي.

أي مصفوفة مربعة مركبة قابلة للتحويل إلى مصفوفة مثلثية. ^{[ 1 ]} في الواقع، المصفوفة A على حقل يحتوي على جميع القيم الذاتية لـ A (على سبيل المثال، أي مصفوفة على حقل مغلق جبريًا ) تُشبه المصفوفة المثلثية. يمكن إثبات ذلك باستخدام الاستقراء الرياضي بناءً على حقيقة أن A لها متجه ذاتي، وذلك بأخذ فضاء القسمة على المتجه الذاتي واستخدام الاستقراء لإثبات أن A تُثبّت علمًا، وبالتالي فهي قابلة للتحويل إلى مصفوفة مثلثية بالنسبة إلى أساس لهذا العلم.

يُقدّم قانون جوردان للصيغة المعيارية بيانًا أكثر دقة ، إذ ينص على أن المصفوفة A في هذه الحالة تُشبه مصفوفة مثلثية علوية ذات شكل خاص جدًا. ومع ذلك، غالبًا ما تكون نتيجة التثليث الأبسط كافية، وتُستخدم على أي حال في إثبات قانون جوردان للصيغة المعيارية. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

في حالة المصفوفات المركبة، يمكن توضيح المزيد حول التثليث، أي أن أي مصفوفة مربعة A لها تحليل شور . هذا يعني أن A مكافئة وحدويًا (أي مشابهة، باستخدام مصفوفة وحدوية كتغيير للأساس) لمصفوفة مثلثية علوية؛ وينتج هذا عن اختيار أساس هيرميتي للعلم.

التثليث المتزامن

مجموعة من المصفوفات $A_{1},\ldots ,A_{k}$ يقال إنهاتكون المصفوفات قابلة للتحويل إلى مثلثات في آن واحد إذا كان هناك أساس تكون جميعها مثلثات علوية؛ أو بعبارة أخرى، إذا كانت قابلة للتحويل إلى مثلثات علوية بواسطة مصفوفة تشابه واحدةP.ويمكن فهم هذه المجموعة من المصفوفات بسهولة أكبر من خلال النظر في جبر المصفوفات التي تولدها، أي جميع كثيرات الحدود في $A_{i},$ يُشار إليه $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ تعني قابلية التثليث المتزامنة أن هذا الجبر مترافق في الجبر الفرعي لي للمصفوفات المثلثية العليا، وهو مكافئ لكون هذا الجبر جبرًا فرعيًا لي لجبر فرعي بوريل .

النتيجة الأساسية هي أنه (على حقل مغلق جبريًا)، فإن المصفوفات التبادلية $A,B$ أو بشكل أعم $A_{1},\ldots ,A_{k}$ يمكن تحويل المصفوفات إلى مصفوفات مثلثية في آنٍ واحد. ويمكن إثبات ذلك بإظهار أن المصفوفات التبادلية لها متجه ذاتي مشترك، ثم بالاستقراء على بُعد معين كما في السابق. وقد أثبت فروبينيوس ذلك، بدءًا من عام 1878، بالنسبة لزوج من المصفوفات التبادلية، كما نوقش في قسم المصفوفات التبادلية . أما بالنسبة للمصفوفة المفردة، فيمكن تحويلها إلى مصفوفات مثلثية باستخدام المصفوفات الوحدوية على مجموعة الأعداد المركبة.

يمكن تفسير حقيقة أن المصفوفات التبادلية لها متجه ذاتي مشترك كنتيجة لنظرية هيلبرت للأصفار : المصفوفات التبادلية تشكل جبرًا تبادليًا $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ زيادة $K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ يمكن تفسير ذلك على أنه تنوع في فضاء أفيني ذي k بُعد، ووجود قيمة ذاتية (مشتركة) (وبالتالي متجه ذاتي مشترك) يُشير إلى أن هذا التنوع يحتوي على نقطة (غير فارغة)، وهي محتوى نظرية نولستيلنساتز (الضعيفة). وبعبارة جبرية، تُقابل هذه المؤثرات تمثيلاً جبريًا لجبر كثيرات الحدود في k متغير.

يتم تعميم هذا بواسطة نظرية لي ، التي توضح أن أي تمثيل لجبر لي قابل للحل يكون قابلاً للتحويل إلى مثلث علوي في نفس الوقت، وحالة المصفوفات التبادلية هي حالة جبر لي التبديلية ، والتبديلية قابلة للحل من باب أولى.

