القطاع الزائدي

القطاع الزائدي هو منطقة في المستوى الإحداثي الديكارتي محصورة بين قطع زائد وشعاعين من نقطة الأصل إليه. على سبيل المثال، النقطتان ( أ ، ١/ أ ) و ( ب ، ١/ ب ) على القطع الزائد القائم xy = ١ ، أو المنطقة المقابلة عندما يُعاد قياس هذا القطع الزائد وتغيير اتجاهه بدوران مركزه عند نقطة الأصل، كما هو الحال مع القطع الزائد الواحدي . القطاع الزائدي في الوضع القياسي يكون فيه أ = ١ و ب > ١ .

تُستخدم المساحة الموقعة للقطاع الزائدي لتعريف الزاوية الزائدية ، وهو ما يُشابه تعريف الزاوية الدائرية باستخدام مساحة القطاع الدائري . بعبارة أخرى، تُعتبر الزاوية الزائدية وسيطًا للدوال الزائدية ، تمامًا كما تُعتبر الزاوية الدائرية وسيطًا للدوال الدائرية .

عندما يكون القطاع الزائدي في الوضع القياسي، فإنه يحدد مثلثًا زائديًا ، وهو المثلث القائم الزاوية الذي يقع أحد رؤوسه عند نقطة الأصل، وقاعدته على الشعاع القطري y  = x ، ورأسه الثالث على القطع الزائد. 

${\displaystyle xy=1,\,}$

حيث يمثل الوتر القطعة المستقيمة الواصلة من نقطة الأصل إلى النقطة ( س، ص ) على القطع الزائد. طول قاعدة هذا المثلث هو

${\displaystyle {\sqrt {2}}\cosh u,\,}$

والارتفاع هو​

${\displaystyle {\sqrt {2}}\sinh u,\,}$

حيث u هي الزاوية الزائدية المناسبة . يمكن رؤية التعريفات المعتادة للدوال الزائدية من خلال أضلاع المثلثات القائمة الزاوية المرسومة بإحداثيات زائدية . عند قسمة طول هذه الأضلاع على الجذر التربيعي لـ 2 ، يمكن رسمها كقطع زائد ذي وحدة بإحداثيات جيب التمام الزائدية وجيب الزاوية الزائدية.

وصف أوغسطس دي مورغان التشابه بين الدوال الدائرية والزائدية في كتابه "علم المثلثات والجبر المزدوج " (1849). ^{[ 1 ]} واستخدم ويليام بيرنسايد هذه المثلثات، التي تُسقط من نقطة على القطع الزائد xy = 1 على القطر الرئيسي، في مقالته "ملاحظة حول نظرية الجمع للدوال الزائدية". ^{[ 2 ]}

من المعروف أن الدالة f( x ) = x^ ^p لها دالة أصلية جبرية باستثناء الحالة p = -1 التي تُقابل تربيع القطع الزائد. أما الحالات الأخرى، فتُعطى بصيغة كافالييري للتربيع . في حين أن أرخميدس قد أنجز تربيع القطع المكافئ في القرن الثالث قبل الميلاد (في كتابه "تربيع القطع المكافئ ")، فقد استلزم تربيع القطع الزائد ابتكار دالة جديدة عام 1647: تناول غريغوار دي سان فنسان مسألة حساب المساحات المحصورة بقطع زائد. وأدت اكتشافاته إلى دالة اللوغاريتم الطبيعي، التي كانت تُسمى سابقًا باللوغاريتم الزائدي لأنها تُحسب بتكامل، أو إيجاد المساحة، أسفل القطع الزائد. ^{[ 3 ]}

قبل عام ١٧٤٨ ونشر كتاب " مقدمة في تحليل اللانهاية" ، كان اللوغاريتم الطبيعي معروفًا بدلالة مساحة قطاع زائدي. غيّر ليونارد أويلر ذلك عندما قدّم الدوال المتسامية مثل 10x ^. حدّد أويلر قيمة e كقيمة b التي تُنتج وحدة مساحة (تحت القطع الزائد أو في قطاع زائدي في الوضع القياسي). عندئذٍ ، أصبح من الممكن اعتبار اللوغاريتم الطبيعي الدالة العكسية للدالة الأسية المتسامية ex ^.

الفرضية: إذا كان 0 < a < b و P = ( a , 1/ a ), Q = ( b , 1/ b )، فإن المساحة الموقعة للقطاع الزائدي POQ هي log b / a . ^{[ 4 ]}

البرهان: في الشكل، POQ = POS + PQRS − QOR. إذن، تساوي مساحتي POS و QOR يعني أن مساحة POQ تساوي مساحة PQRS.${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {dx}{x}}=\log b-\log a=\log {\frac {b}{a}}}$.

على وجه الخصوص، بالنسبة للقطاع الزائدي في الوضع القياسي ( a = 1)، فإن مساحة القطاع الزائدي هي log b .

عندما نُشر كتاب فيليكس كلاين عن الهندسة غير الإقليدية عام 1928، وضع أساسًا لهذا الموضوع بالرجوع إلى الهندسة الإسقاطية . ولإثبات القياس الزائدي على خط مستقيم، أشار كلاين إلى أن مساحة القطاع الزائدي تُقدّم توضيحًا بصريًا للمفهوم. ^{[ 5 ]}

يمكن أيضًا رسم القطاعات الزائدية على القطع الزائد${\displaystyle y={\sqrt {1+x^{2}}}}$وقد استُخدمت مساحة هذه القطاعات الزائدية لتعريف المسافة الزائدية في كتاب مدرسي للهندسة. ^{[ 6 ]}

• رسم خرائط الضغط

• ميلين دبليو هاسكل (1895) حول تقديم مفهوم الدوال الزائدية نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية 1(6):155–9.