حل المعادلات

${\displaystyle {\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}}$

الصيغة التربيعية ، الحل الرمزي للمعادلة التربيعية ax² ⁺ bx + c = 0

في الرياضيات ، حل المعادلة يعني إيجاد حلولها ، وهي القيم ( أعداد، دوال ، مجموعات ، إلخ ) التي تحقق الشرط المنصوص عليه في المعادلة ، والتي تتكون عادةً من تعبيرين مرتبطين بعلامة يساوي . عند البحث عن حل، يُحدد متغير واحد أو أكثر كمجاهيل . الحل هو إسناد قيم للمجاهيل تجعل المساواة في المعادلة صحيحة. بعبارة أخرى، الحل هو قيمة أو مجموعة قيم (قيمة واحدة لكل مجهول) بحيث عند استبدالها بالمجاهيل، تصبح المعادلة مساواة . يُطلق على حل المعادلة غالبًا اسم جذر المعادلة، وخاصةً في المعادلات متعددة الحدود . مجموعة جميع حلول المعادلة هي مجموعة حلولها .

يمكن حل المعادلة إما عدديًا أو رمزيًا. الحل العددي يعني قبول الأعداد فقط كحلول. أما الحل الرمزي فيعني إمكانية استخدام التعابير الرياضية لتمثيل الحلول.

على سبيل المثال، تُحل المعادلة x + y = 2x – 1 لإيجاد قيمة المجهول x باستخدام التعبير x = y + 1 ، لأن استبدال x بـ y + 1 في المعادلة ينتج عنه ( y + 1) + y = 2( y + 1) – 1 ، وهي عبارة صحيحة. كما يمكن اعتبار المتغير y هو المجهول، وعندها تُحل المعادلة باستخدام y = x – 1. أو يمكن اعتبار x و y كلاهما مجهولين، وفي هذه الحالة توجد حلول متعددة للمعادلة؛ الحل الرمزي هو ( x , y ) = ( a + 1, a ) ، حيث يمكن أن يأخذ المتغير a أي قيمة. يُعطي تحديد قيمة عددية للحل الرمزي حلاً عددياً؛ على سبيل المثال، a = 0 يُعطي ( x , y ) = (1, 0) (أي x = 1، y = 0 )، و a = 1 يُعطي ( x , y ) = (2, 1) .

يُفرَّق عادةً بين المتغيرات المعروفة والمتغيرات المجهولة في صياغة المسألة، باستخدام عبارات مثل "معادلة بدلالة x و y " أو "حل المعادلة لإيجاد قيم x و y "، والتي تُشير إلى المجاهيل، هنا x و y . مع ذلك، من الشائع استخدام x و y و z ، ... للدلالة على المجاهيل، واستخدام a و b و c ، ... للدلالة على المتغيرات المعروفة، والتي تُسمى غالبًا بالمعاملات . هذا هو الحال عادةً عند دراسة المعادلات متعددة الحدود ، مثل المعادلات التربيعية . ولكن في بعض المسائل، قد تأخذ جميع المتغيرات أيًا من هذين الدورين.

بحسب السياق، قد يتضمن حل المعادلة إيجاد أي حل (يكفي إيجاد حل واحد)، أو جميع الحلول، أو حل يحقق خصائص إضافية، مثل انتمائه إلى فترة محددة . عندما يكون الهدف هو إيجاد الحل الأمثل وفقًا لمعيار معين، تُسمى هذه المسألة مسألة تحسين . لا يُشار عادةً إلى حل مسألة التحسين بـ"حل المعادلات"، لأن طرق الحل تبدأ عادةً من حل معين للبحث عن حل أفضل، وتكرار العملية حتى الوصول إلى الحل الأمثل.

أحد الأشكال العامة للمعادلة هو

${\displaystyle f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=c,}$

حيث f دالة ، و x1 ، ...، _xn هي المجاهيل، و c ثابت. حلولها هي عناصر الصورة العكسية ( الألياف ) _.

${\displaystyle f^{-1}(c)={\bigl \{}(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\mid f\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)=c{\bigr \}},}$

حيث D هو مجال الدالة f . يمكن أن تكون مجموعة الحلول مجموعة فارغة (لا توجد حلول)، أو مجموعة أحادية (يوجد حل واحد فقط)، أو مجموعة محدودة، أو مجموعة غير محدودة (يوجد عدد لا نهائي من الحلول).

