الشكل الطبيعي لجوردان

تحتوي بعض الكتب الدراسية على القيم الذاتية على القطر الفرعي ؛ أي أسفل القطر الرئيسي مباشرةً بدلاً من القطر العلوي. تبقى القيم الذاتية على القطر الرئيسي. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

تكون المصفوفة A من الرتبة n × n قابلة للتقطير إذا وفقط إذا كان مجموع أبعاد فضاءاتها الذاتية يساوي n . أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا كان للمصفوفة A عدد n من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا . ليست كل المصفوفات قابلة للتقطير؛ تُسمى المصفوفات غير القابلة للتقطير بالمصفوفات المعيبة . لننظر إلى المصفوفة التالية:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\[2pt]-1&-1&3&0\\[2pt]1&1&-1&2\end{array}}\right].}$

بما في ذلك التعددية، فإن القيم الذاتية للمصفوفة A هي λ = 1، 2، 4، 4. بُعد الفضاء الذاتي المقابل للقيمة الذاتية 4 هو 1 (وليس 2)، لذا فإن A غير قابلة للتقطير. ومع ذلك، توجد مصفوفة قابلة للعكس P بحيث يكون J = P ⁻¹ AP ، حيث

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&2&0&0\\[2pt]0&0&4&1\\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

المصفوفة${\displaystyle J}$هي شبه قطرية. هذا هو الشكل الطبيعي لجوردان للمصفوفة A. يوضح قسم المثال أدناه تفاصيل الحساب.

ضع في اعتبارك المصفوفة${\displaystyle A}$انطلاقاً من المثال الوارد في القسم السابق، يتم الحصول على الشكل الطبيعي لجوردان من خلال تحويل تشابه معين :

${\displaystyle P^{-1}AP=J;}$إنه،${\displaystyle AP=PJ.}$

يترك${\displaystyle P}$تحتوي على متجهات عمودية${\displaystyle p_{i}}$،${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$، ثم

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{3}&p_{3}+4p_{4}\end{bmatrix}}.}$

نرى ذلك

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

ل${\displaystyle i=1,2,3}$لدينا${\displaystyle p_{i}\in \ker(A-\lambda _{i}I)}$، إنه،${\displaystyle p_{i}}$هو متجه ذاتي لـ${\displaystyle A}$المقابل للقيمة الذاتية${\displaystyle \lambda _{i}}$. ل${\displaystyle i=4}$بضرب كلا الطرفين في${\displaystyle (A-4I)}$أعطِ

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

لكن${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$، لذا

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

هكذا،${\displaystyle p_{4}\in \ker(A-4I)^{2}.}$

متجهات مثل${\displaystyle p_{4}}$تُسمى هذه المتجهات الذاتية المعممة للمصفوفة A.

يوضح هذا المثال كيفية حساب الشكل الطبيعي لجوردان لمصفوفة معينة.

ضع في اعتبارك المصفوفة

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{array}}\right]}$

وهو ما ذُكر في بداية المقال.

متعددة الحدود المميزة لـ A هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\lambda )&=\det(\lambda I-A)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{aligned}}}$

يُبين هذا أن القيم الذاتية هي 1 و2 و4 و4، وفقًا للتعددية الجبرية. يمكن إيجاد الفضاء الذاتي المقابل للقيمة الذاتية 1 بحل المعادلة Av = 1 v . وهو مُوَلَّد بواسطة متجه العمود v = (−1, 1, 0, 0) ^T. وبالمثل، فإن الفضاء الذاتي المقابل للقيمة الذاتية 2 مُوَلَّد بواسطة w = (1, −1, 0, 1) ^T. وأخيرًا، فإن الفضاء الذاتي المقابل للقيمة الذاتية 4 هو أيضًا أحادي البعد (على الرغم من أنها قيمة ذاتية مزدوجة) ومُوَلَّد بواسطة x = (1, 0, −1, 1) ^T. لذا، فإن التعددية الهندسية (أي بُعد الفضاء الذاتي للقيمة الذاتية المعطاة) لكل من القيم الذاتية الثلاث هي واحد. لذلك، فإن القيمتين الذاتيتين اللتين تساويان 4 تتوافقان مع كتلة جوردان واحدة، ويكون الشكل الطبيعي لجوردان للمصفوفة A هو المجموع المباشر

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

توجد ثلاث سلاسل جوردان . اثنتان منها بطول واحد: { v } و{ w }، وهما تُقابلان القيمتين الذاتيتين 1 و2 على التوالي. توجد سلسلة واحدة بطول اثنين تُقابل القيمة الذاتية 4. لإيجاد هذه السلسلة، احسب

