سرعة

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة
السرعة هي قيمة دالة الظل الزائدي ( v / c ) للسرعة v وسرعة الضوء c

في النسبية الخاصة ، يُحوَّل المفهوم الكلاسيكي للسرعة إلى سرعة الضوء (السرعة النسبية) لمراعاة الحد الذي تحدده سرعة الضوء . ويجب جمع السرعات باستخدام صيغة أينشتاين لجمع السرعات . بالنسبة للسرعات المنخفضة، تتناسب السرعة النسبية والسرعة تناسبًا طرديًا تقريبًا، ولكن بالنسبة للسرعات العالية، تأخذ السرعة النسبية قيمة أكبر، حيث تكون سرعة الضوء لانهائية.

رياضياً، يمكن تعريف السرعة بأنها الزاوية الزائدية التي تميز إطارين مرجعيين في حركة نسبية ، ويرتبط كل إطار بإحداثيات المسافة والزمن .

باستخدام الدالة الزائدية العكسية artanh ، فإن السرعة w المقابلة للسرعة v هي: w=أرتان⁡(vج){\displaystyle w=\operatorname {artanh} ({\frac {v}{c}})} حيث c هي سرعة الضوء.

بالنسبة للسرعات المنخفضة، وبتقريب الزاوية الصغيرة ، فإن w تساوي تقريبًا v / c . وبما أن أي سرعة v في النسبية محصورة في الفترة −c < v < c، فإن النسبة v / c تحقق الشرط −1 < v / c < 1. دالة الظل الزائدي العكسي لها مجال الوحدة (−1, 1) وصورتها على خط الأعداد الحقيقية بأكمله ؛ أي أن الفترة −c < v < c تُسقط على −∞ < w < ∞ .

تاريخ

محاور الزمان ( t ) والمكان ( x ): يمتلك المراقبون المتحركون محاور مميزة أو مزدوجة.

في عام 1908، أوضح هيرمان مينكوفسكي كيف يمكن اعتبار تحويل لورنتز مجرد دوران زائدي لإحداثيات الزمكان ، أي دوران بزاوية تخيلية. [ 1 ] تمثل هذه الزاوية بالتالي (في بُعد مكاني واحد) مقياسًا جمعيًا بسيطًا للسرعة بين الإطارات. [ 2 ] تم تقديم مُعامل السرعة بدلًا من السرعة في عام 1910 بواسطة فلاديمير فاريتشاك [ 3 ] وإي تي ويتاكر . [ 4 ] أطلق ألفريد روب (1911) على هذا المُعامل اسم السرعة ، وقد اعتمد هذا المصطلح العديد من المؤلفين اللاحقين، مثل لودويك سيلبرشتاين (1914) وفرانك مورلي (1936) وولفغانغ ريندلير (2001).

مخطط مينكوفسكي

السرعة هي المعامل الذي يعبر عن تباين حدث ما على القطع الزائد الذي يمثل الأحداث المستقبلية على بُعد وحدة زمنية واحدة من نقطة الأصل O. يمكن التعبير عن هذه الأحداث بالصيغة (sinh w , cosh w )، حيث sinh هي دالة الجيب الزائدي وcosh هي دالة جيب التمام الزائدي . لاحظ أنه مع ازدياد السرعة و w ، تميل المحاور نحو القطر. في الواقع، تبقى المحاور في علاقة تعامد زائدي بغض النظر عن قيمة w . المحور السيني المناسب هو المستوى الفائق للتزامن الذي يتوافق مع السرعة w عند نقطة الأصل.

يمكن ربط القطع الزائد بالقطع الزائد الوحدوي . يرى الإطار المرجعي المتحرك الزمكان بنفس طريقة رؤية الإطار الساكن له، لذا فإن نظرية التحويل ضرورية لتفسير تكيف أحدهما مع الآخر. عندما يُفسَّر القطع الزائد الوحدوي على أنه مجموعة ذات مُعامل واحد تؤثر على المستقبل، وبالتالي على الماضي وأماكن أخرى، فإن تكوين مينكوفسكي يُعبِّر عن نسبية التزامن وخصائص نسبية أخرى.

