مثلث الأعداد الصحيحة

يمكن لأي ثلاثية من الأعداد الصحيحة الموجبة أن تمثل أطوال أضلاع مثلث صحيح طالما أنها تحقق متباينة المثلث : الضلع الأطول أقصر من مجموع الضلعين الآخرين. كل ثلاثية من هذا القبيل تُعرّف مثلثًا صحيحًا فريدًا حتى التطابق . لذا ، فإن عدد المثلثات الصحيحة (حتى التطابق) ذات المحيط p هو عدد تقسيمات p إلى ثلاثة أجزاء موجبة تحقق متباينة المثلث. هذا هو العدد الصحيح الأقرب إلى${\displaystyle p^{2}/48}$عندما يكون p زوجيًا و${\displaystyle (p+3)^{2}/48}$عندما يكون p فرديًا . ^{[ 3 ] [ 4 ]} وهذا يعني أيضًا أن عدد المثلثات الصحيحة ذات المحيطات الزوجية${\displaystyle p=2n}$وهو نفس عدد المثلثات الصحيحة ذات المحيطات الفردية.${\displaystyle p=2n-3.}$ وبالتالي، لا يوجد مثلث صحيح محيطه 1 أو 2 أو 4، ولا يوجد مثلث واحد محيطه 3 أو 5 أو 6 أو 8، ولا يوجد مثلثان محيطهما 7 أو 10. يبدأ تسلسل عدد المثلثات الصحيحة ذات المحيط p من${\displaystyle p=1,}$يكون:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (التسلسل A005044 في OEIS )

يُطلق على هذا اسم متتالية ألكوين .

عدد المثلثات الصحيحة (حتى التطابق) التي لها أكبر ضلع c وثلاثية صحيحة معطاة${\displaystyle (a,b,c)}$هو عدد الثلاثيات الصحيحة التي تحقق${\displaystyle a+b>c}$و${\displaystyle a\leq b\leq c.}$هذه هي القيمة العددية الصحيحة${\displaystyle \lceil {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rceil \cdot \lfloor {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rfloor .}$^{[ 3 ]} أو بدلاً من ذلك، بالنسبة لـc، يكونالعدد المثلثي${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}c+1{\bigr )}}$وبالنسبة لـ c فردي، يكون مربعًا${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(c+1)^{2}.}$وهذا يعني أيضاً أن عدد المثلثات الصحيحة ذات الضلع الأكبر c يزيد عن عدد المثلثات الصحيحة ذات الضلع الأكبر c − 2 بمقدار c . ويكون تسلسل عدد المثلثات الصحيحة غير المتطابقة ذات الضلع الأكبر c ، بدءاً من c  = 1، كما يلي:

1، 2، 4، 6، 9، 12، 16، 20، 25، 30، 36، 42، 49، 56، 64، 72، 81، 90 ... (التسلسل A002620 في OEIS )

عدد المثلثات الصحيحة (حتى التطابق) التي لها ضلع أطول c وثلاثية أعداد صحيحة ( a , b , c ) وتقع على أو داخل نصف دائرة قطرها c هو عدد ثلاثيات الأعداد الصحيحة التي تحقق الشروط التالية: ^a + b > c، a² + b² ≤ c² ، و a ≤ b ≤ ^c . وهو أيضًا ^عدد المثلثات القائمة أو المنفرجة الزاوية ( غير الحادة ) ذات الأضلاع الصحيحة التي لها ضلع أطول c . المتتالية التي تبدأ من c = 1 هي:                 

0، 0، 1، 1، 3، 4، 5، 7، 10، 13، 15، 17، 22، 25، 30، 33، 38، 42، 48 ... (التسلسل A236384 في OEIS )

وبالتالي، فإن الفرق بين المتتاليتين أعلاه يعطي عدد المثلثات الحادة ذات الأضلاع الصحيحة (حتى التطابق) التي يكون طول ضلعها الأكبر c . المتتالية التي تبدأ من c  =  1 هي:

1، 2، 3، 5، 6، 8، 11، 13، 15، 17، 21، 25، 27، 31، 34، 39، 43، 48، 52 ... (التسلسل A247588 في OEIS )

بحسب صيغة هيرون ، إذا كانت T هي مساحة مثلث أطوال أضلاعه a و b و c، فإن

${\displaystyle 4T={\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)}}.}$

بما أن جميع الحدود الموجودة تحت الجذر على الجانب الأيمن من الصيغة هي أعداد صحيحة، فإنه يترتب على ذلك أن جميع المثلثات الصحيحة يجب أن يكون لها 16T ² عدد صحيح و T ² سيكون عددًا نسبيًا.

بحسب قانون جيب التمام ، فإن لكل زاوية من زوايا المثلث الصحيح جيب تمام نسبي . كما أن لكل زاوية من زوايا المثلث القائم الزاوية الصحيح جيباً نسبياً (انظر الثلاثية الفيثاغورية ).

إذا شكلت زوايا أي مثلث متتالية حسابية ، فلا بد أن تكون إحدى زواياه 60 درجة. ^{[ 5 ]} بالنسبة للمثلثات الصحيحة، يجب أن تكون الزوايا المتبقية ذات جيوب تمام نسبية، وتُقدم أدناه طريقة لتوليد هذه المثلثات. مع ذلك، باستثناء الحالة البديهية للمثلث متساوي الأضلاع، لا توجد مثلثات صحيحة تشكل زواياها متتالية هندسية أو توافقية . والسبب في ذلك هو أن هذه الزوايا يجب أن تكون زوايا نسبية على الصورة${\displaystyle \pi p/q}$مع العقلانية${\displaystyle 0<p/q<1.}$لكن يجب أن تكون جميع زوايا المثلثات الصحيحة ذات جيوب تمام نسبية، ولن يحدث هذا إلا عندما${\displaystyle p/q=1/3.}$^{[ 6 ] : ص.2}أي أن المثلث الصحيح متساوي الأضلاع.

مربع كل منصف زاوية داخلية في مثلث صحيح هو عدد نسبي، لأن الصيغة العامة للمثلث لمنصف الزاوية الداخلية للزاوية A هي${\textstyle 2{\sqrt {bcs(sa)}}{\big /}(b+c)}$حيث s هو نصف المحيط (وكذلك بالنسبة لمنصفات الزوايا الأخرى).

أي ارتفاع يسقط من رأس إلى جانب مقابل أو امتداده سيقسم ذلك الجانب أو امتداده إلى أطوال نسبية.

مربع ضعف أي متوسط ​​في مثلث صحيح هو عدد صحيح، لأن الصيغة العامة لمربع المتوسط ​​m _{= a²} ^{/ (2)} للضلع a هي${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}$، مما يعطي (2 m _a ) ²  =  2 b ²  +  2 c ²  − a ² (وبالمثل بالنسبة للمتوسطات على الجوانب الأخرى). 

لأن مربع مساحة المثلث الصحيح هو عدد نسبي، فإن مربع نصف قطر الدائرة المحيطة به هو أيضاً عدد نسبي، وكذلك مربع نصف قطر الدائرة الداخلية .

نسبة نصف قطر الدائرة الداخلية إلى نصف قطر الدائرة المحيطة في مثلث صحيح هي نسبة نسبية، وتساوي${\displaystyle 4T^{2}/sabc}$بالنسبة لنصف المحيط s والمساحة T.

حاصل ضرب نصف قطر الدائرة الداخلية ونصف قطر الدائرة المحيطة في مثلث صحيح هو حاصل نسبي، ويساوي${\displaystyle abc{\big /}2(a+b+c).}$

وبالتالي، فإن مربع المسافة بين مركز الدائرة الداخلية ومركز الدائرة المحيطة لمثلث صحيح، يُعطى بواسطة نظرية أويلر على النحو التالي:${\displaystyle R^{2}-2Rr}$إنه عقلاني.