${\displaystyle \ker(A-4I)^{2}=\operatorname {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},\left[{\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}}\right]\right\}}$

أين أنا ؟مصفوفة الوحدة 4 × 4. اختر متجهًا في الفضاء الممتد أعلاه لا ينتمي إلى نواة المصفوفة A − 4 I ؛ على سبيل المثال، y = (1,0,0,0) ^T. الآن، ( A − 4 I ) y = x و ( A − 4 I ) x = 0 ، لذا فإن { y , x } سلسلة طولها اثنان تُقابل القيمة الذاتية 4.

يتم تكوين مصفوفة الانتقال P بحيث يكون P ⁻¹ AP = J عن طريق وضع هذه المتجهات بجانب بعضها البعض كما يلي

${\displaystyle P=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}v&w&x&y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

تُظهر الحسابات أن المعادلة P ⁻¹ AP = J صحيحة بالفعل.

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

لو قمنا بتبديل ترتيب ظهور متجهات السلسلة، أي تغيير ترتيب v و w و { x و y } معًا، لتبدلت كتل جوردان. مع ذلك، فإن صيغ جوردان هي صيغ جوردان متكافئة.

نقدم برهانًا بالاستقراء الرياضي على أنه يمكن وضع أي مصفوفة مربعة ذات قيم مركبة A في الصيغة المعيارية لجوردان. بما أنه يمكن إثبات ^{[ 14 ]} أن فضاء المتجهات الأساسي هو المجموع المباشر للفضاءات الجزئية الثابتة المرتبطة بالقيم الذاتية، فيمكن افتراض أن A لها قيمة ذاتية واحدة فقط λ . حالة 1 × 1 بديهية. لتكن A مصفوفة من الرتبة n × n . مدى ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$، هو فضاء جزئي ثابت من A. أيضًا، بما أن λ قيمة ذاتية لـ A ، فإن بُعد ⁠${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$بما أن r أصغر من n بشكل قاطع، فإن r ،وفقًا لفرضية الاستقراء ،${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$⁠ لها أساس { p ₁ , ..., p _r } يتكون من سلاسل جوردان.

ثم لننظر في النواة ، أي الفضاء الجزئي${\displaystyle \ker(A-\lambda I)}$إذا​

${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)=\{0\},}$

وتنتج النتيجة المرجوة مباشرة من نظرية الرتبة والعدم . (سيكون هذا هو الحال، على سبيل المثال، إذا كانت A هيرميتية .)

وإلا، إذا

${\displaystyle Q=\operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)\neq \{0\},}$

ليكن بُعد Q هو s ≤ r . كل متجه في Q هو متجه ذاتي، لذا${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$يجب أن تحتويالمجموعة { p₁ _, ..., pᵣ } على سلاسل جوردان المقابلة لـ s من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا. لذلك، يجب أن تحتوي المجموعة { p₁ , ..., _pᵣ } على s من المتجهات، ولتكن { _p₁ , ..., pᵣ _} ، وهي متجهات رائدة لهذه السلاسل. يمكننا "توسيع السلاسل" بأخذ الصور العكسية لهذه المتجهات الرائدة. (هذه هي الخطوة الأساسية). _ليكن qᵢ بحيث

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{ for }}i=1,\ldots ,s.}$

وأخيرًا، يمكننا اختيار أي أساس لـ

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)/Q}$

ثم ارفع إلى المتجهات { z ₁ , ..., z _t } في${\displaystyle \ker(A-\lambda I)}$_يشكل كل zi سلسلة جوردان بطول 1. نحتاج فقط إلى إثبات أن اتحاد { p1 _, ..., pr _} و { z1 _, ..., zt _} و { q1 _, ..., qs _} يشكل أساسًا للفضاء المتجهي .

