العلم (الجبر الخطي)

في الرياضيات ، وخاصة في الجبر الخطي ، العلم هو سلسلة متزايدة من الفضاءات الجزئية لفضاء متجهي V ذي أبعاد محدودة . هنا، تعني كلمة "متزايدة" أن كل فضاء جزئي هو فضاء جزئي حقيقي للفضاء الذي يليه (انظر الترشيح ):

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

مصطلح العلم مستوحى من مثال معين يشبه العلم : نقطة الصفر، والخط، والمستوى تتوافق مع المسمار، والعصا، وقطعة القماش. ^{[ 1 ]}

إذا كتبنا أن dim V _i = di _، فسنحصل على

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

حيث n هو بُعد V (بافتراض أنه محدود). لذا، يجب أن يكون k ≤ n . يُسمى العلم علمًا كاملاً إذا كان d _i = i لجميع قيم i ، وإلا يُسمى علمًا جزئيًا .

يمكن الحصول على علم جزئي من علم كامل عن طريق حذف بعض المساحات الفرعية. وعلى العكس من ذلك، يمكن إكمال أي علم جزئي (بطرق عديدة ومختلفة) عن طريق إدراج مساحات فرعية مناسبة.

توقيع العلم هو التسلسل ( d1 ، _... ، dk ₎ .

يُقال إن الأساس المرتب للمجموعة V مُكيَّف مع العلم V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ... ⊂ V _k إذا كانت متجهات الأساس الأولى d _i تُشكِّل أساسًا لـ V _i لكل 0 ≤ i ≤ k . ويمكن إثبات أن أي علم له أساس مُكيَّف باستخدام حجج قياسية من الجبر الخطي.

أي أساس مرتب يُنتج علمًا كاملاً بجعل V _i هو مدى متجهات الأساس i الأولى . على سبيل المثال،يُستنتج العلم القياسي فيRⁿالأساس القياسي(e₁_,...,eₙ ₎ ^، حيثeᵢالمتجه الذي يحتوي على 1 في _العنصر iو0 في باقي العناصر. وبالتحديد، فإن العلم القياسي هو سلسلة الفضاءات الجزئية التالية:

${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

الأساس المعدل نادرًا ما يكون فريدًا (الأمثلة المضادة تافهة)؛ انظر أدناه.

يمتلك العلم الكامل على فضاء الضرب الداخلي أساسًا متعامدًا فريدًا جوهريًا : فهو فريد حتى ضرب كل متجه بوحدة (عدد قياسي طوله وحدة، مثل 1، -1، i ). يمكن بناء هذا الأساس باستخدام عملية غرام-شميدت . وتستنتج فرادة الأساس حتى الوحدات استقرائيًا ، بملاحظة أن${\displaystyle v_{i}}$يقع في الفضاء أحادي البعد${\displaystyle V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}}$.

وبشكل أكثر تجريدًا، فهي فريدة من نوعها حتى تأثير الطارة القصوى : يتوافق العلم مع مجموعة بوريل ، ويتوافق الضرب الداخلي مع المجموعة الفرعية المدمجة القصوى . ^{[ 2 ]}

إن المجموعة الفرعية المثبتة للعلم القياسي هي مجموعة المصفوفات المثلثية العلوية القابلة للعكس .

وبشكل أعم، فإن مُثبِّت العلم ( المؤثرات الخطية)${\displaystyle T}$على V بحيث${\displaystyle T(V_{i})=V_{i}}$لكل i ) هو، من حيث المصفوفات، جبر المصفوفات المثلثية العلوية الكتلية (بالنسبة إلى أساس مُكيَّف)، حيث تكون أحجام الكتل هي${\displaystyle d_{i}-d_{i-1}}$[ ^{3 ] : 7 إن} مجموعة المثبتات الفرعية لعلم كامل هي مجموعة المصفوفات المثلثية العلوية القابلة للعكس بالنسبة لأي أساس مُكيَّف مع العلم. وتعتمد مجموعة المصفوفات المثلثية السفلية الفرعية بالنسبة لهذا الأساس على ذلك الأساس، وبالتالي لا يمكن وصفها بدلالة العلم فقط.

إن المجموعة الفرعية المثبتة لأي علم كامل هي مجموعة فرعية بوريل (من المجموعة الخطية العامة )، والمثبت لأي أعلام جزئية هو مجموعة فرعية مكافئة .

تؤثر مجموعة المثبتات الفرعية لعلم ما بشكل متعدٍّ على القواعد المُكيَّفة لهذا العلم، وبالتالي فهي ليست فريدة إلا إذا كان المثبت تافهًا. وهذا ظرف استثنائي للغاية: إذ يحدث فقط في فضاء متجهي ذي بُعد صفر، أو في فضاء متجهي على${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$من البعد 1 (وتحديداً الحالات التي يوجد فيها أساس واحد فقط، بغض النظر عن أي علامة).

في فضاء لا نهائي الأبعاد V ، كما هو مستخدم في التحليل الوظيفي ، تُعمَّم فكرة العلم إلى حُصْف الفضاء الجزئي ، أي مجموعة من الفضاءات الجزئية من V التي تُشكِّل ترتيبًا كليًا للاحتواء ، والتي تكون مغلقة تحت أي تقاطعات وامتدادات خطية مغلقة. انظر جبر الحُصْف .

من وجهة نظر الحقل ذي العنصر الواحد ، يمكن اعتبار المجموعة فضاءً متجهيًا فوق الحقل ذي العنصر الواحد: وهذا يضفي طابعًا رسميًا على أوجه التشابه المختلفة بين مجموعات كوكسيتر والمجموعات الجبرية .

في إطار هذه العلاقة، يُقابل الترتيب على مجموعة ما علامة قصوى: فالترتيب يُكافئ الترشيح الأقصى لمجموعة ما. على سبيل المثال، الترشيح (العلامة)${\displaystyle \{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}}$يتوافق مع الترتيب${\displaystyle (0,1,2)}$.

• الترشيح (الرياضيات)
• العلم (الهندسة)
• مشعب العلم
• غراسمانيان
• ماترويد

• شافاريفيتش، آي آر ؛ إيه أو ريميزوف (2012). الجبر الخطي والهندسة . سبرينغر . ISBN 978-3-642-30993-9.