المثلث القائم الزاوية

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 107 صور
الموسوعة الحرة
مثلث قائم الزاوية △ ABC زاويته القائمة عند النقطة C ، وتره c ، وساقاه a و b ،

المثلث القائم الزاوية أو المثلث القائم الزاوية ، والذي يسمى أحيانًا المثلث المتعامد أو المثلث المستطيل ، هو مثلث يكون فيه ضلعان متعامدين ، مما يشكل زاوية قائمة ( ربع دورة أو 90 درجة ) .

يُطلق على الضلع المقابل للزاوية القائمة اسم الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة).ج{\displaystyle c}(كما هو موضح في الشكل). تُسمى الأضلاع المجاورة للزاوية القائمة بالساقين (أو الضلعين ، المفرد: الضلع ).أ{\displaystyle a}يمكن تحديدها على أنها الجانب المجاور للزاويةب{\displaystyle B}والزاوية المقابلة (أو المتعارضة مع )أ،{\displaystyle A,}بينما الجانبب{\displaystyle b}هو الجانب المجاور للزاويةأ{\displaystyle A}والزاوية المقابلةب.{\displaystyle B.}

كل مثلث قائم الزاوية هو نصف مستطيل مقسوم على طول قطره . عندما يكون المستطيل مربعًا ، يكون نصفه المثلثي القائم الزاوية متساوي الساقين ، أي له ضلعان متطابقان وزاويتان متطابقتان. أما عندما لا يكون المستطيل مربعًا، فيكون نصفه المثلثي القائم الزاوية مختلف الأضلاع .

كل مثلث قاعدته قطر دائرة ورأسه يقع على الدائرة هو مثلث قائم الزاوية، حيث الزاوية القائمة عند الرأس والوتر هو القاعدة؛ وبالعكس، فإن الدائرة المحيطة بأي مثلث قائم الزاوية يكون وتره هو قطرها. هذه هي نظرية طاليس .

ضلعا المثلث القائم الزاوية ووتره يحققان نظرية فيثاغورس : مجموع مساحتي المربعين على الضلعين القائمين يساوي مساحة المربع على الوتر.أ2+ب2=ج2.{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}إذا كانت أطوال جميع أضلاع المثلث القائم الزاوية أعدادًا صحيحة، فإن المثلث يسمى مثلث فيثاغورس وتُعرف أطوال أضلاعه مجتمعة باسم ثلاثية فيثاغورس .

توفر العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية إحدى طرق تعريف وفهم علم المثلثات ، وهو دراسة العلاقات المترية بين الأطوال والزوايا.

الخصائص الرئيسية

الجوانب

كرسي العروس من برهان نظرية فيثاغورس ، في النسخة الملونة المستخدمة في طبعة بيرن عام 1847. يُظهر البرهان أن المساحات السوداء والصفراء متساوية، وكذلك المساحات الحمراء والزرقاء.

ترتبط أضلاع المثلث القائم الزاوية الثلاثة بنظرية فيثاغورس ، والتي يمكن كتابتها بالصيغة الجبرية الحديثة على النحو التالي: أ2+ب2=ج2،{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},} أينج{\displaystyle c}هو طول الوتر ( الضلع المقابل للزاوية القائمة)، وأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}تمثل أطوال الضلعين القائمين (الضلعين المتبقيين). وقد تم إثبات هذه النظرية في العصور القديمة، وهي القضية 1.47 في كتاب الأصول لإقليدس : "في المثلثات القائمة الزاوية، يكون مربع الضلع المقابل للزاوية القائمة مساويًا لمربعي الضلعين المحيطين بالزاوية القائمة." [ 1 ] ثلاثة أعداد صحيحةأ{\displaystyle a}،​​ب{\displaystyle b}و​​ج{\displaystyle c}تُسمى الأعداد التي تحقق هذه المعادلة بالثلاثية الفيثاغورية . في التطبيقات العملية كالبناء والمساحة، تُستخدم هذه العلاقة بكثرة باستخدام قاعدة 3-4-5 للتأكد من أن الزاوية تساوي 90 درجة بالضبط.