بحسب نظرية الرتبة والعدم ،${\displaystyle \dim(\ker(A-\lambda I)))=n-r}$، لذا​${\displaystyle t=n-r-s}$وبالتالي ، فإن عدد المتجهات في الأساس المحتمل يساوي n. ولإثبات الاستقلال الخطي، لنفترض أن أحد التراكيب الخطية للمتجهات يساوي صفرًا. بتطبيق${\displaystyle A-\lambda I,}$نحصل على توليفة خطية من pᵢ _، حيث تصبح qᵢ متجهات رائدة بين pᵢ _. من الاستقلال الخطي لـ pᵢ _، يتبين أن معاملات المتجهات qᵢ يجب _{أن تكون صفرًا. علاوة على ذلك، لا يمكن لأي} توليفة خطية غير تافهة من zᵢ أن تساوي توليفة خطية من pᵢ _، لأنها ستنتمي حينها إلى ...${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$وبالتالي Q ، وهو أمر مستحيل بحسب بناء zi _. لذلك ،ستكونمعاملات zi أيضًا صفرًا _. هذا يترك في التركيبة الخطية الأصلية حدود p _i فقط ، والتي يُفترض أنها مستقلة خطيًا، وبالتالي يجب أن تكون معاملاتها صفرًا أيضًا. لقد وجدنا أساسًا مؤلفًا من سلاسل جوردان، وهذا يُظهرأنه يمكن وضع A في الصيغة الطبيعية لجوردان.

يمكن إثبات أن الشكل الطبيعي لجوردان لمصفوفة معينة A فريد حتى رتبة كتل جوردان.

إن معرفة التعددية الجبرية والهندسية للقيم الذاتية لا تكفي لتحديد الشكل الطبيعي لجوردان للمصفوفة A. بافتراض معرفة التعددية الجبرية m ( λ ) للقيمة الذاتية λ ، يمكن تحديد بنية شكل جوردان بتحليل رتب القوى ( A - λI ) ^{m ( λ )} . ولتوضيح ذلك، لنفترض أن مصفوفة A من الرتبة n × n لها قيمة ذاتية واحدة فقط λ . إذن m ( λ ) = n . أصغر عدد صحيح k _{≥ 1} بحيث

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}}=0}$

هو حجم أكبر كتلة جوردان في شكل جوردان لـ A. ( يُسمى هذا العدد k _{1 أيضًا} دليل λ . انظر المناقشة في قسم لاحق.) رتبة

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}}$

يمثل عدد كتل جوردان ذات الحجم k _1. وبالمثل، فإن رتبة

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

هو ضعف عدد كتل جوردان ذات الحجم k ₁ زائد عدد كتل جوردان ذات الحجم k ₁ − 1. الحالة العامة مماثلة.

يمكن استخدام هذا لإثبات تفرد شكل جوردان. ليكن J1 و J2 شكلين _{طبيعيين} لجوردان للمصفوفة A. عندئذٍ، _يكون J1 و J2 متشابهين ولهما نفس الطيف، بما _{في ذلك التعددية الجبرية للقيم الذاتية. يمكن استخدام الإجراء الموضح في الفقرة السابقة لتحديد بنية هذه المصفوفات} . بما أن رتبة المصفوفة محفوظة بتحويل التشابه، فهناك تقابل بين كتل جوردان لـ _J1 و J2 . _وهذا يثبت تفرد الشكل.

باستخدام الشكل الطبيعي لجوردان، يعطي الحساب المباشر نظرية التعيين الطيفي لحساب الدوال متعددة الحدود : ليكن A مصفوفة n × n ذات قيم ذاتية λ ₁ ، ... ، λ _n ، ثم لأي متعدد حدود p ، فإن p ( A ) له قيم ذاتية p ( λ ₁ )، ... ، p ( λ _n ).

متعددة الحدود المميزة لـ A هي${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$تتشابه المصفوفات في كثير الحدود المميز. لذلك ،${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$، أين${\displaystyle \lambda _{i}}$هو الجذر رقم i لـ${\textstyle p_{J}}$و${\displaystyle m_{i}}$إنها تعددية، لأن هذا هو بوضوح متعدد الحدود المميز لشكل جوردان لـ A.

تنص نظرية كايلي-هاميلتون على أن كل مصفوفة A تحقق معادلتها المميزة: إذا كانت p هي متعددة الحدود المميزة لـ A ، فإن${\displaystyle p_{A}(A)=0}$ويمكن إثبات ذلك من خلال الحساب المباشر بصيغة جوردان، لأنه إذا${\displaystyle \lambda _{i}}$هي قيمة ذاتية للتعددية${\displaystyle m_{i}}$ثم كتلة الأردن${\displaystyle J_{i}}$يلبي التوقعات بوضوح${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$بما أن الكتل القطرية لا تؤثر على بعضها البعض، فإن${\displaystyle i}$الكتلة القطرية رقم 1 من${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$يكون${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$؛ لذلك${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$.