كل مثلث هيروني له أضلاع تتناسب مع ^{[ 8 ]}

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

${\displaystyle {\text{نصف المحيط}}=mn(m+n)}$

${\displaystyle {\text{المساحة}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة m و n و k مع مراعاة القيود التالية:

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1.}$

عامل التناسب هو عمومًا عامل نسبي${\displaystyle p/q}$حيث أن q = gcd ( a , b , c ) يُختزل المثلث الهيروني المُولّد إلى شكله الأولي و${\displaystyle p}$يقوم بتكبير هذا الشكل الأولي إلى الحجم المطلوب.

المثلث الفيثاغورسي قائم الزاوية وهيروني. تُعرف أضلاعه الثلاثة الصحيحة باسم الثلاثية الفيثاغورسية أو الثلاثية الفيثاغورسية أو الثالوث الفيثاغورسي . ^{[ 9 ]} جميع الثلاثيات الفيثاغورسية${\displaystyle (a,b,c)}$مع الوتر${\displaystyle c}$يمكن توليد المعادلات الأولية ( التي لا يوجد بين أضلاعها عامل مشترك ) بواسطة

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\,}$

${\displaystyle b=2mn,\,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2},\,}$

${\displaystyle {\text{نصف المحيط}}=m(m+n)\,}$

${\displaystyle {\text{المساحة}}=mn(m^{2}-n^{2})\,}$

حيث m و n عددان صحيحان أوليان فيما بينهما وأحدهما زوجي مع m  > n . 

كل عدد زوجي أكبر من 2 يمكن أن يكون ضلعًا في مثلث فيثاغورس (ليس بالضرورة مثلثًا بدائيًا) لأنه إذا تم تحديد الضلع بواسطة${\displaystyle a=2m}$ونحن نختار${\displaystyle b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1}$أما الضلع الآخر فهو الوتر${\displaystyle c=m^{2}+1}$[ ^{10 ] هذه هي في} الأساس صيغة التوليد المذكورة أعلاه مع${\displaystyle n}$تم ضبطه على 1 والسماح${\displaystyle m}$يتراوح من 2 إلى ما لا نهاية.

يكون للمثلث ذي الأضلاع الصحيحة والمساحة الصحيحة أضلاع في متتالية حسابية إذا وفقط إذا كانت ^{[ 13 ]} الأضلاع هي ( ب - د ، ب ، ب + د )، حيث

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g,}$

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g,}$

حيث g هو القاسم المشترك الأكبر لـ${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$${\displaystyle 2mn,}$و${\displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

جميع المثلثات الهيرونية التي يكون فيها B = 2A يتم توليدها بواسطة ^{[ 14 ]} إما

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2},\\[5mu]b&={\tfrac {1}{2}}k^{2}(s^{4}-r^{4}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}k^{2}csr(s^{2}-r^{2}),\end{aligned}}}$

بأعداد صحيحة k و s و r بحيث${\displaystyle s^{2}>3r^{2},}$أو

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2},\\[5mu]b&=q^{2}uv(u^{2}+v^{2}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}q^{2}cuv(v^{2}-u^{2}),\end{aligned}}}$

بأعداد صحيحة q و u و v بحيث${\displaystyle v>u}$و${\displaystyle v^{2}<(7+4{\sqrt {3}})u^{2}.}$

لا توجد مثلثات هيرونية حيث B = 2 A متساوية الساقين أو قائمة الزاوية لأن جميع تركيبات الزوايا الناتجة تولد زوايا ذات جيوب غير نسبية ، مما يعطي مساحة أو ضلعًا غير نسبي.