تعزيز لورنتز

ترتبط التحويلات المتعلقة بالأطر المرجعية بهندريك لورنتز . لتحويل إطار متحرك بسرعة w إلى إطار سكون ذي محاور زمان ومكان متعامدة ، يتم تطبيق دوران زائدي بمعامل −w . بما أن cosh( –w ) = coshw و sinh– w = –sinhw ، فإن التمثيل المصفوفي التالي للدوران الزائدي سيجعل الإطار المتحرك متعامدًا (مع احتفاظ جميع الأطر بالتعامد الزائدي لأن هذه العلاقة ثابتة تحت الدوران الزائدي).

تعزيز لورنتز هو ناتج ضرب المصفوفة في متجه (جت′x′)=(ضرب بالعصا⁡w-سينه⁡w-سينه⁡wضرب بالعصا⁡w)(جتx)=Λ(w)(جتx).{\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}.}

المصفوفة Λ ( w ) من النوع(صqqص){\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}مع p و q اللتين تحققان p² - q² = 1 ، بحيث تقع النقطة ( p , q ) على القطع الزائد الواحدي . تُشكل هذه المصفوفات المجموعة المتعامدة غير المحددة O(1,1) ذات جبر لي أحادي البعد مُولّد بواسطة مصفوفة الوحدة المضادة للقطر، مما يُبين أن السرعة هي الإحداثي على جبر لي هذا. في تدوين المصفوفات الأسي ، يمكن التعبير عن Λ ( w ) على النحو التالي:Λ(w)=هـZw{\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}حيث Z هي معكوس مصفوفة الوحدة المضادة للقطر Z=(0-1-10).{\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}بما أن Z 2 هو العنصر المحايد، فإن Z هي وحدة زائدية .

جمع السرعة

إحدى الخصائص الرئيسية للدالة الأسية للمصفوفة هيهـX(s+ت)=هـXsهـXت{\displaystyle e^{\mathbf {X} (s+t)}=e^{\mathbf {X} s}e^{\mathbf {X} t}}ويترتب على ذلك مباشرة ذلك Λ(w1+w2)=Λ(w1)Λ(w2).{\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2}).} وهذا يُثبت الخاصية الجمعية المفيدة للسرعة: إذا كانت A و B و C أطرًا مرجعية ، فإن wمكيف هواء=wAB+wقبل الميلاد،{\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}},} حيث يرمز w PQ إلى سرعة إطار مرجعي Q بالنسبة إلى إطار مرجعي P. وتتناقض بساطة هذه الصيغة مع تعقيد صيغة جمع السرعات المقابلة .

كما نرى من تحويل لورنتز أعلاه، فإن عامل لورنتز يتطابق مع cosh wγ=11-v2/ج2=11-β2≡ضرب بالعصا⁡w،{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\equiv \cosh w,}لذا ، تُستخدم السرعة w ضمنيًا كزاوية زائدية في تعابير تحويل لورنتز باستخدام γ و β . نربط السرعات بصيغة جمع السرعات.u=u1+u21+u1u2ج2{\displaystyle u={\frac {u_{1}+u_{2}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}}} من خلال الاعتراف βأنا=uأناج=tanh⁡wأنا{\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}} وهكذا tanh⁡w=tanh⁡w1+tanh⁡w21+tanh⁡w1tanh⁡w2=tanh⁡(w1+w2){\displaystyle \tanh w={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}=\tanh(w_{1}+w_{2})}

التسارع الذاتي (التسارع الذي يشعر به الجسم المتسارع) هو معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن الذاتي (الزمن كما يقيسه الجسم المتسارع نفسه). لذا، يمكن اعتبار سرعة الجسم في إطار مرجعي معين ببساطة على أنها سرعة ذلك الجسم كما يحسبها نظام توجيه بالقصور الذاتي مثبت على متن الجسم نفسه، إذا تسارع من السكون في ذلك الإطار إلى سرعته المحددة.

الدوال الزائدية

يظهر حاصل ضرب β و γ بشكل متكرر في معادلات النسبية الخاصة. ونتيجة لذلك، يُعرّف بعض المؤلفين مُعاملًا صريحًا.α{\displaystyle \alpha }بالنسبة لهذا التعبير، وهو ما سبق ذكره: α=βγ=tanh⁡wضرب بالعصا⁡w=سينه⁡w{\displaystyle \alpha =\beta \gamma =\tanh w\cosh w=\sinh w}

تستخدم هذه العلاقة دوالًا زائدية للسرعةw{\displaystyle w}لربط هذه المعايير النسبية الخاصة، كما لاحظ مينكوفسكي:

