الدالة (الرياضيات)

إن التعريف المذكور أعلاه للدالة هو في جوهره تعريف مؤسسي علم التفاضل والتكامل ، لايبنتز ونيوتن وأويلر . مع ذلك، لا يمكن صياغته بشكل رسمي ، لعدم وجود تعريف رياضي لـ "التخصيص". لم يُقدَّم أول تعريف رسمي للدالة إلا في أواخر القرن التاسع عشر، وذلك في إطار نظرية المجموعات . يستند هذا التعريف النظري للمجموعات إلى حقيقة أن الدالة تُنشئ علاقة بين عناصر المجال وبعض (أو ربما جميع) عناصر المجال المقابل. رياضياً، العلاقة الثنائية بين مجموعتين X و Y هي مجموعة جزئية من مجموعة جميع الأزواج المرتبة .${\displaystyle (x,y)}$بحيث${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle y\in Y.}$تُسمى مجموعة كل هذه الأزواج بالضرب الديكارتي لـ X و Y ويُرمز لها بـ${\displaystyle X\times Y.}$وبالتالي، يمكن صياغة التعريف أعلاه بشكل رسمي على النحو التالي.

الدالة ذات المجال ^X والمجال المقابل Y هي علاقة ثنائية R بين X و Y تحقق الشرطين التاليين: ^{[ 10} ]

• لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$يوجد${\displaystyle y}$في${\displaystyle Y}$بحيث${\displaystyle (x,y)\in R.}$
• لو${\displaystyle (x,y)\in R}$و${\displaystyle (x,z)\in R,}$ثم${\displaystyle y=z.}$

يمكن إعادة صياغة هذا التعريف بشكل أكثر رسمية، دون الإشارة صراحةً إلى مفهوم العلاقة، ولكن باستخدام المزيد من الرموز (بما في ذلك رموز بناء المجموعات ):

تتكون الدالة من ثلاث مجموعات (غالباً ما تكون ثلاثية مرتبة)، وهي المجال${\displaystyle X,}$المجال المشترك${\displaystyle Y,}$والرسم البياني${\displaystyle R}$التي تستوفي الشروط الثلاثة التالية.

• ${\displaystyle R\subseteq \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R\qquad }$
• ${\displaystyle (x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z\qquad }$

تُسمى العلاقة التي تستوفي هذه الشروط علاقة وظيفية .

يمكن اشتقاق المصطلحات والرموز الأكثر شيوعًا من هذا التعريف الرسمي على النحو التالي. ليكن${\displaystyle f}$⁠ دالة معرفة بعلاقة دالية ⁠${\displaystyle R}$لكل​​${\displaystyle x}$في نطاق​${\displaystyle f}$، العنصر الفريد في المجال المقابل المرتبط بـ${\displaystyle x}$يُشار إليه بـ${\displaystyle f(x)}$إذا​​${\displaystyle y}$هذا العنصر، يكتب المرء عادةً${\displaystyle y=f(x)}$بدلاً من​${\displaystyle (x,y)\in R\,}$أو​​${\displaystyle xRy}$ويقول أحدهم أن "${\displaystyle f}$الخرائط​​${\displaystyle x}$إلى​​${\displaystyle y}$" , "${\displaystyle y}$هذه الصورة من تصميم${\displaystyle f}$من​​${\displaystyle x}$أو " تطبيق${\displaystyle f}$على​​${\displaystyle x}$يعطي​​${\displaystyle y}$" ، إلخ.

تُعرَّف الدوال الجزئية بشكل مشابه للدوال العادية، مع حذف شرط "الكلية". أي أن الدالة الجزئية من X إلى Y هي علاقة ثنائية R بين X و Y بحيث، لكل${\displaystyle x\in X,}$يوجد على الأكثر عنصر واحد y في Y بحيث${\displaystyle (x,y)\in R.}$

باستخدام الترميز الوظيفي، هذا يعني أنه، بالنظر إلى${\displaystyle x\in X,}$أيضاً${\displaystyle f(x)}$إما أن يكون في Y ، أو أنه غير محدد.

مجموعة عناصر X التي تحقق${\displaystyle f(x)}$تُسمى المنطقة المُعرَّفة والمنتمية إلى Y مجال تعريف الدالة. وبالتالي، فإن الدالة الجزئية من X إلى Y هي دالة عادية يكون مجال تعريفها مجموعة جزئية من X تُسمى مجال تعريف الدالة. إذا كان مجال التعريف يساوي X ، يُقال غالبًا أن الدالة الجزئية هي دالة كلية .

في العديد من فروع الرياضيات، يشير مصطلح "الدالة" إلى الدوال الجزئية بدلاً من الدوال الكاملة. ويحدث هذا عادةً عندما تُحدد الدوال بطريقة تجعل من الصعب، بل من المستحيل، تحديد مجالها.

في حساب التفاضل والتكامل ، الدالة الحقيقية لمتغير حقيقي أو الدالة الحقيقية هي دالة جزئية من المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية إلى نفسها. بالنظر إلى دالة حقيقية${\displaystyle f:x\mapsto f(x)}$معكوسه الضربي${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$هي أيضاً دالة حقيقية. إن تحديد مجال تعريف المعكوس الضربي لدالة (جزئية) يعني حساب أصفار الدالة ، وهي القيم التي تكون عندها الدالة معرفة ولكن ليس معكوسها الضربي.

وبالمثل، فإن دالة المتغير المركب هي عمومًا دالة جزئية يكون مجال تعريفها مجموعة جزئية من الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$تتجلى صعوبة تحديد مجال تعريف الدالة المركبة في المعكوس الضربي لدالة زيتا لريمان : تحديد مجال تعريف الدالة${\displaystyle z\mapsto 1/\zeta (z)}$وهو يعادل إلى حد كبير إثبات أو دحض إحدى المشكلات المفتوحة الرئيسية في الرياضيات، وهي فرضية ريمان .

