حساب المصفوفات

في الرياضيات ، يُعدّ حساب المصفوفات أسلوبًا متخصصًا لإجراء حسابات متعددة المتغيرات ، لا سيما على فضاءات المصفوفات . فهو يجمع المشتقات الجزئية المختلفة لدالة واحدة بالنسبة إلى عدة متغيرات ، أو لدالة متعددة المتغيرات بالنسبة إلى متغير واحد، في متجهات ومصفوفات يمكن التعامل معها ككيانات منفردة. يُبسّط هذا الأمر بشكل كبير عمليات مثل إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة متعددة المتغيرات وحل أنظمة المعادلات التفاضلية . يُستخدم هذا الأسلوب بشكل شائع في الإحصاء والهندسة ، بينما يُفضّل استخدام أسلوب مؤشر الموتر في الفيزياء .

يقسم اصطلاحان متنافسان في كتابة الرموز مجال حساب المصفوفات إلى مجموعتين منفصلتين. ويمكن التمييز بين المجموعتين من خلال كيفية كتابة مشتقة كمية قياسية بالنسبة لمتجه، سواءً كان ذلك باستخدام متجه عمودي أو متجه صفي . كلا الاصطلاحين ممكن حتى مع افتراض أن المتجهات تُعامل كمتجهات عمودية عند دمجها مع المصفوفات (بدلاً من متجهات صفية). قد يكون هناك اصطلاح واحد شائع الاستخدام في مجال واحد يستخدم حساب المصفوفات (مثل الاقتصاد القياسي ، والإحصاء، ونظرية التقدير ، والتعلم الآلي ). مع ذلك، حتى ضمن المجال الواحد، قد نجد مؤلفين مختلفين يستخدمون اصطلاحات متنافسة. غالبًا ما يكتب مؤلفو المجموعتين كما لو أن اصطلاحاتهم الخاصة هي المعيار. وقد ينتج عن دمج نتائج مؤلفين مختلفين دون التحقق بدقة من استخدام رموز متوافقة أخطاء جسيمة. تجدون تعريفات هذين الاصطلاحين ومقارنات بينهما في قسم اصطلاحات التنسيق .

نِطَاق

يشير حساب المصفوفات إلى مجموعة من الرموز المختلفة التي تستخدم المصفوفات والمتجهات لحساب مشتقة كل عنصر من عناصر المتغير التابع بالنسبة لكل عنصر من عناصر المتغير المستقل. بشكل عام، يمكن أن يكون المتغير المستقل عددًا قياسيًا أو متجهًا أو مصفوفة، بينما يمكن أن يكون المتغير التابع أيًا من هذه العناصر. كل حالة مختلفة تستدعي مجموعة قواعد مختلفة، أو حسابًا منفصلاً ، بالمعنى الأوسع للمصطلح. يُعدّ رمز المصفوفات وسيلةً ملائمةً لجمع المشتقات المتعددة بطريقة منظمة.

كمثال أولي، لننظر إلى التدرج من حساب المتجهات . بالنسبة لدالة قياسية لثلاثة متغيرات مستقلة، $f(x_{1},x_{2},x_{3})$ ، ويُعطى التدرج بواسطة المعادلة المتجهة

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\hat {x}}_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\hat {x}}_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}{\hat {x}}_{3},

أين ${\hat {x}}_{i}$ يمثل متجه وحدة في $x_{i}$ اتجاه لـ $1\leq i\leq 3$ يمكن اعتبار هذا النوع من المشتقات المعممة بمثابة مشتقة كمية قياسية، f ، بالنسبة إلى متجه. $\mathbf {x}$ ويمكن جمع نتائجها بسهولة في شكل متجه.

\displaystyle \nabla f=\left(\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right)^{\mathsf {T}}=\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial f}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial f}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.}

من الأمثلة الأكثر تعقيدًا مشتقة دالة قياسية بالنسبة لمصفوفة، والمعروفة بمصفوفة التدرج ، والتي تجمع المشتقة بالنسبة لكل عنصر من عناصر المصفوفة في الموضع المقابل في المصفوفة الناتجة. في هذه الحالة، يجب أن تكون الدالة القياسية دالة لكل متغير من المتغيرات المستقلة في المصفوفة. كمثال آخر، إذا كان لدينا متجه ذو $n$ عنصر من المتغيرات التابعة، أو دوال، لـ $m$ متغير مستقل، فيمكننا النظر في مشتقة المتجه التابع بالنسبة للمتجه المستقل. يمكن تجميع النتيجة في مصفوفة $m \times n$ تتكون من جميع تركيبات المشتقات الممكنة.

يوجد تسعة احتمالات إجمالاً باستخدام الكميات العددية والمتجهات والمصفوفات. لاحظ أنه كلما زاد عدد المكونات في كل من المتغيرات المستقلة والتابعة، زاد عدد الاحتمالات بشكل كبير. تم تجميع الأنواع الستة من المشتقات التي يمكن تنظيمها بشكل أكثر دقة في شكل مصفوفة في الجدول التالي. ^{[ 1 ]}

أنواع مشتقات المصفوفات
الأنواع	كمية قياسية	متجه	المصفوفة
كمية قياسية	${\frac {\partial y}{\partial x}}$	${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}$	${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}}$
متجه	${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }}$	${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}$
المصفوفة	${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}$

استخدمنا هنا مصطلح "المصفوفة" بمعناه العام، مع العلم أن المتجهات هي ببساطة مصفوفات ذات عمود واحد (والكميات العددية هي ببساطة متجهات ذات صف واحد). كما استخدمنا الأحرف الغامقة للدلالة على المتجهات والأحرف الكبيرة الغامقة للمصفوفات. ويُستخدم هذا الترميز في جميع أجزاء النص.

لاحظ أنه يمكننا أيضًا الحديث عن مشتقة متجه بالنسبة لمصفوفة، أو أي من الخلايا غير المملوءة الأخرى في جدولنا. مع ذلك، تُنظَّم هذه المشتقات بشكل طبيعي في موتر ذي رتبة أعلى من 2، لذا فهي لا تتناسب تمامًا مع المصفوفة. في الأقسام الثلاثة التالية، سنُعرِّف كل مشتقة من هذه المشتقات ونربطها بفروع أخرى من الرياضيات. راجع قسم اصطلاحات التنسيق للاطلاع على جدول أكثر تفصيلًا.

العلاقة بالمشتقات الأخرى

يُعدّ مشتق المصفوفة رمزًا ملائمًا لتتبع المشتقات الجزئية في الحسابات. أما مشتق فريشيه فهو الطريقة القياسية في التحليل الوظيفي لحساب المشتقات بالنسبة للمتجهات. في حالة كون دالة مصفوفة لمصفوفة قابلة للتفاضل وفقًا لفريشيه، فإن المشتقين يتطابقان مع اختلاف الرموز. وكما هو الحال عمومًا بالنسبة للمشتقات الجزئية ، قد تمتد بعض الصيغ في ظل شروط تحليلية أضعف من مجرد وجود المشتقة، لتقريبها من دالة خطية.

الاستخدامات

يُستخدم حساب المصفوفات لاستنتاج المُقدِّرات العشوائية المثلى، وغالبًا ما يتضمن ذلك استخدام مُضاعِفات لاغرانج . ويشمل ذلك اشتقاق ما يلي:

الترميز

تستفيد مشتقات المتجهات والمصفوفات المعروضة في الأقسام التالية استفادةً كاملةً من ترميز المصفوفات ، حيث يُستخدم متغير واحد لتمثيل عدد كبير من المتغيرات. سنميز فيما يلي بين الكميات العددية والمتجهات والمصفوفات من خلال نوع الخط المستخدم. سنرمز إلى فضاء المصفوفات الحقيقية من الرتبة $n$ $\times$ $m، والتي تتكون من$ $n$ صفًا و $m عمودًا، بالرمز$ $M (n, m)$ . تُرمز هذه المصفوفات بأحرف كبيرة غامقة: $A$ ، $X$ ، $Y$ ، إلخ. يُرمز إلى عنصر من $M$ $($ $n$ $,1)$ ، أي متجه عمودي ، بحرف صغير غامق: $a$ ، $x$ ، $y$ ، إلخ. أما عنصر $M$ $(1,1)$ فهو كمية عددية، ويُرمز إليه بحرف صغير مائل: $a$ ، $t$ ، $x$ ، إلخ. يرمز $X$ $<sub>T</sub>$ إلى منقولة المصفوفة ، $وtr($ $X$ $)$ هو أثرها ، و $det($ $X$ $)$ أو $|$ $X$ $|$ هو محددها . تُفترض جميع الدوال من فئة التفاضل $C1 ما لم يُذكر خلاف ذلك. عمومًا$ $،$ تُستخدم الأحرف من النصف الأول من الأبجدية (a، b، c، ...) للدلالة على الثوابت، ومن النصف الثاني (t، x، y، ...) للدلالة على المتغيرات.

ملاحظة : كما ذُكر أعلاه، توجد طرقٌ مختلفةٌ لتمثيل أنظمة المشتقات الجزئية في المتجهات والمصفوفات، ولا يبدو أن هناك معيارًا موحدًا حتى الآن. يستخدم القسمان التمهيديان التاليان اصطلاح تمثيل البسط فقط لتسهيل الشرح وتجنب تعقيده. يتناول القسم الذي يليهما اصطلاحات التمثيل بمزيد من التفصيل. من المهم إدراك ما يلي:

على الرغم من استخدام مصطلحي "ترتيب البسط" و"ترتيب المقام"، إلا أن هناك في الواقع أكثر من خيارين ممكنين للترميز. والسبب هو أن اختيار البسط مقابل المقام (أو في بعض الحالات، البسط مقابل المختلط) يمكن أن يتم بشكل مستقل لمشتقات العددية والمتجهة، والمتجهة والعددية، والمتجهة والمتجهة، والعددية والمصفوفة، ويقوم عدد من المؤلفين بمزج وتنسيق خيارات الترتيب بطرق مختلفة.
لا يعني اختيار تنسيق البسط في الأقسام التمهيدية أدناه أنه الخيار "الصحيح" أو "الأفضل". فلكل نوع من أنواع التنسيق مزايا وعيوب. وقد ينتج عن دمج الصيغ المكتوبة بتنسيقات مختلفة دون عناية أخطاء جسيمة، كما أن التحويل من تنسيق إلى آخر يتطلب دقة لتجنب الأخطاء. لذا، عند العمل مع الصيغ الموجودة، يُفضل تحديد التنسيق المستخدم والالتزام به، بدلاً من محاولة استخدام التنسيق نفسه في جميع الحالات.

