الزاوية الزائدية

في الهندسة ، الزاوية الزائدية هي عدد حقيقي يُحدد بمساحة القطاع الزائدي المقابل للنقطة xy = 1 في الربع الأول من المستوى الإحداثي الديكارتي . الزاوية الزائدية هي شكل مُعاد ترتيبه من اللوغاريتم الطبيعي ، حيث يُعرّف كلاهما على أنهما مساحة مقابل القطع الزائد xy = 1، ويتم الحفاظ عليهما بواسطة عمليات الضغط لأن هذه العمليات تحافظ على المساحة.

القطع الزائد xy = 1 قائم الزاوية وله نصف محور أكبر${\displaystyle {\sqrt {2}}}$، على غرار الزاوية الدائرية التي تساوي مساحة قطاع دائري في دائرة نصف قطرها${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

تُستخدم الزاوية الزائدية كمتغير مستقل للدوال الزائدية sinh و cosh و tanh، لأن هذه الدوال يمكن بناؤها على أساس تشابه زائدي مع الدوال الدائرية (المثلثية) المناظرة لها، وذلك باعتبار الزاوية الزائدية مُحدِّدة للمثلث الزائدي . وتُستخدم الزاوية الزائدية لتمثيل القطع الزائد الواحدي ، الذي تكون إحداثياته ​​دوال زائدية.

لنفترض وجود قطع زائد قائم${\displaystyle \textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}}$و(بحسب العرف) إيلاء اهتمام خاص للجزء الذي يحتوي على${\displaystyle x>1}$.

أولاً، حدد:

• الزاوية الزائدية في الوضع القياسي هي الزاوية عند${\displaystyle (0,0)}$بين الشعاع إلى${\displaystyle (1,1)}$والشعاع إلى${\displaystyle \textstyle (x,{\frac {1}{x}})}$، أين${\displaystyle x>1}$.
• مقدار هذه الزاوية هو المساحة الموقعة للقطاع الزائدي المقابل ، والتي تبين أنها${\displaystyle \operatorname {ln} x}$.

لاحظ أنه بحسب خصائص اللوغاريتم الطبيعي :

• على عكس الزاوية الدائرية، فإن الزاوية الزائدية غير محدودة (لأنها${\displaystyle \operatorname {ln} x}$غير محدود)؛ وهذا مرتبط بحقيقة أن السلسلة التوافقية غير محدودة.
• تشير صيغة مقدار الزاوية إلى أنه بالنسبة لـ${\displaystyle 0<x<1}$، يجب أن تكون الزاوية الزائدية سالبة. وهذا يعكس حقيقة أن الزاوية، كما هو مُعرَّف، موجهة .

وأخيرًا، قم بتوسيع تعريف الزاوية الزائدية ليشمل الزاوية المحصورة بأي فترة على القطع الزائد. لنفترض${\displaystyle a,b,c,d}$هي أعداد حقيقية موجبة بحيث${\displaystyle ab=cd=1}$و${\displaystyle c>a>1}$، لهذا السبب${\displaystyle (a,b)}$و${\displaystyle (c,d)}$هي نقاط على القطع الزائد${\displaystyle xy=1}$ثم تحديد فاصل زمني عليه. بعد ذلك، يتم تطبيق عملية الضغط .${\displaystyle \textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)}$يرسم الزاوية${\displaystyle \angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)}$إلى زاوية الوضع القياسية${\displaystyle \angle \!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)}$بناءً على نتيجة غريغوار دي سان فنسان ، فإن القطاعات الزائدية المحددة بهذه الزوايا لها نفس المساحة، والتي تُعتبر مقدار الزاوية. هذا المقدار هو${\displaystyle \operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a}$.

دائرة الوحدة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$له قطاع دائري مساحته نصف الزاوية الدائرية بالراديان. وبالمثل، القطع الزائد ذو الوحدة${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$يحتوي على قطاع زائدي مساحته نصف الزاوية الزائدة.

يوجد أيضًا فصل إسقاطي بين الحالتين الدائرية والزائدية: فكلا المنحنيين عبارة عن مقاطع مخروطية ، وبالتالي يُعاملان كمدى إسقاطي في الهندسة الإسقاطية . وبوجود نقطة أصل على أحد هذين المدىين، تُقابل النقاط الأخرى زوايا. وفكرة جمع الزوايا، وهي أساسية في العلوم، تُقابل جمع النقاط على أحد هذين المدىين كما يلي:

يمكن وصف الزوايا الدائرية هندسيًا من خلال الخاصية التي تنص على أنه إذا كان وتران P ₀ P ₁ و P ₀ P ₂ يشكلان زاويتين L ₁ و L ₂ في مركز الدائرة، فإن مجموعهما L ₁ + L ₂ هو الزاوية التي يشكلها الوتر P ₀ Q ، حيث يشترط أن يكون P ₀ Q موازيًا لـ P ₁ P ₂ .