α=سينه⁡w{\displaystyle \alpha =\sinh w}β=tanh⁡w{\displaystyle \beta =\tanh w}γ=ضرب بالعصا⁡w{\displaystyle \gamma =\cosh w}

العلاقات الأسية واللوغاريتمية

من التعبيرات السابقة لدينا هـw=ضرب بالعصا⁡(w)+سينه⁡(w)=γ(1+β)=1+β1-β2=1+vج1-vج،{\displaystyle e^{w}=\cosh(w)+\sinh(w)=\gamma (1+\beta )={\frac {1+\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}},} وبالتالي هـ-w=ضرب بالعصا⁡(w)-سينه⁡(w)=γ(1-β)=1-β1-β2=1-vج1+vج.{\displaystyle e^{-w}=\cosh(w)-\sinh(w)=\gamma (1-\beta )={\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\sqrt {\frac {1- {\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}.} أو صراحةً w=ln⁡[γ(1+β)]=-ln⁡[γ(1-β)].{\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,.}

تأثير دوبلر

عامل إزاحة دوبلر ، في الحالة الطولية حيث يتحرك المصدر والمستقبل مباشرة باتجاه بعضهما البعض أو بعيدًا عن بعضهما البعض، والذي يرتبط بالسرعة w هوك=هـw{\displaystyle k=e^{w}}.

في فيزياء الجسيمات التجريبية

تُعطى الطاقة E والزخم القياسي | p | لجسيم ذي كتلة غير صفرية (سكونية) m بالصيغة التالية:هـ=γمج2|ص|=γمv.{\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma mc^{2}\\\left|\mathbf {p} \right|&=\gamma mv.\end{aligned}}} مع تعريف ww=أرتان⁡vج=أرتان⁡β،{\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}=\operatorname {artanh} \beta ,} وهكذا مع ضرب بالعصا⁡w=ضرب بالعصا⁡(أرتان⁡vج)=11-v2ج2=γ{\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }سينه⁡w=سينه⁡(أرتان⁡vج)=vج1-v2ج2=βγ=α،{\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma =\alpha ,} يمكن كتابة الطاقة والزخم القياسي على النحو التالي: هـ=مج2ضرب بالعصا⁡w|ص|=مجسينه⁡w.{\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}\cosh w\\\left|\mathbf {p} \right|&=mc\,\sinh w.\end{aligned}}}

لذا، يمكن حساب السرعة من الطاقة والزخم المقاسين بواسطة w=أرتان⁡|ص|جهـ=12ln⁡هـ+|ص|جهـ-|ص|ج=ln⁡هـ+|ص|جمج2 .{\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}=\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{mc^{2}}}~.}

ومع ذلك، غالبًا ما يستخدم علماء فيزياء الجسيمات التجريبية تعريفًا معدلًا للسرعة بالنسبة لمحور الحزمة y=12ln⁡هـ+صzجهـ-صzج،{\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},} حيث يُمثل p z مركبة الزخم على طول محور الشعاع. [ 6 ] هذه هي سرعة التسارع على طول محور الشعاع التي تنقل المراقب من إطار المختبر إلى إطار يتحرك فيه الجسيم عموديًا على الشعاع فقط. ويرتبط بهذا مفهوم شبه السرعة .

ويمكن التعبير عن السرعة بالنسبة لمحور الشعاع أيضًا على النحو التالي: y=ln⁡هـ+صzجم2ج4+صتي2ج2 .{\displaystyle y=\ln {\frac {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}~.}

انظر أيضاً

ملاحظات ومراجع

  1. ↑ هيرمان مينكوفسكي (1908) المعادلات الأساسية للعمليات الكهرومغناطيسية في الأجسام المتحركة عبر ويكي مصدر
  2. ↑ سومرفيلد، فيز. زد 1909
  3. ↑ فلاديمير فاريتشاك (1910) تطبيق هندسة لوباتشيفسكي في نظرية النسبية، مجلة الفيزياء عبر ويكي مصدر
  4. ↑ إي تي ويتاكر (1910) تاريخ نظريات الأثير والكهرباء ، صفحة 441.
  5. ↑ ألفريد روب (1911) الهندسة البصرية للحركة، ص 9
  6. ↑ أمسلر، سي. وآخرون ، "مراجعة فيزياء الجسيمات" ، رسائل الفيزياء ب 667 (2008) 1، القسم 38.5.2