في نظرية الحوسبة ، تُعرَّف الدالة التكرارية العامة بأنها دالة جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمكن حساب قيمها بواسطة خوارزمية (بشكل تقريبي). مجال تعريف هذه الدالة هو مجموعة المدخلات التي لا تستمر الخوارزمية في العمل معها إلى ما لا نهاية. وتنص إحدى النظريات الأساسية في نظرية الحوسبة على أنه لا يمكن وجود خوارزمية تأخذ دالة تكرارية عامة عشوائية كمدخل وتختبر ما إذا كان الصفر ينتمي إلى مجال تعريفها (انظر مسألة التوقف ).

الدالة متعددة المتغيرات ، أو دالة المتغيرات المتعددة ، هي دالة تعتمد على عدة متغيرات. وتُعدّ هذه الدوال شائعة الاستخدام. على سبيل المثال، موقع السيارة على الطريق هو دالة للزمن الذي قطعته ومتوسط ​​سرعتها.

بصورة رسمية، الدالة ذات n متغيرًا هي دالة مجالها مجموعة من n -tuples. ^{[ ملاحظة 3 ]} على سبيل المثال، ضرب الأعداد الصحيحة هو دالة لمتغيرين، أو دالة ثنائية المتغيرات ، مجالها مجموعة جميع الأزواج المرتبة (2-tuples) من الأعداد الصحيحة، ومجالها المقابل مجموعة الأعداد الصحيحة. وينطبق الأمر نفسه على كل عملية ثنائية . يمكن تفسير رسم سطح ثنائي المتغيرات على مجال حقيقي ثنائي الأبعاد على أنه يُعرّف سطحًا وسيطيًا ، كما هو مستخدم، على سبيل المثال، في الاستيفاء ثنائي المتغيرات .

عادةً، يُشار إلى المجموعة المكونة من n عنصرًا بأقواس، كما هو الحال في${\displaystyle (1,2,\ldots ,n).}$ عند استخدام الترميز الوظيفي ، عادةً ما يتم حذف الأقواس المحيطة بالصفوف، وكتابة ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$بدلاً من${\displaystyle f((x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

بفرض وجود n مجموعة${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$مجموعة جميع الصفوف المكونة من n عنصر${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$بحيث${\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}$يُطلق عليه اسم حاصل الضرب الديكارتي لـ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ورمزت إلى${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

لذلك، فإن الدالة متعددة المتغيرات هي دالة يكون لها حاصل ضرب ديكارتي أو مجموعة فرعية مناسبة من حاصل الضرب الديكارتي كمجال.

$${\displaystyle f:U\to Y,}$$

حيث يكون للمجال U الشكل التالي

$${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$$

إذا كان كل شيء${\displaystyle X_{i}}$تساوي المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية أو إلى المجموعة${\displaystyle \mathbb {C} }$بالنسبة للأعداد المركبة ، يتحدث المرء على التوالي عن دالة لعدة متغيرات حقيقية أو عن دالة لعدة متغيرات مركبة .

يتطلب الترميز الوظيفي إعطاء اسم للدالة، والذي غالبًا ما يكون الحرف f في حالة الدوال غير المحددة . بعد ذلك، يُشار إلى تطبيق الدالة على وسيط معين باسمها متبوعًا باسم الوسيط (أو، في حالة الدوال متعددة المتغيرات، وسائطها) محصورة بين قوسين، كما في

$${\displaystyle f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{or}}\quad f(x^{2}+1).}$$

قد يكون الوسيط الموجود بين القوسين متغيرًا ، غالبًا ما يكون x ، يمثل عنصرًا عشوائيًا من مجال الدالة، أو عنصرًا محددًا من المجال ( 3 في المثال أعلاه)، أو تعبيرًا يمكن تقييمه إلى عنصر من المجال (${\displaystyle x^{2}+1}$(في المثال أعلاه). يُعد استخدام متغير غير محدد بين قوسين مفيدًا لتعريف دالة بشكل صريح كما في "let".${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$".

عندما يتكون الرمز الذي يدل على الدالة من عدة أحرف ولا يوجد احتمال للبس، يمكن حذف الأقواس في الترميز الوظيفي. على سبيل المثال، من الشائع كتابة sin x بدلاً من sin( x ) .

استُخدمت الترميز الوظيفي لأول مرة من قِبل ليونارد أويلر عام 1734. ^{[ 11 ]} تُمثَّل بعض الدوال الشائعة الاستخدام برمز يتكون من عدة أحرف (عادةً حرفين أو ثلاثة، وعادةً ما يكون اختصارًا لاسمها). في هذه الحالة، يُستخدم عادةً الخط الروماني ، مثل " sin " لدالة الجيب ، على عكس الخط المائل للرموز المكونة من حرف واحد.

يُستخدم الترميز الوظيفي غالبًا بشكل عامي للإشارة إلى دالة وتسمية وسيطها في الوقت نفسه، كما هو الحال في "let".${\displaystyle f(x)}$"لتكن دالة". هذا إساءة استخدام للرموز مفيدة لصياغة أبسط.

تُعرّف صيغة السهم قاعدة الدالة مباشرةً، دون الحاجة إلى تسميتها. وتستخدم رمز السهم ↦، الذي يُقرأ " يُشير إلى ". على سبيل المثال،${\displaystyle x\mapsto x+1}$هي الدالة التي تأخذ عددًا حقيقيًا كمدخل وتُخرج ذلك العدد مضافًا إليه 1. مرة أخرى، مجالها ومجالها المقابل هما${\displaystyle \mathbb {R} }$هذا مفهوم ضمناً.

يمكن أيضًا تحديد المجال والمجال المقابل بشكل صريح، على سبيل المثال:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}$$

هذا يُعرّف دالة sqr من الأعداد الصحيحة إلى الأعداد الصحيحة التي تُعيد مربع مُدخلاتها.