وبشكل أعم وأدق، مجموعة من المصفوفات $A_{1},\ldots ,A_{k}$ تكون المصفوفة قابلة للمثلثية في آن واحد إذا وفقط إذا كانت المصفوفة $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ تكون الدالة عديمة القوة لجميع كثيرات الحدود p في k متغيرات غير تبادلية، حيث $[A_{i},A_{j}]$ هو المُبدِّل ؛ للتنقل $A_{i}$ يختفي المُبدِّل، لذا فإن هذا صحيح. وقد أثبت ذلك درازين ودونجي وغرونبيرغ عام 1951؛ ^{[ 4 ]} وقدّم براسولوف برهانًا موجزًا عام 1994. ^{[ 5 ]} أحد الاتجاهات واضح: إذا كانت المصفوفات قابلة للتحويل إلى مثلثات في آنٍ واحد، فإن $[A_{i},A_{j}]$ قابلة للتحويل إلى مثلث علوي بشكل صارم (وبالتالي عديمة القوة)، وهو ما يتم الحفاظ عليه بالضرب في أي $A_{k}$ أو مزيج منهما - سيظل يحتوي على أصفار على القطر في الأساس المثلثي.

جبر المصفوفات المثلثية

يتم الحفاظ على الشكل المثلثي العلوي من خلال العديد من العمليات:

مجموع مصفوفتين مثلثيتين علويتين هو مصفوفة مثلثية علوية.
حاصل ضرب مصفوفتين مثلثيتين علويتين هو مصفوفة مثلثية علوية.
إن معكوس المصفوفة المثلثية العليا، إن وجد، هو مصفوفة مثلثية عليا.
حاصل ضرب مصفوفة مثلثية علوية في عدد قياسي هو مصفوفة مثلثية علوية.

تشير هذه الحقائق مجتمعةً إلى أن المصفوفات المثلثية العليا تُشكّل جبرًا فرعيًا من الجبر الترابطي للمصفوفات المربعة ذات حجم مُحدد. بالإضافة إلى ذلك، يُبيّن هذا أيضًا أنه يُمكن اعتبار المصفوفات المثلثية العليا جبرًا فرعيًا من جبر لي للمصفوفات المربعة ذات حجم ثابت، حيث يُعطى قوس لي [ a , b ] بواسطة المُبدِّل ab − ba . جبر لي لجميع المصفوفات المثلثية العليا هو جبر لي قابل للحل ، ويُشار إليه غالبًا باسم جبر بوريل الفرعي لجبر لي لجميع المصفوفات المربعة.

جميع هذه النتائج صحيحة إذا استُبدلت المصفوفات المثلثية العلوية بالمصفوفات المثلثية السفلية في جميع العمليات؛ وعلى وجه الخصوص، تُشكّل المصفوفات المثلثية السفلية أيضًا جبر لي. مع ذلك، فإن العمليات التي تمزج بين المصفوفات المثلثية العلوية والسفلية لا تُنتج عمومًا مصفوفات مثلثية. على سبيل المثال، يمكن أن يكون مجموع مصفوفة مثلثية علوية ومصفوفة مثلثية سفلية أي مصفوفة؛ كما أن حاصل ضرب مصفوفة مثلثية سفلية في مصفوفة مثلثية علوية ليس بالضرورة مصفوفة مثلثية.

تشكل مجموعة المصفوفات المثلثية الأحادية زمرة لي .

تشكل مجموعة المصفوفات المثلثية العلوية (أو السفلية) تمامًا جبر لي عديم القوة ، ويرمز له بـ ${\mathfrak {n}}.$ هذا الجبر هو جبر لي المشتق من ${\mathfrak {b}}$ ، جبر لي لجميع المصفوفات المثلثية العليا؛ بالرموز، ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].$ فضلاً عن ذلك، ${\mathfrak {n}}$ هي جبر لي لمجموعة لي للمصفوفات المثلثية الأحادية.

في الواقع، وفقًا لنظرية إنجل ، فإن أي جبر لي نيلبوتنت محدود الأبعاد يكون مترافقًا مع جبر فرعي من المصفوفات المثلثية العليا الصارمة، أي أن جبر لي نيلبوتنت محدود الأبعاد يكون في نفس الوقت قابلًا للتحويل إلى مثلث علوي صارم.

تتمتع جبريات المصفوفات المثلثية العليا بتعميم طبيعي في التحليل الوظيفي ينتج عنه جبريات متداخلة على فضاءات هيلبرت .

المجموعات الفرعية بوريل والجبر الفرعي بوريل

تشكل مجموعة المصفوفات المثلثية القابلة للعكس من نوع معين (سفلي أو علوي) زمرة ، بل زمرة لي ، وهي زمرة جزئية من الزمرة الخطية العامة لجميع المصفوفات القابلة للعكس. وتكون المصفوفة المثلثية قابلة للعكس تحديدًا عندما تكون عناصر قطرها قابلة للعكس (غير صفرية).

