أساسي

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب التفاضل والتكامل
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
النظرية الأساسية الحدود الاستمرارية نظرية رول نظرية القيمة المتوسطة نظرية الدالة العكسية
التفاضلي التعاريف المشتقات  ( التعميمات ) التفاضلي لانهائي في الصغر من وظيفة المجموع المفاهيم تدوين التفاضل المشتقة الثانية التمايز الضمني التفاضل اللوغاريتمي الأسعار ذات الصلة نظرية تايلور القواعد والهويات مجموع منتج سلسلة قوة الحاصل قاعدة لوبيتال معكوس الجنرال لايبنتز صيغة فا دي برونو رينولدز
أساسي قوائم التكاملات تحويل تكاملي قاعدة تكامل لايبنتز التعاريف مشتق مضاد تكامل ( غير صحيح ) تكامل ريمان تكامل ليبيج تكامل الكنتور تكامل الدوال العكسية التكامل بواسطة أجزاء الأقراص قواقع اسطوانية التعويض  ( مثلثي ، نصف زاوية مماسية ، أويلر ) صيغة أويلر الكسور الجزئية ( طريقة هيفسايد ) تغيير الترتيب صيغ التخفيض التفاضل تحت علامة التكامل خوارزمية ريش
مسلسل هندسي  ( حسابي هندسي ) متناسق متناوب قوة ثنائي الحدين تايلور اختبارات التقارب حد المجموع (اختبار المصطلح) نسبة جذر أساسي مقارنة مباشرة مقارنة الحدود سلسلة متناوبة تكاثف كوشي ديريتشليت هابيل
متجه التدرج التباعد حليقة لابلاسيان المشتق الاتجاهي الهويات نظريات التدرج جرينز ستوكس التباعد ستوكس المعمم تحلل هلمهولتز
متعدد المتغيرات الشكليات المصفوفة الموتر الخارج هندسي التعاريف المشتقة الجزئية تكامل متعدد تكامل خطي التكامل السطحي حجم التكامل جاكوبيان هيسيان
متقدم حساب التفاضل والتكامل في الفضاء الإقليدي الوظائف المعممة Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

في الرياضيات ، التكامل هو النظير المستمر للمجموع ، والذي يستخدم لحساب المساحات والأحجام وتعميماتها. التكامل، عملية حساب التكامل، هي واحدة من العمليتين الأساسيتين في حساب التفاضل والتكامل ، ^[أ] والعملية الأخرى هي التفاضل . استُخدم التكامل في البداية لحل المشكلات في الرياضيات والفيزياء ، مثل إيجاد المساحة تحت المنحنى، أو تحديد الإزاحة من السرعة. توسع استخدام التكامل إلى مجموعة واسعة من المجالات العلمية بعد ذلك.

يحسب التكامل المحدد المساحة الموقعة للمنطقة في المستوى المحدود برسم دالة معينة بين نقطتين في الخط الحقيقي . تقليديًا، تكون المساحات الموجودة أعلى المحور الأفقي للمستوى موجبة بينما تكون المساحات الموجودة أسفله سالبة. تشير التكاملات أيضًا إلى مفهوم المشتقة العكسية ، وهي دالة تكون مشتقتها هي الدالة المعطاة؛ في هذه الحالة، تسمى أيضًا تكاملات غير محددة . تربط النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل التكامل المحدد بالتفاضل وتوفر طريقة لحساب التكامل المحدد لدالة عندما تكون مشتقتها العكسية معروفة؛ التفاضل والتكامل عمليات عكسية .

على الرغم من أن طرق حساب المساحات والأحجام ترجع إلى الرياضيات اليونانية القديمة ، إلا أن مبادئ التكامل صيغت بشكل مستقل من قبل إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم لايبنتز في أواخر القرن السابع عشر، حيث اعتقدا أن المساحة تحت المنحنى هي مجموع لا نهائي من المستطيلات ذات العرض اللانهائي . قدم برنهارد ريمان لاحقًا تعريفًا صارمًا للتكاملات، والذي يعتمد على إجراء حدي يقارب مساحة المنطقة المنحنية عن طريق تقسيم المنطقة إلى ألواح رأسية رقيقة للغاية. في أوائل القرن العشرين، عمم هنري ليبيج صياغة ريمان من خلال تقديم ما يشار إليه الآن باسم تكامل ليبيج ؛ إنه أكثر عمومية من تكامل ريمان بمعنى أن فئة أوسع من الدوال قابلة للتكامل بواسطة ليبيج.

يمكن تعميم التكاملات اعتمادًا على نوع الدالة وكذلك المجال الذي يتم فيه إجراء التكامل. على سبيل المثال، يتم تعريف تكامل خطي لوظائف متغيرين أو أكثر، ويتم استبدال فترة التكامل بمنحنى يربط بين نقطتين في الفضاء. في التكامل السطحي ، يتم استبدال المنحنى بقطعة من السطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد .

أول تقنية منهجية موثقة قادرة على تحديد التكاملات هي طريقة استنفاد عالم الفلك اليوناني القديم يودوكسوس والفيلسوف ديمقريطس ( حوالي 370 قبل الميلاد)، والتي سعت إلى إيجاد المساحات والأحجام من خلال تقسيمها إلى عدد لا نهائي من الأقسام التي كانت المساحة أو الحجم معروفين بها. [ 1 ^] تم تطوير هذه الطريقة واستخدامها من قبل أرخميدس في القرن الثالث قبل الميلاد واستخدمت لحساب مساحة الدائرة ومساحة سطح وحجم الكرة ومساحة القطع الناقص والمساحة تحت القطع المكافئ وحجم قطعة من القطع المكافئ الدوراني وحجم قطعة من القطع الزائد الدوراني ومساحة الحلزون . [ ^2]

تم تطوير طريقة مماثلة بشكل مستقل في الصين حوالي القرن الثالث الميلادي بواسطة ليو هوي ، الذي استخدمها لإيجاد مساحة الدائرة. تم استخدام هذه الطريقة لاحقًا في القرن الخامس من قبل علماء الرياضيات الصينيين الأب والابن زو تشونغ تشي وزو جينج لإيجاد حجم الكرة. ^[3]

في الشرق الأوسط، استنتج الحسن بن الهيثم ( حوالي  965  - حوالي  1040  م) صيغة لمجموع القوى الرابعة . ^[4] حدد الحسن المعادلات لحساب المساحة المحاطة بالمنحنى الذي يمثله (الذي يترجم إلى التكامل في التدوين المعاصر)، لأي قيمة صحيحة غير سالبة معينة لـ . ^[5] استخدم النتائج لتنفيذ ما يسمى الآن تكامل هذه الدالة، حيث سمحت له صيغ مجموع المربعات الصحيحة والقوى الرابعة بحساب حجم القطع المكافئ . ^[6]${\displaystyle y=x^{k}}$${\displaystyle \int x^{k}\,dx}$${\displaystyle k}$

لم تبدأ التطورات المهمة التالية في حساب التكامل في الظهور حتى القرن السابع عشر. في هذا الوقت، بدأ عمل كافالييري بطريقته في الأشياء غير القابلة للتجزئة ، وعمل فيرما ، في وضع أسس حساب التفاضل والتكامل الحديث، ^[7] مع حساب كافالييري لتكاملات x ⁿ حتى الدرجة n = 9 في صيغة التربيع لكافالييري . ^[8] تطلبت الحالة n = −1 اختراع دالة ، اللوغاريتم الزائدي ، التي تم تحقيقها عن طريق تربيع القطع الزائد في عام 1647.

