الجيب وجيب التمام

لتعريف جيب وجيب تمام الزاوية الحادة${\displaystyle \alpha }$ابدأ بمثلث قائم الزاوية يحتوي على زاوية قياسها${\displaystyle \alpha }$في الشكل المرفق، الزاوية${\displaystyle \alpha }$في مثلث قائم الزاوية${\displaystyle ABC}$هي الزاوية محل الاهتمام. أما أضلاع المثلث الثلاثة فهي كما يلي: ^{[ 1 ]}

• الجانب المقابل هو الجانب المقابل للزاوية محل الاهتمام؛ في هذه الحالة، هو${\displaystyle a}$.
• الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة؛ في هذه الحالة، هو${\displaystyle h}$الوتر هو دائماً أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية.
• الجانب المجاور هو الجانب المتبقي؛ في هذه الحالة، هو${\displaystyle b}$يشكل ضلعًا من (ويكون مجاورًا لـ) كل من الزاوية محل الاهتمام والزاوية القائمة.

بمجرد اختيار مثل هذا المثلث، يكون جيب الزاوية مساوياً لطول الضلع المقابل مقسوماً على طول الوتر، ويكون جيب تمام الزاوية مساوياً لطول الضلع المجاور مقسوماً على طول الوتر: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\text{المقابل}}{\text{الوتر}}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {\text{المجاور}}{\text{الوتر}}}.}$$

يمكن تعريف الدوال المثلثية الأخرى للزاوية بطريقة مماثلة؛ فمثلاً، الظل هو النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور، أو بصورة مكافئة، هو النسبة بين دالتي الجيب وجيب التمام. مقلوب الجيب هو قاطع التمام، وهو نسبة طول الوتر إلى طول الضلع المقابل. وبالمثل، مقلوب جيب التمام هو القاطع، وهو نسبة طول الوتر إلى طول الضلع المجاور. أما دالة ظل التمام فهي النسبة بين طول الضلع المجاور وطول الضلع المقابل، وهي مقلوب دالة الظل. ويمكن صياغة هذه الدوال كما يلي: ^{[ 1 ]}$$\begin{aligned}\tan(\theta )&=\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}=\frac {\text{المقابل}}{\text{المجاور}}},\\\cot(\theta )&=\frac {1}{\tan(\theta )}}=\frac {\text{المجاور}}{\text{المقابل}}},\\\csc(\theta )&=\frac {1}{\sin(\theta )}}=\frac {\text{الوتر}}{\text{المقابل}}},\\\sec(\theta )&=\frac {1}{\cos(\theta )}}=\frac {\textrm {الوتر}}{\textrm {المجاور}}}.\end{aligned}}}$$

كما ذكرنا، القيم${\displaystyle \sin(\alpha )}$و${\displaystyle \cos(\alpha )}$يبدو أن ذلك يعتمد على اختيار مثلث قائم الزاوية يحتوي على زاوية قياسها${\displaystyle \alpha }$لكن هذا ليس هو الحال، فجميع هذه المثلثات متشابهة ، وبالتالي فإن النسب متساوية في كل منها. على سبيل المثال، يبلغ طول كل ضلع من أضلاع المثلث القائم الزاوية 45-45-90 وحدة واحدة، وطول وتره وحدة واحدة.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$؛ لذلك،${\textstyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$[ ^{2 ]} يوضح الجدول التالي القيمة الخاصة لكل مدخل لكل من دالتي الجيب وجيب التمام، مع نطاق القيم ^بين${\textstyle 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}}$يُوفّر هذا الجدول مُدخلاتٍ لأنظمة قياسٍ مُختلفة، مثل الدرجات والراديان، وما إلى ذلك. يُمكن الحصول على الزوايا الأخرى غير هذه الخمسة باستخدام الآلة الحاسبة. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