كتطبيق شائع لرمز السهم، لنفترض${\displaystyle f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$هي دالة بمتغيرين، ونريد الإشارة إلى دالة مطبقة جزئياً${\displaystyle X\to Y}$يتم إنتاج هذه الدالة بتثبيت الوسيط الثاني على القيمة t = ₀ دون إدخال اسم دالة جديد. ويمكن الإشارة إلى هذه الدالة بالرمز التالي:${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$باستخدام رمز السهم. التعبير${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$(اقرأ: "الخريطة التي تأخذ x إلى f من x فاصلة t صفر") تمثل هذه الدالة الجديدة بمعامل واحد فقط، في حين أن التعبير f ( x ₀ , t ₀ ) يشير إلى قيمة الدالة f عند النقطة ( x ₀ , t ₀ ) .

يمكن استخدام ترميز المؤشر بدلاً من الترميز الوظيفي. أي، بدلاً من كتابة f ( x ) ، نكتب${\displaystyle f_{x}.}$

ينطبق هذا عادةً على الدوال التي يكون مجالها مجموعة الأعداد الطبيعية . تُسمى هذه الدالة متتالية ، وفي هذه الحالة يكون العنصر${\displaystyle f_{n}}$يُطلق عليه العنصر رقم n من المتتالية.

يمكن أيضًا استخدام ترميز الفهرس لتمييز بعض المتغيرات التي تُسمى المعاملات عن "المتغيرات الحقيقية". في الواقع، المعاملات هي متغيرات محددة تُعتبر ثابتة أثناء دراسة مشكلة ما. على سبيل المثال، الخريطة${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$(انظر أعلاه) سيتم الإشارة إليه${\displaystyle f_{t}}$باستخدام ترميز الفهرس، إذا قمنا بتعريف مجموعة الخرائط${\displaystyle f_{t}}$وفقًا للصيغة${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$للجميع${\displaystyle x,t\in X}$.

في الترميز ${\displaystyle x\mapsto f(x),}$ لا يُمثل الرمز x أي قيمة؛ فهو مجرد رمز بديل ، بمعنى أنه إذا استُبدل x بأي قيمة على يسار السهم، فيجب استبدالها بنفس القيمة على يمين السهم. لذلك، في التعبير الموجود على يمين السهم، يمكن استبدال x برمز بديل، غالبًا ما يكون علامة فاصلة " ⋅ " أو شرطة " – "، ويمكن استخدام هذا التعبير الجديد الذي يحتوي على الرمز البديل كاختصار للدالة نفسها. وكما هو الحال مع تدوين السهم، يُفيد هذا في الحالات التي لا تُعطى فيها الدالة اسمًا صريحًا مثل f أو sin ، إلخ.

على سبيل المثال،${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$أو${\displaystyle a(-)^{2}}$قد يرمز إلى الوظيفة${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$، و${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$أو${\textstyle \int _{a}^{\,(-)}f(u)\,du}$قد يرمز إلى دالة معرفة بواسطة تكامل ذي حد أعلى متغير:${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$.

توجد رموز أخرى متخصصة للدوال في فروع الرياضيات. على سبيل المثال، في الجبر الخطي والتحليل الوظيفي ، تُرمز الأشكال الخطية والمتجهات التي تؤثر عليها باستخدام زوج ثنائي لإظهار الازدواجية الكامنة . وهذا مشابه لاستخدام رمز برا-كيت في ميكانيكا الكم. في المنطق ونظرية الحوسبة ، يُستخدم رمز دالة حساب لامدا للتعبير صراحةً عن المفاهيم الأساسية لتجريد الدوال وتطبيقها . في نظرية الفئات والجبر التماثلي ، تُوصف شبكات الدوال من حيث كيفية تبادلها هي وتراكيبها مع بعضها البعض باستخدام مخططات تبادلية تُوسع وتُعمم رمز السهم للدوال الموصوف أعلاه.

في بعض الحالات، قد يكون وسيط الدالة زوجًا مرتبًا من العناصر المأخوذة من مجموعة أو مجموعات معينة. على سبيل المثال، يمكن تعريف الدالة f على أنها دالة تربط أي زوج من الأعداد الحقيقية.${\displaystyle (x,y)}$إلى مجموع مربعاتها،${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$تُكتب هذه الدالة عادةً على النحو التالي:${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ويُشار إليها باسم "دالة لمتغيرين". وبالمثل، يمكن أن تكون لدينا دالة لثلاثة متغيرات أو أكثر، مع رموز مثل${\displaystyle f(w,x,y)}$،${\displaystyle f(w,x,y,z)}$.

على مجموعة منتهية، يمكن تعريف دالة عن طريق سرد عناصر المجال المقابل المرتبطة بعناصر المجال. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$عندئذٍ يمكن تعريف دالة${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$بواسطة${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

تُعرَّف الدوال عادةً بتعبير يصف مزيجًا من العمليات الحسابية ودوال مُعرَّفة مسبقًا؛ تسمح هذه الصيغة بحساب قيمة الدالة من قيمة أي عنصر من عناصر مجالها. على سبيل المثال، في المثال أعلاه،${\displaystyle f}$يمكن تعريفها بالصيغة${\displaystyle f(n)=n+1}$، ل${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$.

عند تعريف دالة بهذه الطريقة، قد يكون تحديد مجالها صعبًا في بعض الأحيان. إذا احتوت الصيغة التي تُعرّف الدالة على عمليات قسمة، فيجب استبعاد قيم المتغير التي يكون مقامها صفرًا من المجال؛ وبالتالي، بالنسبة للدالة المعقدة، يمر تحديد المجال عبر حساب أصفار الدوال المساعدة. وبالمثل، إذا وردت جذور تربيعية في تعريف دالة من${\displaystyle \mathbb {R} }$ل${\displaystyle \mathbb {R} ,}$يتم تضمين المجال في مجموعة قيم المتغير التي تكون فيها وسائط الجذور التربيعية غير سالبة.

على سبيل المثال،${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$تُعرّف دالة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$نطاقه هو${\displaystyle \mathbb {R} ,}$لأن${\displaystyle 1+x^{2}}$تكون دائمًا موجبة إذا كان x عددًا حقيقيًا. من ناحية أخرى،${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$تُعرّف دالة من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية التي يقتصر مجالها على الفترة [ −1, 1 ] . (في النصوص القديمة، كان يُطلق على هذا المجال اسم مجال تعريف الدالة).