منطقة

كما هو الحال مع أي مثلث، فإن مساحته تساوي نصف القاعدة مضروبة في الارتفاع المقابل لها. في المثلث القائم الزاوية، إذا اعتبرنا أحد الضلعين قاعدةً، فإن الضلع الآخر هو الارتفاع، وبالتالي فإن مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف حاصل ضرب الضلعين. وكصيغة رياضية، فإن مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف حاصل ضرب الضلعين.تي{\displaystyle T}يكون

تي=12أب{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}

أينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}هما ضلعا المثلث.

إذا كانت الدائرة الداخلية مماسة للوترأب{\displaystyle AB}عند النقطةP،{\displaystyle P,}ثم بجعل نصف المحيطs=12(أ+ب+ج)،{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}لدينا |Pأ|=s-أ{\displaystyle |PA|=sa}و|Pب|=s-ب،{\displaystyle |PB|=sb,}والمساحة معطاة بواسطة

تي=|Pأ|⋅|Pب|=(s-أ)(s-ب).{\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|=(sa)(sb).}

لا تنطبق هذه الصيغة إلا على المثلثات القائمة الزاوية. [ 2 ]

الارتفاعات

ارتفاع المثلث القائم الزاوية f

إذا رُسم ارتفاع من رأس المثلث، بزاوية قائمة على الوتر، فإن المثلث ينقسم إلى مثلثين أصغر؛ كلاهما متشابه مع المثلث الأصلي، وبالتالي متشابهان مع بعضهما. من هذا:

في المعادلات،

و2=دهـ،{\displaystyle f^{2}=de,}(يُعرف هذا أحيانًا باسم نظرية ارتفاع المثلث القائم الزاوية )
ب2=جهـ،{\displaystyle b^{2}=ce,}
أ2=جد{\displaystyle a^{2}=cd}

أينأ،ب،ج،د،هـ،و{\displaystyle a,b,c,d,e,f}كما هو موضح في الرسم التخطيطي. [ 4 ] وبالتالي

و=أبج.{\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}

علاوة على ذلك، يرتبط الارتفاع بالنسبة للوتر بساقي المثلث القائم الزاوية من خلال [ 5 ] [ 6 ]

1أ2+1ب2=1و2.{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}

بالنسبة لحلول هذه المعادلة في قيم صحيحة لـأ،ب،ج،و،{\displaystyle a,b,c,f,}انظر هنا .

يتطابق الارتفاع من أي من ضلعي المثلث القائم الزاوية مع الارتفاع من الضلع الآخر. وبما أن هذه الارتفاعات تتقاطع عند رأس المثلث القائم الزاوية، فإن مركز تعامد المثلث القائم الزاوية - وهو نقطة تقاطع ارتفاعاته الثلاثة - يتطابق مع رأس المثلث القائم الزاوية.

نصف القطر الداخلي ونصف القطر المحيط

نصف قطر الدائرة الداخلية لمثلث قائم الزاوية له ساقانأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}والوترج{\displaystyle c}يكون

ر=أ+ب-ج2=أبأ+ب+ج.{\displaystyle r={\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}

بحسب نظرية طاليس ، فإن الوتر هو قطر الدائرة المحيطة ، وبالتالي فإن نصف قطر الدائرة المحيطة يساوي نصف طول الوتر:

R=ج2.{\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}

وبالتالي فإن مجموع نصف القطر المحيط ونصف القطر الداخلي يساوي نصف مجموع الساقين: [ 7 ]

R+ر=أ+ب2.{\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}

يمكن التعبير عن أحد الضلعين بدلالة نصف القطر الداخلي، والضلع الآخر بدلالة

أ=2ر(ب-ر)ب-2ر.{\displaystyle a={\frac {2r(br)}{b-2r}}.}

الخصائص

مثلث△أبج{\displaystyle \triangle ABC}مع جوانبأ≤ب<ج{\displaystyle a\leq b<c}نصف المحيطs=12(أ+ب+ج){\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}، منطقةتي،{\displaystyle T,}ارتفاعحج{\displaystyle h_{c}}مقابل أطول جانب، نصف القطر المحيطيR،{\displaystyle R,}نصف القطر الداخلير،{\displaystyle r,}exradiiرأ،رب،رج{\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}مماس لـأ،ب،ج{\displaystyle a,b,c}على التوالي، والوسائطمأ،مب،مج{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}يكون المثلث قائم الزاوية إذا وفقط إذا كانت إحدى العبارات في الفئات الست التالية صحيحة. وبالتالي، فإن كل عبارة منها تُعدّ أيضاً خاصية من خصائص أي مثلث قائم الزاوية.