يمكن افتراض أن شكل جوردان موجود على حقل يمتد إلى الحقل الأساسي للمصفوفة، على سبيل المثال على حقل التقسيم لـ p ؛ لا يؤدي امتداد هذا الحقل إلى تغيير المصفوفة p ( A ) بأي شكل من الأشكال.

إنّ متعددة الحدود الدنيا P لمصفوفة مربعة A هي متعددة الحدود الأحادية الوحيدة ذات الدرجة الأدنى m ، بحيث يكون P ( A ) = 0. وبعبارة أخرى، فإنّ مجموعة متعددات الحدود التي تُفني مصفوفة A معينة تُشكّل مثاليًا I في C [ x ]، وهو المجال المثالي الرئيسي لمتعددات الحدود ذات المعاملات المركبة. والعنصر الأحادي الذي يُولّد I هو P تحديدًا .

لنفترض أن _λ₁ , ..., λₖ هي القيم الذاتية المميزة للمصفوفة A ، وأن sᵢ _هو حجم أكبر كتلة جوردان المناظرة لـ λᵢ _. من الواضح من الشكل الطبيعي لجوردان أن الحد الأدنى لكثير الحدود للمصفوفة _A له درجة Σ sᵢ _.

بينما يحدد الشكل الطبيعي لجوردان الحد الأدنى لكثير الحدود، فإن العكس ليس صحيحًا. وهذا يقودنا إلى مفهوم القواسم الأولية . القواسم الأولية لمصفوفة مربعة A هي كثيرات الحدود المميزة لكتل ​​جوردان الخاصة بها. عوامل الحد الأدنى m هي القواسم الأولية ذات الدرجة الأكبر المقابلة للقيم الذاتية المختلفة.

درجة القاسم الأولي هي حجم كتلة جوردان المقابلة، وبالتالي بُعد الفضاء الجزئي الثابت المقابل. إذا كانت جميع القواسم الأولية خطية، فإن المصفوفة A قابلة للتقطير.

إن شكل جوردان للمصفوفة A من الرتبة n × n هو شكل قطري كتلي، وبالتالي يُعطي تفكيكًا للفضاء الإقليدي ذي _البعد n إلى فضاءات جزئية ثابتة من A. كل كتلة جوردان Ji تُقابل فضاءً جزئيًا ثابتًا Xi _. ونرمز لذلك بـ

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}$

حيث يمثل كل X _i مدى سلسلة جوردان المقابلة، و k هو عدد سلاسل جوردان.

يمكن أيضًا الحصول على تحليل مختلف قليلًا باستخدام صيغة جوردان. بفرض قيمة ذاتية λᵢ _، يُسمى حجم أكبر كتلة جوردان مقابلة لها sᵢ دليل _λᵢ ويُرمز له بـ v ( λᵢ ₎ . ( وبالتالي ، فإن درجة متعددة الحدود الدنيا هي مجموع جميع الأدلة). عرّف فضاءً جزئيًا Yᵢ _{كما يلي} :

${\displaystyle Y_{i}=\ker(\lambda _{i}I-A)^{v(\lambda _{i})}.}$

وهذا يعطي التحلل

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

حيث يُمثل l عدد القيم الذاتية المختلفة للمصفوفة A. وبشكلٍ بديهي، نُجمّع الفضاءات الجزئية الثابتة وفقًا لقانون جوردان التي تُقابل القيمة الذاتية نفسها. في الحالة القصوى حيث تكون A من مضاعفات مصفوفة الوحدة، يكون لدينا k = n و l = 1.

يُطلق على الإسقاط على Yᵢ وعلى طول جميع _عناصر Yⱼ الأخرى ( _حيث j ≠ i ) اسم الإسقاط الطيفي للمصفوفة A عند vᵢ _، ويُرمز له عادةً بـ P ( λᵢ ; A ) . تكون الإسقاطات الطيفية متعامدة فيما بينها  ، بمعنى أن P (   _{λᵢ ;} A ) P (vⱼ _; A ) = 0 إذا كان i ≠ j . كما أنها تتبادل مع A ، ومجموعها هو مصفوفة الوحدة. باستبدال كل vᵢ _في مصفوفة جوردان J بالواحد وتصفير جميع العناصر الأخرى، نحصل على P ( vᵢ _;  J ) . علاوة ^على ذلك ، إذا كان UJU⁻¹ هو تحويل التشابه الذي يحقق A = ^UJU⁻¹ ، فإن P ( λᵢ _; A ) = UP ( λᵢ _; J ) U⁻¹ ^. لا تقتصر هذه الإسقاطات على الأبعاد المحدودة. انظر أدناه لتطبيقها على المؤثرات المدمجة، وفي حساب التفاضل والتكامل الوظيفي الهولومورفي لمناقشة أكثر عمومية.  

