المنتج الثلاثي

هندسياً، الضرب الثلاثي القياسي

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

يمثل حجم متوازي المستطيلات ( المحدد بالموقع) المحدد بواسطة المتجهات الثلاثة المعطاة.

• لا يتغير حاصل الضرب الثلاثي القياسي تحت إزاحة دائرية لمعاملاته الثلاثة ( أ ، ب ، ج ):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• إن تبديل مواقع العمليات دون إعادة ترتيب المعاملات لا يُغير من حاصل الضرب الثلاثي. وينتج هذا عن الخاصية السابقة والخاصية التبادلية لحاصل الضرب النقطي.

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

• يؤدي تبديل أي اثنين من المعاملات الثلاثة إلى نفي الضرب الثلاثي. وينتج هذا عن خاصية الإزاحة الدائرية وخاصية عدم التبادلية للضرب الاتجاهي.

  ${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{محاذاة}}}$

• يمكن أيضًا فهم الضرب الثلاثي القياسي على أنه محدد المصفوفة 3 × 3 التي تحتوي على المتجهات الثلاثة إما كصفوف أو أعمدة (المصفوفة لها نفس محدد منقولها ) :

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.}$

• إذا كان حاصل الضرب الثلاثي القياسي يساوي صفرًا، فإن المتجهات الثلاثة a و b و c تقع في مستوى واحد ، لأن متوازي المستطيلات المحدد بها سيكون مسطحًا وليس له حجم.
• إذا كان أي متجهين في حاصل الضرب الثلاثي القياسي متساويين، فإن قيمته تساوي صفرًا:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• أيضًا:

  ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• يمكن توسيع حاصل الضرب البسيط لاثنين من حاصلات الضرب الثلاثية (أو مربع حاصل الضرب الثلاثي) بدلالة حاصلات الضرب النقطية: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$$هذا يُعيد صياغة مفهوم حاصل ضرب محددات مصفوفتين من الرتبة 3 × 3 باستخدام الترميز المتجهي، بحيث يُساوي حاصل ضربهما. وفي حالة خاصة، يكون مربع حاصل الضرب الثلاثي محدد غرام . تجدر الإشارة إلى أن هذا المحدد مُعرَّف جيدًا للمتجهات في الفضاء الإقليدي ذي البعد m ( ^R _m )، حتى عندما يكون m ≠ 3 ؛ وبالتحديد، يمكن حساب القيمة المطلقة لحاصل الضرب الثلاثي لثلاثة متجهات في R ^_m من خلال حساب الجذر التربيعي لمربع حاصل الضرب الثلاثي.$${\displaystyle |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\sqrt {\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} \end{bmatrix}}}}}$$
• نسبة حاصل الضرب الثلاثي إلى حاصل ضرب معايير المتجهات الثلاثة تُعرف باسم الجيب القطبي :$${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\left\|{\mathbf {a} }\right\|\left\|{\mathbf {b} }\right\|\left\|{\mathbf {c} }\right\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$$والتي تتراوح قيمتها بين -1 و 1.

بالمعنى الدقيق، لا يتغير العدد القياسي إطلاقًا عند تحويل الإحداثيات. (على سبيل المثال، لا يتغير عامل 2 المستخدم لمضاعفة متجه ما إذا كان المتجه في إحداثيات كروية أو مستطيلة). مع ذلك، إذا تم تحويل كل متجه بواسطة مصفوفة، فإن الناتج الثلاثي يُضرب في محدد مصفوفة التحويل. أي أن الناتج الثلاثي للمتجهات المتغايرة يُوصف بشكل أدق بأنه كثافة عددية .

$${\displaystyle {\begin{aligned}T\mathbf {a} \cdot (T\mathbf {b} \times T\mathbf {c} )&=\det {\begin{pmatrix}T\mathbf {a} &T\mathbf {b} &T\mathbf {c} \end{pmatrix}}\\&=\det \left(T{\begin{pmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{pmatrix}}\right)\\&=\det(T)\det \!{\begin{pmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{pmatrix}}\\&=\det(T)\left(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right)\end{aligned}}}$$

يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "شبه قياسي" لوصف جسم يبدو ككمية قياسية ولكنه لا يتحول مثلها. ولأن الضرب الثلاثي يتحول ككثافة قياسية وليس ككمية قياسية، فقد يُطلق عليه "شبه قياسي" وفقًا لهذا التعريف الأوسع. مع ذلك، فإن الضرب الثلاثي ليس "كثافة شبه قياسية".

عندما يكون التحويل دورانًا يحافظ على الاتجاه، يكون محدده +1 ويبقى حاصل الضرب الثلاثي دون تغيير. أما عندما يكون التحويل دورانًا يعكس الاتجاه، فيكون محدده -1 ويُعكس حاصل الضرب الثلاثي. وقد يكون لأي تحويل محدد لا يساوي +1 ولا -1 .

في الجبر الخارجي والجبر الهندسي، يُعرف حاصل الضرب الخارجي لمتجهين باسم ثنائي المتجهات ، بينما يُعرف حاصل الضرب الخارجي لثلاثة متجهات باسم ثلاثي المتجهات . ثنائي المتجهات عنصر مستوٍ موجه، وثلاثي المتجهات عنصر حجمي موجه، تمامًا كما أن المتجه عنصر خطي موجه.