الزاوية، س				sin( x )		cos( x )
الدرجات	الراديان	جراديانز	المنعطفات	بالضبط	عشري	بالضبط	عشري
0°	0	${\displaystyle 0^{g}}$	0	0	0	1	1
30 درجة	${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.5	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	≈ 0.866
45 درجة	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi }$	${\displaystyle 50^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	≈ 0.707	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	≈ 0.707
60 درجة	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi }$	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	≈ 0.866	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.5
90 درجة	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi }$	${\displaystyle 100^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	1	1	0	0

يُعد قانون الجيب مفيدًا لحساب أطوال الأضلاع المجهولة في المثلث إذا عُلمت زاويتان وضلع واحد. ^{[ 5 ]} بفرض وجود مثلث${\displaystyle ABC}$مع جوانب${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$والزوايا المقابلة لتلك الجوانب${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$، و${\displaystyle \gamma }$ينص القانون على ما يلي: $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}.}$$ وهذا يعادل تساوي التعبيرات الثلاثة الأولى أدناه: $${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$$ أين${\displaystyle R}$هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث .

يُعد قانون جيب التمام مفيدًا لحساب طول ضلع مجهول إذا عُلم طول ضلعين آخرين وزاوية. ^{[ 5 ]} وينص القانون على ما يلي: $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}}$$ في الحالة التي${\displaystyle \gamma =\pi /2}$منها${\displaystyle \cos(\gamma )=0}$، وتصبح المعادلة الناتجة هي نظرية فيثاغورس . ^{[ 6 ]}

الضرب الاتجاهي والضرب القياسي عمليتان على متجهين في الفضاء الإقليدي . ويمكن تعريف دالتي الجيب وجيب التمام بدلالة الضرب الاتجاهي والضرب القياسي.${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$هي متجهات، و${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بين${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$ويمكن تعريف الجيب وجيب التمام على النحو التالي: ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}},\\\cos(\theta )&={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}.\end{aligned}}}$$

يمكن أيضًا تعريف دالتي الجيب وجيب التمام بطريقة أكثر عمومية باستخدام دائرة الوحدة ، وهي دائرة نصف قطرها واحد ومركزها نقطة الأصل.${\displaystyle (0,0)}$، مصاغة على شكل معادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$في نظام الإحداثيات الديكارتية . شعاع من نقطة الأصل يصنع زاوية مقدارها${\displaystyle \theta }$مع النصف الإيجابي من${\displaystyle x}$يتقاطع المحور مع دائرة الوحدة في نقطة واحدة فقط.${\displaystyle x}$- و${\displaystyle y}$- إحداثيات نقطة التقاطع هذه تساوي${\displaystyle \cos(\theta )}$و${\displaystyle \sin(\theta )}$على التوالي؛ أي ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \sin(\theta )=y,\qquad \cos(\theta )=x.}$$

يتوافق هذا التعريف مع تعريف الجيب وجيب التمام في المثلث القائم الزاوية عندما${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$لأن طول وتر دائرة الوحدة يساوي دائمًا 1؛ رياضيًا، جيب الزاوية يساوي الضلع المقابل في المثلث، وهو ببساطة${\displaystyle y}$- إحداثي. يمكن تقديم حجة مماثلة لدالة جيب التمام لإظهار أن جيب تمام الزاوية عندما${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$، حتى في ظل التعريف الجديد باستخدام دائرة الوحدة. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

رسم بياني لدالة وخصائصها الأساسية

يُتيح استخدام تعريف دائرة الوحدة ميزة رسم بياني لدالتي الجيب وجيب التمام. ويمكن القيام بذلك عن طريق تدوير نقطة عكس اتجاه عقارب الساعة على محيط الدائرة، وذلك حسب المدخلات.${\displaystyle \theta >0}$في دالة الجيب، إذا كان المدخل${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$، يتم تدوير النقطة عكس اتجاه عقارب الساعة وتتوقف تمامًا على${\displaystyle y}$- المحور. إذا${\displaystyle \theta =\pi }$تقع النقطة في منتصف الدائرة. إذا${\displaystyle \theta =2\pi }$، ثم تعود النقطة إلى نقطة الأصل. وينتج عن ذلك أن يكون مدى دالتي الجيب وجيب التمام بين${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$[ ^{12 ]​}

