المتجه الذاتي المعمم

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 184 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر الخطي ، المتجه الذاتي المعمم لـن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\displaystyle A}هو متجه يستوفي معايير معينة أكثر مرونة من تلك الخاصة بالمتجه الذاتي (العادي) . [ 1 ]

يتركV{\displaystyle V}كنن{\displaystyle n}فضاء متجهي ذو أبعاد n، ولتكنأ{\displaystyle A}لتكن المصفوفة التمثيلية للتحويل الخطي منV{\displaystyle V}لV{\displaystyle V}فيما يتعلق ببعض الأسس المرتبة .

قد لا توجد دائمًا مجموعة كاملة منن{\displaystyle n}المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا لـأ{\displaystyle A}التي تشكل أساسًا كاملاً لـV{\displaystyle V}أي المصفوفةأ{\displaystyle A}قد لا تكون قابلة للتقطير . [ 2 ] [ 3 ] يحدث هذا عندما يكون التعدد الجبري لقيمة ذاتية واحدة على الأقلλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}أكبر من تعددها الهندسي ( عدمية المصفوفة)(أ-λأناأنا){\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}أو بُعد فضاءه الصفري ) . في هذه الحالة،λأنا{\displaystyle \lambda _{i}}يُطلق عليه اسم القيمة الذاتية المعيبة وأ{\displaystyle A}يُطلق عليها اسم المصفوفة المعيبة . [ 4 ]

متجه ذاتي معمّمxأنا{\displaystyle x_{i}}بما يتوافق معλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}بالإضافة إلى المصفوفة(أ-λأناأنا){\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}توليد سلسلة جوردان من المتجهات الذاتية المعممة المستقلة خطيًا والتي تشكل أساسًا لفضاء فرعي ثابت منV{\displaystyle V}[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]​

باستخدام المتجهات الذاتية المعممة، مجموعة من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا لـأ{\displaystyle A}ويمكن توسيعه، إذا لزم الأمر، ليصبح أساسًا كاملاً لـV{\displaystyle V}[ 8 ] يمكن استخدام هذا الأساس لتحديد "مصفوفة شبه قطرية" .ج{\displaystyle J}في الشكل الطبيعي الأردني ، على غرارأ{\displaystyle A}وهو أمر مفيد في حساب بعض دوال المصفوفة لـأ{\displaystyle A}[ 9 ] المصفوفة​ج{\displaystyle J}كما أنه مفيد في حل نظام المعادلات التفاضلية الخطيةx′=أx،{\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}أينأ{\displaystyle A}لا يشترط أن تكون قابلة للقطر. [ 10 ] [ 11 ]

بُعد الفضاء الذاتي المعمم المقابل لقيمة ذاتية معينةλ{\displaystyle \lambda }هي التعددية الجبرية لـλ{\displaystyle \lambda }[ 12 ]​

نظرة عامة وتعريف

توجد عدة طرق متكافئة لتعريف متجه ذاتي عادي . [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] لأغراضنا، المتجه الذاتيu{\displaystyle \mathbf {u} }مرتبط بقيمة ذاتيةλ{\displaystyle \lambda }منن{\displaystyle n}×ن{\displaystyle n}مصفوفةأ{\displaystyle A}هو متجه غير صفري حيث(أ-λأنا)u=0{\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0} }، أينأنا{\displaystyle I}هون{\displaystyle n}×ن{\displaystyle n}مصفوفة الهوية و0{\displaystyle \mathbf {0} }هو متجه الصفر ذو الطولن{\displaystyle n}[ 21 ] أي ،u{\displaystyle \mathbf {u} }يقع في جوهر عملية التحويل(أ-λأنا){\displaystyle (A-\lambda I)}. لوأ{\displaystyle A}لديهن{\displaystyle n}المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا، إذنأ{\displaystyle A}يشبه المصفوفة القطريةد{\displaystyle D}أي أن هناك مصفوفة قابلة للعكسم{\displaystyle M}بحيثأ{\displaystyle A}يمكن تحويلها إلى شكل قطري من خلال تحويل التشابهد=م-1أم{\displaystyle D=M^{-1}AM}[ 22 ] [ 23 ] المصفوفة​د{\displaystyle D}تُسمى مصفوفة طيفية لـأ{\displaystyle A}المصفوفةم{\displaystyle M}تُسمى مصفوفة نمطية لـأ{\displaystyle A}[ 24 ] تحظى المصفوفات القابلة للتقطير باهتمام خاص نظرًا لسهولة حساب دوال المصفوفات الخاصة بها. [ 25 ]

من ناحية أخرى، إذاأ{\displaystyle A}لم يكن لديهن{\displaystyle n}المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا المرتبطة بها، ثمأ{\displaystyle A}لا يمكن تحويلها إلى شكل قطري. [ 26 ] [ 27 ]

التعريف: متجهxم{\displaystyle \mathbf {x} _{m}}هو متجه ذاتي معمّم من الرتبة m للمصفوفةأ{\displaystyle A}والمتوافق مع القيمة الذاتيةλ{\displaystyle \lambda }لو

(أ-λأنا)مxم=0{\displaystyle (A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} }

لكن

(أ-λأنا)م-1xم≠0.{\displaystyle (A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .}[ 28 ]