الجوانب ونصف المحيط

  • أ2+ب2=ج2(نظرية فيثاغورس){\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{نظرية فيثاغورس}})}
  • (s-أ)(s-ب)=s(s-ج){\displaystyle (sa)(sb)=s(sc)}
  • s=2R+ر.{\displaystyle s=2R+r.}[ 8 ]
  • أ2+ب2+ج2=8R2.{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}[ 9 ]

الزوايا

  • أ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}متكاملة . [ 10 ]​
  • كوس⁡أكوس⁡بكوس⁡ج=0.{\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}[ 9 ] [ 11 ]
  • الخطيئة2⁡أ+الخطيئة2⁡ب+الخطيئة2⁡ج=2.{\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}[ 9 ] [ 11 ]
  • كوس2⁡أ+كوس2⁡ب+كوس2⁡ج=1.{\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}[ 11 ]
  • الخطيئة⁡2أ=الخطيئة⁡2ب=2الخطيئة⁡أالخطيئة⁡ب.{\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}

منطقة

  • تي=أب2{\displaystyle T={\frac {ab}{2}}}
  • تي=رأرب=ررج{\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}
  • تي=ر(2R+ر){\displaystyle T=r(2R+r)}
  • تي=(2s-ج)2-ج24=s(s-ج){\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(sc)}
  • تي=|Pأ|⋅|Pب|،{\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|,}أينP{\displaystyle P}هي نقطة التماس للدائرة الداخلية عند أطول ضلعأب.{\displaystyle AB.}[ 12 ]

نصف القطر الداخلي ونصف القطر الخارجي

  • ر=s-ج=(أ+ب-ج)/2{\displaystyle r=sc=(a+bc)/2}
  • رأ=s-ب=(أ-ب+ج)/2{\displaystyle r_{a}=sb=(a-b+c)/2}
  • رب=s-أ=(-أ+ب+ج)/2{\displaystyle r_{b}=sa=(-a+b+c)/2}
  • رج=s=(أ+ب+ج)/2{\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}
  • رأ+رب+رج+ر=أ+ب+ج{\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}
  • رأ2+رب2+رج2+ر2=أ2+ب2+ج2{\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}
  • ر=رأربرج.{\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}[ 13 ]

الارتفاع والوسط

ارتفاع المثلث القائم الزاوية من زاويته القائمة إلى وتره هو المتوسط ​​الهندسي لأطوال القطع المستقيمة التي ينقسم إليها الوتر. باستخدام نظرية فيثاغورس على المثلثات الثلاثة ذات الأضلاع ( p + q , r , s ) ، و ( r , ​​p , h ) ، و ( s , h , q ) ، (ص+q)2=ر2+s2ص2+2صq+q2=ص2+ح2⏞+ح2+q2⏞2صq=2ح2∴ح=صq{\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}

الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية

النسب المثلثية

يمكن تعريف الدوال المثلثية للزوايا الحادة كنسب بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. بالنسبة لزاوية معينة، يمكن إنشاء مثلث قائم الزاوية باستخدام هذه الزاوية، وتُسمى الأضلاع المقابلة والمجاورة والوتر بالنسبة لهذه الزاوية وفقًا للتعريفات المذكورة أعلاه. لا تعتمد هذه النسب على المثلث القائم الزاوية المحدد، بل على الزاوية المعطاة فقط، لأن جميع المثلثات التي تُنشأ بهذه الطريقة متشابهة . إذا كانت الزاوية α معينة، فإن الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر تُسمى...يا،{\displaystyle O,}أ،{\displaystyle A,}وح،{\displaystyle H,}على التوالي، فإن الدوال المثلثية هي

الخطيئة⁡α=ياح،كوس⁡α=أح،لون برونزي⁡α=ياأ،ثانية⁡α=حأ،سرير أطفال⁡α=أيا،csc⁡α=حيا.{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}

للاطلاع على التعبير عن الدوال الزائدية كنسبة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية، انظر المثلث الزائدي للقطاع الزائدي .