البدائل

يُشابه ترميز مؤشر الموتر، مع اصطلاح جمع أينشتاين الخاص به ، حساب المصفوفات إلى حد كبير، باستثناء أنه يُكتب عنصر واحد فقط في كل مرة. تكمن ميزته في سهولة التعامل مع الموترات ذات الرتب العالية، بينما يصعب التعامل مع الموترات ذات الرتب الأعلى من اثنين باستخدام ترميز المصفوفات. يمكن إنجاز جميع العمليات المذكورة هنا باستخدام هذا الترميز دون الحاجة إلى ترميز المصفوفات أحادي المتغير. مع ذلك، فإن العديد من المسائل في نظرية التقدير ومجالات أخرى من الرياضيات التطبيقية ستؤدي إلى عدد كبير جدًا من المؤشرات يصعب تتبعها، مما يُرجّح استخدام حساب المصفوفات في تلك المجالات. كما يُمكن أن يكون ترميز أينشتاين مفيدًا جدًا في إثبات المتطابقات المعروضة هنا (انظر قسم التفاضل ) كبديل لترميز العناصر التقليدي، الذي قد يصبح مُرهقًا عند إجراء عمليات الجمع الصريحة. تجدر الإشارة إلى أنه يُمكن اعتبار المصفوفة موترًا من الرتبة اثنين.

المشتقات مع المتجهات

لأن المتجهات عبارة عن مصفوفات ذات عمود واحد فقط، فإن أبسط مشتقات المصفوفات هي مشتقات المتجهات.

تتيح الرموز المطورة هنا استيعاب العمليات المعتادة لحساب المتجهات من خلال تحديد الفضاء $M (n,1)$ للمتجهات ذات $البعد n$ مع الفضاء الإقليدي $R n$ ، ويتم تحديد الكمية العددية $M (1,1) مع$ $R.$ ويُشار إلى المفهوم المقابل من حساب المتجهات في نهاية كل قسم فرعي.

ملاحظة : يفترض النقاش في هذا القسم استخدام اصطلاح تنسيق البسط لأغراض تعليمية. يستخدم بعض المؤلفين اصطلاحات مختلفة. يتناول قسم اصطلاحات التنسيق هذه المسألة بمزيد من التفصيل. تُعرض المتطابقات الواردة لاحقًا بصيغ يمكن استخدامها مع جميع اصطلاحات التنسيق الشائعة.

تحويل المتجهات إلى قيم عددية

مشتقة المتجه $\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{m}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$ ، بواسطة عدد قياسي $x$ يُكتب (في تدوين تخطيط البسط ) على النحو التالي

{\frac {d\mathbf {y} }{dx}}={\begin{bmatrix}{\frac {dy_{1}}{dx}}\\{\frac {dy_{2}}{dx}}\\\vdots \\{\frac {dy_{m}}{dx}}\\\end{bmatrix}}.

في حساب المتجهات، يُعرف مشتق المتجه $y$ بالنسبة إلى عدد قياسي $x باسم$ متجه المماس للمتجه $y$ . ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}$ لاحظ هنا أن $y : R 1 \to R m$ .

من الأمثلة البسيطة على ذلك متجه السرعة في الفضاء الإقليدي ، وهو متجه المماس لمتجه الموضع (باعتباره دالةً للزمن). كذلك، فإن التسارع هو متجه المماس للسرعة.

التحويل العددي بواسطة المتجه

مشتقة كمية قياسية $بالنسبة$ لمتجه $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$ ، تُكتب (في تدوين تخطيط البسط ) على النحو التالي

{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.

في حساب المتجهات ، يكون تدرج حقل قياسي $f : R n \to R$ (الذي إحداثياته المستقلة هي مكونات $x$ ) هو منقول مشتقة عدد قياسي بواسطة متجه.

\nabla f={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}=\left({\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right)^{\mathsf {T}}

على سبيل المثال، في الفيزياء، المجال الكهربائي هو التدرج المتجهي السالب للجهد الكهربائي .

يتم تعريف المشتق الاتجاهي لدالة قياسية $f (x)$ لمتجه الفضاء $x$ في اتجاه متجه الوحدة $u$ (الممثل في هذه الحالة كمتجه عمودي) باستخدام التدرج على النحو التالي.

\nabla _{\mathbf {u} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {u}

باستخدام الترميز الذي تم تعريفه للتو لمشتقة كمية قياسية بالنسبة لمتجه، يمكننا إعادة كتابة المشتقة الاتجاهية على النحو التالي: $\nabla _{\mathbf {u} }f={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {u} .$ سيكون هذا النوع من الترميز مفيدًا عند إثبات قواعد الضرب وقواعد السلسلة التي تبدو مشابهة لما نعرفه عن المشتق القياسي .

متجهًا تلو الآخر

يمكن اعتبار كلتا الحالتين السابقتين تطبيقًا لمشتقة متجه بالنسبة لمتجه آخر، باستخدام متجه من العدد واحد. وبالمثل، سنجد أن المشتقات التي تتضمن المصفوفات ستُختزل إلى مشتقات تتضمن المتجهات بطريقة مماثلة.

مشتقة دالة متجهة (متجه تكون مكوناته دوال) $\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{m}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$ بالنسبة لمتجه الإدخال، $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$ ، تُكتب (في تدوين تخطيط البسط ) على النحو التالي

{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\\\end{bmatrix}}.

في حساب المتجهات ، يُعرف مشتق دالة متجهة $y$ بالنسبة لمتجه $x$ الذي تمثل مكوناته فضاءً باسم الدفع الأمامي (أو التفاضلي) ، أو مصفوفة جاكوبي .

يُعطى الدفع الأمامي على طول دالة متجهة $f$ بالنسبة للمتجه $v$ في $R n بالصيغة التالية:$ $d\mathbf {f} (\mathbf {v} )={\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}d\mathbf {v} .$

المشتقات باستخدام المصفوفات

يوجد نوعان من المشتقات التي يمكن تنظيمها في مصفوفة من نفس الحجم، وهما مشتقة المصفوفة بالنسبة لعدد قياسي، ومشتقة العدد القياسي بالنسبة للمصفوفة. تُعدّ هذه المشتقات مفيدة في مسائل التصغير الموجودة في العديد من مجالات الرياضيات التطبيقية، وقد أُطلق عليها اسم مصفوفة المماس ومصفوفة التدرج على التوالي، نسبةً إلى نظائرها في المتجهات.

ملاحظة : يفترض النقاش في هذا القسم استخدام اصطلاح تنسيق البسط لأغراض تعليمية. يستخدم بعض المؤلفين اصطلاحات مختلفة. يتناول قسم اصطلاحات التنسيق هذه المسألة بمزيد من التفصيل. تُعرض المتطابقات الواردة لاحقًا بصيغ يمكن استخدامها مع جميع اصطلاحات التنسيق الشائعة.

المصفوفة بالعدد القياسي

مشتقة دالة المصفوفة $Y$ بالنسبة إلى عدد قياسي $x$ تُعرف باسم مصفوفة الظل، وتُعطى (في تدوين تخطيط البسط ) بالصيغة التالية:

{\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{11}}{\partial x}}&{\frac {\partial y_{12}}{\partial x}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1n}}{\partial x}}\\{\frac {\partial y_{21}}{\partial x}}&{\frac {\partial y_{22}}{\partial x}}&\cdots &{\frac {\partial y_{2n}}{\partial x}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m1}}{\partial x}}&{\frac {\partial y_{m2}}{\partial x}}&\cdots &{\frac {\partial y_{mn}}{\partial x}}\\\end{bmatrix}}.

التحويل العددي بواسطة المصفوفة

مشتقة الدالة العددية $y$ ، بالنسبة لمصفوفة $X$ من المتغيرات المستقلة ذات الرتبة $p \times q$ ، تُعطى (باستخدام ترميز ترتيب البسط ) بالصيغة التالية:

{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y}{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial y}{\partial x_{21}}}&\cdots &{\frac {\partial y}{\partial x_{p1}}}\\{\frac {\partial y}{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial y}{\partial x_{22}}}&\cdots &{\frac {\partial y}{\partial x_{p2}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y}{\partial x_{1q}}}&{\frac {\partial y}{\partial x_{2q}}}&\cdots &{\frac {\partial y}{\partial x_{pq}}}\\\end{bmatrix}}.

من الأمثلة المهمة للدوال العددية للمصفوفات أثر المصفوفة والمحدد .

على غرار حساب المتجهات، غالباً ما تُكتب هذه المشتقة على النحو التالي.

\nabla _{\mathbf {X} }y(\mathbf {X} )={\frac {\partial y(\mathbf {X} )}{\partial \mathbf {X} }}

وبالمثل، كما هو الحال في حساب المتجهات ، فإن المشتقة الاتجاهية لدالة قياسية $f (X)$ لمصفوفة $X$ في اتجاه المصفوفة $Y$ تُعطى بالعلاقة التالية:

\nabla _{\mathbf {Y} }f=\operatorname {tr} \left({\frac {\partial f}{\partial \mathbf {X} }}\mathbf {Y} \right).

إن مصفوفة التدرج، على وجه الخصوص، هي التي تجد العديد من الاستخدامات في مشاكل التقليل في نظرية التقدير ، وخاصة في اشتقاق خوارزمية مرشح كالمان ، والتي لها أهمية كبيرة في هذا المجال.

مشتقات المصفوفة الأخرى

الأنواع الثلاثة من المشتقات التي لم تُؤخذ في الاعتبار هي تلك التي تتضمن مشتقات المتجهات والمصفوفات، ومشتقات المصفوفات والمتجهات، ومشتقات المصفوفات والمصفوفات. لا تحظى هذه الأنواع باهتمام واسع، كما لا يوجد اتفاق موحد على رموزها.

اصطلاحات التخطيط

يتناول هذا القسم أوجه التشابه والاختلاف بين اصطلاحات الترميز المستخدمة في مختلف المجالات التي تستفيد من حساب المصفوفات. ورغم وجود اصطلاحين متسقين إلى حد كبير، يجد بعض المؤلفين أنه من الأنسب دمج الاصطلاحين في الصيغ الموضحة أدناه. بعد هذا القسم، سيتم سرد المعادلات بكلتا الصيغتين المتنافستين على حدة.