يمكن تصنيف الدوال حسب طبيعة الصيغ التي تحددها:

• الدالة التربيعية هي دالة يمكن كتابتها على النحو التالي:${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$حيث أن a و b و c ثوابت .
• بشكل عام، الدالة متعددة الحدود هي دالة يمكن تعريفها بصيغة تتضمن فقط عمليات الجمع والطرح والضرب والرفع إلى قوى صحيحة غير سالبة. على سبيل المثال،${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}$و${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}$هي دوال متعددة الحدود لـ${\displaystyle x}$.
• الدالة الكسرية هي نفسها، مع السماح بالقسمة أيضاً، مثل:${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$و${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• الدالة الجبرية هي نفسها، مع السماح أيضاً بالجذور النونية وجذور كثيرات الحدود .
• الدالة الأولية ^{[ ملاحظة 4 ]} هي نفسها، مع السماح باللوغاريتمات والدوال الأسية .

وظيفة${\displaystyle f:X\to Y,}$تكون الدالة f(x) ذات المجال X والمجال المقابل Y تقابلية ، إذا كان لكل عنصر y في Y ، يوجد عنصر واحد فقط x في X بحيث يكون y = f ( x ) . في هذه الحالة، تكون الدالة العكسية لـ f هي الدالة${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$تلك الخرائط${\displaystyle y\in Y}$إلى العنصر${\displaystyle x\in X}$بحيث يكون y = f ( x ) . على سبيل المثال، اللوغاريتم الطبيعي دالة تقابلية من الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية. وبالتالي، له دالة عكسية، تُسمى الدالة الأسية ، التي تُحوّل الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الموجبة.

إذا كانت دالة${\displaystyle f:X\to Y}$ليست دالة تقابلية، وقد يحدث أنه يمكن للمرء اختيار مجموعات فرعية${\displaystyle E\subseteq X}$و${\displaystyle F\subseteq Y}$بحيث يكون تقييد الدالة f على E تقابلاً من E إلى F ، وبالتالي لها دالة عكسية. تُعرَّف الدوال المثلثية العكسية بهذه الطريقة. على سبيل المثال، تُنشئ دالة جيب التمام ، بالتقييد، تقابلاً من الفترة [ 0, π ] إلى الفترة [ −1, 1 ] ، ودالتها العكسية، المسماة arccosine ، تُحوِّل الفترة [ −1, 1 ] إلى الفترة [ 0, π ] . تُعرَّف الدوال المثلثية العكسية الأخرى بشكل مماثل.

بشكل أعم، إذا كانت لدينا علاقة ثنائية R بين مجموعتين X و Y ، ولتكن E مجموعة جزئية من X بحيث يكون لكل${\displaystyle x\in E,}$هناك بعض${\displaystyle y\in Y}$بحيث يكون x R y . إذا كان لدينا معيار يسمح باختيار قيمة y كهذه لكل${\displaystyle x\in E,}$هذا يُعرّف دالة${\displaystyle f:E\to Y,}$وتسمى دالة ضمنية ، لأنها معرفة ضمنياً بالعلاقة R.

على سبيل المثال، معادلة دائرة الوحدة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$تُعرّف هذه المعادلة علاقةً على الأعداد الحقيقية. إذا كان −1 < x < 1، فهناك قيمتان محتملتان لـ y ، إحداهما موجبة والأخرى سالبة. أما إذا كان x = ± 1 ، فإن هاتين القيمتين تُساويان صفرًا. وفيما عدا ذلك، لا توجد قيمة ممكنة لـ y . هذا يعني أن المعادلة تُعرّف دالتين ضمنيتين مجالهما [ −1, 1 ] ومجالهما المقابل [ 0, +∞) و (−∞, 0 ) .

في هذا المثال، يمكن حل المعادلة بدلالة y ، مما يعطي${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$لكن في الأمثلة الأكثر تعقيدًا، يكون هذا مستحيلاً. على سبيل المثال، العلاقة${\displaystyle y^{5}+y+x=0}$يُعرّف y كدالة ضمنية لـ x ، تُسمى جذر برينغ ، والتي لها${\displaystyle \mathbb {R} }$باعتبارها مجالاً ومدى. لا يمكن التعبير عن جذر برينغ بدلالة العمليات الحسابية الأربع والجذور النونية .

توفر نظرية الدالة الضمنية شروطًا بسيطة للتفاضل من أجل وجود وتفرد دالة ضمنية في جوار نقطة ما.

يمكن تعريف العديد من الدوال بأنها الدالة الأصلية لدالة أخرى. هذا هو الحال مع اللوغاريتم الطبيعي ، الذي هو الدالة الأصلية لـ 1/ x والتي تساوي صفرًا عندما x = 1. ومن الأمثلة الشائعة الأخرى دالة الخطأ .

بشكل عام، يمكن تعريف العديد من الدوال، بما في ذلك معظم الدوال الخاصة ، كحلول للمعادلات التفاضلية . ولعل أبسط مثال على ذلك هو الدالة الأسية ، التي يمكن تعريفها بأنها الدالة الوحيدة التي تساوي مشتقتها وتأخذ القيمة 1 عندما x = 0 .

يمكن استخدام متسلسلات القوى لتعريف الدوال على المجال الذي تتقارب فيه. على سبيل المثال، تُعطى الدالة الأسية بالصيغة التالية:${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$مع ذلك، ولأن معاملات المتسلسلة اختيارية إلى حد كبير، فإن الدالة التي تمثل مجموع متسلسلة متقاربة تُعرَّف عادةً بطريقة مختلفة، ويكون ترتيب المعاملات ناتجًا عن عملية حسابية تستند إلى تعريف آخر. بعد ذلك، يمكن استخدام متسلسلة القوى لتوسيع نطاق الدالة. عادةً، إذا كانت دالة لمتغير حقيقي هي مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها في فترة معينة، فإن متسلسلة القوى هذه تسمح بتوسيع النطاق مباشرةً إلى مجموعة جزئية من الأعداد المركبة ، وهي قرص تقارب المتسلسلة. ثم يسمح الاستمرار التحليلي بتوسيع النطاق أكثر ليشمل تقريبًا كامل المستوى المركب . هذه العملية هي الطريقة المستخدمة عمومًا لتعريف اللوغاريتم والدوال الأسية والمثلثية لعدد مركب.