المثلثات القائمة الخاصة

يمكن حساب قيم الدوال المثلثية بدقة لزوايا معينة باستخدام المثلثات القائمة ذات الزوايا الخاصة. ومن هذه المثلثات المثلث 30-60-90 الذي يمكن استخدامه لحساب قيم الدوال المثلثية لأي مضاعف من مضاعف الزاوية 90 درجة.16π،{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ,}والمثلث القائم الزاوية متساوي الساقين أو المثلث 45-45-90 الذي يمكن استخدامه لتقييم الدوال المثلثية لأي مضاعف من14π.{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}

مثلث كبلر

يترك ح،{\displaystyle H,}جي،{\displaystyle G,}وأ{\displaystyle A}ليكن المتوسط ​​التوافقي ، والمتوسط ​​الهندسي ، والمتوسط ​​الحسابي لعددين موجبينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}معأ>ب.{\displaystyle a>b.}إذا كان للمثلث القائم الزاوية ساقانح{\displaystyle H}وجي{\displaystyle G}والوترأ،{\displaystyle A,}ثم [ 14 ]

أح=أ2جي2=جي2ح2=ϕ،أب=ϕ3،{\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},}

أينϕ=12(1+5){\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}هي النسبة الذهبية . وبما أن أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية تتزايد هندسياً ، فهذا هو مثلث كبلر .

نظرية طاليس

متوسط ​​الزاوية القائمة في المثلث

تنص نظرية طاليس على أنه إذابج{\displaystyle BC}هو قطر الدائرة وأ{\displaystyle A}إذا كانت أي نقطة أخرى على الدائرة،△أبج{\displaystyle \triangle ABC}هو مثلث قائم الزاوية فيه زاوية قائمة عندأ.{\displaystyle A.}ينص العكس على أن وتر المثلث القائم الزاوية هو قطر دائرته المحيطة . وكنتيجة لذلك، فإن مركز الدائرة المحيطة يقع عند منتصف القطر، لذا فإن المتوسط ​​المار برأس المثلث القائم الزاوية هو نصف قطر، ونصف قطر الدائرة المحيطة يساوي نصف طول الوتر.

الوسائط

تنطبق الصيغ التالية على متوسطات المثلث القائم الزاوية:

مأ2+مب2=5مج2=54ج2.{\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}

يقسم المتوسط ​​الواقع على وتر المثلث القائم الزاوية المثلث إلى مثلثين متساويي الساقين، لأن المتوسط ​​يساوي نصف الوتر.

الوسيطمأ{\displaystyle m_{a}}ومب{\displaystyle m_{b}}من الساقين يرضي [ 7 ] : ص 136، رقم 3110

4ج4+9أ2ب2=16مأ2مب2.{\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}

خط أويلر

في المثلث القائم الزاوية، يمر خط أويلر بالمتوسط ​​على الوتر، أي أنه يمر بكل من رأس المثلث القائم الزاوية ومنتصف الضلع المقابل له. وذلك لأن مركز تعامد المثلث القائم الزاوية، وهو نقطة تقاطع ارتفاعاته، يقع على رأس المثلث القائم الزاوية، بينما يقع مركز محيطه، وهو نقطة تقاطع منصفات أضلاعه العمودية ، على منتصف الوتر.

عدم المساواة

في أي مثلث قائم الزاوية، يكون قطر الدائرة الداخلية أقل من نصف طول الوتر، والأهم من ذلك أنه أقل من أو يساوي طول الوتر مضروبًا في(2-1).{\displaystyle ({\sqrt {2}}-1).}[ 15 ] : ص 281

في مثلث قائم الزاوية له ساقانأ،ب{\displaystyle a,b}والوترج،{\displaystyle c,}

ج≥22(أ+ب){\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}

مع المساواة فقط في حالة المثلث متساوي الساقين. [ 15 ] : ص 282، ص 358

إذا تم تحديد الارتفاع من الوترحج،{\displaystyle h_{c},}ثم

حج≤24(أ+ب){\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}

مع المساواة فقط في حالة المثلث متساوي الساقين. [ 15 ] : ص 282

خصائص أخرى

إذا كانت أجزاء ذات أطوالص{\displaystyle p}وq{\displaystyle q}تنبثق من الرأسج{\displaystyle C}قسّم الوتر إلى ثلاثة أجزاء طولها13ج،{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}c,}ثم [ 3 ] : الصفحات 216-217