المسألة الأساسية هي أن مشتقة متجه بالنسبة لمتجه آخر، أي ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}$ غالبًا ما تُكتب المعادلة بطريقتين متنافستين. إذا كان البسط $y$ من الحجم $m$ والمقام $x$ من الحجم n ، فيمكن تمثيل النتيجة إما كمصفوفة $m \times n$ أو مصفوفة $n \times m$ ، أي أن عناصر $y$ $m$ مرتبة في صفوف وعناصر x $n$ $مرتبة$ في أعمدة، أو العكس. وهذا يؤدي إلى الاحتمالات التالية:

تخطيط البسط ، أي التخطيط وفقًا لـ $y$ و $x T$ (أي عكس $x$ ). يُعرف هذا أحيانًا بصيغة جاكوبيان . يتوافق هذا مع تخطيط $m \times n$ في المثال السابق، مما يعني أن رقم الصف ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}$ يساوي حجم البسط $\mathbf {y}$ ورقم العمود من ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}$ يساوي حجم $x T.$
ترتيب المقام ، أي الترتيب وفقًا لـ $y و$ x (أي عكس y ). يُعرف هذا أحيانًا بصيغة هيسيان $.$ يُطلق بعض المؤلفين على هذا الترتيب اسم التدرج ، تمييزًا له عن جاكوبيان (ترتيب البسط)، وهو منقوله. (مع ذلك، يُقصد بالتدرج عادةً المشتقة) . ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }},$ بغض النظر عن التخطيط). وهذا يتوافق مع تخطيط n×m في المثال السابق، مما يعني أن رقم الصف لـ ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}$ يساوي حجم $x$ (المقام).
ثمة احتمال ثالث يُلاحظ أحيانًا، وهو الإصرار على كتابة المشتقة على النحو التالي: ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} '}},$ (أي أن المشتقة تُحسب بالنسبة لمنقولة $x$ ) وتتبع ترتيب البسط. وهذا يُتيح الادعاء بأن المصفوفة مُرتبة وفقًا لكلٍ من البسط والمقام. عمليًا، تُنتج هذه الطريقة نتائج مماثلة لترتيب البسط.

عند التعامل مع التدرج ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }}$ والحالة المعاكسة ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}},$ لدينا نفس المشاكل. وللحفاظ على الاتساق، ينبغي علينا القيام بأحد الإجراءات التالية:

إذا اخترنا تخطيط البسط لـ ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }},$ ينبغي أن نرسم التدرج ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }}$ كمتجه صف، و ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}$ كمتجه عمودي.
إذا اخترنا تخطيط المقام لـ ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }},$ ينبغي أن نرسم التدرج ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }}$ كمتجه عمودي، و ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}$ كمتجه صف.
في الاحتمال الثالث أعلاه، نكتب ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} '}}$ و ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}},$ واستخدم تخطيط البسط.

لا تتسم جميع كتب الرياضيات وأبحاثها بالاتساق في هذا الصدد. بمعنى آخر، تُستخدم أحيانًا اصطلاحات مختلفة في سياقات مختلفة ضمن الكتاب أو البحث نفسه. على سبيل المثال، يختار البعض تنسيق المقام للتدرجات (بعرضها كمتجهات عمودية)، بينما يختارون تنسيق البسط للمشتقة المتجهة. ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}.$

وبالمثل، عندما يتعلق الأمر بالمشتقات العددية بواسطة المصفوفة ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}$ والمشتقات العددية للمصفوفة ${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}},$ ثم يتم ترتيب البسط بشكل متسق وفقًا لـ $Y$ و $X T$ ، بينما يتم ترتيب المقام بشكل متسق وفقًا لـ $Y T$ و $X.$ ومع ذلك، عمليًا، يتم اتباع ترتيب المقام لـ ${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}},$ ونادرًا ما يُرى عرض النتيجة وفقًا لـ $Y T$ ، لأنه يُنتج صيغًا معقدة لا تتوافق مع الصيغ العددية. ونتيجةً لذلك، غالبًا ما نجد التنسيقات التالية:

تخطيط بسط ثابت ، والذي يوضح ${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}}$ وفقًا لـ $Y$ و ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}$ وفقًا لـ $X T.$
التصميم المختلط ، الذي يحدد ${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}}$ وفقًا لـ $Y$ و ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}$ وفقًا لـ $X.$
استخدم الترميز ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} '}},$ بنتائج مماثلة لترتيب البسط المتسق.

في الصيغ التالية، سنتناول التركيبات الخمسة الممكنة. ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }},{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}},{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }},{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}$ و ${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}}$ بشكل منفصل. نتناول أيضًا حالات المشتقات العددية التي تتضمن متجهًا أو مصفوفة وسيطة. (قد يحدث هذا، على سبيل المثال، إذا تم تعريف منحنى وسيطي متعدد الأبعاد بدلالة متغير عددي، ثم تم حساب مشتقة دالة عددية للمنحنى بالنسبة للمتغير العددي الذي يُمثل المنحنى). لكل تركيبة من التركيبات المختلفة، نقدم نتائج بتنسيق البسط وتنسيق المقام، باستثناء الحالات المذكورة أعلاه حيث نادرًا ما يُستخدم تنسيق المقام. في الحالات التي تتضمن مصفوفات حيث يكون ذلك منطقيًا، نقدم نتائج بتنسيق البسط ونتائج التنسيق المختلط. كما ذُكر أعلاه، فإن الحالات التي تُكتب فيها مقامات المتجهات والمصفوفات بصيغة النقل تُكافئ تنسيق البسط مع كتابة المقامات بدون النقل.

ضع في اعتبارك أن المؤلفين يستخدمون تركيبات مختلفة للبسط والمقام لأنواع المشتقات المختلفة، وليس هناك ما يضمن استخدام المؤلف لتركيبة واحدة للبسط أو المقام لجميع الأنواع. قارن الصيغ أدناه مع تلك المذكورة في المصدر لتحديد التركيبة المستخدمة لهذا النوع من المشتقات، ولكن احذر من افتراض أن مشتقات الأنواع الأخرى تتبع بالضرورة نفس التركيبة.

عند حساب المشتقات باستخدام مقام إجمالي (متجه أو مصفوفة) لإيجاد قيمة عظمى أو صغرى للمُجمّع، يجب مراعاة أن استخدام ترتيب البسط سينتج عنه نتائج منقولة بالنسبة للمُجمّع. على سبيل المثال، عند محاولة إيجاد تقدير الاحتمال الأقصى لتوزيع طبيعي متعدد المتغيرات باستخدام حساب المصفوفات، إذا كان المجال عبارة عن متجه عمودي k × 1، فإن النتيجة باستخدام ترتيب البسط ستكون على شكل متجه صف 1 × k . لذا، يجب إما نقل النتائج في النهاية أو استخدام ترتيب المقام (أو الترتيب المختلط).

نتيجة التمييز بين أنواع مختلفة من الركام وأنواع أخرى من الركام
		كمية قياسية $y$		متجه عمودي $y$ (بحجم $m \times 1$ )		المصفوفة $Y$ (بحجم $m \times n$ )
		الترميز	يكتب	الترميز	يكتب	الترميز	يكتب
عدد قياسي $س$	البسط	${\frac {\partial y}{\partial x}}$	كمية قياسية	${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}$	حجم متجه عمودي $متري$	${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}}$	مصفوفة $m$ $\times$ $n$
عدد قياسي $س$	المقام	${\frac {\partial y}{\partial x}}$	كمية قياسية	${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}$	حجم - متجه صف متر	${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}}$
متجه عمودي $x$ (بحجم $n \times 1$ )	البسط	${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }}$	متجه صف بحجم $n$	${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}$	مصفوفة $m$ $\times$ $n$	${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial \mathbf {x} }}$
متجه عمودي $x$ (بحجم $n \times 1$ )	المقام	${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }}$	متجه عمودي بحجم $n$	${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}$	مصفوفة من الرتبة $n$ $\times$ $m$	${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial \mathbf {x} }}$
المصفوفة $X$ (بحجم $p \times q$ )	البسط	${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}$	مصفوفة $q$ $\times$ $p$	${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {X} }}$		${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial \mathbf {X} }}$
المصفوفة $X$ (بحجم $p \times q$ )	المقام	${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}$	مصفوفة $p$ $\times$ $q$	${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {X} }}$		${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial \mathbf {X} }}$

سيتم تبديل نتائج العمليات عند التبديل بين تدوين البسط وتدوين المقام.

تدوين تخطيط البسط

باستخدام تدوين تخطيط البسط، لدينا: ^{[ 1 ]}

{\begin{aligned}{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }}&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.\\{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x}}\\{\frac {\partial y_{2}}{\partial x}}\\\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x}}\\\end{bmatrix}}.\\{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\\\end{bmatrix}}.\\{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y}{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial y}{\partial x_{21}}}&\cdots &{\frac {\partial y}{\partial x_{p1}}}\\{\frac {\partial y}{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial y}{\partial x_{22}}}&\cdots &{\frac {\partial y}{\partial x_{p2}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y}{\partial x_{1q}}}&{\frac {\partial y}{\partial x_{2q}}}&\cdots &{\frac {\partial y}{\partial x_{pq}}}\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

التعريفات التالية مُقدمة فقط بصيغة البسط:

{\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}}&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{11}}{\partial x}}&{\frac {\partial y_{12}}{\partial x}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1n}}{\partial x}}\\{\frac {\partial y_{21}}{\partial x}}&{\frac {\partial y_{22}}{\partial x}}&\cdots &{\frac {\partial y_{2n}}{\partial x}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m1}}{\partial x}}&{\frac {\partial y_{m2}}{\partial x}}&\cdots &{\frac {\partial y_{mn}}{\partial x}}\\\end{bmatrix}}.\\d\mathbf {X} &={\begin{bmatrix}dx_{11}&dx_{12}&\cdots &dx_{1n}\\dx_{21}&dx_{22}&\cdots &dx_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\dx_{m1}&dx_{m2}&\cdots &dx_{mn}\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

تدوين تخطيط المقام

باستخدام تدوين تخطيط المقام، لدينا: ^{[ 2 ]}

{\begin{aligned}{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }}&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\\\vdots \\{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\\\end{bmatrix}}.\\{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x}}\end{bmatrix}}.\\{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{2}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{n}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\\\end{bmatrix}}.\\{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y}{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial y}{\partial x_{12}}}&\cdots &{\frac {\partial y}{\partial x_{1q}}}\\{\frac {\partial y}{\partial x_{21}}}&{\frac {\partial y}{\partial x_{22}}}&\cdots &{\frac {\partial y}{\partial x_{2q}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y}{\partial x_{p1}}}&{\frac {\partial y}{\partial x_{p2}}}&\cdots &{\frac {\partial y}{\partial x_{pq}}}\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

الهويات

كما ذكر أعلاه، بشكل عام، سيتم تبديل نتائج العمليات عند التبديل بين تدوين البسط وتدوين المقام.