تُعرف الدوال التي يكون مجالها الأعداد الصحيحة غير السالبة، والمعروفة باسم المتتاليات ، أحيانًا بعلاقات التكرار .

دالة المضروب على الأعداد الصحيحة غير السالبة (${\displaystyle n\mapsto n!}$) هو مثال أساسي، حيث يمكن تعريفه من خلال علاقة التكرار

$${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$$

والشرط الأولي

$${\displaystyle 0!=1.}$$

بالنظر إلى دالة${\displaystyle f:X\to Y,}$الرسم البياني الخاص به هو، بشكل رسمي، المجموعة

$${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$$

في الحالة الشائعة حيث تكون X و Y مجموعات جزئية من الأعداد الحقيقية (أو يمكن تحديدها مع هذه المجموعات الجزئية، مثل الفترات )، فإن العنصر${\displaystyle (x,y)\in G}$يمكن تمثيل الدالة بنقطة إحداثياتها x و y في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد، مثل المستوى الديكارتي . ويمكن لأجزاء من هذه النقطة أن تُشكّل رسمًا بيانيًا يُمثّل (أجزاء من) الدالة. يُعدّ استخدام الرسوم البيانية شائعًا جدًا لدرجة أنها تُسمى أيضًا رسم الدالة . كما يُمكن تمثيل الدوال بيانيًا في أنظمة إحداثيات أخرى. على سبيل المثال، رسم الدالة التربيعية.

$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$$

تتكون من جميع النقاط ذات الإحداثيات${\displaystyle (x,x^{2})}$ل${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ينتج عن تمثيلها بالإحداثيات الديكارتية القطع المكافئ المعروف . إذا كانت نفس الدالة التربيعية${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$يتم رسم نفس الرسم البياني الرسمي، الذي يتكون من أزواج من الأرقام، بدلاً من ذلك باستخدام الإحداثيات القطبية.${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$الرسم البياني الناتج هو حلزون فيرما .

يمكن تمثيل الدالة بجدول قيم. إذا كان مجال الدالة محدودًا، فيمكن تحديد الدالة بالكامل بهذه الطريقة. على سبيل المثال، دالة الضرب${\displaystyle f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$يُعرَّف بأنه${\displaystyle f(x,y)=xy}$يمكن تمثيلها بجدول الضرب المألوف

من جهة أخرى، إذا كان مجال الدالة متصلاً، يمكن لجدول أن يُبيّن قيم الدالة عند قيم محددة من المجال. وإذا لزم قيمة وسيطة، يُمكن استخدام الاستيفاء لتقدير قيمة الدالة. ^{[ ملاحظة 5 ]} على سبيل المثال، قد يُعطى جزء من جدول دالة الجيب كما يلي، مع تقريب القيم إلى 6 منازل عشرية:

قبل ظهور الآلات الحاسبة المحمولة وأجهزة الكمبيوتر الشخصية، كانت هذه الجداول تُجمع وتُنشر في كثير من الأحيان لوظائف مثل اللوغاريتمات والدوال المثلثية. ^{[ ملاحظة 6 ]}

يمكن للرسم البياني الشريطي أن يمثل دالة يكون مجالها مجموعة منتهية، أو الأعداد الطبيعية ، أو الأعداد الصحيحة . في هذه الحالة، يُمثل العنصر x من المجال بفترة على المحور x ، وتُمثل القيمة المقابلة للدالة، f ( x ) ، بمستطيل قاعدته هي الفترة المقابلة لـ x وارتفاعه هو f ( x ) (قد يكون سالبًا، وفي هذه الحالة يمتد الشريط أسفل المحور x ).

هناك عدد من الوظائف القياسية التي تحدث بشكل متكرر:

• لكل مجموعة X ، توجد دالة فريدة تسمىالدالة الفارغة ، أوالتطبيق الفارغ، منالمجموعة الفارغةإلىX.الرسم البياني للدالة الفارغة هو المجموعة الفارغة. ^{[ ملاحظة 7 ]} يُعد وجود الدوال الفارغة ضروريًا لتماسك النظرية ولتجنب الاستثناءات المتعلقة بالمجموعة الفارغة في العديد من العبارات. وفقًا للتعريف المعتاد في نظرية المجموعات للدالة على أنهاثلاثية مرتبة(أو ما يكافئها)، توجد دالة فارغة واحدة فقط لكل مجموعة، وبالتالي فإن الدالة الفارغة${\displaystyle \varnothing \to X}$لا يساوي${\displaystyle \varnothing \to Y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle X\neq Y}$، على الرغم من أن رسومهما البيانية هي المجموعة الفارغة .
• لكل مجموعة X ولكل مجموعة أحادية { s } ، توجد دالة فريدة من X إلى { s } ، تربط كل عنصر من X بـ s . هذه الدالة شاملة (انظر أدناه) إلا إذا كانت X هي المجموعة الفارغة.
• بالنظر إلى دالة${\displaystyle f:X\to Y,}$الإسقاط الكنسي للدالة f على صورتها${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$هي الدالة من X إلى f ( X ) التي تربط x بـ f ( x ) .
• لكل مجموعة جزئية A من مجموعة X ، فإن خريطة التضمين لـ A في X هي الدالة الحقنية (انظر أدناه) التي تربط كل عنصر من A بنفسه.
• دالة التطابق على مجموعة X ، والتي غالباً ما يُرمز لها بـ id _X ، هي تضمين X في نفسها.