من الواضح أن المتجه الذاتي المعمم من الرتبة 1 هو متجه ذاتي عادي. [ 29 ] كلن{\displaystyle n}×ن{\displaystyle n}مصفوفةأ{\displaystyle A}لديهن{\displaystyle n}ترتبط بها متجهات ذاتية معممة مستقلة خطيًا، ويمكن إثبات أنها مشابهة لمصفوفة "شبه قطرية".ج{\displaystyle J}في الصيغة الطبيعية لجوردان. [ 30 ] أي أنه توجد مصفوفة قابلة للعكسم{\displaystyle M}بحيثج=م-1أم{\displaystyle J=M^{-1}AM}[ 31 ] المصفوفة​م{\displaystyle M}في هذه الحالة، تُسمى مصفوفة نمطية معممة لـأ{\displaystyle A}[ 32 ] إذا​λ{\displaystyle \lambda }هي قيمة ذاتية ذات تعددية جبريةμ{\displaystyle \mu }، ثمأ{\displaystyle A}سوف يكونμ{\displaystyle \mu }المتجهات الذاتية المعممة المستقلة خطيًا والمقابلة لـλ{\displaystyle \lambda }[ 33 ] توفر هذه النتائج بدورها طريقة مباشرة لحساب بعض دوال المصفوفة لـأ{\displaystyle A}[ 34 ]​

ملاحظة: لـن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\displaystyle A}فوق حقلF{\displaystyle F}للتعبير عنها في الصيغة الطبيعية لجوردان، جميع القيم الذاتية لـأ{\displaystyle A}يجب أن يكون فيF{\displaystyle F}أي، متعددة الحدود المميزةو(x){\displaystyle f(x)}يجب أن تدخل العوامل الخطية بشكل كامل؛F{\displaystyle F}يجب أن يكون حقلاً مغلقاً جبرياً. على سبيل المثال، إذاأ{\displaystyle A}إذا كانت عناصر المصفوفة حقيقية ، فقد يكون من الضروري أن تكون القيم الذاتية ومكونات المتجهات الذاتية ذات قيم مركبة . [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]

المجموعة التي تشكلها جميع المتجهات الذاتية المعممة لـλ{\displaystyle \lambda }يشكل الفضاء الذاتي المعمم لـλ{\displaystyle \lambda }[ 38 ]​

أمثلة

فيما يلي بعض الأمثلة لتوضيح مفهوم المتجهات الذاتية المعممة. سيتم شرح بعض التفاصيل لاحقاً.

المثال 1

هذا المثال بسيط ولكنه يوضح الفكرة بوضوح. يُستخدم هذا النوع من المصفوفات بكثرة في الكتب الدراسية. [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] لنفترض

أ=(1101).{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}

إذن، لا يوجد سوى قيمة ذاتية واحدة.λ=1{\displaystyle \lambda =1}وتعددها الجبري هوم=2{\displaystyle m=2}.

لاحظ أن هذه المصفوفة في صيغة جوردان الطبيعية ولكنها ليست قطرية . لذا، لا يمكن تحويل هذه المصفوفة إلى مصفوفة قطرية. وبما أن هناك عنصرًا واحدًا فوق القطر الرئيسي ، فسيكون هناك متجه ذاتي معمّم واحد رتبته أكبر من 1 (أو يمكن ملاحظة أن الفضاء المتجهيV{\displaystyle V}بما أن بُعدها 2، فلا يمكن أن يكون هناك أكثر من متجه ذاتي معمّم واحد رتبته أكبر من 1. بدلاً من ذلك، يمكن حساب بُعد الفضاء الصفري لـ أ-λأنا{\displaystyle A-\lambda I}يكونص=1{\displaystyle p=1}وبالتالي هناكم-ص=1{\displaystyle mp=1}المتجهات الذاتية المعممة ذات الرتبة الأكبر من 1.

المتجه الذاتي العاديv1=(10){\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}يتم حسابها كالمعتاد (انظر صفحة المتجهات الذاتية للاطلاع على الأمثلة). باستخدام هذا المتجه الذاتي، نحسب المتجه الذاتي المعمم v2{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}عن طريق حل

(أ-λأنا)v2=v1.{\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.}

كتابة القيم:

((1101)-1(1001))(v21v22)=(0100)(v21v22)=(10).\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}

وهذا يتبسط إلى

v22=1.{\displaystyle v_{22}=1.}

العنصرv21{\displaystyle v_{21}}ليس له قيود. المتجه الذاتي المعمم من الرتبة 2 هوv2=(أ1){\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}}حيث يمكن أن تأخذ قيمة a أي قيمة عددية. وعادةً ما يكون اختيار a = 0 هو الأبسط.

لاحظ أن

(أ-λأنا)v2=(0100)(أ1)=(10)=v1،{\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},}

لهذا السبب.v2{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}هو متجه ذاتي معمّم، لأن

(أ-λأنا)2v2=(أ-λأنا)[(أ-λأنا)v2]=(أ-λأنا)v1=(0100)(10)=(00)=0،{\displaystyle (A-\lambda I)^{2}\mathbf {v} _{2}=(A-\lambda I)[(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}]=(A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}

لهذا السبب.v1{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}هو متجه ذاتي عادي، وv1{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}وv2{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}مستقلة خطيًا، وبالتالي تشكل أساسًا للفضاء المتجهيV{\displaystyle V}.