تم اتخاذ خطوات أخرى في أوائل القرن السابع عشر من قبل بارو وتوريشيلي ، الذين قدموا التلميحات الأولى للارتباط بين التكامل والتفاضل . قدم بارو أول دليل على النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل . ^{[9] عمم} واليس طريقة كافالييري، وحساب تكاملات x إلى قوة عامة ، بما في ذلك القوى السالبة والقوى الكسرية. ^[10]

جاء التقدم الرئيسي في التكامل في القرن السابع عشر مع الاكتشاف المستقل للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل من قبل لايبنتز ونيوتن . ^{[11] توضح النظرية وجود صلة بين التكامل} والتفاضل . يمكن استغلال هذه الصلة، جنبًا إلى جنب مع السهولة النسبية للتفاضل، لحساب التكاملات. على وجه الخصوص، تسمح النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل بحل فئة أوسع بكثير من المشكلات. على قدم المساواة في الأهمية هو الإطار الرياضي الشامل الذي طوره كل من لايبنتز ونيوتن. نظرًا لاسم حساب التفاضل والتكامل اللانهائي، فقد سمح بالتحليل الدقيق للوظائف ذات المجالات المستمرة. أصبح هذا الإطار في النهاية حساب التفاضل والتكامل الحديث ، حيث تم استخلاص تدوينه للتكاملات مباشرة من عمل لايبنتز.

في حين قدم نيوتن ولايبنتز نهجًا منهجيًا للتكامل، إلا أن عملهما كان يفتقر إلى درجة من الدقة . هاجم الأسقف بيركلي بشكل لا يُنسى الزيادات المتلاشية التي استخدمها نيوتن، واصفًا إياها بـ " أشباح الكميات الراحلة ". ^[12] اكتسب حساب التفاضل والتكامل موطئ قدم أكثر ثباتًا مع تطوير الحدود . تم صياغة التكامل لأول مرة بدقة، باستخدام الحدود، بواسطة ريمان . ^[13] على الرغم من أن جميع الدوال المتصلة المقطوعة المحدودة قابلة للتكامل الريماني على فاصل محدود، فقد تم النظر لاحقًا في وظائف أكثر عمومية - خاصة في سياق تحليل فورييه - والتي لا ينطبق عليها تعريف ريمان، وصاغ ليبيج تعريفًا مختلفًا للتكامل، قائمًا على نظرية القياس (حقل فرعي من التحليل الحقيقي ). تم اقتراح تعريفات أخرى للتكامل، تمتد إلى نهجي ريمان وليبيج. هذه الأساليب المبنية على نظام الأعداد الحقيقية هي الأكثر شيوعًا اليوم، ولكن توجد طرق بديلة، مثل تعريف التكامل كجزء قياسي من مجموع ريمان اللانهائي، استنادًا إلى نظام الأعداد الفائقة الواقعية .

تم تقديم ترميز التكامل غير المحدد بواسطة جوتفريد فيلهلم لايبنتز في عام 1675. ^[14] قام بتعديل رمز التكامل ، ∫ ، من الحرف ſ ( s الطويل )، الذي يرمز إلى summa (مكتوبًا على هيئة ſumma ؛ اللاتينية لـ "المجموع" أو "الإجمالي"). تم استخدام الترميز الحديث للتكامل المحدد، مع الحدود أعلى وأسفل علامة التكامل، لأول مرة بواسطة جوزيف فورييه في مذكرات الأكاديمية الفرنسية حوالي عامي 1819-1820، وأعاد طبعه في كتابه عام 1822. ^[15]

استخدم إسحاق نيوتن شريطًا رأسيًا صغيرًا فوق متغير للإشارة إلى التكامل، أو وضع المتغير داخل مربع. كان من السهل الخلط بين الشريط الرأسي و.سأو x ′ ، والتي تستخدم للإشارة إلى التمايز، وكان من الصعب على الطابعات إعادة إنتاج تدوين المربع، لذلك لم يتم اعتماد هذه التدوينات على نطاق واسع. ^[16]

تمت طباعة المصطلح لأول مرة باللغة اللاتينية بواسطة جاكوب برنولي في عام 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur". ^[17]

بشكل عام، يتم كتابة تكامل الدالة ذات القيمة الحقيقية f ( x ) بالنسبة إلى متغير حقيقي x على الفاصل [ a , b ] على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

تمثل علامة التكامل ∫ التكامل. يشير الرمز dx ، والذي يسمى تفاضل المتغير x ، إلى أن متغير التكامل هو x . تسمى الدالة f ( x ) بالمتكامل، وتسمى النقطتان a و b حدود (أو حدود) التكامل، ويقال إن التكامل يكون على الفترة [ a ، b ] ، والتي تسمى فترة التكامل. ^[18] يقال إن الدالة قابلة للتكاملإذا كان تكامله على نطاقه منتهيًا. إذا تم تحديد الحدود، يسمى التكامل تكاملًا محددًا.

عندما يتم حذف الحدود، كما في

${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$

يُطلق على التكامل اسم تكامل غير محدد، والذي يمثل فئة من الدوال (المشتقة العكسية ) التي يكون مشتقها هو المتكامل. ^[19] تربط النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل بين تقييم التكاملات المحددة والتكاملات غير المحددة. هناك العديد من الامتدادات لترميز التكاملات لتشمل التكامل على المجالات غير المحدودة و/أو في أبعاد متعددة (انظر الأقسام اللاحقة من هذه المقالة).

في الإعدادات المتقدمة، ليس من غير المألوف ترك dx خارجًا عندما يتم استخدام تكامل ريمان البسيط فقط، أو عندما يكون النوع الدقيق للتكامل غير مهم. على سبيل المثال، قد يكتب المرء للتعبير عن خطية التكامل، وهي خاصية مشتركة بين تكامل ريمان وجميع تعميماته. ^[20]${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$

تظهر التكاملات في العديد من المواقف العملية. على سبيل المثال، من طول وعرض وعمق حوض سباحة مستطيل الشكل وقاعه مسطح، يمكننا تحديد حجم المياه التي يمكن أن يحتويها ومساحة سطحه وطول حافته. ولكن إذا كان بيضاوي الشكل وقاعه مستديرًا، فإن التكاملات مطلوبة لإيجاد قيم دقيقة وصارمة لهذه الكميات. في كل حالة، يمكن للمرء تقسيم الكمية المطلوبة إلى عدد لا نهائي من القطع الصغيرة اللانهائية ، ثم جمع القطع لتحقيق تقريب دقيق.