بتمديد الزاوية إلى أي مجال حقيقي، تدور النقطة عكس اتجاه عقارب الساعة باستمرار. ويمكن القيام بذلك بشكل مماثل لدالة جيب التمام أيضًا، على الرغم من أن النقطة تدور في البداية من${\displaystyle y}$- إحداثي. بعبارة أخرى، كل من دالتي الجيب وجيب التمام دوريتان ، مما يعني أن أي زاوية مضاف إليها محيط الدائرة هي الزاوية نفسها. رياضياً، ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=\sin(\theta ),\\\cos(\theta +2\pi )&=\cos(\theta ).\end{aligned}}}$$

وظيفة${\displaystyle f}$ويُقال إنه أمر غريب إذا${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ويُقال إنه كذلك حتى لو${\displaystyle f(-x)=f(x)}$دالة الجيب فردية، بينما دالة جيب التمام زوجية. ^{[ 14 ]} تتشابه دالتا الجيب وجيب التمام، ويختلفان بمقدار${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$يمكن التعبير عن هذا التحول الطوري على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right),\\\cos(\theta )&=\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

وهذا يختلف عن متطابقات الدوال المرافقة التي تليها أدناه، والتي تنشأ من هندسة المثلث القائم الزاوية وليست تحولات طورية: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right),\\\cos(\theta )&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).\end{aligned}}}$$

الصفر هو النقطة الثابتة الحقيقية الوحيدة لدالة الجيب؛ بعبارة أخرى، التقاطع الوحيد بين دالة الجيب ودالة التطابق هو${\displaystyle \sin(0)=0}$النقطة الثابتة الحقيقية الوحيدة لدالة جيب التمام تُسمى عدد دوتي . عدد دوتي هو الجذر الحقيقي الوحيد للمعادلة.${\displaystyle \cos(x)=x}$. يبلغ التوسع العشري لرقم دوتي حوالي 0.739085. ^{[ 16 ]}

الاستمرارية والتمايز

دالتا الجيب وجيب التمام قابلتان للتفاضل إلى ما لا نهاية. ^{[ 17 ]} مشتقة الجيب هي جيب التمام، ومشتقة جيب التمام هي الجيب السالب: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x),\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$$ يؤدي استمرار العملية في المشتقات ذات الرتب الأعلى إلى تكرار نفس الدوال؛ فالمشتقة الرابعة لدالة الجيب هي دالة الجيب نفسها. ^{[ 17 ]} يمكن تطبيق هذه المشتقات على اختبار المشتقة الأولى ، والذي يُعرّف رتابة الدالة بأنها متباينة مشتقة الدالة الأولى الأكبر من أو تساوي الصفر. ^{[ 19 ]} ويمكن تطبيقه أيضًا على اختبار المشتقة الثانية ، والذي يُعرّف تقعر الدالة بتطبيق متباينة مشتقة الدالة الثانية الأكبر من أو تساوي الصفر. ^{[ 20 ]} يوضح الجدول التالي أن دالتي الجيب وجيب التمام تتمتعان بالتقعر والرتابة - الإشارة الموجبة (${\displaystyle +}$يشير الرمز ) إلى أن الرسم البياني متزايد (يتجه للأعلى)، بينما تشير الإشارة السالبة ( ) إلى أن الرسم البياني (${\displaystyle -}$يتناقص (ينخفض) - في فترات معينة. ^{[ 3 ]} يمكن تمثيل هذه المعلومات بنظام إحداثيات ديكارتية مقسم إلى أربعة أرباع.