المثال 2

هذا المثال أكثر تعقيدًا من المثال 1. لسوء الحظ، من الصعب بعض الشيء بناء مثال مثير للاهتمام من رتبة منخفضة. [ 42 ] المصفوفة

أ=(1000031000632001063201510632){\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}}

له قيم ذاتيةλ1=1{\displaystyle \lambda _{1}=1}وλ2=2{\displaystyle \lambda _{2}=2}مع التعددات الجبريةμ1=2{\displaystyle \mu _{1}=2}وμ2=3{\displaystyle \mu _{2}=3}لكن التعددات الهندسيةγ1=1{\displaystyle \gamma _{1}=1}وγ2=1{\displaystyle \gamma _{2}=1}.

الفضاءات الذاتية المعممة لـأ{\displaystyle A}يتم حسابها أدناه. x1{\displaystyle \mathbf {x} _{1}}هو المتجه الذاتي العادي المرتبط بـλ1{\displaystyle \lambda _{1}}. x2{\displaystyle \mathbf {x} _{2}}هو متجه ذاتي معمّم مرتبط بـλ1{\displaystyle \lambda _{1}}. y1{\displaystyle \mathbf {y} _{1}}هو المتجه الذاتي العادي المرتبط بـλ2{\displaystyle \lambda _{2}}. y2{\displaystyle \mathbf {y} _{2}}وy3{\displaystyle \mathbf {y} _{3}}هي متجهات ذاتية معممة مرتبطة بـλ2{\displaystyle \lambda _{2}}.

(أ-1أنا)x1=(0000030000631001063101510631)(03-99-3)=(00000)=0،{\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}
(أ-1أنا)x2=(0000030000631001063101510631)(1-1530-1-45)=(03-99-3)=x1،{\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},}
(أ-2أنا)y1=(-100003-1000630001063001510630)(00009)=(00000)=0،{\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}
(أ-2أنا)y2=(-100003-1000630001063001510630)(00030)=(00009)=y1،{\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},}
(أ-2أنا)y3=(-100003-1000630001063001510630)(001-20)=(00030)=y2.{\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.}

ينتج عن ذلك أساس لكل من الفضاءات الذاتية المعممة لـأ{\displaystyle A}. تشكل سلسلتا المتجهات الذاتية المعممة معًا فضاء جميع متجهات الأعمدة ذات الأبعاد الخمسة.

{x1،x2}={(03-99-3)،(1-1530-1-45)}،{y1،y2،y3}={(00009)،(00030)،(001-20)}.{\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.}

مصفوفة "شبه قطرية"ج{\displaystyle J}في الشكل الطبيعي الأردني ، على غرارأ{\displaystyle A}يتم الحصول عليها على النحو التالي:

م=(x1x2y1y2y3)=(010003-15000-9300019-103-2-3-45900)،{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},}
ج=(1100001000002100002100002)،{\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},}

أينم{\displaystyle M}هي مصفوفة نمطية معممة لـأ{\displaystyle A}أعمدةم{\displaystyle M}تشكل أساسًا قانونيًا لـأ{\displaystyle A}، وأم=مج{\displaystyle AM=MJ}[ 43 ]​

سلاسل الأردن

التعريف: ليكنxم{\displaystyle \mathbf {x} _{m}}ليكن متجهًا ذاتيًا معمّمًا من الرتبة m يتوافق مع المصفوفةأ{\displaystyle A}والقيمة الذاتيةλ{\displaystyle \lambda }السلسلة الناتجة عنxم{\displaystyle \mathbf {x} _{m}}هي مجموعة من المتجهات{xم،xم-1،...،x1}{\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}}مقدم من

أينx1{\displaystyle \mathbf {x} _{1}}هو دائمًا متجه ذاتي عادي ذو قيمة ذاتية معينةλ{\displaystyle \lambda }وبالتالي، بشكل عام،

المتجهxج{\displaystyle \mathbf {x} _{j}}، المعطاة بالمعادلة ( 2 )، هي متجه ذاتي معمّم من الرتبة j يناظر القيمة الذاتيةλ{\displaystyle \lambda }السلسلة هي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا. [ 44 ]

الأساس الكنسي

التعريف: مجموعة من n من المتجهات الذاتية المعممة المستقلة خطيًا هي أساس قانوني إذا كانت تتكون بالكامل من سلاسل جوردان.

وبالتالي، بمجرد أن نحدد أن متجهًا ذاتيًا معمّمًا من الرتبة m يقع في أساس قانوني، فإنه يترتب على ذلك أن المتجهات m − 1xم-1،xم-2،...،x1{\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}التي تقع ضمن سلسلة الأردن التي تم إنشاؤها بواسطةxم{\displaystyle \mathbf {x} _{m}}وهي موجودة أيضاً في الأساس القانوني. [ 45 ]

يتركλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}لتكن قيمة ذاتية لـأ{\displaystyle A}من التعدد الجبريμأنا{\displaystyle \mu _{i}}أولاً، أوجد رتب المصفوفات (رتب المصفوفات) .(أ-λأناأنا)،(أ-λأناأنا)2،...،(أ-λأناأنا)مأنا{\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}العدد الصحيحمأنا{\displaystyle m_{i}}يتم تحديده ليكون أول عدد صحيح يكون(أ-λأناأنا)مأنا{\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}لديه رتبةن-μأنا{\displaystyle n-\mu _{i}}( حيث n هو عدد الصفوف أو الأعمدة منأ{\displaystyle A}، إنه،أ{\displaystyle A}( n × n ).