كمثال آخر، لإيجاد مساحة المنطقة المحددة برسم الدالة f ( x ) = بين x = 0 و x = 1 ، يمكننا تقسيم الفاصلة إلى خمس قطع ( 0، 1/5، 2/5، ...، 1 )، ثم إنشاء مستطيلات باستخدام ارتفاع الطرف الأيمن لكل قطعة (وبالتالي √ 0 ، √ 1/5 ، √ 2/5 ، ...، √ 1 ) ومجموع مساحاتها للحصول على التقريب ${\textstyle {\sqrt {x}}}$

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497,}$

وهو أكبر من القيمة الدقيقة. وبدلاً من ذلك، عند استبدال هذه الفواصل الفرعية بواحدات بارتفاع الطرف الأيسر لكل قطعة، يكون التقريب الذي نحصل عليه منخفضًا للغاية: مع اثني عشر من هذه الفواصل الفرعية، تكون المساحة التقريبية 0.6203 فقط. ومع ذلك، عندما يزداد عدد القطع إلى ما لا نهاية، فسوف يصل إلى حد هو القيمة الدقيقة للمساحة المطلوبة (في هذه الحالة، 2/3 ). يكتب المرء

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},}$

وهذا يعني أن 2/3 هو نتيجة مجموع مرجح لقيم الدالة، √ x ، مضروبًا في عرض الخطوة اللانهائية في الصغر، والمشار إليه بـ dx ، على الفاصل الزمني [0، 1] .

هناك العديد من الطرق لتعريف التكامل رسميًا، وليست كلها متكافئة. وتوجد الاختلافات في الغالب للتعامل مع حالات خاصة مختلفة قد لا تكون قابلة للتكامل بموجب تعريفات أخرى، ولكنها موجودة أيضًا أحيانًا لأسباب تربوية. التعريفات الأكثر استخدامًا هي تكاملات ريمان وتكاملات ليبيج.

يتم تعريف تكامل ريمان من حيث مجموع ريمان للوظائف فيما يتعلق بالأقسام المميزة لفاصل زمني. ^[21] القسم المميز لفاصل زمني مغلق [ أ ، ب ] على الخط الحقيقي هو تسلسل منتهٍ

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

يقسم هذا الفاصل الزمني [ a , b ] إلى n فاصلة فرعية [ x _{i −1} , x _i ] مفهرسة بواسطة i ، كل منها "مُوسَم" بنقطة محددة t _i ∈ [ x _{i −1} , x _i ] . يتم تعريف مجموع ريمان لدالة f بالنسبة لمثل هذا التقسيم المُوسَم على أنه

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};}$

وبالتالي فإن كل حد من المجموع هو مساحة مستطيل بارتفاع يساوي قيمة الدالة عند النقطة المختارة من الفترة الفرعية المعطاة، وعرض يساوي عرض الفترة الفرعية، Δ _i = x _i − x _{i −1} . وتكون شبكة هذا القسم المسمى هي عرض أكبر فترة فرعية تشكلها هذه الفترة، max _{i =1... n} Δ _i . ويكون تكامل ريمان لدالة f على الفترة [ a , b ] مساويًا لـ S إذا كان: ^[22]

بالنسبة للجميع، يوجد مثل هذا، بالنسبة لأي قسم مُوسوم بشبكة أقل من ،${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

عندما تكون العلامات المختارة هي القيمة القصوى (أو الدنيا على التوالي) للدالة في كل فاصل، يصبح مجموع ريمان مجموع داربو العلوي (أو الأدنى على التوالي) ، مما يشير إلى الارتباط الوثيق بين تكامل ريمان وتكامل داربو .

غالبًا ما يكون من المثير للاهتمام، سواء في النظرية أو التطبيقات، أن تكون قادرًا على الانتقال إلى الحد تحت التكامل. على سبيل المثال، يمكن غالبًا إنشاء سلسلة من الدوال التي تقترب، بمعنى مناسب، من حل مشكلة. عندئذٍ يجب أن يكون تكامل دالة الحل هو حد تكاملات التقريبات. ومع ذلك، فإن العديد من الدوال التي يمكن الحصول عليها كحدود ليست قابلة للتكامل الريمان، وبالتالي فإن مثل هذه النظريات الحدية لا تنطبق على تكامل ريمان. لذلك، من المهم جدًا أن يكون لدينا تعريف للتكامل يسمح بتكامل فئة أوسع من الدوال. ^[23]

مثل هذا التكامل هو تكامل ليبيج، الذي يستغل الحقيقة التالية لتوسيع فئة الدوال القابلة للتكامل: إذا تم إعادة ترتيب قيم الدالة على المجال، فيجب أن يظل تكامل الدالة كما هو. وبالتالي قدم هنري ليبيج التكامل الذي يحمل اسمه، موضحًا هذا التكامل على النحو التالي في رسالة إلى بول مونتيل : ^[24]

عليّ أن أدفع مبلغًا معينًا، جمعته في جيبي. فأخرج الأوراق النقدية والعملات المعدنية من جيبي وأعطيها للدائن بالترتيب الذي أجدها به حتى أصل إلى المبلغ الإجمالي. هذا هو تكامل ريمان. ولكن يمكنني المضي قدمًا بطريقة مختلفة. بعد أن أخرج كل الأموال من جيبي، أرتب الأوراق النقدية والعملات المعدنية وفقًا لقيم متطابقة ثم أدفع الأكوام المتعددة واحدة تلو الأخرى للدائن. هذا هو تكاملي.

كما يقول فولاند، "لحساب تكامل ريمان لـ f ، يقسم المرء المجال [ a ، b ] إلى فترات فرعية"، بينما في تكامل ليبيج، "يقوم المرء في الواقع بتقسيم نطاق f ". ^[25] وبالتالي يبدأ تعريف تكامل ليبيج بمقياس ، μ. في أبسط الحالات، يكون مقياس ليبيج μ ( A ) للفاصل A = [ a ، b ] هو عرضه، b − a ، بحيث يتفق تكامل ليبيج مع تكامل ريمان (الصحيح) عندما يوجد كلاهما. ^[26] في الحالات الأكثر تعقيدًا، يمكن أن تكون المجموعات التي يتم قياسها مجزأة للغاية، بدون استمرارية ولا تشابه مع الفواصل.

باستخدام فلسفة "تقسيم نطاق f "، يجب أن يكون تكامل الدالة غير السالبة f  : R → R هو المجموع على t للمساحات بين شريط أفقي رفيع بين y = t و y = t + dt . هذه المساحة هي فقط μ { x  : f ( x ) > t }  dt . دع f ^∗ ( t ) = μ { x  : f ( x ) > t } . يتم تعريف تكامل ليبيج لـ f بواسطة

${\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}$

حيث أن التكامل على اليمين هو تكامل ريمان غير صحيح عادي ( f ^∗ هي دالة موجبة متناقصة تمامًا، وبالتالي لها تكامل ريمان غير صحيح محدد جيدًا ). ^​​[27] بالنسبة لفئة مناسبة من الدوال ( الدوال القابلة للقياس )، فإن هذا يحدد تكامل ليبيج.