بمقارنة التحليلين، نلاحظ أن l ≤ k عمومًا . عندما يكون A _فضاءً طبيعيًا، تكون الفضاءات الجزئية Xi في التحليل الأول أحادية البعد ومتعامدة فيما بينها. هذه هي نظرية الطيف للمؤثرات الطبيعية. أما التحليل الثاني فيسهل تعميمه على المؤثرات المدمجة العامة على فضاءات باناخ.

قد يكون من المفيد هنا الإشارة إلى بعض خصائص الدليل، ν ( λ ) . وبشكل أعم، بالنسبة لعدد مركب λ ، يمكن تعريف دليله بأنه أصغر عدد صحيح غير سالب ν ( λ ) بحيث

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)^{\nu (\lambda )}=\ker(A-\lambda I)^{m},\;\forall m\geq \nu (\lambda ).}$

إذن ، ν (v) > 0 إذا وفقط إذا كانت λ قيمة ذاتية للمصفوفة A. في الحالة ذات الأبعاد المحدودة، ν (v) ≤ التعدد الجبري لـ v .

يتم استخدام شكل جوردان لإيجاد شكل طبيعي للمصفوفات حتى الاقتران بحيث تشكل المصفوفات الطبيعية تنوعًا جبريًا بدرجة ثابتة منخفضة في فضاء المصفوفة المحيط.

لا تشكل مجموعات ممثلي فئات اقتران المصفوفة للشكل الطبيعي لجوردان أو الأشكال القانونية العقلانية بشكل عام فضاءات فرعية خطية أو أفينية في فضاءات المصفوفة المحيطة.

طرح فلاديمير أرنولد ^{[ 16 ]} مسألةً: إيجاد شكلٍ معياري للمصفوفات على حقلٍ ما، بحيث تكون مجموعة ممثلي فئات اقتران المصفوفات عبارةً عن اتحاد فضاءاتٍ خطيةٍ فرعيةٍ (مستوية). بعبارةٍ أخرى، قم بإسقاط مجموعة فئات اقتران المصفوفات بشكلٍ أحاديٍّ على مجموعة المصفوفات الأصلية بحيث تكون صورة هذا التضمين - مجموعة جميع المصفوفات الطبيعية - ذات أدنى درجةٍ ممكنة، أي أنها عبارةٌ عن اتحاد فضاءاتٍ خطيةٍ فرعيةٍ مُزاحة.

تم حلها للحقول المغلقة جبريًا بواسطة بيترس دوغوليس. ^{[ 17 ]} يبدأ بناء الشكل الطبيعي المستوي المعرف بشكل فريد للمصفوفة من خلال النظر في شكلها الطبيعي لجوردان.

ليكن X فضاء باناخ، و L ( X ) المؤثرات المحدودة على X ، و σ ( T ) طيف T ∈ L ( X ). يُعرَّف حساب الدوال الهولومورفية كما يلي:

لنثبت مؤثرًا محدودًا T. لنعتبر عائلة Hol( T ) من الدوال المركبة التي تكون تحليلية الشكل على مجموعة مفتوحة G تحتوي على σ ( T ). ولتكن Γ = { γᵢ _} مجموعة منتهية من منحنيات جوردان بحيث تقع σ ( T ) داخل Γ، ونعرف f ( T ) كما يلي:

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(z)(z-T)^{-1}\,dz.}$

يمكن أن تتغير المجموعة المفتوحة G بتغير f ، ولا يشترط أن تكون متصلة. يُعرَّف التكامل على أنه نهاية مجاميع ريمان، كما في الحالة العددية. على الرغم من أن التكامل يكون منطقيًا للدالة f المتصلة ، فإننا نقتصر على الدوال التحليلية لتطبيق آليات نظرية الدوال الكلاسيكية (على سبيل المثال، صيغة كوشي التكاملية). يضمن افتراض أن σ ( T ) تقع داخل Γ أن f ( T ) مُعرَّفة جيدًا؛ فهي لا تعتمد على اختيار Γ. حساب الدوال هو التطبيق Φ من Hol( T ) إلى L ( X ) المُعطى بواسطة

${\displaystyle \;\Phi (f)=f(T).}$

سنحتاج إلى الخصائص التالية لهذا الحساب الوظيفي:

1. Φ توسع حساب الدوال متعددة الحدود.
2. تنص نظرية التعيين الطيفي على ما يلي: σ ( f ( T )) = f ( σ ( T )).
3. Φ هو تماثل الجبر.