والآن حدد

ρك=رتبة⁡(أ-λأناأنا)ك-1-رتبة⁡(أ-λأناأنا)ك(ك=1،2،...،مأنا).{\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}

المتغيرρك{\displaystyle \rho _{k}}يشير إلى عدد المتجهات الذاتية المعممة المستقلة خطيًا من الرتبة k المقابلة للقيمة الذاتيةλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}سيظهر ذلك على أساس قانوني لـأ{\displaystyle A}. لاحظ أن

رتبة⁡(أ-λأناأنا)0=رتبة⁡(أنا)=ن{\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n}[ 46 ]​

حساب المتجهات الذاتية المعممة

لقد رأينا في الأقسام السابقة تقنيات للحصول علىن{\displaystyle n}المتجهات الذاتية المعممة المستقلة خطيًا لقاعدة أساسية متعارف عليها للفضاء المتجهيV{\displaystyle V}مرتبط بـن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\displaystyle A}يمكن دمج هذه التقنيات في إجراء واحد:

حل المعادلة المميزة لـأ{\displaystyle A}للقيم الذاتيةλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}وتعدداتها الجبريةμأنا{\displaystyle \mu _{i}}؛
لكلλأنا:{\displaystyle \lambda _{i}:}
يحددن-μأنا{\displaystyle n-\mu _{i}}؛
يحددمأنا{\displaystyle m_{i}}؛
يحددρك{\displaystyle \rho _{k}}ل(ك=1،...،مأنا){\displaystyle (k=1,\ldots ,m_{i})}؛
حدد كل سلسلة من سلاسل الأردن لـλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}؛

المثال 3

المصفوفة

أ=(51-24052200530004){\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}}

له قيمة ذاتيةλ1=5{\displaystyle \lambda _{1}=5}من التعدد الجبريμ1=3{\displaystyle \mu _{1}=3}وقيمة ذاتيةλ2=4{\displaystyle \lambda _{2}=4}من التعدد الجبريμ2=1{\displaystyle \mu _{2}=1}لدينا أيضًان=4{\displaystyle n=4}. لλ1{\displaystyle \lambda _{1}}لدينان-μ1=4-3=1{\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1}.

(أ-5أنا)=(01-2400220003000-1)،رتبة⁡(أ-5أنا)=3.{\displaystyle (A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.}
(أ-5أنا)2=(002-80004000-30001)،رتبة⁡(أ-5أنا)2=2.{\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.}
(أ-5أنا)3=(00014000-40003000-1)،رتبة⁡(أ-5أنا)3=1.{\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.}

العدد الصحيح الأولم1{\displaystyle m_{1}}والتي(أ-5أنا)م1{\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}}لديه رتبةن-μ1=1{\displaystyle n-\mu _{1}=1}يكونم1=3{\displaystyle m_{1}=3}.

سنحدد الآن

ρ3=رتبة⁡(أ-5أنا)2-رتبة⁡(أ-5أنا)3=2-1=1،{\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,}
ρ2=رتبة⁡(أ-5أنا)1-رتبة⁡(أ-5أنا)2=3-2=1،{\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,}
ρ1=رتبة⁡(أ-5أنا)0-رتبة⁡(أ-5أنا)1=4-3=1.{\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.}

وبالتالي، سيكون هناك ثلاثة متجهات ذاتية معممة مستقلة خطيًا؛ واحد من كل رتبة من الرتب 3 و2 و1.λ1{\displaystyle \lambda _{1}}يتوافق مع سلسلة واحدة من ثلاثة متجهات ذاتية معممة مستقلة خطيًا، ونعلم أن هناك متجهًا ذاتيًا معممًاx3{\displaystyle \mathbf {x} _{3}}من الرتبة 3 المقابلة لـλ1{\displaystyle \lambda _{1}}بحيث

لكن

تمثل المعادلتان ( 3 ) و( 4 ) أنظمة خطية يمكن حلها لـx3{\displaystyle \mathbf {x} _{3}}. يترك

x3=(x31x32x33x34).{\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.}

ثم

(أ-5أنا)3x3=(00014000-40003000-1)(x31x32x33x34)=(14x34-4x343x34-x34)=(0000){\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}

و

(أ-5أنا)2x3=(002-80004000-30001)(x31x32x33x34)=(2x33-8x344x34-3x34x34)≠(0000).{\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}

وبالتالي، من أجل تحقيق الشرطين ( 3 ) و( 4 )، يجب أن يكون لديناx34=0{\displaystyle x_{34}=0}وx33≠0{\displaystyle x_{33}\neq 0}لا توجد قيود مفروضة علىx31{\displaystyle x_{31}}وx32{\displaystyle x_{32}}باختياركx31=x32=x34=0،x33=1{\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}، نحصل

x3=(0010){\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}

كمتجه ذاتي معمّم من الرتبة 3 يتوافق معλ1=5{\displaystyle \lambda _{1}=5}لاحظ أنه من الممكن الحصول على عدد لا نهائي من المتجهات الذاتية المعممة الأخرى من الرتبة 3 عن طريق اختيار قيم مختلفة لـ x31{\displaystyle x_{31}}،x32{\displaystyle x_{32}}وx33{\displaystyle x_{33}}، معx33≠0{\displaystyle x_{33}\neq 0}لكن خيارنا الأول هو الأبسط. [ 47 ]