تكون الدالة العامة القابلة للقياس f قابلة للتكامل وفقًا لطريقة ليبيج إذا كان مجموع القيم المطلقة لمساحات المناطق بين رسم f ومحور x محدودًا: ^[28]

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .}$

في هذه الحالة، يكون التكامل، كما في الحالة الريمانية، هو الفرق بين المساحة فوق المحور السيني والمساحة أسفل المحور السيني : ^[29]

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }$

أين

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}$

على الرغم من أن تكاملات ريمان وليبيج هي التعريفات الأكثر استخدامًا للتكامل، إلا أن هناك عددًا من التعريفات الأخرى، بما في ذلك:

• تكامل داربوكس ، والذي يتم تعريفه بواسطة مجموعات داربوكس (مجموعات ريمان المقيدة) إلا أنه يعادل تكامل ريمان . تكون الدالة قابلة للتكامل بواسطة داربوكس إذا وفقط إذا كانت قابلة للتكامل بواسطة ريمان. تتميز تكاملات داربوكس بأنها أسهل في التعريف من تكاملات ريمان.
• تكامل ريمان -ستيلجيس ، وهو امتداد لتكامل ريمان الذي يتكامل بالنسبة إلى دالة وليس بالنسبة إلى متغير.
• تكامل ليبيج -ستيلتيس ، الذي طوره يوهان رادون ، والذي يعمم كل من تكاملات ريمان-ستيلتيس وليبيج.
• تكامل دانييل ، والذي يتضمن تكامل ليبيج وتكامل ليبيج-ستيلجيس دون الاعتماد على المقاييس .
• تكامل هار ، المستخدم للتكامل على المجموعات الطوبولوجية المدمجة محليًا، قدمه ألفريد هار في عام 1933.
• تكامل هنستوك -كورزويل ، والذي تم تعريفه بشكل مختلف من قبل أرنو دينجوي ، وأوسكار بيرون ، و (بشكل أكثر أناقة، باعتباره تكامل القياس) ياروسلاف كورزويل ، وتم تطويره من قبل رالف هنستوك .
• تكامل خينشين ، الذي سمي على اسم ألكسندر خينشين .
• تكامل إيتو وتكامل ستراتونوفيتش ، اللذان يحددان التكامل فيما يتعلق بشبه المارتينجالات مثل الحركة البراونية .
• تكامل يونغ ، وهو نوع من تكاملات ريمان-ستيلتيس فيما يتعلق ببعض وظائف التباين غير المحدود .
• تكامل المسار الخشن ، والذي يتم تعريفه للوظائف المجهزة ببعض بنية "المسار الخشن" الإضافية ويعمم التكامل العشوائي ضد كل من شبه المارتينجالات والعمليات مثل الحركة البراونية الكسرية .
• تكامل تشوكيه ، وهو تكامل فرعي أو إضافي فائق ابتكره عالم الرياضيات الفرنسي غوستاف تشوكيه في عام 1953.
• تكامل بوشنر ، هو تعميم لتكامل ليبيج للدوال التي تأخذ قيمًا في فضاء باناخ .

تشكل مجموعة الدوال القابلة للتكامل وفقًا لريمان على فاصل مغلق [ أ ، ب ] فضاء متجه تحت عمليات الجمع النقطي والضرب في عدد قياسي، وعملية التكامل

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$

هي دالة خطية على فضاء المتجه هذا. وبالتالي، فإن مجموعة الدوال القابلة للتكامل تكون مغلقة عند أخذ تركيبات خطية ، وتكامل التركيبة الخطية هو التركيبة الخطية للتكاملات: ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}$

وبالمثل، فإن مجموعة الدوال القابلة للتكامل وفقًا لطريقة ليبيج ذات القيمة الحقيقية على مساحة قياس معينة E بمقياس μ تكون مغلقة عند أخذ تركيبات خطية وبالتالي تشكل مساحة متجهة، وتكامل ليبيج

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

هي دالة خطية على فضاء المتجه هذا، بحيث: ^[29]

${\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}$

بشكل عام، ضع في اعتبارك فضاء المتجه لجميع الدوال القابلة للقياس على فضاء القياس ( E ، μ ) ، ​​مع أخذ القيم في فضاء المتجه الطوبولوجي الكامل المضغوط محليًا V على حقل طوبولوجي مضغوط محليًا K ، f  : E → V. ثم يمكن للمرء تعريف خريطة تكامل مجردة بتعيين عنصر من V أو الرمز ∞ لكل دالة f ،

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,}$

وهو متوافق مع التركيبات الخطية. ^[31] في هذه الحالة، تنطبق الخطية على الفضاء الفرعي للوظائف التي يكون تكاملها عنصرًا من V (أي "منتهية"). تنشأ الحالات الخاصة الأكثر أهمية عندما يكون K هو R أو C أو امتدادًا منتهيًا للحقل Q _p من الأعداد p-adic ، و V هي فضاء متجه ذي أبعاد محدودة على K ، وعندما يكون K = C و V هي فضاء هيلبرت معقد .

يمكن استخدام الخطية، إلى جانب بعض خصائص الاستمرارية الطبيعية والتطبيع لفئة معينة من الدوال "البسيطة"، لإعطاء تعريف بديل للتكامل. هذا هو نهج دانييل لحالة الدوال ذات القيمة الحقيقية على مجموعة X ، والتي عممها نيكولاس بورباكي على الدوال ذات القيم في فضاء متجه طوبولوجي مضغوط محليًا. انظر هيلدبراندت 1953 للحصول على توصيف بديهي للتكامل.

هناك عدد من المتباينات العامة التي تنطبق على الدوال القابلة للتكامل وفقًا لريمان والمحددة على فاصل مغلق ومحدود [ أ ، ب ] ويمكن تعميمها على مفاهيم أخرى للتكامل (ليبيج ودانييل).