على مستوى الأرقام الحقيقية، هذه المجموعة منفصلة، حيث $2^{n}$ تُقسّم المكونات وفقًا لذلك، حيث يكون كل عنصر قطري موجبًا أو سالبًا. عنصر الوحدة هو مصفوفات مثلثية قابلة للعكس ذات عناصر قطرية موجبة، ومجموعة جميع المصفوفات المثلثية القابلة للعكس هي حاصل ضرب شبه مباشر لهذه المجموعة ومجموعة المصفوفات القطرية ذات العناصر القطرية الموجبة. $\pm 1$ على القطر، بما يتوافق مع المكونات.

جبر لي لمجموعة لي للمصفوفات المثلثية العلوية القابلة للعكس هو مجموعة جميع المصفوفات المثلثية العلوية، غير القابلة للعكس بالضرورة، وهو جبر لي قابل للحل . وهما، على التوالي، المجموعة الفرعية بوريل القياسية B لمجموعة لي GL _n والجبر الفرعي بوريل القياسي ${\mathfrak {b}}$ من جبر لي gl _n .

المصفوفات المثلثية العلوية هي تحديدًا تلك التي تُثبّت العلم القياسي . تُشكّل المصفوفات القابلة للعكس منها زمرةً جزئيةً من الزمرة الخطية العامة، التي تُعرّف زمرها الجزئية المترافقة بأنها مُثبّتة لعلم كامل (آخر). هذه الزمر الجزئية هي زمر بوريل . تُعدّ زمرة المصفوفات المثلثية السفلية القابلة للعكس زمرةً جزئيةً من هذا النوع، لأنها مُثبّتة العلم القياسي المرتبط بالأساس القياسي بترتيب عكسي.

يمكن وصف مُثبِّت علم جزئي ناتج عن حذف بعض أجزاء العلم القياسي بأنه مجموعة من المصفوفات المثلثية العلوية الكتلية (مع العلم أن عناصرها ليست جميعها مصفوفات مثلثية). وتُعرف مرافقات هذه المجموعة بالمجموعات الفرعية المُعرَّفة كمُثبِّت لعلم جزئي. تُسمى هذه المجموعات الفرعية بالمجموعات الفرعية المكافئة.

أمثلة

مجموعة المصفوفات المثلثية العلوية 2×2 متماثلة مع المجموعة الجمعية لحقل الكميات القياسية؛ في حالة الأعداد المركبة، فإنها تتوافق مع مجموعة مكونة من تحويلات موبيوس المكافئة ؛ وتشكل المصفوفات المثلثية العلوية 3×3 مجموعة هايزنبرغ .

انظر أيضاً

مراجع

1 2 3 أكسلر، شيلدون جاي (1997). الجبر الخطي بشكل صحيح ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. الصفحات 86-87 ، 169. ISBN 0-387-22595-1. OCLC 54850562 .
1 2 بيرنشتاين، دينيس س. (2009). رياضيات المصفوفات: النظرية والحقائق والصيغ ( الطبعة الثانية). برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ص 168. ISBN 978-0-691-14039-1.
↑ هيرستين، إن. إن. (1975). مواضيع في الجبر ( الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي. الصفحات 285-290 . ISBN 0-471-01090-1. OCLC 3307396 .
↑ درازين، إم بي؛ دونجي، جيه دبليو؛ غرونبيرغ، كيه دبليو (1951). "بعض النظريات حول المصفوفات التبادلية" . مجلة جمعية لندن الرياضية . 26 (3): 221-228 . doi : 10.1112/jlms/s1-26.3.221 .
↑ براسولوف، ف. ف. (1994). مسائل ونظريات في الجبر الخطي . سيميون إيفانوف. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 178-179 . ISBN 9780821802366. OCLC 30076024 .

[axler-1] 1 2 3 أكسلر، شيلدون جاي (1997). الجبر الخطي بشكل صحيح ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. الصفحات 86-87 ، 169. ISBN 0-387-22595-1. OCLC 54850562 .

[bernstein2009-2] 1 2 بيرنشتاين، دينيس س. (2009). رياضيات المصفوفات: النظرية والحقائق والصيغ ( الطبعة الثانية). برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ص 168. ISBN 978-0-691-14039-1.

[herstein-3] هيرستين، إن. إن. (1975). مواضيع في الجبر ( الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي. الصفحات 285-290 . ISBN 0-471-01090-1. OCLC 3307396 .

[4] درازين، إم بي؛ دونجي، جيه دبليو؛ غرونبيرغ، كيه دبليو (1951). "بعض النظريات حول المصفوفات التبادلية" . مجلة جمعية لندن الرياضية . 26 (3): 221-228 . doi : 10.1112/jlms/s1-26.3.221 .

[5] براسولوف، ف. ف. (1994). مسائل ونظريات في الجبر الخطي . سيميون إيفانوف. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 178-179 . ISBN 9780821802366. OCLC 30076024 .

1

2

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]