وباستخدام المعادلات ( 1 )، نحصل علىx2{\displaystyle \mathbf {x} _{2}}وx1{\displaystyle \mathbf {x} _{1}}كمتجهات ذاتية معممة من الرتبة 2 و 1 على التوالي، حيث

x2=(أ-5أنا)x3=(-2200)،{\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},}

و

x1=(أ-5أنا)x2=(2000).{\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}

القيمة الذاتية البسيطةλ2=4{\displaystyle \lambda _{2}=4}يمكن التعامل معها باستخدام التقنيات القياسية ولها متجه ذاتي عادي

y1=(-144-31).{\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.}

أساس قانوني لـأ{\displaystyle A}يكون

{x3،x2،x1،y1}={(0010)(-2200)(2000)(-144-31)}.{\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.}

x1،x2{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}وx3{\displaystyle \mathbf {x} _{3}}هي متجهات ذاتية معممة مرتبطة بـλ1{\displaystyle \lambda _{1}}، بينماy1{\displaystyle \mathbf {y} _{1}}هو المتجه الذاتي العادي المرتبط بـλ2{\displaystyle \lambda _{2}}.

هذا مثال بسيط إلى حد ما. بشكل عام، الأرقامρك{\displaystyle \rho _{k}}من المتجهات الذاتية المعممة المستقلة خطيًا من الرتبةك{\displaystyle k}لن تكون متساوية دائمًا. أي أنه قد يكون هناك عدة سلاسل بأطوال مختلفة تتوافق مع قيمة ذاتية معينة. [ 48 ]

مصفوفة الوضع المعممة

يتركأ{\displaystyle A}لتكن مصفوفة من الرتبة n × n . مصفوفة نمطية معممةم{\displaystyle M}لأ{\displaystyle A}هي مصفوفة من الرتبة n × n ، تشكل أعمدتها، التي تُعتبر متجهات، أساسًا قانونيًا لـأ{\displaystyle A}وتظهر فيم{\displaystyle M}وفقًا للقواعد التالية:

  • تظهر جميع سلاسل جوردان المكونة من متجه واحد (أي متجه واحد في الطول) في الأعمدة الأولى منم{\displaystyle M}.
  • تظهر جميع متجهات سلسلة واحدة معًا في أعمدة متجاورة منم{\displaystyle M}.
  • تظهر كل سلسلة فيم{\displaystyle M}بترتيب تصاعدي للرتبة (أي أن المتجه الذاتي المعمم من الرتبة 1 يظهر قبل المتجه الذاتي المعمم من الرتبة 2 لنفس السلسلة، والذي يظهر بدوره قبل المتجه الذاتي المعمم من الرتبة 3 لنفس السلسلة، وهكذا). [ 49 ]

الشكل الطبيعي لجوردان

[⌜λ11λ1λ1⌝⌜λ21λ2⌝[λ3]⋱⌜λن1λن⌝⌜λ11λ11λ1⌝⌜λ21λ2⌝[λ3]⋱⌜λن1λن⌝⌞λ11λ1λ1⌟⌜λ21λ2⌝[λ3]⋱⌜λن1λن⌝⌜λ11λ11λ1⌝⌜λ21ن⌝[λ3]⋱⌜λن1λن⌝⌜λ11λ11λ1⌟⌞λ2λ2⌟[λ3]⋱⌜λن1λن⌝⌜λ11λ11λ1⌝⌜λ21λ2⌝[λ3]⋱⌜λن1λن⌝⌜λ11λ11λ1⌝⌜λ21λ2⌝[λ3]⋱⌜λن1λن⌝⌜λ11λ11λ1⌝⌜λ21λ2⌝[λ3]⋱⌜λن1ن⌝⌞λ11λ11λ1⌝⌜λ21λ2⌝[λ3]⋱⌞λنλن⌟]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{1}1{\hphantom {\lambda _{1}\lambda _{1}}}{\color {red}\urcorner }{\hphantom {\ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1}}\lambda _{1}1{\hphantom {\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{1}1\lambda _{1}}}\lambda _{1}{\color {red}\lrcorner }{\hphantom {\ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner }}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{2}1{\hphantom {n}}{\color {red}\urcorner }{\hphantom {[\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\lrcorner }}{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{2}}}\lambda _{2}{\color {red}\lrcorner }{\hphantom {[\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner }}{\color {red}[}\lambda _{3}{\color {red}]}{\hphantom {\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]}}\ddots {\hphantom {\ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots }}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{n}1{\hphantom {n}}{\color {red}\urcorner }\\{\hphantom {\llcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots }}{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{n}}}\lambda _{n}{\color {red}\lrcorner }\end{bmatrix}}}
مثال على مصفوفة في صيغة جوردان الطبيعية. تُسمى الكتل الحمراء كتل جوردان.

