دالة قابلة للتكامل محليًا

التعريف 1. ^{[ 2 ]} ليكن$أوميغا$ليكن مجموعة مفتوحة في الفضاء الإقليدي${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$و${\textstyle f:\Omega \to {\mathbb {C}}}$لتكن دالة قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ . إذا${\textstyle f}$على$أوميغا$بحيث

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

أي أن تكامل ليبيغ الخاص به محدود على جميع المجموعات الجزئية المدمجة.${\textstyle K}$ل$أوميغا$[ ^{3 ]} ثم^​${\textstyle f}$ تُسمى هذه الدالة قابلة للتكامل محليًا . ويُرمز إلى مجموعة جميع هذه الدوال بـ${\textstyle L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$:

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},}$

أين${\textstyle \left.f\right|_{K}}$يشير إلى تقييد${\textstyle f}$ إلى المجموعة${\textstyle K}$.

التعريف 2. ^{[ 4 ]} ليكن$أوميغا$ليكن مجموعة مفتوحة في الفضاء الإقليدي${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ثم دالة${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$بحيث

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

لكل دالة اختبار${\textstyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$تُسمى هذه الدالة قابلة للتكامل محليًا ، ويُرمز إلى مجموعة هذه الدوال بـ${\textstyle L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$. هنا،${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$تشير إلى مجموعة جميع الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود${\textstyle \varphi \colon \Omega \to {\mathbb {R}}}$مع دعم مضغوط موجود في$أوميغا$.

يستند هذا التعريف إلى منهج نظرية القياس والتكامل القائم على مفهوم الدالة الخطية المتصلة على فضاء متجهي طوبولوجي ، والذي طورته مدرسة نيكولاس بورباكي . ^{[ 5 ]} وهو التعريف الذي اعتمده ستريشارتز (2003) ومازيا وشابوشنيكوفا (2009 ، ص 34) . ^{[ 6 ]} هذا التعريف "التوزيعي" مكافئ للتعريف القياسي، كما تثبت اللمة التالية: 

اللمة 1. دالة معطاة${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$تكون قابلة للتكامل محليًا وفقًا للتعريف  1 إذا وفقط إذا كانت قابلة للتكامل محليًا وفقًا للتعريف  2 ، أي

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

برهان اللمة  1

فقط إذا كان جزء : دع${\textstyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$لتكن دالة اختبار. وهي محدودة بمعيارها الأعلى.${\textstyle \lVert \varphi \rVert _{\infty }}$قابلة للقياس، ولها قاعدة دعم صغيرة ، فلنسميها كذلك.${\textstyle K}$. لذلك،

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty }$

بحسب التعريف  1 .

إذا كان الجزء : دع${\textstyle K}$لتكن مجموعة جزئية مضغوطة من المجموعة المفتوحة$أوميغا$سنقوم أولاً بإنشاء دالة اختبار${\textstyle \varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$مما يؤدي إلى زيادة وظيفة المؤشر${\textstyle \chi _{K}}$ل${\textstyle K}$المسافة المحددة المعتادة ^{[ 7 ]} بين${\textstyle K}$والحدود​${\textstyle \partial \Omega }$أكبر من الصفر تمامًا، أي

${\displaystyle \Delta$ :=d(K,\partial \Omega )>0,}

وبالتالي، من الممكن اختيار عدد حقيقي${\textstyle \delta }$بحيث${\textstyle \Delta >2\delta >0}$(لو${\textstyle \partial \Omega }$هي المجموعة الفارغة، خذ${\textstyle \Delta =\infty }$). يترك${\textstyle K_{\delta }}$و${\textstyle K_{2\delta }}$يشير إلى المغلق${\textstyle \delta }$-الحي و${\textstyle 2\delta }$-حي${\textstyle K}$على التوالي. وهي أيضًا مضغوطة وتفي بالغرض.

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}$

الآن استخدم الالتفاف لتعريف الدالة${\textstyle \varphi _{K}:\Omega \to \mathbb {R} }$بواسطة

$//$

أين${\textstyle \varphi _{\delta }}$هو مُلَطِّف مُصَنَّع باستخدام المُلَطِّف القياسي ذي التناظر الموجب . من الواضح${\textstyle \varphi _{K}}$غير سالب بمعنى أن${\textstyle \varphi _{K}\geq 0}$، قابلة للتفاضل بلا حدود، ونطاقها محصور في${\textstyle K_{2\delta }}$وبالتحديد، إنها دالة اختبار.${\textstyle \varphi _{K}(x)=1}$للجميع${\textstyle x\in K}$لدينا ذلك${\textstyle \chi _{K}\leq \varphi _{K}}$.

