مصفوفات التنقل

في الجبر الخطي ، مصفوفتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يقال إنهم يتنقلون إذا${\displaystyle AB=BA}$أو ما يعادل ذلك إذا كان مبدلهم${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$يساوي صفرًا. المصفوفات${\displaystyle A}$التي تتبادل مع المصفوفة${\displaystyle B}$تُسمى هذه العناصر بالمبدلات في المصفوفة${\displaystyle B}$(والعكس صحيح). ^{[ 1 ]}

مجموعة من المصفوفات${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$يقال إنها تتبادل إذا كانت تتبادل بشكل ثنائي، مما يعني أن كل زوج من المصفوفات في المجموعة يتبادل.

• ^{[ 2 ]} تحافظ المصفوفات التبادلية على الفضاءات الذاتية لبعضها البعض . ونتيجة لذلك، فإن المصفوفات التبادلية على حقل مغلق جبريًا قابلة للتحويل إلى مثلثات في آن واحد ؛ أي أن هناك قواعد تكون عليها كلتاهما مثلثية علوية . بعبارة أخرى، إذا${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$في التنقل، توجد مصفوفة تشابه${\displaystyle P}$بحيث${\displaystyle P^{-1}A_{i}P}$يكون مثلثًا علويًا لجميع${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$. والعكس ليس بالضرورة صحيحاً، كما يوضح المثال المضاد التالي:

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&5\\0&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}.}$

• يترك${\displaystyle n}$ليكن إما 2 أو 3، وليكن${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يكون${\displaystyle n}$بواسطة${\displaystyle n}$المصفوفات على حقل مغلق جبريًا. إذا كان مربع مبدل${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يكون${\displaystyle 0}$، إنه،${\displaystyle [A,B]^{2}=0}$، ثم${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يمكن تحويلها إلى مثلثات في آن واحد. ^{[ 3 ]}
• مصفوفتان قابلتان للقطر${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$التنقل (${\displaystyle AB=BA}$) إذا كانت قابلة للتقطير في آن واحد (أي، توجد مصفوفة قابلة للعكس${\displaystyle P}$بحيث يكون كلاهما${\displaystyle P^{-1}AP}$و${\displaystyle P^{-1}BP}$^{[ 4 ] : ص 64.} والعكس صحيح أيضًا ؛ أي إذا كانت مصفوفتان قابلتان للتقطير تتبادلان، فإنهما قابلتان للتقطير في آن واحد. ^{[ 5 ]} ولكن إذا أخذنا أي مصفوفتين تتبادلان (دون افتراض أنهما قابلتان للتقطير)، فإنهما قابلتان للتقطير في آن واحد حتى لو لم يكن لإحدى المصفوفتين قيم ذاتية متعددة. ^{[ 6 ]}
• لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانا يتنقلان، فلهما متجه ذاتي مشترك.${\displaystyle A}$لها قيم ذاتية مميزة، و${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$التنقل، ثم${\displaystyle A}$المتجهات الذاتية لـ 's هي${\displaystyle B}$المتجهات الذاتية لـ 's.
• إذا كانت إحدى المصفوفات تتمتع بخاصية أن متعدد الحدود الأدنى لها يتطابق مع متعدد الحدود المميز لها (أي أن لها الدرجة القصوى)، وهو ما يحدث على وجه الخصوص عندما يكون لمتعدد الحدود المميز جذور بسيطة فقط ، فيمكن كتابة المصفوفة الأخرى كمتعدد حدود في الأولى.
• كنتيجة مباشرة لإمكانية التثليث المتزامن، يمكن مطابقة القيم الذاتية لمصفوفتين معقدتين تبادليتين A و B مع تعددياتهما الجبرية ( مجموعات متعددة من جذور كثيرات الحدود المميزة لهما) على النحو التالي:${\displaystyle \alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}}$بطريقة تجعل مجموعة القيم الذاتية لأي متعدد الحدود${\displaystyle P(A,B)}$يمثل العنصر الموجود في المصفوفتين مجموعة متعددة من القيم${\displaystyle P(\alpha _{i},\beta _{i})}$هذه النظرية تعود إلى فروبينيوس . ^{[ 7 ]}
• تتبادل مصفوفتان هيرميتيتان إذا تطابقت فضاءاتهما الذاتية . على وجه الخصوص، تتبادل مصفوفتان هيرميتيتان بدون قيم ذاتية متعددة إذا اشتركتا في نفس مجموعة المتجهات الذاتية. ويتضح ذلك من خلال النظر في تحليل القيم الذاتية لكلتا المصفوفتين.${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ليكن لدينا مصفوفتان هيرميتيتان. ${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$تشترك في فضاءات ذاتية عندما يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle A=U\Lambda _{1}U^{\dagger }}$و${\displaystyle B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }}$ويترتب على ذلك أن