يتركV{\displaystyle V}ليكن فضاءً متجهيًا ذا بُعد n ؛ϕ{\displaystyle \phi }لتكن دالة خطية في L ( V ) ، وهي مجموعة جميع الدوال الخطية منV{\displaystyle V}في ذاتها؛ ودعأ{\displaystyle A}لتكن التمثيل المصفوفي لـϕ{\displaystyle \phi }بالنسبة إلى أساس مرتب. يمكن إثبات أنه إذا كانت متعددة الحدود المميزةو(λ){\displaystyle f(\lambda )}لأ{\displaystyle A}يمكن تحليل العوامل إلى عوامل خطية، بحيثو(λ){\displaystyle f(\lambda )}له الشكل

و(λ)=±(λ-λ1)μ1(λ-λ2)μ2⋯(λ-λر)μر،{\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},}

أينλ1،λ2،...،λر{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}هي القيم الذاتية المميزة لـأ{\displaystyle A}ثم كلμأنا{\displaystyle \mu _{i}}هي التعدد الجبري للقيمة الذاتية المقابلة لهاλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}وأ{\displaystyle A}يشبه المصفوفةج{\displaystyle J}في الصيغة الأردنية العادية ، حيث كلλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}يظهرμأنا{\displaystyle \mu _{i}}مرات متتالية على القطر، والمدخل الموجود مباشرة فوق كل منهاλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}(أي على القطر العلوي ) يكون إما 0 أو 1: في كل كتلة يكون الإدخال أعلى أول ظهور لكلλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}تكون قيمة المصفوفة دائمًا صفرًا (باستثناء الكتلة الأولى)؛ جميع القيم الأخرى على القطر العلوي تساوي واحدًا. جميع القيم الأخرى (أي خارج القطر والقطر العلوي) تساوي صفرًا. (لكن لا يُفرض أي ترتيب بين القيم الذاتية، أو بين الكتل لقيمة ذاتية معينة). المصفوفةج{\displaystyle J}هذا أقرب ما يمكن الوصول إليه لقطريةأ{\displaystyle A}. لوأ{\displaystyle A}إذا كانت المصفوفة قابلة للتقطير، فإن جميع العناصر فوق القطر الرئيسي تساوي صفرًا. [ 50 ] لاحظ أن بعض الكتب الدراسية تعرض القيم الذاتية على القطر الفرعي ، أي أسفل القطر الرئيسي مباشرةً، بدلًا من القطر العلوي. مع ذلك، تظل القيم الذاتية على القطر الرئيسي. [ 51 ] [ 52 ]

كل مصفوفة من الرتبة n × nأ{\displaystyle A}يشبه المصفوفةج{\displaystyle J}في الشكل الطبيعي لجوردان، الذي تم الحصول عليه من خلال تحويل التشابهج=م-1أم{\displaystyle J=M^{-1}AM}، أينم{\displaystyle M}هي مصفوفة نمطية معممة لـأ{\displaystyle A}[ 53 ] ( انظر الملاحظة أعلاه.)

المثال 4

أوجد مصفوفة في صيغة جوردان الطبيعية مشابهة لـ

أ=(042-3834-8-2).{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.}

الحل: المعادلة المميزة لـأ{\displaystyle A}يكون(λ-2)3=0{\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0}، لذلك،λ=2{\displaystyle \lambda =2}هي قيمة ذاتية ذات رتبة جبرية ثلاثة. باتباع إجراءات الأقسام السابقة، نجد أن

رتبة⁡(أ-2أنا)=1{\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)=1}

و

رتبة⁡(أ-2أنا)2=0=ن-μ.{\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)^{2}=0=n-\mu .}

هكذا،ρ2=1{\displaystyle \rho _{2}=1}وρ1=2{\displaystyle \rho _{1}=2}وهذا يعني أن الأساس المتعارف عليه لـأ{\displaystyle A}سيحتوي على متجه ذاتي معمّم مستقل خطيًا من الرتبة 2 ومتجهين ذاتيين معمّمين مستقلين خطيًا من الرتبة 1، أو ما يعادل ذلك، سلسلة واحدة من متجهين.{x2،x1}{\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}وسلسلة واحدة من متجه واحد{y1}{\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}}. تحديدم=(y1x1x2){\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}}، نجد أن

م=(2201300-41)،{\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},}

و

ج=(200021002)،{\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},}

أينم{\displaystyle M}هي مصفوفة نمطية معممة لـأ{\displaystyle A}أعمدةم{\displaystyle M}تشكل أساسًا قانونيًا لـأ{\displaystyle A}، وأم=مج{\displaystyle AM=MJ}[ 54 ] لاحظ أنه بما أن المتجهات الذاتية المعممة نفسها ليست فريدة ، وبما أن بعض أعمدة كليهمام{\displaystyle M}وج{\displaystyle J}إذا أمكن استبدالها، فإن كلام{\displaystyle M}وج{\displaystyle J}ليست فريدة من نوعها. [ 55 ]

المثال 5

في المثال 3 ، وجدنا أساسًا قانونيًا للمتجهات الذاتية المعممة المستقلة خطيًا لمصفوفةأ{\displaystyle A}مصفوفة نمطية معممة لـأ{\displaystyle A}يكون

م=(y1x1x2x3)=(-142-204020-30011000).{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.}

مصفوفة في شكل جوردان الطبيعي، على غرارأ{\displaystyle A}يكون

ج=(4000051000510005)،{\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},}

لهذا السبب.أم=مج{\displaystyle AM=MJ}.