جميع المثلثات الهيرونية متساوية الساقين قابلة للتحليل. تتكون هذه المثلثات من خلال وصل مثلثين فيثاغوريين متطابقين على طول أحد ضلعيهما المشتركين، بحيث يكون الضلعان المتساويان في المثلث متساوي الساقين هما وترَي المثلثين الفيثاغوريين، وقاعدة المثلث متساوي الساقين تساوي ضعف طول الضلع الفيثاغوري الآخر. بالتالي، يُعد كل مثلث فيثاغوري وحدة بناء لمثلثين هيرونيين متساويي الساقين، لأن الوصل يمكن أن يكون على طول أي من الضلعين. تُعطى جميع أزواج المثلثات الهيرونية متساوية الساقين بمضاعفات نسبية لأطوال الأضلاع التالية: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2(u^{2}-v^{2}),&\quad \quad a&=4uv,\\b&=u^{2}+v^{2},&\quad \quad b&=u^{2}+v^{2},\\c&=u^{2}+v^{2},&\quad \quad c&=u^{2}+v^{2},\\{\text{Area}}&=2uv(u^{2}-v^{2}),\end{aligned}}}$

للأعداد الصحيحة الأولية فيما بينها ذات التكافؤ المعاكس${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$، مع${\displaystyle u>v}$.

لقد ثبت أن المثلث الهيروني الذي محيطه أربعة أضعاف عدد أولي يرتبط بشكل فريد بهذا العدد الأولي، وأن هذا العدد الأولي متطابق مع${\displaystyle 1}$أو${\displaystyle 3}$modulo${\displaystyle 8}$[ ^{16 ] [ 17 ]} من المعروف أن مثل هذا العدد ^الأولي${\displaystyle p}$يمكن تقسيمها بشكل فريد إلى أعداد صحيحة${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$(انظر أعداد أويلر المثالية ). علاوة على ذلك، فقد ثبت أن هذه المثلثات الهيرونية أولية لأن أقصر ضلع في المثلث يجب أن يساوي العدد الأولي الذي يمثل ربع محيطه.

وبالتالي، يمكن توليد جميع المثلثات الهيرونية الأولية التي يبلغ محيطها أربعة أضعاف عدد أولي بواسطة

${\displaystyle a=m^{2}+2n^{2}}$

${\displaystyle b=m^{2}+4n^{2}}$

${\displaystyle c=2(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})}$

للأعداد الصحيحة${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle m^{2}+2n^{2}}$هو عدد أولي.

علاوة على ذلك، فإن تحليل المساحة إلى عوامل هو${\displaystyle 2mnp}$أين${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$عدد أولي. ومع ذلك، فإن مساحة المثلث الهيروني قابلة للقسمة دائمًا على${\displaystyle 6}$وهذا يعطي النتيجة أنه باستثناء متى${\displaystyle m=1}$و${\displaystyle n=1,}$مما يعطي${\displaystyle p=3,}$جميع أزواج أخرى من${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$لا غنى عنه${\displaystyle m}$عدد فردي لا يقبل القسمة إلا على واحد منها${\displaystyle 3}$.

إذا كان منصف الزاوية في مثلث هيروني${\displaystyle w_{a}}$زاوية${\displaystyle \alpha }$منصف الزاوية${\displaystyle w_{b}}$زاوية${\displaystyle \beta }$ومنصف الزاوية${\displaystyle w_{c}}$زاوية${\displaystyle \gamma }$إقامة علاقة عقلانية مع الأطراف الثلاثة ليس فقط${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ولكن أيضاً${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$،${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$و${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$يجب أن تكون زوايا هيرونية . أي إذا كانت كلتا الزاويتين${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$و${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$هل هم من الهيرونيين إذن؟${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$، مكمل لـ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta }$يجب أن تكون الزاوية أيضًا زاوية هيرونية، بحيث تكون منصفات الزوايا الثلاث جميعها نسبية. ويتضح هذا أيضًا عند الضرب:

${\displaystyle w_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)}}\cdot {\sqrt {bc}}}{b+c}}\quad w_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-b)}}\cdot {\sqrt {ac}}}{a+c}}\quad w_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-c)}}\cdot {\sqrt {ab}}}{a+b}}}$

معًا. أي أنه من خلال هذا يحصل المرء على:

${\displaystyle w_{a}\cdot w_{b}\cdot w_{c}={\frac {8s\cdot J\cdot a\cdot b\cdot c}{(a+b)(a+c)(b+c)}},}$

أين${\displaystyle s}$يشير إلى نصف المحيط، و${\displaystyle J}$مساحة المثلث.