بفرض وجود دالتين${\displaystyle f:X\to Y}$و${\displaystyle g:Y\to Z}$بحيث يكون مجال g هو المجال المقابل لـ f ، فإن تركيبهما هو الدالة${\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z}$محدد بواسطة

$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$$

أي قيمة${\displaystyle g\circ f}$يتم الحصول على هذه النتيجة بتطبيق الدالة f أولاً على x للحصول على y = f ( x ) ، ثم بتطبيق الدالة g على النتيجة y للحصول على g ( y ) = g ( f ( x )) . في هذه الصيغة، تُكتب الدالة التي تُطبق أولاً دائمًا على اليمين.

التركيب${\displaystyle g\circ f}$هي عملية على الدوال لا تُعرَّف إلا إذا كان المجال المقابل للدالة الأولى هو مجال الدالة الثانية. حتى عندما يكون كلاهما${\displaystyle g\circ f}$و${\displaystyle f\circ g}$إذا تحققت هذه الشروط، فإن التركيب ليس بالضرورة تبادليًا ، أي أن الدوال${\displaystyle g\circ f}$و${\displaystyle f\circ g}$^{ليس بالضرورة أن تكون القيم} متساوية، وقد تعطي قيمًا مختلفة لنفس الوسيط. على سبيل المثال، إذا كانت f ( x ) = x² و g ( x ) = x + 1 ، فإن${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$و${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$أوافق فقط من أجل${\displaystyle x=0.}$

تركيب الدوال هو عملية تجميعية بمعنى أنه إذا كان أحد${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$و${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$إذا تم تعريف أحدهما، فإن الآخر يكون مُعرَّفاً أيضاً، وهما متساويان، أي${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$لذلك، من المعتاد أن نكتب فقط${\displaystyle h\circ g\circ f.}$

دوال الهوية${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$و${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$يمثلان على التوالي متطابقة يمين ومتطابقة يسار للدوال من X إلى Y. أي، إذا كانت f دالة مجالها X ومجالها المقابل Y ، فإن ${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• 
  يمكن تصور الدالة المركبة g ( f ( x )) على أنها مزيج من "آلتين".
• 
  مثال بسيط على تركيب الدوال
• 
  تركيب آخر. في هذا المثال، ( g ∘ f )(c) = # .

يترك${\displaystyle f:X\to Y.}$صورة العنصر x من المجال X تحت تأثير الدالة f هي f ( x ) . ^{[ 6 ]} إذا كانت A أي مجموعة جزئية من X ، فإن صورة A تحت تأثير f ، والتي يُرمز لها بـ f ( A ) ، هي المجموعة الجزئية من المجال المقابل Y التي تتكون من جميع صور عناصر A ، ^{[ 6 ]} أي

$${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$$

صورة الدالة f هي صورة المجال بأكمله، أي f ( X ) . ^{[ 17 ]} وتُسمى أيضًا مدى الدالة f ، [ ^{6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} مع العلم أن مصطلح المدى ^قد يُشير أيضًا إلى المجال المقابل. ^{[ 9 ] [ 17 ] [ 18 ]}

من جهة أخرى، فإن الصورة العكسية أو الصورة الأصلية تحت تأثير الدالة f لعنصر y من المجال المقابل Y هي مجموعة جميع عناصر المجال X التي تساوي صورها تحت تأثير f العنصر y . ^{[ 6 ]} ويُرمز إلى الصورة الأصلية لـ y بالرمز التالي:${\displaystyle f^{-1}(y)}$ويتم تحديده بالمعادلة

$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$$

وبالمثل، فإن الصورة العكسية لمجموعة جزئية B من المجال المقابل Y هي مجموعة الصور العكسية لعناصر B ، أي أنها المجموعة الجزئية من المجال X التي تتكون من جميع عناصر X التي تنتمي صورها إلى B. ^{[ 6 ]} ويُرمز لها بـ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ويتم تحديده بالمعادلة

$${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$$

على سبيل المثال، الصورة الأصلية لـ${\displaystyle \{4,9\}}$تحت دالة التربيع توجد المجموعة${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$.

بحسب تعريف الدالة، فإن صورة العنصر x من المجال هي دائمًا عنصر واحد من المجال المقابل. ومع ذلك، فإن الصورة الأصلية${\displaystyle f^{-1}(y)}$قد يكون نطاق العنصر y في المجال المقابل فارغًا أو يحتوي على أي عدد من العناصر. على سبيل المثال، إذا كانت f هي الدالة من الأعداد الصحيحة إلى نفسها والتي تُسقط كل عدد صحيح على 0، فإن${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$.

لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت دالة، و A و B مجموعتان جزئيتان من X ، و C و D مجموعتان جزئيتان من Y ، فإن المرء يمتلك الخصائص التالية:

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

يُطلق على الصورة العكسية بواسطة f لعنصر y من المجال المقابل أحيانًا، في بعض السياقات، اسم ألياف y تحت f .

إذا كانت للدالة f دالة عكسية (انظر أدناه)، يُرمز إلى هذه الدالة العكسية بـ${\displaystyle f^{-1}.}$في هذه الحالة${\displaystyle f^{-1}(C)}$قد يشير إلى الصورة بواسطة${\displaystyle f^{-1}}$أو الصورة العكسية لـ C بواسطة f . لا تُشكل هذه مشكلة، لأن هذه المجموعات متساوية.${\displaystyle f(A)}$و${\displaystyle f^{-1}(C)}$قد يكون الأمر غامضًا في حالة المجموعات التي تحتوي على بعض المجموعات الفرعية كعناصر، مثل${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$في هذه الحالة، قد يلزم توخي بعض الحذر، على سبيل المثال، باستخدام الأقواس المربعة.${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$للصور والصور الأصلية للمجموعات الفرعية والأقواس العادية للصور والصور الأصلية للعناصر.

يترك${\displaystyle f:X\to Y}$أن تكون دالة.