بفرض وجود المتجهات a و b و c ، فإن حاصل ضربها

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$

هو متجه ثلاثي مقداره يساوي حاصل الضرب الثلاثي القياسي، أي

${\displaystyle |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$،

وهو ثنائي هودج للجداء الثلاثي القياسي. ولأن الجداء الخارجي تجميعي، فلا حاجة للأقواس، إذ لا يهم أي من a ∧ b أو b ∧ c يُحسب أولًا، مع أن ترتيب المتجهات في الجداء مهم. هندسيًا، يُطابق المتجه الثلاثي a ∧ b ∧ c متوازي المستطيلات الممتد بواسطة a و b و c ، بينما تُطابق المتجهات الثنائية a ∧ b و b ∧ c و a ∧ c أوجه متوازي المستطيلات.

إنّ الضرب الثلاثي مطابقٌ لصيغة الحجم للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد المطبقة على المتجهات عبر الضرب الداخلي . ويمكن التعبير عنه أيضاً كانكماش للمتجهات بموتر من الرتبة 3 مكافئ لهذه الصيغة (أو موتر زائف مكافئ لصيغة الحجم الزائفة)؛ انظر أدناه .

ال${\displaystyle x}$مكون من ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

وبالمثل، فإن${\displaystyle y}$و${\displaystyle z}$مكونات ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$يتم الحصول عليها من خلال:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

بدمج هذه المكونات الثلاثة نحصل على:

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^{[ 5 ]}

إذا استُخدم الجبر الهندسي، يُعبَّر عن الضرب الاتجاهي b × c للمتجهين كضرب خارجي b ∧ c ، وهو متجه ثنائي . لا يمكن التعبير عن الضرب الاتجاهي الثاني كضرب خارجي، وإلا سينتج عنه الضرب الثلاثي القياسي. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام انكماش يساري ^{[ 6 ]} ، فتصبح الصيغة ^{[ 7 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

ويستند البرهان إلى خصائص الانكماش. ^{[ 6 ]} والنتيجة هي نفس المتجه المحسوب باستخدام a × ( b × c ).

باستخدام المكونات الفردية للضرب الاتجاهي

${\displaystyle \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }a_{\beta }b_{\gamma }\,,}$

بالإضافة إلى التعبير الرمزي لليفي-تشيفيتا عبر دلتا كرونكر

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\varepsilon _{\gamma \mu \nu }=\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \nu }-\delta _{\alpha \nu }\delta _{\beta \mu }\,,}$

نتلقى التعبير

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {\hat {a}} \times \left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)\right)_{\alpha }&=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }{\hat {a}}_{\beta }\left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)_{\gamma }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }{\hat {a}}_{\beta }\varepsilon _{\gamma \mu \nu }{\hat {b}}_{\mu }{\hat {c}}_{\nu }\\&=\left(\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \nu }-\delta _{\alpha \nu }\delta _{\beta \mu }\right){\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\mu }{\hat {c}}_{\nu }={\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }{\hat {c}}_{\alpha }\\&=\left({\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {c}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right)+\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }\right)+\left({\hat {c}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }-{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }{\hat {c}}_{\alpha }\right)\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }\right)-{\hat {c}}_{\alpha }\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right)+\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right]\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-{\hat {c}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)+\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }\right]{\hat {b}}_{\beta }+a_{\beta }\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {b}}_{\beta }\right]\end{aligned}}}$

للهوية الأولى والتعبير

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)\times \mathbf {\hat {c}} \right)_{\alpha }&=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)_{\beta }{\hat {c}}_{\gamma }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\varepsilon _{\beta \mu \nu }{\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\gamma }\\&=\left(\delta _{\nu \alpha }\delta _{\mu \gamma }-\delta _{\mu \alpha }\delta _{\nu \gamma }\right){\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\gamma }={\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\nu }\\&=\left({\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\alpha }-{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }+{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }\right){\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)\\&=\left(\left[{\hat {a}}_{\mu },{\hat {b}}_{\alpha }\right]+{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }\right){\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)+\left[{\hat {a}}_{\mu },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\mu }\end{aligned}}}$

بالنسبة للهوية الثانية لكل من المؤشرات الثلاثة. ومن خلال التعبير عنها كمجموع لجميع المؤشرات، نحصل على الهوية الأصلية.

يتم إثبات ذلك من خلال أخذ النسخة الثنائية من النسخة الجبرية الهندسية للضرب الثلاثي للمتجهات حتى تصبح جميع المتجهات ثنائية المتجهات.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&(-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )-(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&=-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\\&(-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}\mathbf {c} -\mathbf {c} {\overset {\Rightarrow }{b}})-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}\mathbf {c} -\mathbf {c} {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&=-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\cdot \mathbf {c} )\\&(-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\cdot \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{c}}-{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{b}})-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{c}}-{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&={\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}})\end{alignedat}}}$

كان هذا ثلاث ضربات مزدوجة. يجب القيام بذلك أيضًا على الجانب الأيسر.

${\displaystyle {\begin{aligned}&((((\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} )\star )\star )\star \\&={\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{a}}{\overset {\Rightarrow }{c}}+{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{a}}){\overset {\Rightarrow }{b}}-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{a}}{\overset {\Rightarrow }{b}}+{\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{a}}){\overset {\Rightarrow }{c}}\\&=({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}){\overset {\Rightarrow }{b}}+({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{c}}\end{aligned}}}$

بنفي كلا الطرفين نحصل على:

${\displaystyle {\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}})=-({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}){\overset {\Rightarrow }{b}}+({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{c}}}$