الربع	زاوية		جيب			جيب التمام
	الدرجات	الراديان	لافتة	رتابة	تحدب	لافتة	رتابة	تحدب
الربع الأول، أنا	${\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}$	${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle +}$	زيادة	مقعر	${\displaystyle +}$	انخفاض	مقعر
الربع الثاني، الثاني	${\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<x<\pi }$	${\displaystyle +}$	انخفاض	مقعر	${\displaystyle -}$	انخفاض	محدب
الربع الثالث، III	${\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}$	${\displaystyle \pi <x<{\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle -}$	انخفاض	محدب	${\displaystyle -}$	زيادة	محدب
الربع الرابع، الرابع	${\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi }$	${\displaystyle -}$	زيادة	محدب	${\displaystyle +}$	زيادة	مقعر

يمكن تعريف كل من دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام المعادلات التفاضلية.${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$الحل${\displaystyle (x(\theta ),y(\theta ))}$إلى نظام المعادلات التفاضلية ثنائي الأبعاد${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$و${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$مع الشروط الأولية${\displaystyle y(0)=0}$و${\displaystyle x(0)=1}$يمكن تفسير دائرة الوحدة في التعريفات السابقة على أنها تحدد مسار فضاء الطور للمعادلة التفاضلية مع الشروط الابتدائية المعطاة. ويمكن تفسيرها أيضًا على أنها مسار فضاء الطور لنظام المعادلات التفاضلية.${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$و${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$انطلاقاً من الشروط الأولية${\displaystyle y(0)=0}$و${\displaystyle x(0)=1}$.

الدوال العكسية

الوظائف${\textstyle \sin$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } and${\displaystyle \cos$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } (وكذلك الدوال التي لها نفس قاعدة الدالة والمجال والتي يكون مجالها المقابل مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$يحتوي على الفترة${\displaystyle \left[-1,1\right]}$الدوال ( ) ليست تقابلية، وبالتالي لا تمتلك دوال عكسية. على سبيل المثال،${\displaystyle \sin(0)=0}$ولكن أيضًا${\displaystyle \sin(\pi )=0}$، ${\displaystyle \sin(2\pi )=0}$يمكن وصف "معكوس" الجيب، المسمى arcsine، ليس كدالة بل كعلاقة (على سبيل المثال، جميع المضاعفات الصحيحة لـ${\displaystyle \pi }$(ستكون دالة الجيب العكسية تساوي صفرًا). لتعريف الدوال العكسية للجيب وجيب التمام، يجب تقييدها بفروعها الرئيسية عن طريق تقييد مجالها ومجالها المقابل؛ وتكون الدوال القياسية المستخدمة لتعريف دالة الجيب العكسية ودالة جيب التمام العكسية هي ${\displaystyle \sin$ :\left[-\pi /2,\pi /2\right]\to \left[-1,1\right]} و${\displaystyle \cos$ ^{[ 25 ]} هذه الدوال تقابلية ولها دوال عكسية:${\displaystyle \arcsin$ :\left[-1,1\right]\to \left[-\pi /2,\pi /2\right]} و${\displaystyle \arccos$ :\left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right]} . الترميز البديل هو${\displaystyle \sin ^{-1}}$لـ (الجيب العكسي) و${\displaystyle \cos ^{-1}}$لـ arccosine.

باستخدام هذه التعريفات، يمكن الحصول على خرائط التطابق والمعادلات: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \circ \arcsin \,(x)&=\sin(\arcsin(x))=x&x&\in \left[-1,1\right],\\\arcsin \circ \sin \,(\theta )&=\arcsin(\sin(\theta ))=\theta &\theta &\in \left[-\pi /2,\pi /2\right],\end{aligned}}}$$و $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \circ \arccos \,(x)&=\cos(\arccos(x))=x&x&\in \left[-1,1\right],\\\arccos \circ \cos \,(\theta )&=\arccos(\cos(\theta ))=\theta &\theta &\in \left[0,\pi \right].\end{aligned}}}$$

زاوية حادة${\displaystyle \theta }$يُعطى بواسطة: $${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right),}$$ حيث لبعض الأعداد الصحيحة${\displaystyle k}$، $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &{\begin{cases}y={\hphantom {\pi -}}\arcsin(x)+2\pi k,&{\text{ أو }}\\y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\end{cases}}\\\cos(y)=x\iff &{\begin{cases}y={\hphantom {-}}\arccos(x)+2\pi k,&{\text{ أو }}\\y=-\arccos(x)+2\pi k\end{cases}}\end{aligned}}}$$