ص2+q2=5(ج3)2.{\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}

المثلث القائم الزاوية هو المثلث الوحيد الذي يحتوي على مربعين مميزين داخله، بدلاً من مربع واحد أو ثلاثة مربعات. [ 16 ]

بفرض أي عددين موجبينح{\displaystyle h}وك{\displaystyle k}معح>ك.{\displaystyle h>k.}يتركح{\displaystyle h}وك{\displaystyle k} ليكن ضلعا المربعين المرسومين داخل مثلث قائم الزاوية وترهج.{\displaystyle c.}ثم

1ج2+1ح2=1ك2.{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}

هذه الجوانب ونصف قطر الدائرة الداخليةر{\displaystyle r}ترتبط هذه العلاقات بصيغة مماثلة:

1ر=-1ج+1ح+1ك.{\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}

محيط المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع أنصاف أقطار الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث :

أ+ب+ج=ر+رأ+رب+رج.{\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أرتمان، بينو (2012) [1999]، إقليدس: نشأة الرياضيات ، سبرينغر، ص  4، doi : 10.1007/978-1-4612-1412-0 ، ISBN 978-1-4612-1412-0.
  2. ↑ دي دومينيكو، أنجيلو س.، "خاصية للمثلثات تتعلق بالمساحة"، المجلة الرياضية 87، يوليو 2003، ص 323-324.
  3. 1 2 بوسامنتيير، ألفريد س.، وسالكيند، تشارلز ت. مشاكل صعبة في الهندسة ، دوفر، 1996.
  4. ↑ وينتورث، صفحة 156
  5. ↑ فولز، روجر، "حلول عددية صحيحة لـأ-2+ب-2=د-2{\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}" الجريدة الرياضية 83، يوليو 1999، 269-271".
  6. ↑ ريتشينيك، جينيفر، "نظرية فيثاغورس المقلوبة"، المجلة الرياضية 92، يوليو 2008، 313-317.
  7. 1 2 3 4 5 عدم المساواة المقترحة في " Crux Mathematicorum " ,.
  8. ↑ "المثلث قائم الزاوية إذا وفقط إذا كان s = 2R + r، فن حل المسائل ، 2011" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 28 أبريل 2014. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 يناير 2012 .
  9. 1 2 3 4 Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to ...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109–110.
  10. ↑ "خصائص المثلثات القائمة الزاوية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 31-12-2011 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15-02-2012 .
  11. 1 2 3 CTK Wiki Math، صيغة معدلة لنظرية فيثاغورس ، 2011،تمت أرشفة هذه الصفحة بتاريخ 2013-08-05 في موقع Wayback Machine .
  12. ↑ دارفاسي، جيولا (مارس 2005)، "عكس خاصية للمثلثات القائمة الزاوية"، المجلة الرياضية ، 89 (514): 72-76 ، doi : 10.1017/S0025557200176806 ، S2CID 125992270 .
  13. ↑ بيل، إيمي (2006)، "نظرية هانسن للمثلث القائم، وعكسها وتعميمها" (ملف PDF) ، منتدى الهندسة ، 6 : 335-342 ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 25-07-2008
  14. ↑ دي دومينيكو، أ.، "النسبة الذهبية - المثلث القائم الزاوية - والمتوسطات الحسابية والهندسية والتوافقية"، المجلة الرياضية 89، يوليو 2005، 261. وأيضًا ميتشل، دوغلاس و.، "ملاحظات على 89.41"، المجلد 90، مارس 2006، 153-154.
  15. 1 2 3 بوسامنتير، ألفريد س.، وليمان، إنغمار. أسرار المثلثات . كتب بروميثيوس، 2012.
  16. ↑ بيلي، هربرت، ودي تمبل، دوان، "المربعات المحصورة في الزوايا والمثلثات"، مجلة الرياضيات 71 (4)، 1998، 278-284.