يترك${\textstyle f}$لتكن دالة قابلة للتكامل محليًا وفقًا للتعريف  2. إذن

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

بما أن هذا ينطبق على كل مجموعة جزئية متراصة${\textstyle K}$ل$أوميغا$، الوظيفة${\textstyle f}$ قابلة للتكامل محليًا وفقًا للتعريف  1. □

لا يتضمن التعريف  الكلاسيكي رقم 1 للدالة القابلة للتكامل محليًا سوى مفاهيم نظرية القياس والطوبولوجيا [ ^{8 ] ،} وبالتالي يمكن تطبيقه على الدوال المجردة ذات القيم المركبة على فضاء قياس طوبولوجي.${\textstyle (X,\Sigma ,\mu )}$^{[ 9 ]} ومع ذلك ، يمكن تعريف مفهوم الدالة القابلة للتكامل محليًا حتى على فضاء قياس معمّم${\textstyle (X,{\mathcal {C}},\mu )}$، أين${\textstyle {\mathcal {C}}}$لم يعد مطلوبًا أن تكون جبر سيجما، بل مجرد حلقة من المجموعات ، والجدير بالذكر،${\textstyle X}$لا يحتاج إلى أن يحمل بنية فضاء طوبولوجي.

التعريف 1أ . ^{[ 10 ]} ليكن${\textstyle (X,{\mathcal {C}},\mu )}$كن ثلاثية مرتبة حيث${\textstyle X}$هي مجموعة غير فارغة،${\textstyle {\mathcal {C}}}$هي حلقة من المجموعات، و${\textstyle \mu }$يُعدّ مقياسًا إيجابيًا على${\textstyle {\mathcal {C}}}$علاوة على ذلك، دع${\textstyle f}$كن دالة من${\textstyle X}$إلى فضاء باناش${\textstyle B}$أو إلى خط الأعداد الحقيقية الممتد${\textstyle {\overline {\mathbb {R} }}}$. ثم${\textstyle f}$ويُقال إنها قابلة للتكامل محلياً فيما يتعلق بـ${\textstyle \mu }$إذا كان لكل مجموعة${\textstyle K\in {\mathcal {C}}}$، الوظيفة${\textstyle f\cdot \chi _{K}}$قابل للتكامل بالنسبة إلى${\textstyle \mu }$.

تكافؤ التعريف  1 والتعريف 1 أ  عندما${\textstyle X}$يمكن إثبات أن الفضاء الطوبولوجي هو من خلال بناء حلقة من المجموعات${\textstyle {\mathcal {C}}}$من المجموعة${\textstyle {\mathcal {K}}}$من المجموعات الفرعية المدمجة من${\textstyle X}$باتباع الخطوات التالية.

1. من الواضح أن${\textstyle \emptyset \in {\mathcal {K}}}$وعلاوة على ذلك، عمليات النقابة${\textstyle \cup }$والتقاطع${\textstyle \cap }$يصنع${\textstyle {\mathcal {K}}}$شبكة ذات حد أعلى أدنى${\textstyle \vee \equiv \cup }$ والحد الأدنى الأكبر${\textstyle \wedge \equiv \cap }$[ ^{11 ]​}
2. فئة المجموعات${\textstyle {\mathcal {D}}}$يُعرَّف بأنه${\textstyle {\mathcal {D}}\triangleq \{A\setminus B\mid A,B\in {\mathcal {K}}\}}$هي شبه حلقة من المجموعات ^{[ 11 ]} بحيث${\textstyle {\mathcal {D}}\supset {\mathcal {K}}}$بسبب الحالة${\textstyle \emptyset \in {\mathcal {K}}}$.
3. فئة المجموعات${\textstyle {\mathcal {C}}}$يُعرَّف بأنه${\textstyle {\mathcal {C}}\triangleq \{\cup _{i=1}^{n}A_{i}\mid A_{i}\in {\mathcal {D}}{\text{ و }}A_{i}\cap A_{j}=\emptyset {\text{ إذا }}i\neq j\}}$أي، الفئة التي تشكلها الاتحادات المنتهية لمجموعات منفصلة مثنى مثنى من${\textstyle {\mathcal {D}}}$، هي حلقة من المجموعات ، وهي تحديدًا الحلقة الدنيا التي تم إنشاؤها بواسطة${\textstyle {\mathcal {K}}}$[ ^{12 ]​}