• الحدود العليا والسفلى. إن الدالة القابلة للتكامل f على [ a , b ] محدودة بالضرورة على تلك الفترة. وبالتالي، هناك أعداد حقيقية m و M بحيث m ≤ f  ( x ) ≤ M لجميع x في [ a , b ] . ونظرًا لأن المجموعين السفلي والعلوي لـ f على [ a , b ] محددان على التوالي بـ m ( b − a ) و M ( b − a ) ، فمن الطبيعي أن$${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).}$$
• التفاوتات بين الدوال. ^[32] إذا كانت f ( x ) ≤ g ( x ) لكل x في [ a , b ] ، فإن كلًا من المجموع العلوي والسفلي لـ f يكون محصورًا من الأعلى بالمجموع العلوي والسفلي لـ g ، على التوالي . وبالتالي، فإن هذا تعميم للتفاوتات المذكورة أعلاه، حيث إن M ( b −a ) هي تكامل الدالة الثابتة بقيمة M على [ a , b ] . بالإضافة إلى ذلك، إذا كانت التفاوتات بين الدوال صارمة، فإن التفاوتات بين التكاملات تكون صارمة أيضًا. أي إذا كانت f ( x ) < g ( x ) لكل x في [ a , b ] ، فإن$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$
• الفترات الجزئية. إذا كانت [ c , d ] فترة جزئية من [ a , b ] وكانت f  ( x ) غير سالبة لجميع x ، فإن$${\displaystyle \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$
• حاصل الضرب والقيم المطلقة للدوال. إذا كانت f و g دالتين، فيمكننا اعتبار حاصل ضربهما النقطي وقوتهما والقيم المطلقة : إذا كانت f قابلة للتكامل الريمان على [ a ، b ] ، فإن الأمر نفسه ينطبق على | f | ، و علاوة على ذلك، إذا كانت f و g قابلتين للتكامل الريمان، فإن fg قابلة للتكامل الريمان أيضًا، و تلعب هذه المتباينة، المعروفة باسم متباينة كوشي-شوارتز ، دورًا بارزًا في نظرية فضاء هيلبرت ، حيث يتم تفسير الجانب الأيسر على أنه حاصل الضرب الداخلي لدالتين قابلتين للتكامل التربيعي f و g على الفترة [ a ، b ] .$${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.}$$$${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$$$${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}$$
• متباينة هولدر . ^[33] افترض أن p و q عددان حقيقيان، 1 ≤ p و q ≤ ∞ مع ⁠1/ص+​​1/س= 1 ، و f و g دالتان قابلتان للتكامل وفقًا لطريقة ريمان. عندئذٍ تكون الدالتان | f | ^p و | g | ^q قابلتين للتكامل أيضًا وتصبح متباينة هولدر التاليةصحيحة:بالنسبة إلى p = q = 2 ، تصبح متباينة هولدر متباينة كوشي-شوارتز.$${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$$
• متباينة مينكوفسكي . ^[33] افترض أن p ≥ 1 هو عدد حقيقي وأن f و g دالتان قابلتان للتكامل الريمان. عندئذٍ تكون | f | ^p و | g | ^p و | f + g | ^p قابلة للتكامل الريمان أيضًا وتكون متباينة مينكوفسكي التالية صحيحة: يتم استخدام نظير لهذه المتباينة لتكامل ليبيج في إنشاء فضاءات L ^p .$${\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$$

في هذا القسم، f هي دالة ريمان قابلة للتكامل ذات القيمة الحقيقية . التكامل

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

على فاصل زمني [ a , b ] يتم تعريفه إذا كان a < b . وهذا يعني أن المجموع العلوي والسفلي للدالة f يتم تقييمهما على القسم a = x ₀ ≤ x ₁ ≤ . . . ≤ x _n = b الذي تتزايد قيمه x _i . هندسيًا، هذا يعني أن التكامل يحدث "من اليسار إلى اليمين"، وتقييم f ضمن فترات [ x _i  , x _{i  +1} ] حيث تقع فترة ذات مؤشر أعلى على يمين فترة ذات مؤشر أقل. تسمى القيم a و b ، نقاط النهاية للفترة ، حدود تكامل f . يمكن أيضًا تعريف التكاملات إذا كانت a > b : [ ^18]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}$

مع a = b ، هذا يعني:

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

إن الاتفاقية الأولى ضرورية عند النظر في أخذ التكاملات على فترات فرعية من [ a , b ] ؛ وتنص الاتفاقية الثانية على أن التكامل المأخوذ على فترة متدهورة، أو نقطة ، يجب أن يكون صفرًا . أحد أسباب الاتفاقية الأولى هو أن قابلية تكامل f على فترة [ a , b ] تعني أن f قابلة للتكامل على أي فترة فرعية [ c , d ] ، ولكن في التكاملات بشكل خاص، تتمتع الخاصية بأنه إذا كان c أي عنصر من [ a , b ] ، فإن: ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

مع الاتفاقية الأولى، العلاقة الناتجة

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

ومن ثم يتم تعريفها بشكل جيد لأي تبديل دوري لـ a و b و c .

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل هي العبارة التي تنص على أن التفاضل والتكامل عمليات عكسية: إذا تم تكامل دالة متصلة أولاً ثم تم تفاضلها، يتم استرجاع الدالة الأصلية. ^[34] تسمح نتيجة مهمة، تسمى أحيانًا النظرية الأساسية الثانية لحساب التفاضل والتكامل ، بحساب التكاملات باستخدام مشتق عكسي للدالة المراد تكاملها. ^[35]

ليكن f دالة متصلة ذات قيمة حقيقية معرفة على فاصل مغلق [ a , b ] وليكن F هي الدالة المعرفة، لكل x في [ a , b ] ، بواسطة ^[36]

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

وبالتالي، فإن F متصلة على [ a , b ] وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة ( a , b ) ، و

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

لجميع x في ( أ ، ب ) .

ليكن f دالة ذات قيمة حقيقية معرفة على فاصل مغلق [ a , b ] تقبل المشتقة العكسية F على [ a , b ] . أي أن f و F دالتان بحيث أنه بالنسبة لجميع x في [ a , b ] ،

${\displaystyle f(x)=F'(x).}$

إذا كانت f قابلة للتكامل على [ a , b ] فإن

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

يفترض تكامل ريمان "الحقيقي" أن المتكامل محدد ومحدود على فاصل مغلق ومحدود، محاط بحدود التكامل. يحدث التكامل غير الصحيح عندما لا يتم استيفاء أحد أو أكثر من هذه الشروط. في بعض الحالات، يمكن تعريف مثل هذه التكاملات من خلال النظر في حد تسلسل تكاملات ريمان الحقيقية على فترات أكبر تدريجيًا.

إذا كانت الفترة غير محدودة، على سبيل المثال عند نهايتها العليا، فإن التكامل غير السليم هو الحد حيث تتجه هذه النقطة النهائية إلى ما لا نهاية: ^[37]

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

إذا كان المتكامل محددًا أو محدودًا فقط على فاصل نصف مفتوح، على سبيل المثال ( أ ، ب ] ، فمرة أخرى قد يوفر الحد نتيجة محدودة: ^[38]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.}$

أي أن التكامل غير السليم هو حد التكاملات السليمة عندما تقترب إحدى نقاط نهاية فترة التكامل إما من عدد حقيقي محدد ، أو ∞ ، أو −∞ . وفي الحالات الأكثر تعقيدًا، تكون الحدود مطلوبة عند كلتا نقطتي النهاية، أو عند النقاط الداخلية.

تمامًا كما يمثل التكامل المحدد لدالة موجبة لمتغير واحد مساحة المنطقة بين رسم الدالة ومحور x ، فإن التكامل المزدوج لدالة موجبة لمتغيرين يمثل حجم المنطقة بين السطح الذي تحدده الدالة والمستوى الذي يحتوي على مجالها. ^[39] على سبيل المثال، تعتمد الدالة في بعدين على متغيرين حقيقيين، x و y ، ويمكن كتابة تكامل الدالة f على المستطيل R المعطى كحاصل ضرب ديكارتي لفترة زمنية على النحو التالي:${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$

${\displaystyle \int _{R}f(x,y)\,dA}$

حيث يشير التفاضل dA إلى أن التكامل يؤخذ بالنسبة للمساحة. يمكن تعريف هذا التكامل المزدوج باستخدام مجموعات ريمان ، ويمثل الحجم (المُوقَّع) تحت الرسم البياني لـ z = f ( x ، y ) على المجال R. ^[40] في ظل الظروف المناسبة (على سبيل المثال، إذا كانت f متصلة)، تنص نظرية فوبيني على أنه يمكن التعبير عن هذا التكامل كتكامل متكرر مكافئ ^[41]

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.}$

يقلل هذا من مشكلة حساب التكامل المزدوج عن حساب التكاملات أحادية البعد. وبسبب هذا، يستخدم تدوين آخر للتكامل على R علامة تكامل مزدوجة: ^[40]

${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA.}$

من الممكن إجراء تكامل على مجالات أكثر عمومية. يتم الإشارة إلى تكامل الدالة f ، بالنسبة إلى الحجم، على منطقة ذات أبعاد n D برموز مثل: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.}$

يمكن توسيع مفهوم التكامل ليشمل مجالات أكثر عمومية للتكامل، مثل الخطوط المنحنية والأسطح داخل المساحات ذات الأبعاد الأعلى. تُعرف هذه التكاملات باسم تكاملات الخطوط وتكاملات الأسطح على التوالي. ولها تطبيقات مهمة في الفيزياء، كما هو الحال عند التعامل مع حقول المتجهات .