لفهم جميع المتطابقات أدناه، تذكر أهم القواعد: قاعدة السلسلة ، وقاعدة الضرب ، وقاعدة الجمع . تنطبق قاعدة الجمع بشكل عام، بينما تنطبق قاعدة الضرب في معظم الحالات المذكورة أدناه، بشرط الحفاظ على ترتيب ضرب المصفوفات، لأن ضرب المصفوفات ليس تبادليًا. تنطبق قاعدة السلسلة في بعض الحالات، ولكنها للأسف لا تنطبق على مشتقات المصفوفة بالنسبة إلى عدد قياسي أو مشتقات العدد بالنسبة إلى المصفوفة (في الحالة الأخيرة، يتعلق الأمر غالبًا بمؤثر الأثر المطبق على المصفوفات). في الحالة الأخيرة، لا يمكن تطبيق قاعدة الضرب بشكل مباشر أيضًا، ولكن يمكن إيجاد المكافئ لها بمزيد من الجهد باستخدام المتطابقات التفاضلية.

تعتمد الهويات التالية الاصطلاحات التالية:

الكميات القياسية $a$ و $b$ و $c$ و $d$ و $e$ ثابتة بالنسبة لـ، والكميات القياسية $u$ و $v$ هي دوال لأحد $x$ أو $x$ أو $X$ ؛
المتجهات $a$ و $b$ و $c$ و $d$ و $e$ ثابتة بالنسبة لـ، والمتجهات $u$ و $v$ هي دوال لأحد $x$ أو $x$ أو $X$ ؛
المصفوفات $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E$ ثابتة بالنسبة لـ ، والمصفوفات $U$ و $V$ هي دوال لأحد $x$ أو $x$ أو $X.$

متطابقات المتجهات

يتم تقديم هذا أولاً لأن جميع العمليات التي تنطبق على التفاضل المتجهي تنطبق مباشرة على التفاضل المتجهي القياسي أو القياسي المتجهي ببساطة عن طريق اختزال المتجه المناسب في البسط أو المقام إلى كمية قياسية.

المتطابقات: متجهًا تلو الآخر ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}$
حالة	تعبير	تخطيط البسط، أي حسب $y$ و $x T$	ترتيب المقام، أي بواسطة $y T$ و $x$
$a$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {0}$
	${\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {I}$
$A$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial \mathbf {A} \mathbf {x} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {A}$	$\mathbf {A} ^{\top }$
$A$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial \mathbf {x} ^{\top }\mathbf {A} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {A} ^{\top }$	$\mathbf {A}$
$a$ ليست دالة لـ $x$ ، $u = u (x)$	${\frac {\partial a\mathbf {u} }{\partial \,\mathbf {x} }}=$	$a{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}$
$v = v (x)$ ، $و a$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial v\mathbf {a} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {a} {\frac {\partial v}{\partial \mathbf {x} }}$	${\frac {\partial v}{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {a} ^{\top }$
$v = v (x)$ , $u = u (x)$	${\frac {\partial v\mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$v{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}+\mathbf {u} {\frac {\partial v}{\partial \mathbf {x} }}$	$v{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {\partial v}{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {u} ^{\top }$
$A$ ليست دالة لـ $x$ ، $u = u (x)$	${\frac {\partial \mathbf {A} \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {A} {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}$	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {A} ^{\top }$
$u = u (x)$ , $v = v (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {u} +\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {x} }}=$	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}$
$u = u (x)$	${\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {x} }}=$	${\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}$	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}{\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}$
$u = u (x)$	${\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {u} ))}{\partial \mathbf {x} }}=$	${\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {g} )}{\partial \mathbf {g} }}{\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}$	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}{\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {g} )}{\partial \mathbf {g} }}$

متطابقات القياس بالمتجه

تُوضع الهويات الأساسية فوق الخط الأسود السميك.

الهويات: الكمية العددية بواسطة المتجه ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {x} }}=\nabla _{\mathbf {x} }y$
حالة	تعبير	تخطيط البسط، أي حسب $x T$ ؛ والنتيجة هي متجه صفي	تخطيط المقام، أي حسب $x$ ؛ والنتيجة هي متجه عمودي
$a$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial a}{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {0} ^{\top }$ ^{[ ملاحظة 1 ]}	$\mathbf {0}$ ^{[ ملاحظة 1 ]}
$a$ ليست دالة لـ $x$ ، $u = u (x)$	${\frac {\partial au}{\partial \mathbf {x} }}=$	$a{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {x} }}$
$u = u (x)$ , $v = v (x)$	${\frac {\partial (u+v)}{\partial \mathbf {x} }}=$	${\frac {\partial u}{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {\partial v}{\partial \mathbf {x} }}$
$u = u (x)$ , $v = v (x)$	${\frac {\partial uv}{\partial \mathbf {x} }}=$	$u{\frac {\partial v}{\partial \mathbf {x} }}+v{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {x} }}$
$u = u (x)$	${\frac {\partial g(u)}{\partial \mathbf {x} }}=$	${\frac {\partial g(u)}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {x} }}$
$u = u (x)$	${\frac {\partial f(g(u))}{\partial \mathbf {x} }}=$	${\frac {\partial f(g)}{\partial g}}{\frac {\partial g(u)}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {x} }}$
$u = u (x)$ , $v = v (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\partial \mathbf {u} ^{\top }\mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {u} ^{\top }{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}+\mathbf {v} ^{\top }{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}$ ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }},{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}$ في تخطيط البسط	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {v} +{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {u}$ ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }},{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}$ في تخطيط المقام
$u = u (x)$ , $v = v (x)$ , $A$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial (\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} \mathbf {v} )}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\partial \mathbf {u} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {u} ^{\top }\mathbf {A} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}+\mathbf {v} ^{\top }\mathbf {A} ^{\top }{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}$ ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }},{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}$ في تخطيط البسط	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {A} \mathbf {v} +{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {u}$ ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }},{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}$ في تخطيط المقام
	${\frac {\partial ^{2}f}{\partial \mathbf {x} \partial \mathbf {x} ^{\top }}}=$	$\mathbf {H} ^{\top }$	$\mathbf {H}$ ، مصفوفة هيسيان ^{[ 3 ]}
$a$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial (\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\partial (\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} )}{\partial \mathbf {x} }}=$ ${\frac {\partial \mathbf {a} ^{\top }\mathbf {x} }{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\partial \mathbf {x} ^{\top }\mathbf {a} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {a} ^{\top }$	$\mathbf {a}$
$A$ ليست دالة لـ $x،$ $و b$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial \mathbf {b} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {x} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {A}$	$\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {b}$
$A$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial \mathbf {x} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {x} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {x} ^{\top }\left(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\top }\right)$	$\left(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\top }\right)\mathbf {x}$
$A$ ليست دالة لـ $x،$ $و A$ متناظرة .	${\frac {\partial \mathbf {x} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {x} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$2\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {A}$	$2\mathbf {A} \mathbf {x}$
$A$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial ^{2}\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {x} }{\partial \mathbf {x} \partial \mathbf {x} ^{\top }}}=$	$\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\top }$
$A$ ليست دالة لـ $x،$ $و A$ متناظرة .	${\frac {\partial ^{2}\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {x} }{\partial \mathbf {x} \partial \mathbf {x} ^{\top }}}=$	$2\mathbf {A}$
	${\frac {\partial (\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\partial \mathbf {x} ^{\top }\mathbf {x} }{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\partial \left\Vert \mathbf {x} \right\Vert ^{2}}{\partial \mathbf {x} }}=$	$2\mathbf {x} ^{\top }$	$2\mathbf {x}$
$a$ ليست دالة لـ $x$ ، $u = u (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\partial \mathbf {a} ^{\top }\mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}=$	$\mathbf {a} ^{\top }{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}$ ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}$ في تخطيط البسط	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}\mathbf {a}$ ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {x} }}$ في تخطيط المقام
$a$ و $b$ ليستا دالتين لـ $x$	${\frac {\partial \;{\textbf {a}}^{\top }{\textbf {x}}{\textbf {x}}^{\top }{\textbf {b}}}{\partial \;{\textbf {x}}}}=$	${\textbf {x}}^{\top }\left({\textbf {a}}{\textbf {b}}^{\top }+{\textbf {b}}{\textbf {a}}^{\top }\right)$	$\left({\textbf {a}}{\textbf {b}}^{\top }+{\textbf {b}}{\textbf {a}}^{\top }\right){\textbf {x}}$
$A$ و $b$ و $C$ و $D$ و $e$ ليست دوالًا لـ $x$	${\frac {\partial \;({\textbf {A}}{\textbf {x}}+{\textbf {b}})^{\top }{\textbf {C}}({\textbf {D}}{\textbf {x}}+{\textbf {e}})}{\partial \;{\textbf {x}}}}=$	$({\textbf {D}}{\textbf {x}}+{\textbf {e}})^{\top }{\textbf {C}}^{\top }{\textbf {A}}+({\textbf {A}}{\textbf {x}}+{\textbf {b}})^{\top }{\textbf {C}}{\textbf {D}}$	${\textbf {D}}^{\top }{\textbf {C}}^{\top }({\textbf {A}}{\textbf {x}}+{\textbf {b}})+{\textbf {A}}^{\top }{\textbf {C}}({\textbf {D}}{\textbf {x}}+{\textbf {e}})$
$a$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial \;\\|\mathbf {x} -\mathbf {a} \\|}{\partial \;\mathbf {x} }}=$	${\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\top }}{\\|\mathbf {x} -\mathbf {a} \\|}}$	${\frac {\mathbf {x} -\mathbf {a} }{\\|\mathbf {x} -\mathbf {a} \\|}}$