على سبيل المثال، معادلة مثل

${\displaystyle 3x+2y=21z,}$

يمكن كتابة المعادلة، التي تحتوي على المجاهيل x و y و z، بالشكل المذكور أعلاه عن طريق طرح 21z من كلا طرفي المعادلة ، للحصول على

${\displaystyle 3x+2y-21z=0}$

في هذه الحالة تحديدًا، لا يوجد حل واحد فقط، بل مجموعة لا نهائية من الحلول، والتي يمكن كتابتها باستخدام تدوين بناء المجموعة على النحو التالي:

${\displaystyle {\bigl \{}(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0{\bigr \}}.}$

أحد الحلول المحددة هو x = 0، y = 0، z = 0. وهناك حلان آخران هما x = 3، y = 6، z = 1 ، و x = 8، y = 9، z = 2. يوجد مستوى وحيد في الفضاء ثلاثي الأبعاد يمر بالنقاط الثلاث ذات هذه الإحداثيات ، وهذا المستوى هو مجموعة جميع النقاط التي تمثل إحداثياتها حلولاً للمعادلة.

مجموعة حلول مجموعة معينة من المعادلات أو المتباينات هي مجموعة جميع حلولها، والحل عبارة عن مجموعة من القيم، قيمة واحدة لكل مجهول ، تحقق جميع المعادلات أو المتباينات. إذا كانت مجموعة الحلول فارغة، فهذا يعني أنه لا توجد قيم للمجاهيل تحقق جميع المعادلات والمتباينات في آن واحد.

كمثال بسيط، انظر إلى المعادلة

${\displaystyle x^{2}=2.}$

يمكن اعتبار هذه المعادلة معادلة ديوفانتية ، أي معادلة لا يُبحث فيها إلا عن حلول صحيحة . في هذه الحالة، تكون مجموعة الحلول هي المجموعة الفارغة ، لأن 2 ليس مربع عدد صحيح. مع ذلك ، إذا بحثنا عن حلول حقيقية ، فسنجد حلين، √2 و –√2 ؛ أي أن مجموعة الحلول هي { √2 , –√2 } .

عندما تحتوي المعادلة على عدة مجاهيل، وعندما يكون لدينا عدة معادلات بعدد مجاهيل يفوق عدد المعادلات، فإن مجموعة الحلول غالبًا ما تكون لانهائية. في هذه الحالة، لا يمكن حصر الحلول. ولتمثيلها، غالبًا ما يكون استخدام المعاملات مفيدًا، والذي يتضمن التعبير عن الحلول بدلالة بعض المجاهيل أو المتغيرات المساعدة. وهذا ممكن دائمًا عندما تكون جميع المعادلات خطية .

يمكن تفسير مجموعات الحلول اللانهائية هذه بشكل طبيعي على أنها أشكال هندسية مثل الخطوط والمنحنيات ( انظر الصورة) والمستويات ، وبشكل أعم، أصناف أو متشعبات جبرية . وعلى وجه الخصوص، يمكن النظر إلى الهندسة الجبرية على أنها دراسة مجموعات حلول المعادلات الجبرية .

تعتمد طرق حل المعادلات عمومًا على نوع المعادلة، سواءً من حيث نوع التعبيرات الواردة فيها أو القيم التي يمكن أن تأخذها المجاهيل. تتنوع أنواع المعادلات تنوعًا كبيرًا، وكذلك طرق حلها. فيما يلي بعض الأنواع المحددة.

بشكل عام، عند النظر إلى فئة معينة من المعادلات، قد لا توجد طريقة منهجية معروفة ( خوارزمية ) تضمن نجاحها. قد يعود ذلك إلى نقص المعرفة الرياضية؛ فبعض المسائل لم تُحل إلا بعد قرون من الجهد. لكن هذا يعكس أيضاً أنه، بشكل عام، لا يمكن أن توجد طريقة كهذه: فبعض المسائل معروفة بأنها غير قابلة للحل بواسطة خوارزمية، مثل مسألة هيلبرت العاشرة ، التي ثبت عدم قابليتها للحل عام ١٩٧٠.

بالنسبة لعدة فئات من المعادلات، تم التوصل إلى خوارزميات لحلها، وقد تم تطبيق بعضها ودمجها في أنظمة الجبر الحاسوبية ، ولكنها غالبًا لا تتطلب تقنية أكثر تعقيدًا من القلم والورقة. وفي حالات أخرى، تُعرف طرق استدلالية غالبًا ما تكون ناجحة، ولكنها لا تضمن النجاح.

• حل مغلق الشكل
• حلول دخيلة ومفقودة
• المعادلات الآنية
• مساواة المعاملات
• حل المعادلات الجيوديسية
• التوحيد (علوم الحاسوب) - حل المعادلات التي تتضمن تعابير رمزية