يمكن تطبيق نفس البنية على القطع الزائد. إذا اعتبرنا النقطة P₀ _هي (1, 1) ، والنقطة P₁ _هي ( x₁ , ₁ / x₁ ) ، والنقطة P₂ هي ( x₂ , ₁ / x₂ ₎ ، فإن شرط التوازي يقتضي أن _تكون النقطة Q هي ( x₁ _{, x₂} , 1/x₁, ₁ /x₂ ) . وبالتالي _، ^من المنطقي تعريف الزاوية القطعية من P₀ إلى _أي نقطة على المنحنى كدالة لوغاريتمية لقيمة x _عند تلك النقطة . ^{[ 1 ] [ 2} ]

في حين أن الحركة الثابتة في اتجاه عمودي على شعاع من نقطة الأصل في الهندسة الإقليدية ترسم دائرة، فإن الحركة الثابتة في المستوى شبه الإقليدي في اتجاه عمودي على شعاع من نقطة الأصل ترسم قطعًا زائدًا. في الفضاء الإقليدي، يرسم مضاعف زاوية معينة مسافات متساوية حول الدائرة، بينما يرسم مسافات أسية على الخط الزائدي. ^{[ 3 ]}

تُقدّم كلٌّ من الزاوية الدائرية والزاوية الزائدية أمثلةً على القياس الثابت . تُولّد الأقواس ذات المقدار الزاوي على دائرة قياسًا على مجموعات قابلة للقياس على الدائرة، ولا يتغير مقدار هذا القياس مع دوران الدائرة . بالنسبة للقطع الزائد، يكون الدوران عن طريق تطبيق الضغط ، وتبقى مقادير الزاوية الزائدية ثابتةً عندما يتم ضغط المستوى بواسطة تطبيق.

( x , y ) ↦ ( rx , y / r ), حيث r > 0 .

التربيع الزائدي هو حساب مساحة قطاع زائدي . ويمكن إثبات أنه يساوي المساحة المقابلة له على خط تقاربي . وقد أنجز غريغوار دي سان فنسان التربيع الزائدي لأول مرة عام 1647 في كتابه " Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni" . وكما ذكر أحد المؤرخين،

[قام بـ] تربيع القطع الزائد إلى خطوطه المقاربة ، وأظهر أنه كلما زادت المساحة في المتسلسلات الحسابية زادت الفواصل في المتسلسلات الهندسية . ^{[ 5 ]}

فسّر أ. أ. دي ساراسا التكامل العددي على أنه لوغاريتم ، وبالتالي يُفهم اللوغاريتم الطبيعي المُعرَّف هندسيًا (أو "اللوغاريتم الزائدي") على أنه المساحة تحت المنحنى y = 1/ x إلى يمين x = 1. وكمثال على دالة متسامية ، يُعدّ اللوغاريتم أكثر شيوعًا من مُحفِّزه، وهو الزاوية الزائدية. ومع ذلك، تلعب الزاوية الزائدية دورًا عند تطبيق نظرية سان فنسان مع تحويل الضغط .

تم توسيع حساب المثلثات الدائري ليشمل القطع الزائد بواسطة أوغسطس دي مورغان في كتابه المدرسي حساب المثلثات والجبر المزدوج . ^{[ 6 ]} في عام 1878 استخدم دبليو كيه كليفورد الزاوية الزائدية لتمثيل القطع الزائد الواحدي ، واصفًا إياه بأنه " حركة شبه توافقية ".

في عام 1894، نشر ألكسندر ماكفارلين مقالته "الخيال في الجبر"، التي استخدم فيها الزوايا الزائدية لتوليد المتجهات الزائدية ، في كتابه " أوراق في تحليل الفضاء ". ^{[ 7 ]} وفي العام التالي ، نشرت نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية مخطط ميلين دبليو هاسكل للدوال الزائدية . ^{[ 8 ]}

عندما ألّف لودويك سيلبرشتاين كتابه المدرسي الشهير عام 1914 حول نظرية النسبية الجديدة ، استخدم مفهوم السرعة النسبية القائم على الزاوية الزائدية α ، حيث tanh α = v / c ، وهي نسبة السرعة v إلى سرعة الضوء . وقد كتب:

يبدو من الجدير بالذكر أن السرعة الواحدة تقابلها سرعة هائلة، تصل إلى 3/4 من سرعة الضوء؛ وبشكل أكثر دقة لدينا v = (.7616) c لـ a = 1 .