متطابقات المتجهات مع القيم العددية

الهويات: متجه-بمقياس عددي ${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}$
حالة	تعبير	تخطيط البسط، أي حسب $y$ ، والنتيجة هي متجه عمودي	تخطيط المقام، أي حسب $y T$ ، والنتيجة هي متجه صفي
$a$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}=$	$\mathbf {0}$ ^{[ ملاحظة 1 ]}
$a$ ليست دالة لـ $x$ ، $u = u (x)$	${\frac {\partial a\mathbf {u} }{\partial x}}=$	$a{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}$
$A$ ليست دالة لـ x ، $u = u (x)$	${\frac {\partial \mathbf {A} \mathbf {u} }{\partial x}}=$	$\mathbf {A} {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}$	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}\mathbf {A} ^{\top }$
$u = u (x)$	${\frac {\partial \mathbf {u} ^{\top }}{\partial x}}=$	$\left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}\right)^{\top }$
$u = u (x)$ , $v = v (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {u} +\mathbf {v} )}{\partial x}}=$	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}$
$u = u (x)$ , $v = v (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {u} ^{\top }\times \mathbf {v} )}{\partial x}}=$	$\left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}\right)^{\top }\times \mathbf {v} +\mathbf {u} ^{\top }\times {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}$	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}\times \mathbf {v} +\mathbf {u} ^{\top }\times \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}\right)^{\top }$
$u = u (x)$	${\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial x}}=$	${\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}$	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}{\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}$
$u = u (x)$		يفترض هذا النموذج تخطيطًا مصفوفيًا متسقًا؛ انظر أدناه.
$u = u (x)$	${\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {u} ))}{\partial x}}=$	${\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {g} )}{\partial \mathbf {g} }}{\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}$	${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}{\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {g} )}{\partial \mathbf {g} }}$
$u = u (x)$		يفترض هذا النموذج تخطيطًا مصفوفيًا متسقًا؛ انظر أدناه.
$U = U (x)$ , $v = v (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {U} \times \mathbf {v} )}{\partial x}}=$	${\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\times \mathbf {v} +\mathbf {U} \times {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}$	$\mathbf {v} ^{\top }\times \left({\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}\times \mathbf {U} ^{\top }$

ملاحظة : الصيغ التي تتضمن مشتقات المتجهات ${\frac {\partial \mathbf {g} (\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}$ و ${\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {g} )}{\partial \mathbf {g} }}$ (التي تكون مخرجاتها عبارة عن مصفوفات) تفترض أن المصفوفات مرتبة بما يتوافق مع تخطيط المتجه، أي مصفوفة تخطيط البسط عندما يكون متجه تخطيط البسط والعكس صحيح؛ وإلا، قم بتبديل المشتقات من متجه إلى متجه.

متطابقات القياس بالمصفوفة

لاحظ أنه لا توجد مكافئات دقيقة لقاعدة الضرب القياسي وقاعدة السلسلة عند تطبيقها على الدوال المصفوفية التي تُعطى بقيم مصفوفية. مع ذلك، تنطبق قاعدة الضرب من هذا النوع على الصيغة التفاضلية (انظر أدناه)، وهذه هي الطريقة لاستنتاج العديد من المتطابقات أدناه التي تتضمن دالة الأثر ، بالإضافة إلى حقيقة أن دالة الأثر تسمح بالتبديل والتحويل الدوري، أي:

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )&=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A^{\top }} \right)\\\operatorname {tr} (\mathbf {ABCD} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {BCDA} )=\operatorname {tr} (\mathbf {CDAB} )=\operatorname {tr} (\mathbf {DABC} )\end{aligned}}

على سبيل المثال، لحساب ${\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {AXBX^{\top }C} )}{\partial \mathbf {X} }}:$ ${\begin{aligned}d\operatorname {tr} (\mathbf {AXBX^{\top }C} )&=d\operatorname {tr} \left(\mathbf {CAXBX^{\top }} \right)=\operatorname {tr} \left(d\left(\mathbf {CAXBX^{\top }} \right)\right)\\[1ex]&=\operatorname {tr} \left(\mathbf {CAX} d(\mathbf {BX^{\top }} \right)+d\left(\mathbf {CAX} )\mathbf {BX^{\top }} \right)\\[1ex]&=\operatorname {tr} \left(\mathbf {CAX} d\left(\mathbf {BX^{\top }} \right)\right)+\operatorname {tr} \left(d(\mathbf {CAX} )\mathbf {BX^{\top }} \right)\\[1ex]&=\operatorname {tr} \left(\mathbf {CAXB} d\left(\mathbf {X^{\top }} \right)\right)+\operatorname {tr} \left(\mathbf {CA} (d\mathbf {X} )\mathbf {BX^{\top }} \right)\\[1ex]&=\operatorname {tr} \left(\mathbf {CAXB} (d\mathbf {X} )^{\top }\right)+\operatorname {tr} (\mathbf {CA} \left(d\mathbf {X} )\mathbf {BX^{\top }} \right)\\[1ex]&=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {CAXB} (d\mathbf {X} )^{\top }\right)^{\top }\right)+\operatorname {tr} \left(\mathbf {CA} (d\mathbf {X} )\mathbf {BX^{\top }} \right)\\[1ex]&=\operatorname {tr} \left((d\mathbf {X} )\mathbf {B^{\top }X^{\top }A^{\top }C^{\top }} \right)+\operatorname {tr} \left(\mathbf {CA} (d\mathbf {X} )\mathbf {BX^{\top }} \right)\\[1ex]&=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B^{\top }X^{\top }A^{\top }C^{\top }} (d\mathbf {X} )\right)+\operatorname {tr} \left(\mathbf {BX^{\top }} \mathbf {CA} (d\mathbf {X} )\right)\\[1ex]&=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {B^{\top }X^{\top }A^{\top }C^{\top }} +\mathbf {BX^{\top }} \mathbf {CA} \right)d\mathbf {X} \right)\\[1ex]&=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {CAXB} +\mathbf {A^{\top }C^{\top }XB^{\top }} \right)^{\top }d\mathbf {X} \right)\end{aligned}}$

لذلك،

{\frac {\partial \operatorname {tr} \left(\mathbf {AXBX^{\top }C} \right)}{\partial \mathbf {X} }}=\mathbf {B^{\top }X^{\top }A^{\top }C^{\top }} +\mathbf {BX^{\top }CA} .

(تخطيط البسط)

{\frac {\partial \operatorname {tr} \left(\mathbf {AXBX^{\top }C} \right)}{\partial \mathbf {X} }}=\mathbf {CAXB} +\mathbf {A^{\top }C^{\top }XB^{\top }} .

(ترتيب المقام)

(للاطلاع على الخطوة الأخيرة، انظر قسم التحويل من الصيغة التفاضلية إلى الصيغة المشتقة .)

