التكامل المنظم

ليكن [ a , b ] فترة مغلقة ومحدودة ثابتة في خط الأعداد الحقيقية R. تُسمى الدالة الحقيقية φ : [ a , b ] → R دالة متدرجة إذا وُجد تجزئة منتهية لها.  

${\displaystyle \Pi =\{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=b\}}$

_{لنفترض أن لدينا} دالة متدرجة φ من الفترة [ a , b ] بحيث تكون φ ثابتة على كل فترة مفتوحة ( tᵢ _, tᵢ _{+ 1} ) من Π؛ ولنفترض أن هذه القيمة الثابتة هي cᵢ ∈ R. عندئذٍ، نُعرّف تكامل دالة متدرجة φ على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi (t)\,\mathrm {d} t:=\sum _{i=0}^{k-1}c_{i}|t_{i+1}-t_{i}|.}$

يمكن إثبات أن هذا التعريف مستقل عن اختيار التقسيم، بمعنى أنه إذا كان Π ₁ تقسيمًا آخر لـ [ a , b ] بحيث يكون φ ثابتًا على الفترات المفتوحة لـ Π ₁ ، فإن القيمة العددية لتكامل φ هي نفسها بالنسبة لـ Π ₁ كما هي بالنسبة لـ Π. 

تُسمى الدالة f  : [ a , b ] → R دالة منتظمة إذا كانت هي النهاية المنتظمة لتسلسل من الدوال المتدرجة على [ a , b ]:

• توجد متتالية من دوال الخطوة ( φn _{) n ∈ N} بحيث يكون || φn − f || _∞ → 0 عندما n → ∞؛ أو بصورة مكافئة _،
• لكل ε > 0، توجد دالة خطوة φ _ε بحيث يكون || φ _ε − f || _∞ < ε ؛ أو بصورة مكافئة،
• تقع الدالة f في إغلاق فضاء الدوال المتدرجة، حيث يتم أخذ الإغلاق في فضاء جميع الدوال المحدودة [ a , b ] → R وبالنسبة إلى معيار القيمة العليا ||  ⋅  || _∞ ؛ أو بصورة مكافئة،
• لكل t ∈ [ a , b ) ، النهاية من الجانب الأيمن

  ${\displaystyle f(t+)=\lim _{s\downarrow t}f(s)}$

  موجودة، ولكل t ∈ ( a , b ] ، النهاية من الجانب الأيسر

  ${\displaystyle f(t-)=\lim _{s\uparrow t}f(s)}$

  موجود أيضاً.

عرّف تكامل الدالة المنظمة f على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t:=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}\varphi _{n}(t)\,\mathrm {d} t,}$

حيث ( φ _n ) _{n ∈ N} هي أي سلسلة من الدوال المتدرجة التي تتقارب بشكل منتظم إلى f .

يجب على المرء أن يتحقق من وجود هذه النهاية وأنها مستقلة عن التسلسل المختار، ولكن هذه نتيجة مباشرة لنظرية الامتداد الخطي المستمر للتحليل الوظيفي الأولي: عامل خطي محدود T ₀ معرف على فضاء خطي كثيف E ₀ من فضاء خطي معياري E ويأخذ قيمًا في فضاء باناخ F يمتد بشكل فريد إلى عامل خطي محدود T : E → F بنفس معيار العامل (المحدود) .