هويات أخرى

بحسب نظرية فيثاغورس ، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين في المثلث. وبقسمة طرفي المعادلة على مربع الوتر، نحصل على متطابقة فيثاغورس المثلثية ، وهي أن مجموع مربع الجيب ومربع جيب التمام يساوي 1: ^{[ 26 ] [ أ ]}$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1.}$$

تحقق الجيب وجيب التمام صيغ الزاوية المزدوجة التالية: ^{[ 27 ]}$$// )\نهاية {محاذاة}}}$$

تشير صيغة جيب التمام للزاوية المضاعفة إلى أن sin ² و cos ² هما في حد ذاتهما موجات جيبية مُزاحة ومُقاسة. تحديدًا، ^{[ 28 ]}$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$$ يُظهر الرسم البياني دالتي الجيب ومربع الجيب، حيث يُمثل الجيب باللون الأزرق ومربع الجيب باللون الأحمر. يتشابه الرسمان في الشكل، لكنهما يختلفان في نطاق القيم وعدد الدورات. فدالة مربع الجيب لها قيم موجبة فقط، ولكن عدد دوراتها ضعف عدد دورات دالة الجيب.

يمكن تعريف كل من دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام متسلسلة تايلور ، وهي متسلسلة قوى تتضمن المشتقات ذات الرتب العليا. وكما ذُكر في قسم "  الاستمرارية والتفاضل" ، فإن مشتقة الجيب هي جيب التمام، ومشتقة جيب التمام هي معكوس الجيب. وهذا يعني أن المشتقات المتتالية لـ${\displaystyle \sin(x)}$نكون${\displaystyle \cos(x)}$،${\displaystyle -\sin(x)}$،${\displaystyle -\cos(x)}$،${\displaystyle \sin(x)}$، مع الاستمرار في تكرار تلك الوظائف الأربع.${\displaystyle (4n+k)}$- المشتقة من الرتبة n، عند النقطة 0: $${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{عندما }}k=0\\1&{\text{عندما }}k=1\\0&{\text{عندما }}k=2\\-1&{\text{عندما }}k=3\end{cases}}}$$ حيث يمثل الرمز العلوي التفاضل المتكرر. وهذا يعني توسيع متسلسلة تايلور التالية عند${\displaystyle x=0}$يمكن للمرء بعد ذلك استخدام نظرية متسلسلات تايلور لإثبات أن المتطابقات التالية صحيحة لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle x}$- أين${\displaystyle x}$هي الزاوية بالراديان. ^{[ 29 ]} وبشكل أعم، بالنسبة لجميع الأعداد المركبة : ^{[ 30 ]}$$\displaystyle \begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$ بأخذ مشتقة كل حد، نحصل على متسلسلة تايلور لجيب التمام: ^{[ 29 ] [ 30 ]}$$\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

قد تظهر دالتا الجيب وجيب التمام، عند الزوايا المتعددة، كتركيب خطي لهما ، مما ينتج عنه متعددة حدود. تُعرف هذه المتعددة الحدود بمتعددة الحدود المثلثية . تتجلى تطبيقات متعددة الحدود المثلثية الواسعة في استيفائها ، وفي امتدادها لدالة دورية تُعرف بمتسلسلة فورييه .${\displaystyle a_{n}}$و${\displaystyle b_{n}}$إذا كانت المعاملات أيًا، فإن متعددة الحدود المثلثية من الدرجة${\displaystyle N}$— يُشار إليه بـ${\displaystyle T(x)}$— يُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 31 ] [ 32 ]}$${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).}$$

يمكن تعريف المتسلسلة المثلثية بشكل مشابه لكثير الحدود المثلثي، أي معكوسها اللانهائي .${\displaystyle A_{n}}$و${\displaystyle B_{n}}$إذا كانت المعاملات هي أي معاملات، فيمكن تعريف المتسلسلة المثلثية على النحو التالي: ^{[ 33 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx).}$$ في حالة متسلسلة فورييه ذات دالة قابلة للتكامل معينة${\displaystyle f}$، معاملات المتسلسلة المثلثية هي: ^{[ 34 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.\end{aligned}}}$$