الهويات: عددية بواسطة مصفوفة ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}$
حالة	تعبير	تخطيط البسط، أي بواسطة $X T$	ترتيب المقام، أي حسب $X$
$a$ ليست دالة لـ $X$	${\frac {\partial a}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {0} ^{\top }$ ^{[ ملاحظة 2 ]}	$\mathbf {0}$ ^{[ ملاحظة 2 ]}
$a$ ليست دالة لـ $X$ ، $u = u (X)$	${\frac {\partial au}{\partial \mathbf {X} }}=$	$a{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {X} }}$
$u = u (X)$ , $v = v (X)$	${\frac {\partial (u+v)}{\partial \mathbf {X} }}=$	${\frac {\partial u}{\partial \mathbf {X} }}+{\frac {\partial v}{\partial \mathbf {X} }}$
$u = u (X)$ , $v = v (X)$	${\frac {\partial uv}{\partial \mathbf {X} }}=$	$u{\frac {\partial v}{\partial \mathbf {X} }}+v{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {X} }}$
$u = u (X)$	${\frac {\partial g(u)}{\partial \mathbf {X} }}=$	${\frac {\partial g(u)}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {X} }}$
$u = u (X)$	${\frac {\partial f(g(u))}{\partial \mathbf {X} }}=$	${\frac {\partial f(g)}{\partial g}}{\frac {\partial g(u)}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {X} }}$
$U = U (X)$	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial g(\mathbf {U} )}{\partial X_{ij}}}=$	$\operatorname {tr} \left({\frac {\partial g(\mathbf {U} )}{\partial \mathbf {U} }}{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial X_{ij}}}\right)$	$\operatorname {tr} \left(\left({\frac {\partial g(\mathbf {U} )}{\partial \mathbf {U} }}\right)^{\top }{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial X_{ij}}}\right)$
$U = U (X)$		يفترض كلا الشكلين تخطيط البسط لـ ${\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial X_{ij}}},$ أي التخطيط المختلط إذا تم استخدام تخطيط المقام لـ $X.$
$a$ و $b$ ليستا دالتين لـ $X$	${\frac {\partial \mathbf {a} ^{\top }\mathbf {X} \mathbf {b} }{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }$	$\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }$
$a$ و $b$ ليستا دالتين لـ $X$	${\frac {\partial \mathbf {a} ^{\top }\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {b} }{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }$	$\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }$
$a$ و $b$ ليستا دالتين لـ $X$ ، $و f(v)$ دالة قابلة للتفاضل ذات قيم حقيقية	${\frac {\partial f(\mathbf {Xa+b} )}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {a} {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}$	${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\mathbf {a} ^{\top }$
$a$ و $b$ و $C$ ليست دوال لـ $X$	${\frac {\partial (\mathbf {X} \mathbf {a} +\mathbf {b} )^{\top }\mathbf {C} (\mathbf {X} \mathbf {a} +\mathbf {b} )}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\left(\left(\mathbf {C} +\mathbf {C} ^{\top }\right)(\mathbf {X} \mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {a} ^{\top }\right)^{\top }$	$\left(\mathbf {C} +\mathbf {C} ^{\top }\right)(\mathbf {X} \mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {a} ^{\top }$
$a$ و $b$ و $C$ ليست دوال لـ $X$	${\frac {\partial (\mathbf {X} \mathbf {a} )^{\top }\mathbf {C} (\mathbf {X} \mathbf {b} )}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\left(\mathbf {C} \mathbf {X} \mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }+\mathbf {C} ^{\top }\mathbf {X} \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }\right)^{\top }$	$\mathbf {C} \mathbf {X} \mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }+\mathbf {C} ^{\top }\mathbf {X} \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }$
	${\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {X} )}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {I}$
$U = U (X)$ , $V = V (X)$	${\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {U} +\mathbf {V} )}{\partial \mathbf {X} }}=$	${\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {U} )}{\partial \mathbf {X} }}+{\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {V} )}{\partial \mathbf {X} }}$
$a$ ليست دالة لـ $X$ ، $U = U (X)$	${\frac {\partial \operatorname {tr} (a\mathbf {U} )}{\partial \mathbf {X} }}=$	$a{\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {U} )}{\partial \mathbf {X} }}$
$g (X)$ هي أي متعددة حدود ذات معاملات قياسية، أو أي دالة مصفوفية معرفة بواسطة متسلسلة متعددة الحدود لانهائية (مثل $e^X$ ، $sin(X)$ ، $cos(X)$ ، $ln(X)$ ، إلخ، باستخدام متسلسلة تايلور )؛ $g (x)$ هي الدالة القياسية المكافئة، و $g' (x)$ هي مشتقتها، و $g' (X)$ هي الدالة المصفوفية المقابلة.	${\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {g(X)} )}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {g} '(\mathbf {X} )$	$\left(\mathbf {g} '(\mathbf {X} )\right)^{\top }$
$A$ ليست دالة لـ $X$	^{[ 4 ]} ${\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {AX} )}{\partial \mathbf {X} }}={\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {XA} )}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {A}$	$\mathbf {A} ^{\top }$
$A$ ليست دالة لـ $X$	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \operatorname {tr} \left(\mathbf {AX^{\top }} \right)}{\partial \mathbf {X} }}={\frac {\partial \operatorname {tr} \left(\mathbf {X^{\top }A} \right)}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {A} ^{\top }$	$\mathbf {A}$
$A$ ليست دالة لـ $X$	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \operatorname {tr} \left(\mathbf {X^{\top }AX} \right)}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {X} ^{\top }\left(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\top }\right)$	$\left(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\top }\right)\mathbf {X}$
$A$ ليست دالة لـ $X$	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {X^{-1}A} )}{\partial \mathbf {X} }}=$	$-\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {X} ^{-1}$	$-\left(\mathbf {X} ^{-1}\right)^{\top }\mathbf {A} ^{\top }\left(\mathbf {X} ^{-1}\right)^{\top }$
$A$ و $B$ ليستا دالتين لـ $X$	${\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {AXB} )}{\partial \mathbf {X} }}={\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {BAX} )}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {BA}$	$\mathbf {A^{\top }B^{\top }}$
$A$ و $B$ و $C$ ليست دوالًا لـ $X$	${\frac {\partial \operatorname {tr} \left(\mathbf {AXBX^{\top }C} \right)}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\mathbf {BX^{\top }CA} +\mathbf {B^{\top }X^{\top }A^{\top }C^{\top }}$	$\mathbf {A^{\top }C^{\top }XB^{\top }} +\mathbf {CAXB}$
$n$ عدد صحيح موجب	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{n}\right)}{\partial \mathbf {X} }}=$	$n\mathbf {X} ^{n-1}$	$n\left(\mathbf {X} ^{n-1}\right)^{\top }$
$A$ ليست دالة لـ $X$ ، $و n$ عدد صحيح موجب	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {X} ^{n}\right)}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\sum _{i=0}^{n-1}\mathbf {X} ^{i}\mathbf {A} \mathbf {X} ^{n-i-1}$	$\sum _{i=0}^{n-1}\left(\mathbf {X} ^{i}\mathbf {A} \mathbf {X} ^{n-i-1}\right)^{\top }$
	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \operatorname {tr} \left(e^{\mathbf {X} }\right)}{\partial \mathbf {X} }}=$	$e^{\mathbf {X} }$	$\left(e^{\mathbf {X} }\right)^{\top }$
	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \operatorname {tr} (\sin(\mathbf {X} ))}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\cos(\mathbf {X} )$	$(\cos(\mathbf {X} ))^{\top }$
	^{[ 5 ]} ${\frac {\partial \|\mathbf {X} \|}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\operatorname {cofactor} (X)^{\top }=\|\mathbf {X} \|\mathbf {X} ^{-1}$	$\operatorname {cofactor} (X)=\|\mathbf {X} \|\left(\mathbf {X} ^{-1}\right)^{\top }$
$a$ ليست دالة لـ $X$	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \ln \|a\mathbf {X} \|}{\partial \mathbf {X} }}=$ ^{[ ملاحظة 3 ]}	$\mathbf {X} ^{-1}$	$\left(\mathbf {X} ^{-1}\right)^{\top }$
$A$ و $B$ ليستا دالتين لـ $X$	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \|\mathbf {AXB} \|}{\partial \mathbf {X} }}=$	$\|\mathbf {AXB} \|\mathbf {X} ^{-1}$	$\|\mathbf {AXB} \|\left(\mathbf {X} ^{-1}\right)^{\top }$
$n$ عدد صحيح موجب	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \left\|\mathbf {X} ^{n}\right\|}{\partial \mathbf {X} }}=$	$n\left\|\mathbf {X} ^{n}\right\|\mathbf {X} ^{-1}$	$n\left\|\mathbf {X} ^{n}\right\|\left(\mathbf {X} ^{-1}\right)^{\top }$
(انظر المعكوس الزائف )	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \ln \left\|\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right\|}{\partial \mathbf {X} }}=$	$2\mathbf {X} ^{+}$	$2\left(\mathbf {X} ^{+}\right)^{\top }$
(انظر المعكوس الزائف )	^{[ 3 ]} ${\frac {\partial \ln \left\|\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right\|}{\partial \mathbf {X} ^{+}}}=$	$-2\mathbf {X}$	$-2\mathbf {X} ^{\top }$
$A$ ليست دالة لـ $X$ ، $و X$ مربع وقابل للعكس	${\frac {\partial \left\|\mathbf {X^{\top }} \mathbf {A} \mathbf {X} \right\|}{\partial \mathbf {X} }}=$	$2\left\|\mathbf {X^{\top }} \mathbf {A} \mathbf {X} \right\|\mathbf {X} ^{-1}=2\left\|\mathbf {X^{\top }} \right\|\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {X} \|\mathbf {X} ^{-1}$	$2\left\|\mathbf {X^{\top }} \mathbf {A} \mathbf {X} \right\|\left(\mathbf {X} ^{-1}\right)^{\top }$
$A$ ليست دالة لـ $X$ ، $وX$ ليست مربعة، $وA$ متناظرة	${\frac {\partial \left\|\mathbf {X^{\top }} \mathbf {A} \mathbf {X} \right\|}{\partial \mathbf {X} }}=$	$2\left\|\mathbf {X^{\top }} \mathbf {A} \mathbf {X} \right\|\left(\mathbf {X^{\top }A^{\top }X} \right)^{-1}\mathbf {X^{\top }A^{\top }}$	$2\left\|\mathbf {X^{\top }} \mathbf {A} \mathbf {X} \right\|\mathbf {AX} \left(\mathbf {X^{\top }AX} \right)^{-1}$
$A$ ليست دالة لـ $X$ ، $وX$ ليست مربعة، $وA$ غير متناظرة	${\frac {\partial \|\mathbf {X^{\top }} \mathbf {A} \mathbf {X} \|}{\partial \mathbf {X} }}=$	${\begin{aligned}\left\|\mathbf {X^{\top }} \mathbf {A} \mathbf {X} \right\|{\Big (}&\left(\mathbf {X^{\top }AX} \right)^{-1}\mathbf {X^{\top }A} +{}\\&\left(\mathbf {X^{\top }A^{\top }X} \right)^{-1}\mathbf {X^{\top }A^{\top }} {\Big )}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\left\|\mathbf {X^{\top }} \mathbf {A} \mathbf {X} \right\|{\Big (}&\mathbf {AX} \left(\mathbf {X^{\top }AX} \right)^{-1}+{}\\&\mathbf {A^{\top }X} \left(\mathbf {X^{\top }A^{\top }X} \right)^{-1}{\Big )}\end{aligned}}$

متطابقات المصفوفة بالعدد القياسي

الهويات: المصفوفة بالعدد القياسي ${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}}$
حالة	تعبير	تخطيط البسط، أي حسب $Y$
$U = U (x)$	${\frac {\partial a\mathbf {U} }{\partial x}}=$	$a{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}$
$A$ و $B$ ليستا دالتين لـ x ، $U = U (x)$	${\frac {\partial \mathbf {AUB} }{\partial x}}=$	$\mathbf {A} {\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\mathbf {B}$
$U = U (x)$ , $V = V (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {U} +\mathbf {V} )}{\partial x}}=$	${\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial x}}$
$U = U (x)$ , $V = V (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {U} \mathbf {V} )}{\partial x}}=$	$\mathbf {U} {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\mathbf {V}$
$U = U (x)$ , $V = V (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {U} \otimes \mathbf {V} )}{\partial x}}=$	$\mathbf {U} \otimes {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\otimes \mathbf {V}$
$U = U (x)$ , $V = V (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {U} \circ \mathbf {V} )}{\partial x}}=$	$\mathbf {U} \circ {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\circ \mathbf {V}$
$U = U (x)$	${\frac {\partial \mathbf {U} ^{-1}}{\partial x}}=$	$-\mathbf {U} ^{-1}{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\mathbf {U} ^{-1}$
$U = U (x, y)$	${\frac {\partial ^{2}\mathbf {U} ^{-1}}{\partial x\partial y}}=$	$\mathbf {U} ^{-1}\left({\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\mathbf {U} ^{-1}{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}\mathbf {U} }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial y}}\mathbf {U} ^{-1}{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\right)\mathbf {U} ^{-1}$
ليست $A دالة لـ$ $x$ ، $و g (X)$ هي أي متعددة حدود ذات معاملات قياسية، أو أي دالة مصفوفية معرفة بواسطة متسلسلة متعددة الحدود لانهائية (مثل $e^X$ ، $sin(X)$ ، $cos(X)$ ، $ln(X)$ ، إلخ)؛ و $g (x)$ هي الدالة القياسية المكافئة، و $g' (x)$ هي مشتقتها، و $g' (X)$ هي الدالة المصفوفية المقابلة.	${\frac {\partial \,\mathbf {g} (x\mathbf {A} )}{\partial x}}=$	$\mathbf {A} \mathbf {g} '(x\mathbf {A} )=\mathbf {g} '(x\mathbf {A} )\mathbf {A}$
$A$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial e^{x\mathbf {A} }}{\partial x}}=$	$\mathbf {A} e^{x\mathbf {A} }=e^{x\mathbf {A} }\mathbf {A}$

الهويات القياسية

مع وجود المتجهات

المتطابقات: كمية قياسية تلو الأخرى، مع تضمين المتجهات
حالة	تعبير	أي تخطيط (بافتراض أن الضرب النقطي يتجاهل تخطيط الصف مقابل تخطيط العمود)
$u = u (x)$	${\frac {\partial g(\mathbf {u} )}{\partial x}}=$	${\frac {\partial g(\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}$
$u = u (x)$ , $v = v (x)$	${\frac {\partial (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{\partial x}}=$	$\mathbf {u} \cdot {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}\cdot \mathbf {v}$