باستخدام هذا الإطار المجرد، يسرد دينكولينو (1966 ، ص 163-188) ويثبت العديد من خصائص الدوال القابلة للتكامل محليًا. ومع ذلك، حتى وإن كان العمل ضمن هذا الإطار الأكثر عمومية ممكنًا دون الحاجة إلى تعريف بنية طوبولوجية، فإن جميع التعريفات والخصائص الواردة في الأقسام التالية تتناول صراحةً هذه الحالة الأخيرة المهمة فقط، نظرًا لأن التطبيقات الأكثر شيوعًا لهذه الدوال هي في نظرية التوزيع على الفضاءات الإقليدية، ^{[ 2 ]} وبالتالي فإن نطاقها دائمًا ما يكون مجموعات جزئية من فضاء طوبولوجي. 

التعريف 3. ^{[ 13 ]} ليكن$أوميغا$ليكن مجموعة مفتوحة في الفضاء الإقليدي${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$و ${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$لتكن دالة قابلة للقياس وفقًا لليبيغ. إذا، بالنسبة لـ${\textstyle p}$مع${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$،${\textstyle f}$يرضي

${\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

أي أنه ينتمي إلى${\textstyle L_{p}(K)}$لجميع المجموعات الفرعية المدمجة${\textstyle K}$ل${\textstyle \Omega }$، ثم${\textstyle f}$يُطلق عليه محلياً${\textstyle p}$- قابل للتكامل أو أيضًا${\textstyle p}$- قابلة للتكامل محليًا . ^{[ 13 ]} يُرمز إلى مجموعة جميع هذه الدوال بـ${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$:

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.}$

يمكن أيضًا تقديم تعريف بديل، مماثل تمامًا للتعريف المقدم للدوال القابلة للتكامل محليًا، للدوال القابلة للتكامل محليًا.${\textstyle p}$الدوال القابلة للتكامل: يمكن أيضًا إثبات تكافؤها مع تلك المذكورة في هذا القسم. ^{[ 14 ]} على الرغم من عموميتها الظاهرية الأعلى، محليًا${\textstyle p}$تشكل الدوال القابلة للتكامل مجموعة فرعية من الدوال القابلة للتكامل محليًا لكل${\textstyle p}$بحيث ${\textstyle 1<p\leq +\infty }$[ ^{15 ]​}

بصرف النظر عن الرموز المختلفة التي يمكن استخدامها للحرف الكبير "L"، ^{[ 16 ]} هناك بعض المتغيرات لترميز مجموعة الدوال القابلة للتكامل محليًا

• ${\textstyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}$تم اعتماده من قبل هورماندر (1990 ، ص 37) ، وستريشارتز (2003 ، ص 12-13) و ( فلاديميروف 2002 ، ص 3) .   
• ${\textstyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$اعتمدها مازايا وبوبورشي (1997 ، ص 4) ومازايا وشابوشنيكوفا (2009 ، ص 44) .  
• ${\textstyle L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),}$تبناه مزيج (1985 ، ص 6) و مزية (2011 ، ص 2) .  

النظرية 1. ^{[ 17 ]}${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}}$هو فضاء متري كامل : يمكن توليد بنيته الطوبولوجية بواسطة المقياس التالي :

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$

أين ${\textstyle \{\omega _{k}\}_{k\geq 1}}$هي عائلة من المجموعات المفتوحة غير الفارغة بحيث