التكامل الخطي ( يُسمى أحيانًا تكامل المسار ) هو تكامل حيث يتم تقييم الدالة المراد تكاملها على طول منحنى . ^[42] يتم استخدام العديد من تكاملات الخطوط المختلفة. في حالة المنحنى المغلق، يُسمى أيضًا تكامل محيطي .

قد تكون الدالة المراد تكاملها حقلًا قياسيًا أو حقلًا متجهًا . قيمة التكامل الخطي هي مجموع قيم الحقل عند جميع النقاط على المنحنى، مرجحة ببعض الدوال القياسية على المنحنى (عادةً طول القوس أو، بالنسبة لحقل متجه، حاصل الضرب القياسي لحقل المتجه مع متجه تفاضلي في المنحنى). ^[43] يميز هذا الترجيح التكامل الخطي عن التكاملات الأبسط المحددة على فترات . تحتوي العديد من الصيغ البسيطة في الفيزياء على نظائر مستمرة طبيعية من حيث التكاملات الخطية؛ على سبيل المثال، يمكن التعبير عن حقيقة أن العمل يساوي القوة ، F ، مضروبة في الإزاحة، s ، (من حيث كميات المتجهات) على النحو التالي: ^[44]

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .}$

بالنسبة لجسم يتحرك على طول مسار C في حقل متجه F مثل الحقل الكهربائي أو الحقل الجاذبي ، يتم الحصول على العمل الكلي الذي يقوم به الحقل على الجسم عن طريق جمع العمل التفاضلي الذي يتم في التحرك من s إلى s + d s . وهذا يعطي التكامل الخطي ^[45]

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .}$

يعمم التكامل السطحي التكاملات المزدوجة على التكامل على سطح (قد يكون مجموعة منحنية في الفضاء )؛ ويمكن اعتباره نظير التكامل المزدوج للتكامل الخطي . قد تكون الدالة المراد تكاملها حقلًا قياسيًا أو حقلًا متجهًا . قيمة التكامل السطحي هي مجموع الحقل عند جميع النقاط على السطح. ويمكن تحقيق ذلك عن طريق تقسيم السطح إلى عناصر سطحية، والتي توفر التقسيم لمجاميع ريمان. ^[46]

للحصول على مثال لتطبيقات تكاملات السطح، ضع في اعتبارك حقل متجه v على سطح S ؛ أي أنه لكل نقطة x في S ، يكون v ( x ) متجهًا. تخيل أن سائلًا يتدفق عبر S ، بحيث تحدد v ( x ) سرعة السائل عند x . يتم تعريف التدفق على أنه كمية السائل المتدفق عبر S في مقدار زمني وحدوي. لإيجاد التدفق، نحتاج إلى أخذ حاصل الضرب النقطي لـ v مع السطح الوحدوي العمودي على S عند كل نقطة، مما سيعطي مجالًا قياسيًا، يتم تكامله على السطح: ^[47]

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.}$

قد يكون تدفق السوائل في هذا المثال من سائل فيزيائي مثل الماء أو الهواء، أو من تدفق كهربائي أو مغناطيسي. وبالتالي فإن التكاملات السطحية لها تطبيقات في الفيزياء، وخاصة مع النظرية الكلاسيكية للكهرومغناطيسية .

في التحليل المركب ، يكون المتكامل دالة ذات قيمة مركبة لمتغير مركب z بدلاً من دالة حقيقية لمتغير حقيقي x . عندما يتم تكامل دالة مركبة على طول منحنى في المستوى المركب، يتم الإشارة إلى التكامل على النحو التالي ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz.}$

يُعرف هذا باسم تكامل الكفاف .

الشكل التفاضلي هو مفهوم رياضي في مجالات حساب متعدد المتغيرات ، والطوبولوجيا التفاضلية ، والموترات . يتم تنظيم الأشكال التفاضلية حسب الدرجة. على سبيل المثال، الشكل الواحد هو مجموع مرجح لتفاضلات الإحداثيات، مثل:

${\displaystyle E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz}$

حيث E و F و G هي دوال في ثلاثة أبعاد. يمكن تكامل تفاضلي أحادي الشكل على مسار موجه، والتكامل الناتج هو مجرد طريقة أخرى لكتابة تكامل خطي. هنا تقيس التفاضلات الأساسية dx و dy و dz أطوالًا موجهة لا متناهية الصغر موازية لمحاور الإحداثيات الثلاثة.

التفاضل ثنائي الشكل هو مجموع الشكل

${\displaystyle G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.}$

هنا، تقيس الأشكال الثنائية الأساسية مساحات موجهة موازية للمستويين الإحداثيين. يشير الرمز إلى حاصل الضرب الإسفيني ، وهو مشابه للحاصل الاتجاهي بمعنى أن حاصل الضرب الإسفيني لشكلين يمثلان أطوالاً موجهة يمثل مساحة موجهة. يمكن تكامل شكلين على سطح موجه، والتكامل الناتج يعادل تكامل السطح الذي يعطي تدفقًا قدره . ${\displaystyle dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k} }$

على عكس الضرب المتجهي وحساب المتجهات ثلاثية الأبعاد، فإن الضرب الإسفيني وحساب الأشكال التفاضلية يكون منطقيًا في الأبعاد التعسفية وعلى المتشعبات الأكثر عمومية (المنحنيات والأسطح ونظائرها ذات الأبعاد الأعلى). يلعب المشتق الخارجي دور التدرج والتجعيد في حساب المتجهات، وتعمم نظرية ستوكس في نفس الوقت النظريات الثلاث لحساب المتجهات: نظرية التباعد ونظرية جرين ونظرية كلفن-ستوكس .

المعادل المنفصل للتكامل هو الجمع . يمكن وضع الجمع والتكاملات على نفس الأسس باستخدام نظرية تكاملات ليبيج أو حساب مقياس الزمن .

يُشار إلى التكامل الذي يتم تنفيذه ليس على متغير (أو في الفيزياء، على بُعد مكاني أو زمني)، ولكن على مساحة من الوظائف ، باسم التكامل الوظيفي .