تكون الدالة f أحادية ( أو أحادية التقابل ، أو دالة أحادية ) إذا كان f ( a ) ≠ f ( b ) لكل عنصرين مختلفين a و b من X. ^{[ 17 ] [ 19 ]} بصورة مكافئة، تكون f أحادية إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle y\in Y,}$الصورة الأصلية${\displaystyle f^{-1}(y)}$تحتوي على عنصر واحد على الأكثر. الدالة الفارغة دائمًا ما تكون أحادية. إذا لم تكن X مجموعة فارغة، فإن f تكون أحادية إذا وفقط إذا وُجدت دالة f.${\displaystyle g:Y\to X}$بحيث${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$أي، إذا كان للدالة f معكوس يساري . ^{[ 19 ]} البرهان : إذا كانت f دالة أحادية، فلتعريف g ، نختار عنصرًا${\displaystyle x_{0}}$في X (التي توجد لأن X يفترض أن تكون غير فارغة)، ^{[ ملاحظة 8 ]} ويتم تعريف g بواسطة${\displaystyle g(y)=x}$لو${\displaystyle y=f(x)}$و${\displaystyle g(y)=x_{0}}$لو${\displaystyle y\not \in f(X).}$على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$و${\displaystyle y=f(x),}$ ثم${\displaystyle x=g(y),}$وبالتالي${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

تكون الدالة f شاملة (أو على ، أو هي دالة شاملة ) إذا كان مداها${\displaystyle f(X)}$يساوي مجاله المقابل${\displaystyle Y}$أي، إذا كان لكل عنصر${\displaystyle y}$يوجد في المجال المقابل عنصر ما${\displaystyle x}$من المجال بحيث${\displaystyle f(x)=y}$(بمعنى آخر، الصورة الأصلية)${\displaystyle f^{-1}(y)}$من كل${\displaystyle y\in Y}$(غير فارغة). ^{[ 17 ] [ 20 ]} إذا افترضنا ، كما هو معتاد في الرياضيات الحديثة، بديهية الاختيار ، فإن f تكون شاملة إذا وفقط إذا وُجدت دالة${\displaystyle g:Y\to X}$بحيث${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$أي، إذا كان للدالة f معكوس يميني . ^{[ 20 ]} إن بديهية الاختيار ضرورية، لأنه إذا كانت f شاملة، فإننا نُعرّف g بـ${\displaystyle g(y)=x,}$أين${\displaystyle x}$هو عنصر مختار بشكل عشوائي من${\displaystyle f^{-1}(y).}$

تكون الدالة f تقابلية (أو تقابلية أو تناظرية أحادية ) إذا كانت أحادية وشاملة في آن واحد. ^{[ 17 ] [ 21 ]} أي أن f تقابلية إذا كان لكل${\displaystyle y\in Y,}$الصورة الأصلية${\displaystyle f^{-1}(y)}$تحتوي على عنصر واحد فقط. تكون الدالة f تقابلية إذا وفقط إذا كانت تقبل دالة عكسية ، أي دالة${\displaystyle g:Y\to X}$بحيث${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$و${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$^{[ 21 ]} (على عكس حالة الشموليات، فإن هذا لا يتطلب بديهية الاختيار؛ البرهان واضح ومباشر).

كل وظيفة${\displaystyle f:X\to Y}$يمكن تحليلها إلى مكونات${\displaystyle i\circ s}$من عملية الإسقاط الشامل متبوعة بعملية الحقن، حيث s هو الإسقاط الشامل المتعارف عليه لـ X على f ( X ) و i هو الحقن المتعارف عليه لـ f ( X ) في Y. هذا هو التحليل المتعارف عليه لـ f .

مصطلحا "واحد لواحد" و"على" كانا أكثر شيوعًا في الأدبيات الإنجليزية القديمة؛ أما مصطلحات "حقني" و"شامل" و"تقابلي" فقد صاغتها في الأصل كلمات فرنسية في الربع الثاني من القرن العشرين مجموعة بورباكي ، ثم استُوردت إلى الإنجليزية. ^{[ 22 ]} وللتوضيح، فإن "الدالة الواحدة لواحد" هي دالة حقنية، بينما "التناظر الواحد لواحد" يشير إلى دالة تقابلية. كذلك، يختلف التعبير " f maps X into Y " عن " f maps X into B "، فالأول يعني ضمنيًا أن f شاملة، بينما لا يُحدد الثاني طبيعة f . في الاستدلال المعقد، قد يُغفل بسهولة هذا الاختلاف البسيط. ونظرًا لطبيعة هذه المصطلحات القديمة المُربكة، فقد تراجع استخدامها مقارنةً بمصطلحات بورباكي، التي تتميز أيضًا بكونها أكثر تماثلًا.

لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت دالة و S مجموعة جزئية من X ، فإن تقييد${\displaystyle f}$إلى S ، المشار إليه${\displaystyle f|_{S}}$، هي الدالة من S إلى Y المعرفة بواسطة

$${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$$

لكل x في S. يمكن استخدام القيود لتعريف الدوال العكسية الجزئية : إذا كانت هناك مجموعة جزئية S من مجال الدالة${\displaystyle f}$بحيث${\displaystyle f|_{S}}$إذا كانت دالة حقنية، فإن الإسقاط الكنسي لـ${\displaystyle f|_{S}}$على صورتها${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$هي دالة تقابل، وبالتالي لها دالة عكسية من${\displaystyle f(S)}$إلى S. أحد تطبيقات ذلك هو تعريف الدوال المثلثية العكسية . على سبيل المثال، تكون دالة جيب التمام أحادية عند تقييدها بالفترة [ 0 ، π ] . صورة هذا التقييد هي الفترة [ -1، 1 ] ، وبالتالي فإن لهذا التقييد دالة عكسية من [ -1، 1 ] إلى [ 0، π ] ، تُسمى دالة جيب التمام العكسية ويُرمز لها بـ arccos .