في الحالة ذات الأبعاد المحدودة، σ ( T ) = { λi _} هي مجموعة منفصلة منتهية في المستوى المركب. ولتكن _ei دالة تساوي 1 في جوار مفتوح ما لـ λi _وتساوي 0 في أي مكان آخر. وبحسب الخاصية 3 من حساب الدوال، فإن المؤثر

${\displaystyle e_{i}(T)}$

هو إسقاط. علاوة على ذلك ، _ليكن νᵢ دليل λᵢ _و

${\displaystyle f(z)=(z-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

تخبرنا نظرية التعيين الطيفي

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}e_{i}(T)}$

لها طيف {0}. بحسب الخاصية 1، يمكن حساب f ( T ) مباشرة في شكل جوردان، وبالفحص، نرى أن المؤثر f ( T ) e _i ( T ) هو المصفوفة الصفرية.

بحسب الخاصية 3، فإن f ( T ) e_{_i} ( T ) = e_{_i} ( T ) f ( T ). لذا فإن e_{_i} ( T ) هو بالضبط الإسقاط على الفضاء الجزئي.

${\displaystyle \operatorname {Ran} e_{i}(T)=\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

العلاقة

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

يشير إلى

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}\;\operatorname {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

حيث يمر المؤشر i عبر القيم الذاتية المميزة لـ T. هذا هو تحليل الفضاء الجزئي الثابت

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

كما ورد في قسم سابق، يُمثل كل e _{_i}( T ) إسقاطًا على الفضاء الجزئي المُمتد بواسطة سلاسل جوردان المُناظرة لـ λ_{_i} وعلى طول الفضاءات الجزئية المُمتدة بواسطة سلاسل جوردان المُناظرة لـ v_{_j}، حيث j ≠ i . بعبارة أخرى، e _{_i}( T ) = P ( λ _{_i} ; T ). هذا التحديد الصريح للمؤثرات e_{_i} ( T ) يُعطي بدوره صيغة صريحة لحساب التفاضل والتكامل الوظيفي التام الشكل للمصفوفات.

لكل f ∈ Hol( T )،

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma (T)}\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {f^{(k)}}{k!}}(T-\lambda _{i})^{k}e_{i}(T).}$

لاحظ أن تعبير f ( T ) هو مجموع محدود لأنه في كل جوار لـ v _i ، اخترنا توسيع سلسلة تايلور لـ f المتمركزة عند v _i .

ليكن T مؤثرًا محدودًا، ولتكن λ نقطة معزولة من σ ( T ). (كما ذُكر أعلاه، عندما يكون T مضغوطًا، فإن كل نقطة في طيفه هي نقطة معزولة، باستثناء نقطة النهاية 0 ربما).

تُسمى النقطة λ قطبًا للمؤثر T من الرتبة ν إذا كانت دالة الحل R _T معرفة بـ

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}}$

له قطب ترتيب ν عند lect .

سنبين أنه في الحالة ذات الأبعاد المحدودة، تتطابق رتبة القيمة الذاتية مع دليلها. وتصدق هذه النتيجة أيضاً على المؤثرات المدمجة.

لنفترض المنطقة الحلقية A المتمركزة عند القيمة الذاتية λ بنصف قطر صغير بما يكفي ε بحيث يكون تقاطع القرص المفتوح B _ε ( λ ) و σ ( T ) هو { λ }. دالة الحل R _T هي دالة تحليلية على A. بتوسيع نتيجة من نظرية الدوال الكلاسيكية، فإن R _T لها تمثيل متسلسلة لوران على A :

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{m}(\lambda -z)^{m}}$

أين

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(z-T)^{-1}dz}$و C عبارة عن دائرة صغيرة مركزها عند λ . 

بناءً على المناقشة السابقة حول حساب التفاضل والتكامل الوظيفي،

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$أين${\displaystyle e_{\lambda }}$هو 1 على${\displaystyle B_{\varepsilon }(\lambda )}$وصفر في أماكن أخرى.

لكننا أثبتنا أن أصغر عدد صحيح موجب m بحيث

${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$و${\displaystyle a_{-l}=0\;\;\forall \;l\geq m}$

هو بالضبط دليل λ ، ν ( λ ). بعبارة أخرى، الدالة R _T لها قطب من الرتبة ν ( λ ) عند λ .