• ${\textstyle \omega _{k}\Subset \omega _{k+1}}$وهذا يعني أن${\textstyle \omega _{k}}$يتم احتواؤه بشكل مضغوط في${\textstyle \omega _{k+1}}$أي أن كل منها عبارة عن مجموعة يكون إغلاقها مضغوطًا ومضمنًا تمامًا في مجموعة الفهرس الأعلى. ^{[ 18 ]}
• ${\textstyle \cup _{k}\omega _{k}=\Omega }$وأخيراً
• ${\textstyle {\Vert \cdot \Vert }_{p,\omega _{k}}\to \mathbb {R} ^{+}}$،${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$هي عائلة مُفهرسة من المعايير شبهية ، تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle {\Vert u\Vert }_{p,\omega _{k}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

في ( Gilbarg & Trudinger 2001 ، ص 147) ، ( Maz'ya & Poborchi 1997 ، ص 5) ، ( Maz'ja 1985 ، ص 6) و ( Maz'ya 2011 ، ص 2) ، تم ذكر هذه النظرية ولكن لم يتم إثباتها على أساس رسمي: ^{[ 19 ]} يمكن العثور على برهان كامل لنتيجة أكثر عمومية، والتي تتضمنها، في ( Meise & Vogt 1997 ، ص 40) .     

النظرية 2. كل دالة${\textstyle f}$ينتمي إلى${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$،${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$، أين${\textstyle \Omega }$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$، قابلة للتكامل محلياً.

الإثبات . القضية${\textstyle p=1}$هذا أمر بديهي، لذلك يُفترض في الجزء التالي من البرهان أن${\textstyle 1<p\leq +\infty }$ضع في اعتبارك الدالة المميزة${\textstyle \chi _{K}}$من مجموعة جزئية مضغوطة${\textstyle K}$ل${\textstyle \Omega }$ثم، من أجل${\textstyle p\leq +\infty }$،

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,}$

أين

• ${\textstyle q}$هو عدد موجب بحيث${\textstyle 1/p+1/q=1}$بالنسبة لـ${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$،
• ${\textstyle \vert K\vert }$هو مقياس ليبيغ للمجموعة المدمجة${\textstyle K}$.

ثم لأي${\textstyle f}$ينتمي إلى${\textstyle L_{p}(\Omega )}$المنتج من​${\textstyle f\chi _{K}}$قابلة للتكامل بواسطة متباينة هولدر، أي أنها تنتمي إلى${\textstyle L_{1}(\Omega )}$و

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

لذلك

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

لاحظ أنه بما أن المتباينة التالية صحيحة

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

تنطبق هذه النظرية أيضًا على الدوال${\textstyle f}$يقتصر على مساحة محلية${\textstyle p}$الدوال القابلة للتكامل، وبالتالي فإن النظرية تستلزم أيضاً النتيجة التالية.

النتيجة 1. كل دالة${\textstyle f}$في${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$،${\textstyle 1<p\leq +\infty }$، قابلة للتكامل محليًا، أي تنتمي إلى${\textstyle >L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$.

ملاحظة: إذا${\textstyle \Omega }$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$إذا كان ذلك محدودًا أيضًا، فعندئذٍ يكون لدينا التضمين القياسي${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$وهذا أمر منطقي بالنظر إلى الإدراج المذكور أعلاه${\displaystyle L_{1}(\Omega )\subset L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$لكن العبارة الأولى من هذه العبارات غير صحيحة إذا${\displaystyle \Omega }$إذا لم تكن محدودة؛ فإنه يظل صحيحًا أن${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$لأي${\displaystyle p}$لكن ليس ذلك${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ولرؤية ذلك، ينظر المرء عادةً إلى الدالة${\displaystyle u(x)=1}$، وهو في${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$لكن ليس في${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$لأي عدد محدود${\displaystyle p}$.

النظرية 3. دالة${\textstyle f}$تكون كثافة القياس المتصل تمامًا إذا وفقط إذا${\displaystyle f\in L_{1,{\text{loc}}}}$.

يُقدّم شوارتز ( 1998 ، ص 18) ملخصًا لبرهان هذه النتيجة . وبإعادة صياغة نصها، تؤكد هذه النظرية أن كل دالة قابلة للتكامل محليًا تُعرّف مقياسًا متصلًا تمامًا، والعكس صحيح، أي أن كل مقياس متصل تمامًا يُعرّف دالة قابلة للتكامل محليًا. وهذا أيضًا، في إطار نظرية القياس المجردة، هو شكل نظرية رادون-نيكوديم المهمة التي قدمها ستانيسواف ساكس في أطروحته. ^{[ 20 ]}