يمكن أيضًا استخدام تقييد الوظائف لربط الوظائف معًا. لنفترض${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ليكن تفكيك X كاتحاد لمجموعات جزئية، ولنفترض أن دالة${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to Y}$يتم تحديده على كل${\displaystyle U_{i}}$بحيث يكون لكل زوج${\displaystyle i,j}$من المؤشرات، قيود${\displaystyle f_{i}}$و${\displaystyle f_{j}}$ل${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$إذا كانت متساوية، فإن هذا يُعرّف دالة فريدة.${\displaystyle f:X\to Y}$بحيث${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$لكل i . هذه هي الطريقة التي يتم بها تعريف الدوال على المشعبات .

امتداد الدالة f هو دالة g بحيث تكون f قيدًا على g . ومن الاستخدامات الشائعة لهذا المفهوم عملية الاستمرار التحليلي ، التي تسمح بتمديد الدوال التي يكون مجالها جزءًا صغيرًا من المستوى المركب إلى دوال يكون مجالها تقريبًا كامل المستوى المركب.

إليكم مثالًا كلاسيكيًا آخر على امتداد دالة يُصادف عند دراسة تحويلات خط الأعداد الحقيقية . التحويل هو دالة${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$بحيث يكون ad − bc ≠ 0. مجالها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية المختلفة عن${\displaystyle -d/c,}$وصورتها هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية المختلفة عن${\displaystyle a/c.}$إذا قام المرء بتمديد الخط الحقيقي إلى الخط الحقيقي الممتد إسقاطيًا عن طريق تضمين ∞ ، فإنه يستطيع تمديد h إلى تقابل من الخط الحقيقي الممتد إلى نفسه عن طريق وضع${\displaystyle h(\infty )=a/c}$و${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$.

الدالة الحقيقية هي دالة ذات قيم حقيقية لمتغير حقيقي ، أي دالة مجالها المقابل هو حقل الأعداد الحقيقية ومجالها مجموعة من الأعداد الحقيقية التي تحتوي على فترة . في هذا القسم، تُسمى هذه الدوال ببساطة دوال .

تتميز الدوال الأكثر شيوعًا في الرياضيات وتطبيقاتها بخصائص منتظمة، فهي متصلة وقابلة للتفاضل ، بل وحتى تحليلية . ويضمن هذا الانتظام إمكانية تمثيل هذه الدوال بيانيًا . في هذا القسم، جميع الدوال قابلة للتفاضل في فترة محددة.

تتمتع الدوال بعمليات نقطية ، أي إذا كانت f و g دالتين، فإن مجموعهما وفرقهما وحاصل ضربهما هي دوال معرفة بواسطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.}$$

مجالات الدوال الناتجة هي تقاطع مجالات الدالتين f و g . ويُعرَّف خارج قسمة دالتين بشكل مماثل.

$${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$$

لكن مجال الدالة الناتجة يتم الحصول عليه عن طريق إزالة أصفار g من تقاطع مجالات f و g .

تُعرَّف الدوال متعددة الحدود بواسطة كثيرات الحدود ، ومجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. وتشمل الدوال الثابتة ، والدوال الخطية ، والدوال التربيعية . أما الدوال الكسرية فهي ناتج قسمة دالتين متعددتي الحدود، ومجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية بعد حذف عدد محدود منها لتجنب القسمة على صفر . وأبسط دالة كسرية هي الدالة π.${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$الذي يمثل رسمه البياني قطعًا زائدًا ، ومجاله هو خط الأعداد الحقيقية بأكمله باستثناء الصفر.

مشتقة دالة حقيقية قابلة للتفاضل هي دالة حقيقية. أما الدالة الأصلية لدالة حقيقية متصلة فهي دالة حقيقية مشتقة منها الدالة الأصلية. على سبيل المثال، الدالة${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$الدالة متصلة، بل وقابلة للتفاضل، على الأعداد الحقيقية الموجبة. وبالتالي، فإن الدالة الأصلية التي تأخذ القيمة صفر عند x = 1 هي دالة قابلة للتفاضل تُسمى اللوغاريتم الطبيعي .

تكون الدالة الحقيقية f رتيبة في فترة ما إذا كانت إشارة${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$لا يعتمد ذلك على اختيار x و y في الفترة. إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق في الفترة، فإنها تكون رتيبة إذا كانت إشارة المشتقة ثابتة في تلك الفترة. إذا كانت دالة حقيقية f رتيبة في الفترة I ، فإن لها دالة عكسية ، وهي دالة حقيقية مجالها f ( I ) وصورتها I. هكذا تُعرَّف الدوال المثلثية العكسية بدلالة الدوال المثلثية ، حيث تكون الدوال المثلثية رتيبة. مثال آخر: اللوغاريتم الطبيعي رتيب على الأعداد الحقيقية الموجبة، وصورته هي خط الأعداد الحقيقية بأكمله؛ لذلك له دالة عكسية تقابل بين الأعداد الحقيقية والأعداد الحقيقية الموجبة. هذه الدالة العكسية هي الدالة الأسية .

تُعرَّف العديد من الدوال الحقيقية الأخرى إما بنظرية الدالة الضمنية (الدالة العكسية هي حالة خاصة منها) أو كحلول لمعادلات تفاضلية . على سبيل المثال، دالتا الجيب وجيب التمام هما حلول للمعادلة التفاضلية الخطية

$${\displaystyle y''+y=0}$$

بحيث

$${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.}$$

عندما تكون عناصر المجال المقابل لدالة ما متجهات ، يُقال إن الدالة دالة متجهة القيم. تُعد هذه الدوال مفيدة بشكل خاص في التطبيقات، مثل نمذجة الخصائص الفيزيائية. على سبيل المثال، الدالة التي تربط كل نقطة من مائع بمتجه سرعتها هي دالة متجهة القيم.

تُعرَّف بعض الدوال ذات القيم المتجهة على مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أو غيرها من المساحات التي تشترك في الخصائص الهندسية أو الطوبولوجية لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مثل المتشعبات . تُسمى هذه الدوال ذات القيم المتجهة بالحقول المتجهة .