المنطقة المحددة

في الرياضيات، تُعرف المساحة الموجهة أو المساحة الموجهة لمنطقة في مستوى أفيني بأنها مساحتها مع تحديد اتجاهها بواسطة الإشارة الموجبة أو السالبة ، أي "زائد" ( ⁠${\displaystyle +}$) أو "ناقص" ( ⁠${\displaystyle -}$) . وبشكل أعم، فإن المساحة الموقعة لمنطقة سطحية عشوائية هي مساحتها السطحية ذات الاتجاه المحدد. وعندما يكون حد المنطقة منحنى بسيطًا ، فإن المساحة الموقعة تشير أيضًا إلى اتجاه الحد.

يمكن تخيل تكامل دالة حقيقية على أنه المساحة الموقعة بين${\displaystyle x}$المحور السيني والمنحنى${\displaystyle y=f(x)}$على مدى فترة زمنية${\displaystyle [a,b]}$المنطقة الواقعة فوق${\displaystyle x}$يمكن تحديد المحور السيني على أنه موجب ( ⁠${\displaystyle +}$) والمنطقة الواقعة أسفل${\displaystyle x}$يمكن تحديد المحور السالب على أنه سالب ( ⁠${\displaystyle -}$) . ^{[ 5 ]}

تظهر المساحة السالبة في دراسة اللوغاريتم الطبيعي كمساحة مُوَجَّهة أسفل المنحنى${\displaystyle y=1/x}$لـ​${\displaystyle 0<x<1}$، أي: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=-\int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}<0.}$$

في الهندسة التفاضلية ، ترتبط إشارة مساحة منطقة من سطح ما باتجاه ذلك السطح. ^{[ 7 ]} مساحة مجموعة${\displaystyle A}$في الهندسة التفاضلية ، يتم الحصول على ذلك كتكامل للكثافة : $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}dx\wedge dy,}$$ أين​${\displaystyle dx}$و​​${\displaystyle dy}$هي أشكال تفاضلية من الدرجة الأولى تُشكّل الكثافة. وبما أن الضرب الخارجي له خاصية مضادة للتبديل ،${\displaystyle dy\wedge dx=-dx\wedge dy}$ترتبط الكثافة بتوجيه مستوٍ، وهو أمر موجود محليًا في فضاء متعدد الشعب، ولكن ليس بالضرورة عالميًا. في حالة اللوغاريتم الطبيعي، الذي يتم الحصول عليه بتكامل المساحة تحت القطع الزائد .${\displaystyle xy=1}$الكثافة​​${\displaystyle dx\wedge dy}$موجب لـ​${\displaystyle x>1}$، ولكن بما أن التكامل $${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$ مثبتة على${\displaystyle 1}$، اتجاه​​​${\displaystyle x}$ينعكس محور السينات في الفترة 1. في هذا التكامل، (${\displaystyle -dx}$ينتج عن هذا التوجيه كثافة معاكسة لتلك المستخدمة في${\displaystyle x>1}$⁠ . مع هذه الكثافة المعاكسة، تُعتبر المساحة الواقعة أسفل القطع الزائد وفوق الفترة 1 مساحة سالبة، وبالتالي يكون اللوغاريتم الطبيعي سالبًا في هذا المجال.

ربط فيليكس كلاين المساحات الموقعة بالمحددات في عام 1908. ^{[ 8 ]} عندما يتم تحديد مثلث بثلاث نقاط، فإن مساحته هي: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}$$ على سبيل المثال، عندما${\displaystyle (x_{3},\ y_{3})=(0,0),}$ثم تُعطى المساحة بالصيغة التالية${\frac {x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}{2}}.$

للنظر في منطقة قطاعية محددة بمنحنى ، يتم تقريبها بمثلثات رفيعة يكون أحد أضلاعها مكافئًا لـ${\displaystyle (dx,dy)}$والتي لها مساحة $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}0&0&1\\x&y&1\\x+dx&y+dy&1\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}(x\ dy-y\ dx).}$$ ثم تُعطى " مساحة القطاع المحصور بين المنحنى ومتجهي نصف القطر" بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}(x\ dy-y\ dx).}$$ على سبيل المثال، يُعطى الاتجاه العكسي للقطع الزائد الواحدي بواسطة${\displaystyle x=\cosh t,~y=-\sinh t.}$ثم $${\displaystyle x\ dy-y\ dx=-\cosh ^{2}t\ dt+\sinh ^{2}t\ dt=-dt,}$$إذن ، مساحة القطاع الزائدي بين${\displaystyle 0}$و​​${\displaystyle \theta }$هو​ $${\displaystyle {\frac {-1}{2}}\int _{0}^{\theta }dt=\left.{\frac {-t}{2}}\right|_{0}^{\theta }=-{\frac {\theta }{2}},}$$ إعطاء زاوية زائدية سالبة كمساحة قطاع سالبة.

يستند كتاب ميخائيل بوستنيكوف المدرسي " محاضرات في الهندسة" الصادر عام 1979 إلى تحويلات هندسية معينة - موصوفة بأنها دوال لأزواج الإحداثيات.${\displaystyle (x,y)}$– للتعبير عن "عناصر المساحة العائمة بحرية". ^{[ 9 ]} يكون تحويل القص أحد ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y)&\to (x,\ y+kx),\\(x,y)&\to (x+ky,\ y)\end{aligned}}}$$ لأي عدد حقيقي${\displaystyle k}$، بينمايكون رسم الخرائط المضغوطة$${\displaystyle (x,y)\to (\lambda x,\ y/\lambda )}$$ لأي عدد حقيقي موجب${\displaystyle \lambda }$يرتبط عنصر المساحة بـ (${\displaystyle \thicksim }$) إلى عنصر آخر إذا نتج عن أحد التحويلات العنصر الثاني عند تطبيقه على الأول. وكعلاقة تكافؤ ، تُقسّم عناصر المساحة إلى فئات تكافؤ من العناصر ذات الصلة، وهي متجهات بوستنيكوف ثنائية الاتجاه .

الفرضية: إذا${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(ka+\ell b,\ k_{1}a+\ \ell _{1}b)}$و

${\displaystyle \delta =k\ell _{1}-\ell k_{1}\neq 0,}$ثم${\displaystyle (a,b)\thicksim (a_{1},\ ({\frac {1}{\delta }})b_{1}).}$

دليل:${\displaystyle (a,\ b)\thicksim (a+{\frac {\ell }{k}}b,\ b)}$رسم خرائط القص

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b)}$رسم الخرائط بالضغط

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b+{\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+\ell b))}$رسم خرائط القص

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+({\frac {\delta }{k_{1}}}+\ell )b)}$

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {1}{\delta }}(k_{1}a+\ell _{1}b))\ \ {\text{since}}\ \ \ell +{\frac {\delta }{k_{1}}}={\frac {k}{k_{1}}}\ell _{1}}$

${\displaystyle =(a_{1},\ {\frac {1}{\delta }}b_{1}).}$

• منطقة متجهة
• شكل المجلد
• المسافة المحددة
• إجراء موقع
• مجلد موقع

• كليتمان، دانيال . "الفصل 15: مساحات وأحجام الأشكال ذات الأضلاع المتوازية؛ المحددات" . الصفحة الرئيسية لكليتمان . الصفحة الرئيسية لقسم الرياضيات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.