  ${\displaystyle AB=U\Lambda _{1}U^{\dagger}U\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{1}\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}\Lambda _{1}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}U^{\dagger }U\Lambda _ {1}U^{\dagger }=BA.}$

• خاصية تبادل المصفوفات ليست متعدية : المصفوفة${\displaystyle A}$قد يتنقل مع كليهما${\displaystyle B}$و${\displaystyle C}$ولا يزال${\displaystyle B}$و${\displaystyle C}$لا تتبادل المصفوفات فيما بينها. على سبيل المثال، تتبادل مصفوفة الوحدة مع جميع المصفوفات الأخرى، التي لا تتبادل فيما بينها. إذا اقتصرت مجموعة المصفوفات المدروسة على المصفوفات الهرميتية التي لا تحتوي على قيم ذاتية متعددة، فإن خاصية التبادل تكون متعدية، كنتيجة لخصائصها بدلالة المتجهات الذاتية.
• يمكن اعتبار نظرية لي ، التي توضح أن أي تمثيل لجبر لي قابل للحل يكون قابلاً للتحويل إلى مثلث علوي في نفس الوقت، بمثابة تعميم.
• مصفوفة من الرتبة n × n${\displaystyle A}$تتبادل مع كل مصفوفة أخرى من الرتبة n × n إذا وفقط إذا كانت مصفوفة قياسية، أي مصفوفة من الشكل${\displaystyle \lambda I}$، أين${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة من الرتبة n × n و${\displaystyle \lambda }$هو عدد قياسي. بعبارة أخرى، مركز مجموعة المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n × n تحت عملية الضرب هو المجموعة الفرعية للمصفوفات القياسية.
• حدد حقلًا منتهيًا${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$، يترك${\displaystyle P(n)}$يشير إلى عدد الأزواج المرتبة من التنقل${\displaystyle n\times n}$المصفوفات فوق${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$أظهر كل من دبليو . فيت وإن جيه فاين ^{[ 8 ]} المعادلة$${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {P(n)}{(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{n-1})}}z^{n}=\prod _{i=1}^{\infty }\prod _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{1-j}z^{i}}}.}$$

• مصفوفة الوحدة تتبادل مع جميع المصفوفات.
• تتبادل كتل جوردان مع المصفوفات المثلثية العلوية التي لها نفس القيمة على طول النطاقات.
• إذا كان حاصل ضرب مصفوفتين متناظرتين متناظراً، فلا بد أن تكونا تبادليتين. وهذا يعني أيضاً أن كل مصفوفة قطرية تتبادل مع جميع المصفوفات القطرية الأخرى. ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• المصفوفات الدائرية تتبادل. فهي تشكل حلقة تبديلية لأن مجموع مصفوفتين دائريتين هو مصفوفة دائرية.

قدّم كايلي مفهوم المصفوفات التبادلية في مذكرته حول نظرية المصفوفات، والتي وفّرت أيضًا أول نظام بديهي للمصفوفات. أثبت فروبينيوس أولى النتائج المهمة حول المصفوفات التبادلية عام 1878. ^{[ 11 ]} وفي عام 1969، بيّن جيلفاند وبونوماريف أن مسألة تصنيف أزواج المصفوفات التبادلية تُكافئ مسألة تصنيف k-tuples من المصفوفات modulo التشابه، والتي لا يوجد لها حل معقول. ^{[ 12 ]}