يمكن توسيع كل من الجيب وجيب التمام بشكل أكبر باستخدام الأعداد المركبة ، وهي مجموعة من الأعداد تتكون من الأعداد الحقيقية والتخيلية . بالنسبة للأعداد الحقيقية${\displaystyle \theta }$، يمكن توسيع تعريف كل من دالتي الجيب وجيب التمام في المستوى المركب بدلالة دالة أسية على النحو التالي: ^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta )&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{محاذاة}}}$$

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف كلتا الدالتين بدلالة صيغة أويلر : ^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta )+i\sin(\theta ),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta )-i\sin(\theta ).\end{aligned}}}$$

عند تمثيلها بيانيًا على المستوى المركب ، فإن الدالة${\displaystyle e^{ix}}$للقيم الحقيقية لـ${\displaystyle x}$يرسم دائرة الوحدة في المستوى المركب. يمكن تبسيط كل من دالتي الجيب وجيب التمام إلى الجزء التخيلي والجزء الحقيقي من${\displaystyle e^{i\theta }}$كما يلي: ^{[ 36 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}$$

متى${\displaystyle z=x+iy}$للحصول على القيم الحقيقية${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، أين${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$يمكن التعبير عن كل من دالتي الجيب وجيب التمام بدلالة دوال الجيب الحقيقية وجيب التمام والدوال الزائدية على النحو التالي: ^{[ 37 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}$$

تُستخدم الجيب وجيب التمام لربط الأجزاء الحقيقية والخيالية للعدد المركب بإحداثياته ​​القطبية.${\displaystyle (r,\theta )}$: $${\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))=r\cos(\theta )+ir\sin(\theta ),}$$ والأجزاء الحقيقية والخيالية هي $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cos(\theta ),\\\operatorname {Im} (z)&=r\sin(\theta ),\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle r}$و${\displaystyle \theta }$يمثل مقدار وزاوية العدد المركب${\displaystyle z}$[ ^{38 ]​}

لأي عدد حقيقي${\displaystyle \theta }$تُصاغ صيغة أويلر بدلالة الإحداثيات القطبية على النحو التالي:${\textstyle z=re^{i\theta }}$[ ^{35 ]​}

بتطبيق تعريف المتسلسلة للجيب وجيب التمام على وسيط مركب،${\displaystyle z}$، يعطي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \sinh }$و${\displaystyle \cosh }$هما الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي . وهما دالتان كاملتان .

من المفيد أيضاً في بعض الأحيان التعبير عن دالتي الجيب وجيب التمام المركبتين بدلالة الأجزاء الحقيقية والخيالية من وسيطهما: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$$

• دالة الجيب في المستوى المركب
• 
  المكون الحقيقي
• 
  المكون التخيلي
• 
  ضخامة

• دالة الجيب العكسي في المستوى المركب
• 
  المكون الحقيقي
• 
  المكون التخيلي
• 
  ضخامة