[...] السرعة a = 1 ، [...] وبالتالي ستمثل السرعة 0.76 c وهي أعلى بقليل من سرعة الضوء في الماء. 

يستخدم سيلبرشتاين أيضًا مفهوم لوباتشيفسكي لزاوية التوازي Π ( a ) للحصول على cos Π( a ) = v / c . ^{[ 9 ]}

غالباً ما يتم تقديم الزاوية الزائدية كما لو كانت عدداً تخيلياً ،${\textstyle \cos ix=\cosh x}$و${\textstyle \sin ix=i\sinh x,}$بحيث يمكن تمثيل الدالتين الزائديتين cosh و sinh من خلال الدوال الدائرية. ولكن في المستوى الإقليدي، يمكننا بدلاً من ذلك اعتبار قياسات الزوايا الدائرية أعدادًا تخيلية وقياسات الزوايا الزائدية أعدادًا حقيقية.${\textstyle \cosh ix=\cos x}$و${\textstyle \sinh ix=i\sin x.}$

يمكن فهم هذه العلاقات من خلال الدالة الأسية ، والتي بالنسبة لحجة معقدة${\textstyle z}$يمكن تقسيمها إلى أجزاء زوجية وفردية${\textstyle \cosh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})}$و${\textstyle \sinh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z}),}$على التوالي. ثم

$${\displaystyle e^{z}=\cosh z+\sinh z=\cos(iz)-i\sin(iz),}$$

أو إذا تم تقسيم الحجة إلى أجزاء حقيقية وخيالية${\textstyle z=x+iy,}$يمكن تقسيم الدالة الأسية إلى حاصل ضرب المقياس${\textstyle e^{x}}$والدوران${\textstyle e^{iy},}$

$${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y).}$$

كمتسلسلة لانهائية ،

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{z}&=\,\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+z+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\cosh z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\sinh z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=z+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}+\dots \\\cos z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=1-{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}-\dots \\i\sin z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=i\left(z-{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}-\dots \right)\\\end{alignedat}}}$$

يتم اشتقاق المتسلسلة اللانهائية لجيب التمام من cosh عن طريق تحويلها إلى متسلسلة متناوبة ، وتأتي متسلسلة الجيب من تحويل sinh إلى متسلسلة متناوبة.

كان اللوغاريتم الطبيعي يُعرف في البداية باسم اللوغاريتم الزائدي ، والذي افترضه غريغوريو أ سان فيسنتي على أنه تربيع للقطع الزائد في عام 1647. يحد القطع الزائد المحدد y = 1/ x قطاعات زائدية لها نفس المساحة بعد عملية الضغط كما هو موضح في الرسوم المتحركة.

يُظهر تبديل المثلثات، التي مساحة كل منها نصف وحدة، أن مساحة القطاع الزائدي تساوي مساحة المنطقة المقابلة لخط التقارب. تمثل هذه المنطقة تكامل 1 /x على القطعة المستقيمة الواقعة على خط التقارب. وتعتمد قيمتها فقط على نسبة طرفي الفترة. في الاستخدام الشائع، تكون قيمة x عند أحد الطرفين تساوي 1. إذا كانت قيمة x عند الطرف الآخر أقل من 1، فإن

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dx}{x}}=-\int _{x}^{1}{\frac {dx}{x}}<0.}$

صاغ ليونارد أويلر مصطلح اللوغاريتم الطبيعي عام 1748 بعد أن وجد أن العدد e ( عدد أويلر ) هو العدد الذي يُعطي وحدة مساحة. وبالتالي، فإن الدالة الأسية e^ ^x لها اللوغاريتم الطبيعي كمعكوس لها.

• زاوية متعالية

• جانيت هاين بارنيت (2004) "ادخل، مركز المسرح: الدراما المبكرة للدوال الزائدية"، متاح في (أ) مجلة الرياضيات 77(1): 15-30 أو (ب) الفصل 7 من كتاب أويلر في عام 300 ، تحرير ر. إ. برادلي، ل. أ. د'أنطونيو، س. إ. سانديفير، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 0-88385-565-8.
• آرثر كينلي (1912) تطبيق الدوال الزائدية على مسائل الهندسة الكهربائية
• ويليام مولر، استكشاف ما قبل حساب التفاضل والتكامل ، § العدد e، حساب المثلثات الزائدي .
• جون ستيلويل (1998) الأعداد والهندسة، التمرين 9.5.3، صفحة  298، دار نشر سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-98289-2.