تُستخدم التكاملات على نطاق واسع في العديد من المجالات. على سبيل المثال، في نظرية الاحتمالات ، تُستخدم التكاملات لتحديد احتمال وقوع بعض المتغيرات العشوائية ضمن نطاق معين. ^[48] وعلاوة على ذلك، يجب أن يساوي التكامل تحت دالة كثافة الاحتمال بالكامل 1، مما يوفر اختبارًا لما إذا كانت الدالة التي لا تحتوي على قيم سالبة يمكن أن تكون دالة كثافة أم لا. ^[49]

يمكن استخدام التكاملات لحساب مساحة منطقة ثنائية الأبعاد لها حدود منحنية، وكذلك حساب حجم جسم ثلاثي الأبعاد له حدود منحنية. يمكن حساب مساحة منطقة ثنائية الأبعاد باستخدام التكامل المحدد المذكور أعلاه. ^[50] يمكن حساب حجم جسم ثلاثي الأبعاد مثل القرص أو الغسالة عن طريق تكامل القرص باستخدام معادلة حجم الأسطوانة ، ، حيث هو نصف القطر. في حالة القرص البسيط الذي تم إنشاؤه عن طريق تدوير منحنى حول المحور السيني ، يتم إعطاء نصف القطر بواسطة f ( x ) وارتفاعه هو التفاضل dx . باستخدام تكامل بحدود a و b ، فإن حجم القرص يساوي: ^[51] تُستخدم التكاملات أيضًا في الفيزياء، في مجالات مثل الحركية لإيجاد كميات مثل الإزاحة والوقت والسرعة . على سبيل المثال ، في الحركة المستقيمة ، يتم إعطاء إزاحة جسم على مدى فترة زمنية بواسطة${\displaystyle \pi r^{2}h}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.}$$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,}$

حيث يتم التعبير عن السرعة كدالة للزمن. ^[52] العمل الذي تقوم به القوة (كدالة للموضع) من موضع أولي إلى موضع نهائي هو: ^[53]${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.}$

تُستخدم التكاملات أيضًا في الديناميكا الحرارية ، حيث يُستخدم التكامل الديناميكي الحراري لحساب الفرق في الطاقة الحرة بين حالتين معينتين.

تعتمد التقنية الأساسية لحساب التكاملات المحددة لمتغير حقيقي واحد على النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل . دع f ( x ) تكون دالة x المراد تكاملها على فترة زمنية معينة [ a ، b ] . ثم، أوجد مشتقًا عكسيًا لـ f ؛ أي دالة F بحيث تكون F ′ = f على الفترة الزمنية. بشرط ألا يكون للمتكامل والتكامل أي تفردات على مسار التكامل، وفقًا للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل،

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

في بعض الأحيان يكون من الضروري استخدام إحدى التقنيات العديدة التي تم تطويرها لتقييم التكاملات. تعيد معظم هذه التقنيات كتابة تكامل واحد كتكامل مختلف والذي نأمل أن يكون أكثر قابلية للحل. تتضمن التقنيات التكامل بالتعويض ، والتكامل بالأجزاء ، والتكامل بالتعويض المثلثي ، والتكامل بالكسور الجزئية .

توجد طرق بديلة لحساب التكاملات الأكثر تعقيدًا. يمكن توسيع العديد من التكاملات غير الأولية في سلسلة تايلور وتكاملها حدًا تلو الآخر. في بعض الأحيان، يمكن جمع السلسلة اللانهائية الناتجة تحليليًا. يمكن أيضًا استخدام طريقة الالتفاف باستخدام وظائف ماير جي ، على افتراض أنه يمكن كتابة المتكامل كمنتج لوظائف ماير جي. هناك أيضًا العديد من الطرق الأقل شيوعًا لحساب التكاملات المحددة؛ على سبيل المثال، يمكن استخدام متطابقة بارسيفال لتحويل تكامل على منطقة مستطيلة إلى مجموع لا نهائي. في بعض الأحيان، يمكن تقييم التكامل بحيلة؛ للحصول على مثال على ذلك، انظر التكامل الغاوسي .

يمكن عادةً إجراء حسابات أحجام المواد الصلبة الدورانية باستخدام تكامل القرص أو تكامل الغلاف .

يتم جمع النتائج المحددة التي تم التوصل إليها من خلال تقنيات مختلفة في قائمة التكاملات .

تتضمن العديد من المشكلات في الرياضيات والفيزياء والهندسة التكامل حيث تكون هناك حاجة إلى صيغة صريحة للتكامل. تم تجميع جداول تكاملات واسعة النطاق ونشرها على مر السنين لهذا الغرض. مع انتشار أجهزة الكمبيوتر، لجأ العديد من المحترفين والمعلمين والطلاب إلى أنظمة الجبر الحاسوبية المصممة خصيصًا لأداء المهام الصعبة أو المملة، بما في ذلك التكامل. كان التكامل الرمزي أحد الدوافع وراء تطوير أول هذه الأنظمة، مثل Macsyma و Maple .

تتمثل إحدى الصعوبات الرياضية الرئيسية في التكامل الرمزي في أنه في كثير من الحالات ، لا تحتوي الدالة البسيطة نسبيًا على تكاملات يمكن التعبير عنها في شكل مغلق تتضمن فقط الدوال الأولية ، بما في ذلك الدوال الكسرية والأسية ، واللوغاريتم ، والدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية ، وعمليات الضرب والتركيب. توفر خوارزمية ريش معيارًا عامًا لتحديد ما إذا كانت المشتقة العكسية للدالة الأولية أولية ولحساب التكامل إذا كانت أولية. ومع ذلك، فإن الدوال ذات التعبيرات المغلقة للمشتقات العكسية هي الاستثناء، وبالتالي، لا تملك أنظمة الجبر المحوسبة أي أمل في أن تكون قادرة على إيجاد مشتقة عكسية لدالة أولية مبنية عشوائيًا. على الجانب الإيجابي، إذا تم تحديد "كتل البناء" للمشتقات العكسية مسبقًا، فقد يظل من الممكن تحديد ما إذا كان المشتق العكسي لدالة معينة يمكن التعبير عنه باستخدام هذه الكتل وعمليات الضرب والتركيب وإيجاد الإجابة الرمزية كلما وجدت. إن خوارزمية ريش، التي تم تنفيذها في Mathematica و Maple وأنظمة الجبر الحاسوبية الأخرى ، تفعل ذلك تمامًا للوظائف والمشتقات العكسية المبنية من الوظائف الكسرية والجذور واللوغاريتم والوظائف الأسية.

تحدث بعض المتكاملات الخاصة بشكل متكرر بما يكفي لتبرير دراسة خاصة. على وجه الخصوص، قد يكون من المفيد أن يكون لدينا، في مجموعة المشتقات العكسية، الدوال الخاصة (مثل دوال ليجيندر ، والدالة فوق الهندسية ، والدالة جاما ، والدالة جاما غير المكتملة وما إلى ذلك). إن توسيع خوارزمية ريش لتشمل مثل هذه الدوال أمر ممكن ولكنه صعب وكان موضوعًا بحثيًا نشطًا.