كلمة "sine" مشتقة، بشكل غير مباشر، من الكلمة السنسكريتية "jyā " التي تعني "وتر القوس"، أو تحديدًا من مرادفها "jīvá " (وكلاهما مأخوذ من الكلمة اليونانية القديمة " χορδή " التي تعني "وتر" أو "حبل")، وذلك لتشابهها البصري بين قوس الدائرة ووترها المقابل، والقوس ووتره (انظر jyā، وkoti-jyā، وutkrama-jyā ؛ فالجيب والوتر مرتبطان ارتباطًا وثيقًا في دائرة قطرها وحدة واحدة، انظر نظرية بطليموس ). وقد نُقلت هذه الكلمة إلى اللغة العربية بكلمة "jība" ، وهي كلمة لا معنى لها في تلك اللغة، وتُكتب " jb " . ولأن اللغة العربية تُكتب بدون حركات قصيرة، فقد فُسِّرت "jb" على أنها الكلمة المتجانسة " jayb "، والتي تعني "صدر" أو "جيب" أو "طية". ^{[ 40 ] [ 41 ]} عندما تُرجمت النصوص العربية للبتاني والخوارزمي إلى اللاتينية في القرن الثاني عشر على يد جيرارد الكريموني ، استخدم الكلمة اللاتينية المقابلة sinus (والتي تعني أيضًا "خليج" أو " طية"، وتحديدًا "طية الرداء المتدلية فوق الصدر"). ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]} من المحتمل أن جيرارد لم يكن أول باحث يستخدم هذه الترجمة؛ إذ يبدو أن روبرت تشيستر قد سبقه، وهناك أدلة على استخدام أقدم. ^{[ 45 ] [ 46 ]} أُدخلت الصيغة الإنجليزية sine في كتاب "Horologiographia" لتوماس فيل عام 1593. ^{[ 47 ]}

كلمة cosine مشتقة من اختصار للكلمة اللاتينية complementi sinus 'جيب الزاوية المتممة ' كما وردت cosinus في كتاب إدموند غونتر Canon triangulorum (1620)، والذي يتضمن أيضًا تعريفًا مشابهًا لـ cotangens . ^{[ 48 ]}

على الرغم من أن الدراسات المبكرة لعلم المثلثات تعود إلى العصور القديمة، إلا أن الدوال المثلثية بصورتها الحالية طُوِّرت في العصور الوسطى. وقد اكتشف دالة الوتر كلٌّ من هيبارخوس النيقاوي (180-125 قبل الميلاد) وبطليموس الروماني المصري (90-165 ميلادي). ^{[ 49 ]}

ترتبط دالتا الجيب وجيب التمام ارتباطًا وثيقًا بدالتي جيا وكوتي جيا المستخدمتين في علم الفلك الهندي خلال فترة غوبتا ( أريابهاتيا وسوريا سيدانتا )، وذلك من خلال الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ثم من العربية إلى اللاتينية. ^{[ 42 ] [ 50 ]}

كانت جميع الدوال المثلثية الست المستخدمة حاليًا معروفة في الرياضيات الإسلامية بحلول القرن التاسع الميلادي، وكذلك قانون الجيب المستخدم في حل المثلثات . ^{[ 51 ]} وقد وضع الخوارزمي (حوالي 780-850) جداول للجيب وجيب التمام والظل. ^{[ 52 ] [ 53 ]} واكتشف محمد بن جابر الحراني البتاني (853-929) الدوال المقلوبة للقاطع وقاطع التمام، ووضع أول جدول لقواطع التمام لكل درجة من 1° إلى 90°. ^{[ 53 ]}

في أوائل القرن السابع عشر، نشر عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرار أول استخدام للاختصارات sin و cos و tan ؛ وقد شاع استخدامها لاحقًا على يد أويلر (انظر أدناه). ويُرجّح أن يكون كتاب Opus palatinum de triangulis لجورج يواكيم ريتيكوس ، تلميذ كوبرنيكوس ، أول كتاب في أوروبا يُعرّف الدوال المثلثية مباشرةً بدلالة المثلثات القائمة بدلًا من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ وقد أنجز هذا العمل تلميذ ريتيكوس، فالنتين أوتو، عام 1596.

