دالة إشارة المصفوفة

يمكن اشتقاق تكرار نيوتن من خلال ملاحظة أن${\displaystyle \operatorname {csgn} (x)={\sqrt {x^{2}}}/x}$والتي يمكن كتابتها بدلالة المصفوفات على النحو التالي${\displaystyle \operatorname {csgn} (A)=A^{-1}{\sqrt {A^{2}}}}$حيث نستخدم الجذر التربيعي للمصفوفة . إذا طبقنا الطريقة البابلية لحساب الجذر التربيعي للمصفوفة${\displaystyle A^{2}}$أي التكرار${\textstyle X_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(X_{k}+A^{2}X_{k}^{-1}\right)}$، وتحديد التكرار الجديد${\displaystyle Z_{k}=A^{-1}X_{k}}$، نصل إلى التكرار

${\displaystyle Z_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Z_{k}^{-1}\right)}$،

حيث عادة${\displaystyle Z_{0}=A}$التقارب عالمي، ومحلياً يكون تربيعياً. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تستخدم طريقة نيوتن التكرارية المعكوس الصريح للتكرارات${\displaystyle Z_{k}}$.

لتجنب الحاجة إلى معكوس صريح يُستخدم في تكرار نيوتن، يمكن تقريب المعكوس بخطوة واحدة من تكرار نيوتن للمعكوس .${\displaystyle Z_{k}^{-1}\approx Z_{k}\left(2I-Z_{k}^{2}\right)}$، التي اشتقها شولتز ( دي ) في عام 1933. ^{[ 4 ]} وباستبدال هذا التقريب في الطريقة السابقة، تصبح الطريقة الجديدة

${\displaystyle Z_{k+1}={\frac {1}{2}}Z_{k}\left(3I-Z_{k}^{2}\right)}$.

التقارب (لا يزال) تربيعيًا، ولكنه محلي فقط (مضمون لـ${\displaystyle \|I-A^{2}\|<1}$). ^{[ 1 ]}

النظرية: ^{[ 2 ] [ 3 ]} ليكن${\displaystyle A,B,C\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$وافترض أن${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت مستقرة ، فإن الحل الوحيد لمعادلة سيلفستر هو${\displaystyle AX+XB=C}$، يتم تحديده بواسطة${\displaystyle X}$بحيث

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-I&2X\\0&I\end{bmatrix}}=\operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A&-C\\0&-B\end{bmatrix}}\right).}$

ملخص البرهان: النتيجة تتبع من تحويل التشابه

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&-C\\0&-B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I&X\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&-B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&X\\0&I\end{bmatrix}}^{-1},}$

منذ

${\displaystyle \operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A&-C\\0&-B\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}I&X\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-X\\0&I\end{bmatrix}},}$

بسبب استقرار${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$.

بطبيعة الحال، تنطبق هذه النظرية أيضًا على معادلة ليابونوف . ومع ذلك، نظرًا لبنية المعادلة، فإن تكرار نيوتن يتبسط ليقتصر على تضمين معكوسات فقط.${\displaystyle A}$و${\displaystyle A^{T}}$.

توجد نتيجة مماثلة تنطبق على معادلة ريكاتي الجبرية ،${\displaystyle A^{H}P+PA-PFP+Q=0}$[ ^{1 ] [ 2 ]} تعريف^​${\displaystyle V,W\in \mathbb {C} ^{2n\times n}}$مثل

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V&W\end{bmatrix}}=\operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A^{H}&Q\\F&-A\end{bmatrix}}\right)-{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}.}$

بافتراض أن${\displaystyle F,Q\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$هيرميتية ويوجد حل استقرار فريد ، بمعنى أن${\displaystyle A-FP}$إذا كان النظام مستقرًا ، فإن الحل يُعطى بواسطة النظام الخطي المُفرط التحديد ، ولكنه متسق .

${\displaystyle VP=-W.}$

مخطط البرهان: تحويل التشابه

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A^{H}&Q\\F&-A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P&-I\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-(A-FP)&-F\\0&(A-FP)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P&-I\\I&0\end{bmatrix}}^{-1},}$

واستقرار${\displaystyle A-FP}$يشير ذلك إلى أن

${\displaystyle \left(\operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A^{H}&Q\\F&-A\end{bmatrix}}\right)-{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}X&-I\\I&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X&-I\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&Y\\0&-2I\end{bmatrix}},}$

بالنسبة لبعض المصفوفات${\displaystyle Y\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$.

يمكن اشتقاق طريقة دينمان-بيفرز لإيجاد الجذر التربيعي لمصفوفة من طريقة نيوتن لإيجاد دالة إشارة المصفوفة، وذلك بملاحظة أن${\displaystyle A-PIP=0}$هي معادلة ريكاتي جبرية متدهورة ^{[ 3 ]} وهي، بحسب التعريف، حل${\displaystyle P}$هو الجذر التربيعي لـ${\displaystyle A}$.