الدالة التحليلية للمصفوفة

إذا كانت الدالة التحليلية f لها متسلسلة تايلور$${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots }$$ ثم دالة المصفوفة${\displaystyle A\mapsto f(A)}$يمكن تعريفها باستبدال x بمصفوفة مربعة : تصبح الأسس قوى مصفوفية ، وتصبح عمليات الجمع مجاميع مصفوفية، وتصبح عمليات الضرب بالمعاملات عمليات ضرب قياسية . إذا تقاربت المتسلسلة لـ${\displaystyle |x|<r}$ثم تتقارب متسلسلة المصفوفات المقابلة للمصفوفات A التي تحقق${\displaystyle \|A\|<r}$لبعض معايير المصفوفة التي تحقق${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$.

تكون المصفوفة المربعة A قابلة للتقطير ، إذا كانت هناك مصفوفة قابلة للعكس P بحيث${\displaystyle D=P^{-1}\,A\,P}$هي مصفوفة قطرية ، أي أن D لها الشكل $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}.}$$

مثل${\displaystyle A=P\,D\,P^{-1},}$من الطبيعي أن يتم تحديد $${\displaystyle f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &f(d_{n})\end{bmatrix}}\,P^{-1}.}$$

يمكن التحقق من أن المصفوفة f ( A ) لا تعتمد على اختيار معين لـ P.

على سبيل المثال، لنفترض أن المرء يبحث${\displaystyle \Gamma (A)=(A-1)!}$ل $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}.}$$

يمتلك المرء $${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~,}$$ ل $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}~.}$$

بتطبيق الصيغة نحصل ببساطة على $${\displaystyle \Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0.4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}~.}$$

على نفس المنوال، $${\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.}$$

جميع المصفوفات المعقدة، سواء كانت قابلة للتقطير أم لا، لها شكل طبيعي جورداني${\displaystyle A=P\,J\,P^{-1}}$حيث تتكون المصفوفة J من كتل جوردان . تُعرض الطريقة المناسبة بالتفصيل في القسم 1.2.2، الصفحات 4-7، من كتاب هايام (2008) باستخدام استيفاء هيرميت مع مصفوفة فاندرموند المتقاربة . لنفترض هذه الكتل منفصلة، ​​ولنطبق متسلسلة القوى على كتلة جوردان. $${\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\vdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}.}$$

يمكن استخدام هذا التعريف لتوسيع نطاق دالة المصفوفة ليشمل ما هو أبعد من مجموعة المصفوفات ذات نصف القطر الطيفي الأصغر من نصف قطر تقارب متسلسلة القوى. تجدر الإشارة إلى وجود صلة أيضاً بالفروق المقسمة .

ومن المفاهيم ذات الصلة تحليل جوردان-شيفالي الذي يعبر عن المصفوفة كمجموع جزء قابل للتقطير وجزء عديم القوة.

يمكن أيضًا استخدام صيغة كوشي التكاملية من التحليل المركب لتعميم الدوال العددية إلى دوال المصفوفات. تنص صيغة كوشي التكاملية على أنه لأي دالة تحليلية f معرفة على مجموعة D ⊂ C ، يكون لدينا $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {f(z)}{z-x}}\,\mathrm {d} z~,}$$ حيث C عبارة عن منحنى بسيط مغلق داخل المجال D الذي يحيط بـ x .

الآن، استبدل x بالمصفوفة A، وفكّر في مسار C داخل D يُحيط بجميع القيم الذاتية لـ A. إحدى الطرق الممكنة لتحقيق ذلك هي جعل C دائرة حول نقطة الأصل بنصف قطر أكبر من ‖A‖ لأي معيار مصفوفة ‖ · ‖ . عندئذٍ، يمكن تعريف f ( A ) كما يلي :$${\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)\left(zI-A\right)^{-1}\mathrm {d} z\,.}$$

يمكن حساب هذا التكامل عدديًا بسهولة باستخدام قاعدة شبه المنحرف ، والتي تتقارب أُسّيًا في هذه الحالة. وهذا يعني أن دقة النتيجة تتضاعف عند مضاعفة عدد العقد. في الحالات الروتينية، يتم تجاوز هذه المشكلة باستخدام صيغة سيلفستر .

تؤدي هذه الفكرة، عند تطبيقها على المؤثرات الخطية المحدودة على فضاء باناخ ، والتي يمكن اعتبارها مصفوفات لانهائية، إلى حساب التفاضل والتكامل الوظيفي الهولومورفي .