التطبيقات

دوال المصفوفات

تُعدّ ثلاث من أهم العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها على المصفوفات المربعة هي جمع المصفوفات، والضرب في عدد قياسي، وضرب المصفوفات. [ 56 ] وهذه هي تحديدًا العمليات اللازمة لتعريف دالة متعددة الحدود لمصفوفة من الرتبة n × nأ{\displaystyle A}[ 57 ] إذا تذكرنا من حساب التفاضل والتكامل الأساسي أن العديد من الدوال يمكن كتابتها على شكل متسلسلة ماكلورين ، فيمكننا تعريف دوال أكثر عمومية للمصفوفات بسهولة تامة. [ 58 ] إذاأ{\displaystyle A}قابلة للقطر، أي

د=م-1أم،{\displaystyle D=M^{-1}AM,}

مع

د=(λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λن)،{\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}

ثم

دك=(λ1ك0⋯00λ2ك⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λنك){\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}

وتقييم متسلسلة ماكلورين لدوالأ{\displaystyle A}[ 59 ] على سبيل المثال، للحصول على أي قوة k منأ{\displaystyle A}كل ما نحتاجه هو الحسابدك{\displaystyle D^{k}}، اضرب من اليساردك{\displaystyle D^{k}}بواسطةم{\displaystyle M}ثم اضرب الناتج في الطرف الآخر بـم-1{\displaystyle M^{-1}}[ 60 ]​

باستخدام المتجهات الذاتية المعممة، يمكننا الحصول على الشكل الطبيعي لجوردان لـأ{\displaystyle A}ويمكن تعميم هذه النتائج إلى طريقة مباشرة لحساب دوال المصفوفات غير القابلة للتقطير. [ 61 ] (انظر دالة المصفوفة#تحليل جوردان ).

المعادلات التفاضلية

لنفترض مسألة حل نظام المعادلات التفاضلية الخطية العادية

أين

x=(x1(ت)x2(ت)⋮xن(ت))،x′=(x1′(ت)x2′(ت)⋮xن′(ت))،{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},}    و    أ=(أأناج).{\displaystyle A=(a_{ij}).}

إذا كانت المصفوفةأ{\displaystyle A}هي مصفوفة قطرية بحيثأأناج=0{\displaystyle a_{ij}=0}لأنا≠ج{\displaystyle i\neq j}ثم يختزل النظام ( 5 ) إلى نظام من n معادلة تأخذ الشكل التالي:

في هذه الحالة، يُعطى الحل العام بواسطة

x1=ك1هـأ11ت{\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}
x2=ك2هـأ22ت{\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}
⋮{\displaystyle \vdots }
xن=كنهـأننت.{\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.}

في الحالة العامة، نحاول أن نجعل المصفوفة قطرية.أ{\displaystyle A}واختزل النظام ( 5 ) إلى نظام مثل ( 6 ) كما يلي. إذاأ{\displaystyle A}لدينا مصفوفة قابلة للتقطير،د=م-1أم{\displaystyle D=M^{-1}AM}، أينم{\displaystyle M}هي مصفوفة نمطية لـأ{\displaystyle A}الاستبدالأ=مدم-1{\displaystyle A=MDM^{-1}}تأخذ المعادلة ( 5 ) الشكل التاليم-1x′=د(م-1x){\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )}، أو

أين

حل المعادلة ( 7 ) هو

y1=ك1هـλ1ت{\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}
y2=ك2هـλ2ت{\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}
⋮{\displaystyle \vdots }
yن=كنهـλنت.{\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.}

الحلx{\displaystyle \mathbf {x} }ثم يتم الحصول على ( 5 ) باستخدام العلاقة ( 8 ). [ 62 ]

من ناحية أخرى، إذاأ{\displaystyle A}بما أنه غير قابل للقطر، فإننا نختارم{\displaystyle M}لتكون مصفوفة نمطية معممة لـأ{\displaystyle A}بحيثج=م-1أم{\displaystyle J=M^{-1}AM}هل الأردن هو الشكل الطبيعي لـأ{\displaystyle A}النظامy′=جy{\displaystyle \mathbf {y} '=J\mathbf {y} }له الشكل

حيثλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}هي القيم الذاتية من القطر الرئيسي لـج{\displaystyle J}وϵأنا{\displaystyle \epsilon _{i}}هي الأصفار والآحاد من القطر العلوي لـج{\displaystyle J}غالبًا ما يكون حل النظام ( 9 ) أسهل من حل النظام ( 5 ). يمكننا حل المعادلة الأخيرة في ( 9 ) لإيجادyن{\displaystyle y_{n}}، الحصول علىyن=كنهـλنت{\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}ثم نستبدل هذا الحل بـyن{\displaystyle y_{n}}أدخل المعادلة قبل الأخيرة في ( 9 ) وحلها لإيجادyن-1{\displaystyle y_{n-1}}بمواصلة هذا الإجراء، نعمل على حل المعادلة ( 9 ) من المعادلة الأخيرة إلى الأولى، ونحل النظام بأكمله لإيجاد قيمة .y{\displaystyle \mathbf {y} }الحلx{\displaystyle \mathbf {x} }ثم يتم الحصول عليها باستخدام العلاقة ( 8 ). [ 63 ]

اللمة:

بالنظر إلى سلسلة المتجهات الذاتية المعممة التالية ذات الطولر،{\displaystyle r,}

X1=v1هـλت{\displaystyle X_{1}=v_{1}e^{\lambda t}}
X2=(تv1+v2)هـλت{\displaystyle X_{2}=(tv_{1}+v_{2})e^{\lambda t}}
X3=(ت22v1+تv2+v3)هـλت{\displaystyle X_{3}=\left({\frac {t^{2}}{2}}v_{1}+tv_{2}+v_{3}\right)e^{\lambda t}}
⋮{\displaystyle \vdots }
Xر=(تر-1(ر-1)!v1+...+ت22vر-2+تvر-1+vر)هـλت{\displaystyle X_{r}=\left({\frac {t^{r-1}}{(r-1)!}}v_{1}+...+{\frac {t^{2}}{2}}v_{r-2}+tv_{r-1}+v_{r}\right)e^{\lambda t}}،

تحل هذه الدوال نظام المعادلات،

X′=أX.{\displaystyle X'=AX.}

دليل:

يُعرِّف

v0=0{\displaystyle v_{0}=0}
Xج(ت)=هـλت∑أنا=1جتج-أنا(ج-أنا)!vأنا.{\displaystyle X_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}.}

ثم، كمات0=1{\displaystyle {t^{0}}=1}و1′=0{\displaystyle 1'=0}،

Xج′(ت)=هـλت∑أنا=1ج-1تج-أنا-1(ج-أنا-1)!vأنا+هـλتλ∑أنا=1جتج-أنا(ج-أنا)!vأنا{\displaystyle X'_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}.