يتم توليد جميع فئات التشابه للمثلثات الهيرونية ذات منصفات الزوايا النسبية بواسطة ^{[ 18 ]}

${\displaystyle a=mn(p^{2}+q^{2})}$

${\displaystyle b=pq(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle c=(mq+np)(mp-nq)}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mp(mq+np)}$

${\displaystyle s-a=mq(mp-nq)}$

${\displaystyle s-b=np(mp-nq)}$

${\displaystyle s-c=nq(mq+np)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=J=mnpq(mq+np)(mp-nq)}$

أين${\displaystyle m,n,p,q}$هي من النوع الذي

${\displaystyle m=t^{2}-u^{2}}$

${\displaystyle n=2tu}$

${\displaystyle p=v^{2}-w^{2}}$

${\displaystyle q=2vw}$

أين${\displaystyle t,u,v,w}$هي أعداد صحيحة اختيارية بحيث

${\displaystyle t}$و${\displaystyle u}$عدد أولي فيما بينه،

${\displaystyle v}$و${\displaystyle w}$عدد أولي فيما بينه.

يوجد عدد لا نهائي من المثلثات الهيرونية الأولية (غير الفيثاغورية) القابلة للتحليل، وعدد لا نهائي من المثلثات غير القابلة للتحليل، ذات أنصاف أقطار صحيحة للدائرة الداخلية وكل دائرة خارجية . ^{[ 19 ] : النظريتان 3 و4.} تُعطى عائلة من المثلثات القابلة للتحليل بواسطة

${\displaystyle a=4n^{2}}$

${\displaystyle b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1)}$

${\displaystyle c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1)}$

${\displaystyle r=2n-1}$

${\displaystyle r_{a}=2n+1}$

${\displaystyle r_{b}=2n^{2}}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);}$

وتُعطى عائلة من الوحدات غير القابلة للتحليل بواسطة

${\displaystyle a=5(5n^{2}+n-1)}$

${\displaystyle b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1)}$

${\displaystyle c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2)}$

${\displaystyle r=5n-2}$

${\displaystyle r_{a}=5n+3}$

${\displaystyle r_{b}=5n^{2}+n-1}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).}$

توجد رباعيات أوجه ذات أحجام صحيحة، ووجوهها مثلثات هيرون . أحد الأمثلة لها ضلع طوله 896، والضلع المقابل له 190، والأضلاع الأربعة الأخرى طولها 1073؛ ومساحتا وجهين منها 436800، ومساحتا الوجهين الآخرين 47120، بينما حجمها 62092800. ^{[ 9 ] : ص 107}

الشبكة ثنائية الأبعاد هي مصفوفة منتظمة من النقاط المنفصلة، ​​حيث إذا تم اختيار أي نقطة منها كنقطة الأصل الديكارتية (0، 0)، فإن جميع النقاط الأخرى تقع عند ( س، ص )، حيث تتراوح قيم س و ص بين جميع الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة. المثلث الشبكي هو أي مثلث مرسوم داخل شبكة ثنائية الأبعاد بحيث تقع جميع رؤوسه على نقاط الشبكة. وفقًا لنظرية بيك، فإن مساحة المثلث الشبكي نسبية، إما أن تكون عددًا صحيحًا أو نصف عدد صحيح (مقامه 2). إذا كانت أضلاع المثلث الشبكي أعدادًا صحيحة، فإنه يكون مثلثًا هيرونيًا بمساحة عدد صحيح. ^{[ 20 ]}

علاوة على ذلك، فقد ثبت أن جميع المثلثات الهيرونية يمكن رسمها كمثلثات شبكية. ^{[ 21 ] [ 22 ]} وبالتالي، يكون المثلث الصحيح هيرونيًا إذا وفقط إذا كان من الممكن رسمه كمثلث شبكي.