مع المصفوفات المعنية

الهويات: قياسية تلو الأخرى، مع المصفوفات المعنية ^{[ 3 ]}
حالة	تعبير	ترتيب البسط بشكل متسق، أي بواسطة $Y$ و $X T$	تخطيط مختلط، أي حسب $Y$ و $X$
$U = U (x)$	${\frac {\partial \|\mathbf {U} \|}{\partial x}}=$	$\|\mathbf {U} \|\operatorname {tr} \left(\mathbf {U} ^{-1}{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\right)$
$U = U (x)$	${\frac {\partial \ln \|\mathbf {U} \|}{\partial x}}=$	$\operatorname {tr} \left(\mathbf {U} ^{-1}{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\right)$
$U = U (x)$	${\frac {\partial ^{2}\|\mathbf {U} \|}{\partial x^{2}}}=$	$\left\|\mathbf {U} \right\|\left[\operatorname {tr} \left(\mathbf {U} ^{-1}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {U} }{\partial x^{2}}}\right)+\operatorname {tr} ^{2}\left(\mathbf {U} ^{-1}{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\right)-\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {U} ^{-1}{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\right)^{2}\right)\right]$
$U = U (x)$	${\frac {\partial g(\mathbf {U} )}{\partial x}}=$	$\operatorname {tr} \left({\frac {\partial g(\mathbf {U} )}{\partial \mathbf {U} }}{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\right)$	$\operatorname {tr} \left(\left({\frac {\partial g(\mathbf {U} )}{\partial \mathbf {U} }}\right)^{\top }{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial x}}\right)$
$A$ ليست دالة لـ $x$ ، $g (X)$ هي أي متعددة حدود ذات معاملات قياسية، أو أي دالة مصفوفة معرفة بواسطة سلسلة متعددة الحدود اللانهائية (مثل $e X$ ، $sin(X)$ ، $cos(X)$ ، $ln(X)$ ، إلخ)؛ $g (x)$ هي الدالة القياسية المكافئة، $g' (x)$ هي مشتقتها، و $g' (X)$ هي دالة المصفوفة المقابلة.	${\frac {\partial \operatorname {tr} (\mathbf {g} (x\mathbf {A} ))}{\partial x}}=$	$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {g} '(x\mathbf {A} )\right)$
$A$ ليست دالة لـ $x$	${\frac {\partial \operatorname {tr} \left(e^{x\mathbf {A} }\right)}{\partial x}}=$	$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} e^{x\mathbf {A} }\right)$

الهويات في شكل تفاضلي

غالباً ما يكون من الأسهل العمل بالصيغة التفاضلية ثم التحويل إلى المشتقات العادية. لا ينجح هذا إلا باستخدام ترتيب البسط. في هذه القواعد، $a$ كمية قياسية.

المتطابقات التفاضلية: كمية قياسية تتضمن مصفوفة ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}
تعبير	النتيجة (تخطيط البسط)
$d(\operatorname {tr} (\mathbf {X} ))=$	$\operatorname {tr} (d\mathbf {X} )$
$d(\|\mathbf {X} \|)=$	$\|\mathbf {X} \|\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{-1}d\mathbf {X} \right)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (\mathbf {X} )d\mathbf {X} )$
$d(\ln \|\mathbf {X} \|)=$	$\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{-1}d\mathbf {X} \right)$

المتطابقات التفاضلية: المصفوفة ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}
حالة	تعبير	النتيجة (تخطيط البسط)
A ليست دالة لـ $X$	$d(\mathbf {A} )=$	$0$
a ليست دالة لـ $X$	$d(a\mathbf {X} )=$	$a\,d\mathbf {X}$
	$d(\mathbf {X} +\mathbf {Y} )=$	$d\mathbf {X} +d\mathbf {Y}$
	$d(\mathbf {X} \mathbf {Y} )=$	$(d\mathbf {X} )\mathbf {Y} +\mathbf {X} (d\mathbf {Y} )$
( منتج كرونيكر )	$d(\mathbf {X} \otimes \mathbf {Y} )=$	$(d\mathbf {X} )\otimes \mathbf {Y} +\mathbf {X} \otimes (d\mathbf {Y} )$
( منتج هادامارد )	$d(\mathbf {X} \circ \mathbf {Y} )=$	$(d\mathbf {X} )\circ \mathbf {Y} +\mathbf {X} \circ (d\mathbf {Y} )$
	$d\left(\mathbf {X} ^{\top }\right)=$	$(d\mathbf {X} )^{\top }$
	$d\left(\mathbf {X} ^{-1}\right)=$	$-\mathbf {X} ^{-1}\left(d\mathbf {X} \right)\mathbf {X} ^{-1}$
( المرافق المنقول )	$d\left(\mathbf {X} ^{\mathrm {H} }\right)=$	$(d\mathbf {X} )^{\mathrm {H} }$
$n$ عدد صحيح موجب	$d\left(\mathbf {X} ^{n}\right)=$	$\sum _{i=0}^{n-1}\mathbf {X} ^{i}(d\mathbf {X} )\mathbf {X} ^{n-i-1}$
	$d\left(e^{\mathbf {X} }\right)=$	$\int _{0}^{1}e^{a\mathbf {X} }(d\mathbf {X} )e^{(1-a)\mathbf {X} }\,da$
	$d\left(\log {X}\right)=$	$\int _{0}^{\infty }(\mathbf {X} +z\,\mathbf {I} )^{-1}(d\mathbf {X} )(\mathbf {X} +z\,\mathbf {I} )^{-1}\,dz$
$\mathbf {X} =\sum _{i}\lambda _{i}\mathbf {P} _{i}$ قابل للقطر $\mathbf {P} _{i}\mathbf {P} _{j}=\delta _{ij}\mathbf {P} _{i}$ $الدالة f$ قابلة للتفاضل عند كل قيمة ذاتية $\lambda _{i}$	$d\left(f(\mathbf {X} )\right)=$	$\sum _{ij}\mathbf {P} _{i}(d\mathbf {X} )\mathbf {P} _{j}{\begin{cases}f'(\lambda _{i})&\lambda _{i}=\lambda _{j}\\{\frac {f(\lambda _{i})-f(\lambda _{j})}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&\lambda _{i}\neq \lambda _{j}\end{cases}}$

في الصف الأخير، $\delta _{ij}$ دلتا كرونكر و $(\mathbf {P} _{k})_{ij}=(\mathbf {Q} )_{ik}(\mathbf {Q} ^{-1})_{kj}$ هي مجموعة عوامل الإسقاط المتعامد التي تُسقط على المتجه الذاتي رقم $k$ للمصفوفة $X.$ و $Q$ هي مصفوفة المتجهات الذاتية لـ $\mathbf {X} =\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{-1}$ ، و $({\boldsymbol {\Lambda }})_{ii}=\lambda _{i}$ هي القيم الذاتية. دالة المصفوفة $f(\mathbf {X} )$ يتم تعريفها بدلالة الدالة العددية $f(x)$ للمصفوفات القابلة للتقطير بواسطة ${\textstyle f(\mathbf {X} )=\sum _{i}f(\lambda _{i})\mathbf {P} _{i}}$ أين ${\textstyle \mathbf {X} =\sum _{i}\lambda _{i}\mathbf {P} _{i}}$ مع $\mathbf {P} _{i}\mathbf {P} _{j}=\delta _{ij}\mathbf {P} _{i}$ .

لتحويلها إلى صيغة المشتقة العادية، قم أولاً بتحويلها إلى إحدى الصيغ القانونية التالية، ثم استخدم هذه المتطابقات:

التحويل من الصيغة التفاضلية إلى الصيغة الاشتقاقية ^{[ 1 ]}
الشكل التفاضلي الكنسي	صيغة المشتقة المكافئة (ترتيب البسط)
$dy=a\,dx$	${\frac {dy}{dx}}=a$
$dy=\mathbf {a} ^{\top }d\mathbf {x}$	${\frac {dy}{d\mathbf {x} }}=\mathbf {a} ^{\top }$
$dy=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \,d\mathbf {X} )$	${\frac {dy}{d\mathbf {X} }}=\mathbf {A}$
$d\mathbf {y} =\mathbf {a} \,dx$	${\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=\mathbf {a}$
$d\mathbf {y} =\mathbf {A} \,d\mathbf {x}$	${\frac {d\mathbf {y} }{d\mathbf {x} }}=\mathbf {A}$
$d\mathbf {Y} =\mathbf {A} \,dx$	${\frac {d\mathbf {Y} }{dx}}=\mathbf {A}$

التطبيقات

يُستخدم حساب التفاضل والتكامل المصفوفي في الإحصاء والاقتصاد القياسي، وخاصةً في التحليل الإحصائي للتوزيعات متعددة المتغيرات ، ولا سيما التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات والتوزيعات الإهليلجية الأخرى . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

يُستخدم في تحليل الانحدار لحساب، على سبيل المثال، صيغة الانحدار الخطي العادي في حالة وجود متغيرات تفسيرية متعددة . ^{[ 11 ]} كما يُستخدم في المصفوفات العشوائية، واللحظات الإحصائية، والحساسية المحلية، والتشخيص الإحصائي. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 3 هنا، $\mathbf {0}$ يشير إلى متجه عمودي مكون من أصفار فقط، بحجم $n$ ، حيث $n$ هو طول $x$ .
1 2 هنا، $\mathbf {0}$ يشير إلى مصفوفة جميع عناصرها أصفار، ولها نفس شكل $X.$
↑ يختفي الثابت $a$ في النتيجة. هذا مقصود. بشكل عام، ${\frac {d\ln au}{dx}}={\frac {1}{au}}{\frac {d(au)}{dx}}={\frac {1}{au}}a{\frac {du}{dx}}={\frac {1}{u}}{\frac {du}{dx}}={\frac {d\ln u}{dx}}.$ أو أيضاً ${\frac {d\ln au}{dx}}={\frac {d(\ln a+\ln u)}{dx}}={\frac {d\ln a}{dx}}+{\frac {d\ln u}{dx}}={\frac {d\ln u}{dx}}.$