في ورقة بحثية نُشرت عام ١٦٨٢، أثبت لايبنتز أن sin x ليس دالة جبرية لـ x . ^{[ ٥٤ ]} قام روجر كوتس بحساب مشتقة الجيب في كتابه Harmonia Mensurarum (١٧٢٢). ^{[ ٥٥ ]} كان لكتاب ليونارد أويلر Introductio in analysin infinitorum (١٧٤٨) الفضل الأكبر في ترسيخ المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، حيث عرّفها أيضًا على أنها متسلسلات لانهائية، وقدّم " صيغة أويلر "، بالإضافة إلى الاختصارات الحديثة نسبيًا sin. و cos. و tan. و cot. و sec. و cosec. ^{[ ٤٢ ]}

توفر بعض مكتبات البرامج تطبيقات للجيب وجيب التمام باستخدام زاوية الإدخال بنصف دورة ، ونصف الدورة هي زاوية 180 درجة أو${\displaystyle \pi }$الراديان. تمثيل الزوايا بالدورات أو أنصاف الدورات له مزايا في الدقة والكفاءة في بعض الحالات. ^{[ 57 ] [ 58 ]} تُسمى هذه الدوال في لغات Fortran، ^{[ 59 ]}sinpi و MATLAB، ^{[ 57 ]} و OpenCL ، ^{[ 60 ]} و R، ^{[ 58 ]} و Julia، ^{[ 61 ]} و CUDA ، ^{[ 62 ]} و ARM. ^{[ 63 ]} على سبيل المثال، ستُقيّم إلىcospisinpi(x)${\displaystyle \sin(\pi x),}$أين${\displaystyle x}$يُعبَّر عنها بنصف دورات، وبالتالي يمكن تفسير المدخل النهائي للدالة، π x، بالراديان بواسطة sin . توفر مكتبة SciPysindg دوالًا مماثلة cosdgبمدخلات بالدرجات، ^{[ 64 ]} كما تفعل لغة Fortran ^{[ 59 ]} ولكنها تحمل اسمين sindمختلفين cosd.

تستمد ميزة الدقة من القدرة على تمثيل الزوايا الرئيسية بدقة تامة، مثل الدوران الكامل ونصف الدوران وربع الدوران، دون فقدان أي بيانات، سواءً بنظام الفاصلة العائمة الثنائية أو نظام الفاصلة الثابتة. في المقابل، فإن تمثيل${\displaystyle 2\pi }$،${\displaystyle \pi }$، و${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$في نظام الفاصلة العائمة الثنائية أو نظام الفاصلة الثابتة الثنائية المقياس، ينطوي الأمر دائمًا على فقدان الدقة نظرًا لأنه لا يمكن تمثيل الأعداد غير النسبية بعدد محدود من الأرقام الثنائية.

تتميز الدورات أيضًا بميزة الدقة والكفاءة في حساب باقي القسمة لدورة واحدة. يمكن حساب باقي القسمة لدورة واحدة أو دورتين لنصف دورة بكفاءة ودون فقدان للبيانات في كل من أنظمة الفاصلة العائمة وأنظمة الفاصلة الثابتة. على سبيل المثال، يتطلب حساب باقي القسمة لدورة واحدة أو دورتين لقيمة فاصلة ثابتة مُقاسة بنظام الفاصلة الثابتة إجراء إزاحة بتية أو عملية AND منطقية. في المقابل، يتطلب حساب باقي القسمة لدورة واحدة أو دورتين لقيمة فاصلة ثابتة مُقاسة بنظام الفاصلة الثنائية إجراء إزاحة بتية أو عملية AND منطقية.${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ينطوي ذلك على عدم دقة في التمثيل${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$.

في التطبيقات التي تستخدم مستشعرات الزاوية، يوفر المستشعر عادةً قياسات الزاوية بصيغة متوافقة مباشرةً مع الدورات الكاملة أو أنصاف الدورات. على سبيل المثال، قد يعد مستشعر الزاوية من 0 إلى 4096 خلال دورة كاملة. ^{[ 65 ]} إذا استُخدمت أنصاف الدورات كوحدة للزاوية، فإن القيمة التي يوفرها المستشعر تُحوّل مباشرةً وبدون فقدان إلى نوع بيانات ذي فاصلة ثابتة مع 11 بتًا على يمين الفاصلة الثنائية. في المقابل، إذا استُخدمت الراديان كوحدة لتخزين الزاوية، فإن عدم الدقة وتكلفة ضرب العدد الصحيح الخام للمستشعر بتقريب لـ${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$سيتم تكبد تكاليف.