من ناحية أخرى لدينا،v0=0{\displaystyle v_{0}=0}وهكذا

أXج(ت)=هـλت∑أنا=1جتج-أنا(ج-أنا)!أvأنا{\displaystyle AX_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}Av_{i}}
=هـλت∑أنا=1جتج-أنا(ج-أنا)!(vأنا-1+λvأنا){\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}(v_{i-1}+\lambda v_{i})}
=هـλت∑أنا=2جتج-أنا(ج-أنا)!vأنا-1+هـλتλ∑أنا=1جتج-أنا(ج-أنا)!vأنا{\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=2}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i-1}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}
=هـλت∑أنا=1ج-1تج-أنا-1(ج-أنا-1)!vأنا+هـλتλ∑أنا=1جتج-أنا(ج-أنا)!vأنا{\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}
=Xج′(ت){\displaystyle =X'_{j}(t)}

حسب الحاجة.

ملحوظات

  1. ↑ برونسون (1970 ، ص 189) 
  2. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص. 310) 
  3. ↑ نيرينج (1970 ، ص 118) 
  4. ^ جولوب وفان لون (1996 ، ص 316) 
  5. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص 319) 
  6. ↑ برونسون (1970 ، ص 194-195) 
  7. ^ جولوب وفان لون (1996 ، ص 311) 
  8. ↑ برونسون (1970 ، ص 196) 
  9. ↑ برونسون (1970 ، ص 189) 
  10. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص 316–318) 
  11. ↑ نيرينج (1970 ، ص 118) 
  12. ↑ برونسون (1970 ، ص 196) 
  13. ^ أنطون (1987 ، ص 301–302) 
  14. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص. 266) 
  15. ^ العبء والعروض (1993 ، ص. 401) 
  16. ^ جولوب وفان لون (1996 ، ص 310–311) 
  17. ↑ هاربر (1976 ، ص 58) 
  18. ↑ هيرستين (1964 ، ص 225) 
  19. ^ كريسيج (1972 ، ص 273، 684) 
  20. ↑ نيرينج (1970 ، ص 104) 
  21. ^ العبء والعروض (1993 ، ص. 401) 
  22. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص 270–274) 
  23. ↑ برونسون (1970 ، ص 179-183) 
  24. ↑ برونسون (1970 ، ص 181) 
  25. ↑ برونسون (1970 ، ص 179) 
  26. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص 270–274) 
  27. ↑ برونسون (1970 ، ص 179-183) 
  28. ↑ برونسون (1970 ، ص 189) 
  29. ↑ برونسون (1970 ، ص 190، 202) 
  30. ↑ برونسون (1970 ، ص 189، 203) 
  31. ↑ برونسون (1970 ، ص 206-207) 
  32. ↑ برونسون (1970 ، ص 205) 
  33. ↑ برونسون (1970 ، ص 196) 
  34. ↑ برونسون (1970 ، ص 189، 209-215) 
  35. ^ جولوب وفان لون (1996 ، ص 316) 
  36. ↑ هيرستين (1964 ، ص 259) 
  37. ↑ نيرينج (1970 ، ص 118) 
  38. ↑ نيرينج (1970 ، ص 118) 
  39. ↑ نيرينج (1970 ، ص 118) 
  40. ↑ هيرستين (1964 ، ص 261) 
  41. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص. 310) 
  42. ^ نيرينج (1970 ، ص 122، 123) 
  43. ↑ برونسون (1970 ، ص 189-209) 
  44. ↑ برونسون (1970 ، ص 194-195) 
  45. ↑ برونسون (1970 ، ص 196، 197) 
  46. ↑ برونسون (1970 ، ص 197، 198) 
  47. ↑ برونسون (1970 ، ص 190-191) 
  48. ↑ برونسون (1970 ، ص 197-198) 
  49. ↑ برونسون (1970 ، ص 205) 
  50. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص. 311) 
  51. ↑ كولين (1966 ، ص 114) 
  52. ↑ فرانكلين (1968 ، ص 122) 
  53. ↑ برونسون (1970 ، ص 207) 
  54. ↑ برونسون (1970 ، ص 208) 
  55. ↑ برونسون (1970 ، ص 206) 
  56. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص 57–61) 
  57. ↑ برونسون (1970 ، ص 104) 
  58. ↑ برونسون (1970 ، ص 105) 
  59. ↑ برونسون (1970 ، ص 184) 
  60. ↑ برونسون (1970 ، ص 185) 
  61. ↑ برونسون (1970 ، ص 209-218) 
  62. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص 274–275) 
  63. ^ بيوريجارد وفرالي (1973 ، ص 317) 

مراجع