تسمح متسلسلة تايلور للقوى المذكورة أعلاه بالعدد القياسي${\displaystyle x}$ليتم استبدالها بالمصفوفة. هذا ليس صحيحًا بشكل عام عند التوسع بدلالة${\displaystyle A(\eta )=A+\eta B}$عن${\displaystyle \eta =0}$إلا إذا${\displaystyle [A,B]=0}$مثال مضاد هو${\displaystyle f(x)=x^{3}}$، والتي لها متسلسلة تايلور ذات طول محدود . نحسب ذلك بطريقتين،

• قانون التوزيع:$${\displaystyle f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^{2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}}$$
• استخدام متسلسلة تايلور العددية لـ${\displaystyle f(a+\eta b)}$واستبدال القيم العددية بالمصفوفات في النهاية:$${\displaystyle {\begin{aligned}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}+f''(a){\frac {(\eta b)^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}\\[.5em]&=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\\[.5em]&\to A^{3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\end{aligned}}}$$

يفترض التعبير القياسي خاصية التبديل بينما لا يفترض التعبير المصفوفي ذلك، وبالتالي لا يمكن مساواتهما مباشرة إلا إذا${\displaystyle [A,B]=0}$بالنسبة لبعض الدوال f ( x )، يمكن التعامل مع هذا باستخدام نفس طريقة متسلسلة تايلور العددية. على سبيل المثال،${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$. لو${\displaystyle A^{-1}}$موجود إذن${\displaystyle f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)}$ثم يتبع توسيع الحد الأول متسلسلة القوى المذكورة أعلاه.

$${\displaystyle f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}}$$

ثم تُطبق معايير تقارب متسلسلة القوى، مما يتطلب${\displaystyle \Vert \eta A^{-1}B\Vert }$يجب أن تكون صغيرة بما يكفي وفقًا لمعيار المصفوفة المناسب. أما بالنسبة للمسائل الأكثر عمومية، والتي لا يمكن إعادة كتابتها بحيث تتبادل المصفوفتان، فيجب تتبع ترتيب نواتج ضرب المصفوفات الناتجة عن التطبيق المتكرر لقاعدة لايبنيز.

يمكن تبسيط صيغة سيلفستر للدالة العشوائية f ( A ) لمصفوفة A من الرتبة 2×2 إلى $${\displaystyle f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-})}{2}}I+{\frac {A-\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I}{\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}}{\frac {f(\lambda _{+})-f(\lambda _{-})}{2}}~,}$$ أين${\displaystyle \lambda _{\pm }}$هي القيم الذاتية لمعادلتها المميزة، | A − λI | = 0 ، ويتم إعطاؤها بواسطة $${\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}.}$$ ومع ذلك، إذا كان هناك انحلال، يتم استخدام الصيغة التالية، حيث f' هي مشتقة f. $${\displaystyle f(A)=f\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I+\mathrm {adj} \left({\frac {tr(A)}{2}}I-A\right)f'\left({\frac {tr(A)}{2}}\right).}$$

• متعدد الحدود المصفوفي
• جذر المصفوفة
• اللوغاريتم المصفوفي
• مصفوفة أسية
• دالة إشارة المصفوفة ^{[ 1 ]}

تُسمى الدالة f دالة رتيبة إذا وفقط إذا${\displaystyle 0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)}$لجميع المصفوفات المترافقة ذاتيًا A و H ذات الأطياف في مجال f . وهذا مماثل للدالة الرتيبة في الحالة العددية.

تُسمى الدالة f دالة مقعرة للمؤثر إذا وفقط إذا$${\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)}$$ لجميع المصفوفات المترافقة ذاتيًا A و H ذات الأطياف في مجال f و${\displaystyle \tau \in [0,1]}$هذا التعريف مماثل للدالة العددية المقعرة . ويمكن تعريف دالة محدبة للمؤثر عن طريق التبديل.${\displaystyle \preceq }$ل${\displaystyle \succeq }$في التعريف أعلاه.

دالة اللوغاريتم المصفوفي رتيبة ومقعرة في آنٍ واحد. أما دالة التربيع المصفوفي فهي محدبة. بينما دالة الأسية المصفوفية ليست أيًا من هذه الدوال. تنص نظرية لوفنر على أن الدالة على فترة مفتوحة تكون رتيبة إذا وفقط إذا كان لها امتداد تحليلي إلى نصفي المستوى العقدي العلوي والسفلي بحيث يُسقط نصف المستوى العلوي على نفسه. ^{[ 2 ]}