في الآونة الأخيرة، ظهر نهج جديد، باستخدام الدوال المنتهية ذات D ، والتي تعد حلولاً لمعادلات تفاضلية خطية ذات معاملات متعددة الحدود. معظم الدوال الأولية والخاصة هي دوال منتهية ذات D، والتكامل لدالة منتهية ذات D هو أيضًا دالة منتهية ذات D. يوفر هذا خوارزمية للتعبير عن المشتق العكسي لدالة منتهية ذات D كحل لمعادلة تفاضلية. تسمح هذه النظرية أيضًا بحساب التكامل المحدد لدالة D كمجموع سلسلة معطاة بواسطة المعاملات الأولى وتوفر خوارزمية لحساب أي معامل.

تسهل أنظمة التكامل القائمة على القواعد التكامل. يطابق نمط Rubi، وهو نظام جبر حاسوبي قائم على القواعد، نظامًا واسع النطاق من قواعد التكامل الرمزي لدمج مجموعة واسعة من المتكاملات. يستخدم هذا النظام أكثر من 6600 قاعدة تكامل لحساب التكاملات. ^[54] طريقة الأقواس هي تعميم لنظرية رامانوجان الرئيسية التي يمكن تطبيقها على مجموعة واسعة من التكاملات أحادية المتغير ومتعددة المتغيرات. يتم تطبيق مجموعة من القواعد على معاملات وشروط الأس لتوسع سلسلة قوى المتكامل لتحديد التكامل. ترتبط الطريقة ارتباطًا وثيقًا بتحويل ميلين . ^[55]

يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام عدة طرق للتكامل العددي . تعتمد طريقة المستطيل على تقسيم المنطقة تحت الدالة إلى سلسلة من المستطيلات المقابلة لقيم الدالة وضربها بعرض الخطوة لإيجاد المجموع. هناك نهج أفضل، وهو قاعدة شبه المنحرف ، يستبدل المستطيلات المستخدمة في مجموع ريمان بشبه المنحرف. تزن قاعدة شبه المنحرف القيم الأولى والأخيرة بمقدار النصف، ثم تضرب بعرض الخطوة للحصول على تقريب أفضل. ^[56] يمكن نقل الفكرة وراء قاعدة شبه المنحرف، وهي أن التقريبات الأكثر دقة للدالة تؤدي إلى تقريبات أفضل للتكامل، إلى أبعد من ذلك: تقرب قاعدة سيمبسون المتكامل بواسطة دالة تربيعية مجزأة. ^[57]

مجموع ريمان وقاعدة شبه المنحرف وقاعدة سيمبسون هي أمثلة لعائلة من قواعد التربيع تسمى صيغ نيوتن-كوتس . تقرب قاعدة تربيع نيوتن-كوتس من الدرجة n الحدود في كل فترة فرعية بواسطة حدود من الدرجة n . يتم اختيار هذه الحدود لاستيفاء قيم الدالة على الفترة. ^[58] يمكن أن تكون تقريبات نيوتن-كوتس ذات الدرجة الأعلى أكثر دقة، لكنها تتطلب المزيد من تقييمات الدالة، ويمكن أن تعاني من عدم الدقة العددية بسبب ظاهرة رونجي . أحد الحلول لهذه المشكلة هو تربيع كلينشو-كيرتس ، حيث يتم تقريب المتكامل عن طريق توسيعه من حيث حدود تشيبيشيف .

تقسم طريقة رومبرج عرض الخطوة إلى النصف تدريجيًا، مما يعطي تقريبًا شبه منحرف يُشار إليه بـ T ( h ₀ ) و T ( h ₁ ) وما إلى ذلك، حيث h _{k +1} هو نصف h _k . لكل حجم خطوة جديد، يلزم حساب نصف قيم الدالة الجديدة فقط؛ وتنتقل القيم الأخرى من الحجم السابق. ثم تقوم باستيفاء كثير حدود من خلال التقريبات، واستقراءها إلى T (0) . يقيم التربيع الغاوسي الدالة عند جذور مجموعة من كثيرات الحدود المتعامدة . ^[59] تكون الطريقة الغاوسية ذات النقاط n دقيقة لكثيرات الحدود من الدرجة حتى 2 n − 1 .

إن حساب التكاملات ذات الأبعاد الأعلى (على سبيل المثال، حسابات الحجم) يجعل من الاستخدام المهم لبدائل مثل تكامل مونت كارلو . ^[60]

يمكن تحديد مساحة أي شكل ثنائي الأبعاد باستخدام أداة قياس تسمى مخطاط المساحة . ويمكن قياس حجم الأجسام غير المنتظمة بدقة عن طريق السائل الذي ينزاح أثناء غمر الجسم.

يمكن في بعض الأحيان إيجاد المساحة من خلال إنشاءات هندسية للمربع المكافئ باستخدام البوصلة والمسطرة .

أظهر كيمبف وجاكسون وموراليس علاقات رياضية تسمح بحساب التكامل عن طريق التفاضل . تتضمن حساباتهم دالة دلتا ديراك ومشغل المشتقة الجزئية . يمكن تطبيق هذا أيضًا على التكاملات الوظيفية ، مما يسمح بحسابها عن طريق التفاضل الوظيفي . [ ^61]${\displaystyle \partial _{x}}$

تسمح النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل بإجراء حسابات مباشرة للوظائف الأساسية:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx=-\cos(x){\big |}_{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-{\big (}-\cos(0){\big )}=2.}$

• المعادلة التكاملية  – المعادلات التي تحتوي على دالة مجهولة تحت إشارة تكامل
• الرمز التكاملي  – رمز رياضي يستخدم للإشارة إلى التكاملات والمشتقات العكسية
• قوائم التكاملات

• "التكامل"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• حاسبة التكامل عبر الإنترنت، ولفرام ألفا .

• كيسلر، جيروم إتش، حساب التفاضل والتكامل الأولي: نهج باستخدام الأعداد اللانهائية في الصغر، جامعة ويسكونسن
• سترويان، ك.د.، مقدمة موجزة لحساب التفاضل والتكامل في الأعداد اللامتناهية الصغر، جامعة أيوا
• ماوتش، شون، كتاب شون للرياضيات التطبيقية، CIT، كتاب مدرسي على الإنترنت يتضمن مقدمة كاملة لحساب التفاضل والتكامل
• كرويل، بنيامين، حساب التفاضل والتكامل، كلية فوليرتون، كتاب مدرسي على الإنترنت
• جاريت، بول، ملاحظات حول حساب التفاضل والتكامل في السنة الأولى
• حسين، فراز، فهم التفاضل والتكامل، كتاب مدرسي على الإنترنت
• جونسون، ويليام وولسي (1909) أطروحة أولية في حساب التفاضل والتكامل، الرابط من HathiTrust .
• كووالك، دبليو بي، نظرية التكامل، جامعة أولدنبورج. مفهوم جديد لمشكلة قديمة. كتاب مدرسي على الإنترنت
• سلوتر، دان، معادلات الفرق إلى معادلات تفاضلية، مقدمة إلى حساب التفاضل والتكامل
• الأساليب العددية للتكامل في معهد الأساليب العددية الشاملة
• PS Wang، تقييم التكاملات المحددة عن طريق التلاعب الرمزي (1972) — كتاب طبخ لتقنيات التكامل المحدد