مراجع

1 2 3 4 5 توماس ب. مينكا (28 ديسمبر 2000). "جبر المصفوفات القديم والجديد المفيد للإحصاء" . مذكرة مختبر الإعلام بمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (1997؛ تمت مراجعتها في 12/00) . تم الاطلاع عليها في 5 فبراير 2016 .
↑ فيليبا، كارلوس أ. "الملحق د، الجبر الخطي: المحددات، المعكوسات، الرتبة" (ملف PDF) . ASEN 5007: مقدمة في طرق العناصر المحدودة . بولدر، كولورادو: جامعة كولورادو . تاريخ الاسترجاع: 5 فبراير 2016 .يستخدم تعريف مشتقات المتجهات والمصفوفات باستخدام مصفوفة هيسيان ( المحولة إلى جاكوبيان ).
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ ١١ ١٢ ١٣ ١٤ ١٥ ١٦ ١٧ بيترسن ، كاري براندت؛ بيدرسن، مايكل سيسكيند. كتاب طبخ الماتريكس (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل في ٢ مارس ٢٠١٠. تم الاطلاع عليه في ٥ فبراير ٢٠١٦ .يستخدم هذا الكتاب تصميمًا مختلطًا، أي من خلال $Y$ في ${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}},$ بواسطة $X$ في ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}.$
↑ دوتشي، جون سي. "خصائص مشتقات الأثر والمصفوفة" (ملف PDF) . جامعة ستانفورد . تم الاطلاع عليه في 5 فبراير 2016 .
↑ انظر إلى المحدد § المشتقة للاطلاع على الاشتقاق.
↑ جايلز، مايك ب. (2008). "نتائج مشتقات المصفوفات المجمعة للتفاضل الخوارزمي في الوضعين الأمامي والعكسي". في: بيشوف، كريستيان هـ.؛ بوكر، هـ. مارتن؛ هوفلاند، بول؛ ناومان، أوفه؛ أوتكه، جان (محررون). التطورات في التفاضل التلقائي . سلسلة محاضرات في علوم وهندسة الحوسبة. المجلد 64. برلين: سبرينغر. الصفحات 35-44 . doi : 10.1007/978-3-540-68942-3_4 . ISBN 978-3-540-68935-5MR 2531677 .
↑ مذكرة غير منشورة بقلم س. أدلر (الخدمة الإدارية الهندية)
↑ فانغ، كاي تاي ؛ تشانغ، ياو تينغ (1990). التحليل متعدد المتغيرات المعمم . دار النشر العلمية (بكين) ودار نشر سبرينغر (برلين). ISBN 3-540-17651-99783540176510.
↑ بان، جيانشين؛ فانغ، كايتاي (2007). نماذج منحنى النمو والتشخيص الإحصائي . بكين: دار النشر العلمية. ISBN 978-0-387-95053-2.
↑ كولو، تونو؛ فون روزن، ديتريش (2005). إحصائيات متعددة المتغيرات المتقدمة مع المصفوفات دوردريخت: سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4020-3418-3.
↑ ماغنوس، يان؛ نيوديكر، هاينز (2019). حساب التفاضل والتكامل المصفوفي مع تطبيقات في الإحصاء والاقتصاد القياسي . نيويورك: جون وايلي. ISBN 978-1-119-54120-2.
↑ ليو، شوانغتشي؛ ليفا، فيكتور؛ تشوانغ، دان؛ ما، تيفنغ؛ فيغيروا-زونيغا، خورخي آي. (2022). "حساب التفاضل والتكامل المصفوفي مع تطبيقات في النموذج الخطي متعدد المتغيرات وتشخيصاته" . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 188 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 .
^ ليو، شوانغزي؛ ترينكلر، جوتز؛ كولو، تونو؛ فون روزن، ديتريش؛ باكسالاري، أوسكار ماريا (2023). “البروفيسور هاينز نيوديكر وحساب التفاضل والتكامل المصفوفي”. الأوراق الإحصائية . 65 (4): 2605-2639 . دوى : 10.1007 / s00362-023-01499-ث . S2CID 263661094 .

للمزيد من القراءة

عبادير، كريم م.؛ ماغنوس، جان ر. (2005). جبر المصفوفات . تمارين اقتصادية قياسية. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-511-64796-3. OCLC 569411497 .
لاكس، بيتر د. (2007). "9. حساب التفاضل والتكامل للدوال المتجهة والمصفوفية". الجبر الخطي وتطبيقاته ( الطبعة الثانية). هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي-إنترساينس. ISBN 978-0-471-75156-4.
ماغنوس، جان ر. (أكتوبر 2010). "حول مفهوم مشتقة المصفوفة". مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 101 (9): 2200-2206 . doi : 10.1016/j.jmva.2010.05.005 .لاحظ أن هذه المقالة على ويكيبيديا قد تم تنقيحها بالكامل تقريبًا عن النسخة التي تم انتقادها في هذه المقالة.

روابط خارجية

برمجة

MatrixCalculus.org ، موقع إلكتروني لتقييم تعابير حساب المصفوفات بشكل رمزي
NCAlgebra ، حزمة Mathematica مفتوحة المصدر تحتوي على بعض وظائف حساب المصفوفات
يدعم SymPy مشتقات المصفوفات الرمزية في وحدة تعبير المصفوفات الخاصة به ، بالإضافة إلى مشتقات الموترات الرمزية في وحدة تعبير المصفوفات الخاصة به .
Tensorgrad ، حزمة بايثون مفتوحة المصدر لحساب المصفوفات. تدعم مشتقات الموترات الرمزية العامة باستخدام ترميز بنروز البياني .

معلومة

دليل مرجعي للمصفوفة ، مايك بروكس، إمبريال كوليدج لندن .
التفاضل المصفوفي (وبعض الأشياء الأخرى) ، راندال ج. بارنز، قسم الهندسة المدنية، جامعة مينيسوتا.
ملاحظات حول حساب المصفوفات ، بول إل. فاكلر، جامعة ولاية كارولينا الشمالية .
حساب التفاضل والتكامل المصفوفي مؤرشف في 2012-09-16 على Wayback Machine (عرض شرائح)، تشانغ لي، جامعة إدنبرة .
مقدمة في تفاضل المتجهات والمصفوفات (ملاحظات حول تفاضل المصفوفات، في سياق الاقتصاد القياسي )، هاينو بون نيلسن.
ملاحظة حول تفاضل المصفوفات (ملاحظات حول تفاضل المصفوفات)، باويل كوفال، من أرشيف ميونخ الشخصي RePEc.
حساب المتجهات/المصفوفات: المزيد من الملاحظات حول تفاضل المصفوفات.
متطابقات المصفوفات (ملاحظات حول تفاضل المصفوفات)، سام رويس.
كتاب وصفات الموتر: حساب المصفوفات باستخدام مخططات الموتر .

[zerovec-3] 1 2 3 هنا، $\mathbf {0}$ يشير إلى متجه عمودي مكون من أصفار فقط، بحجم $n$ ، حيث $n$ هو طول $x$ .

[zeromatrix-5] 1 2 هنا، $\mathbf {0}$ يشير إلى مصفوفة جميع عناصرها أصفار، ولها نفس شكل $X.$

[8] يختفي الثابت $a$ في النتيجة. هذا مقصود. بشكل عام، ${\frac {d\ln au}{dx}}={\frac {1}{au}}{\frac {d(au)}{dx}}={\frac {1}{au}}a{\frac {du}{dx}}={\frac {1}{u}}{\frac {du}{dx}}={\frac {d\ln u}{dx}}.$ أو أيضاً ${\frac {d\ln au}{dx}}={\frac {d(\ln a+\ln u)}{dx}}={\frac {d\ln a}{dx}}+{\frac {d\ln u}{dx}}={\frac {d\ln u}{dx}}.$

[minka-1] 1 2 3 4 5 توماس ب. مينكا (28 ديسمبر 2000). "جبر المصفوفات القديم والجديد المفيد للإحصاء" . مذكرة مختبر الإعلام بمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (1997؛ تمت مراجعتها في 12/00) . تم الاطلاع عليها في 5 فبراير 2016 .

[2] فيليبا، كارلوس أ. "الملحق د، الجبر الخطي: المحددات، المعكوسات، الرتبة" (ملف PDF) . ASEN 5007: مقدمة في طرق العناصر المحدودة . بولدر، كولورادو: جامعة كولورادو . تاريخ الاسترجاع: 5 فبراير 2016 .يستخدم تعريف مشتقات المتجهات والمصفوفات باستخدام مصفوفة هيسيان ( المحولة إلى جاكوبيان ).

[matrix-cookbook-4] ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ ١١ ١٢ ١٣ ١٤ ١٥ ١٦ ١٧ بيترسن ، كاري براندت؛ بيدرسن، مايكل سيسكيند. كتاب طبخ الماتريكس (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل في ٢ مارس ٢٠١٠. تم الاطلاع عليه في ٥ فبراير ٢٠١٦ .يستخدم هذا الكتاب تصميمًا مختلطًا، أي من خلال $Y$ في ${\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial x}},$ بواسطة $X$ في ${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {X} }}.$

[6] دوتشي، جون سي. "خصائص مشتقات الأثر والمصفوفة" (ملف PDF) . جامعة ستانفورد . تم الاطلاع عليه في 5 فبراير 2016 .

[7] انظر إلى المحدد § المشتقة للاطلاع على الاشتقاق.

[9] جايلز، مايك ب. (2008). "نتائج مشتقات المصفوفات المجمعة للتفاضل الخوارزمي في الوضعين الأمامي والعكسي". في: بيشوف، كريستيان هـ.؛ بوكر، هـ. مارتن؛ هوفلاند، بول؛ ناومان، أوفه؛ أوتكه، جان (محررون). التطورات في التفاضل التلقائي . سلسلة محاضرات في علوم وهندسة الحوسبة. المجلد 64. برلين: سبرينغر. الصفحات 35-44 . doi : 10.1007/978-3-540-68942-3_4 . ISBN 978-3-540-68935-5MR 2531677 .

[10] مذكرة غير منشورة بقلم س. أدلر (الخدمة الإدارية الهندية)

[11] فانغ، كاي تاي ؛ تشانغ، ياو تينغ (1990). التحليل متعدد المتغيرات المعمم . دار النشر العلمية (بكين) ودار نشر سبرينغر (برلين). ISBN 3-540-17651-99783540176510.

[12] بان، جيانشين؛ فانغ، كايتاي (2007). نماذج منحنى النمو والتشخيص الإحصائي . بكين: دار النشر العلمية. ISBN 978-0-387-95053-2.

[13] كولو، تونو؛ فون روزن، ديتريش (2005). إحصائيات متعددة المتغيرات المتقدمة مع المصفوفات دوردريخت: سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4020-3418-3.

[14] ماغنوس، يان؛ نيوديكر، هاينز (2019). حساب التفاضل والتكامل المصفوفي مع تطبيقات في الإحصاء والاقتصاد القياسي . نيويورك: جون وايلي. ISBN 978-1-119-54120-2.

[15] ليو، شوانغتشي؛ ليفا، فيكتور؛ تشوانغ، دان؛ ما، تيفنغ؛ فيغيروا-زونيغا، خورخي آي. (2022). "حساب التفاضل والتكامل المصفوفي مع تطبيقات في النموذج الخطي متعدد المتغيرات وتشخيصاته" . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 188 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 .

[16] ليو، شوانغزي؛ ترينكلر، جوتز؛ كولو، تونو؛ فون روزن، ديتريش؛ باكسالاري، أوسكار ماريا (2023). “البروفيسور هاينز نيوديكر وحساب التفاضل والتكامل المصفوفي”. الأوراق الإحصائية . 65 (4): 2605-2639 . دوى : 10.1007 / s00362-023-01499-ث . S2CID 263661094 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ 3 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ ملاحظة 3 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