يوجد عدد لا نهائي من المثلثات الهيرونية الأولية (غير الفيثاغورية) التي يمكن وضعها على شبكة عددية صحيحة، بحيث تقع جميع رؤوسها، ومركزها الداخلي ، ومراكزها الخارجية الثلاثة، عند نقاط الشبكة. ومن بين هذه المثلثات، مجموعتان: المثلثات ذات المعاملات المذكورة أعلاه في قسم " المثلثات الهيرونية ذات أنصاف أقطار داخلية وخارجية صحيحة" . ^{[ 19 ] : نظرية 5}

عائلة مثلثات ذات أضلاع صحيحة${\displaystyle a,b,c}$ومع منصف عقلاني${\displaystyle d}$يتم تحديد زاوية A بواسطة ^{[ 24 ]}

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2}),}$

${\displaystyle b=(k-m)^{2},}$

${\displaystyle c=(k+m)^{2},}$

${\displaystyle d={\frac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},}$

مع الأعداد الصحيحة${\displaystyle k>m>0}$.

يوجد عدد لا نهائي من المثلثات غير المتشابهة التي تكون فيها أضلاعها الثلاثة ومنصفات كل زاوية من زواياها الثلاثة أعدادًا صحيحة. ^{[ 25 ]}

يوجد عدد لا نهائي من المثلثات غير المتشابهة التي تكون فيها أضلاعها الثلاثة ومنصفات كل زاوية من زواياها الثلاثة أعدادًا صحيحة. ^{[ 25 ]}

ومع ذلك، بالنسبة لـ n > 3، لا توجد مثلثات تكون فيها الأضلاع الثلاثة وقطاعات ( n  – 1) n لكل زاوية من الزوايا الثلاث أعدادًا صحيحة. ^{[ 25 ]}

المثلثات الصحيحة التي لها زاوية واحدة عند الرأس A والتي لها جيب تمام نسبي معطى h / k ( h < 0 أو > 0؛ k > 0) يتم إعطاؤها بواسطة ^{[ 26 ].}

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle c=2qk(p-qh),}$

حيث p و q عددان صحيحان موجبان أوليان فيما بينهما بحيث يكون p > qk . يمكن الحصول على جميع الحلول الأولية بقسمة a و b و c على قاسمها المشترك الأكبر.

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة الأولية فيما بينها h و k ، فإن المثلث ذو الأضلاع التالية له زوايا${\displaystyle h\alpha }$،${\displaystyle k\alpha }$، و${\displaystyle \pi -(h+k)\alpha }$وبالتالي فإن الزاويتين بنسبة h  : k ، وأضلاعها أعداد صحيحة: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

أين${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\!{\frac {p}{q}}}$و p و q عددان صحيحان أوليان فيما بينهما بحيث${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1}$.

المثلث الوحيد ذو الأضلاع الصحيحة الذي يحتوي على ثلاث زوايا نسبية (أعداد نسبية من الدرجات، أو ما يعادلها كسور نسبية من دورة كاملة) هو المثلث متساوي الأضلاع . ^{[ 2 ]} وذلك لأن الأضلاع الصحيحة تستلزم وجود ثلاث قيم نسبية لجيب التمام وفقًا لقانون جيب التمام ، وبحسب نظرية نيفن، يتطابق جيب التمام النسبي مع زاوية نسبية إذا وفقط إذا كان جيب التمام يساوي 0 أو ±1/2 أو ±1. القيم الوحيدة من بين هذه القيم التي تعطي زاوية تقع تمامًا بين 0° و180° هي: قيمة جيب التمام 1/2 مع زاوية 60°، وقيمة جيب التمام -1/2 مع زاوية 120°، وقيمة جيب التمام 0 مع زاوية 90°. التركيبة الوحيدة من ثلاث من هذه القيم، والتي تسمح باستخدام أي منها عدة مرات ويكون مجموعها 180°، هي ثلاث زوايا قياس كل منها 60°.