الفيزياء الرياضية

جزء من سلسلة عن
الرياضيات
تاريخ فِهرِس
المناطق نظرية الأعداد الهندسة الجبر حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضيات المنفصلة المنطق ونظرية المجموعات احتمال الإحصاء ونظرية القرار العلاقة مع العلوم الفيزياء كيمياء علوم الأرض حساب علم الأحياء علم اللغة الاقتصاد فلسفة تعليم
بوابة الرياضيات
ف ت هـ

جزء من سلسلة عن
الفيزياء
فِهرِس مخطط تفصيلي المصطلحات التاريخ ( الخط الزمني )
الفروع الصوتيات الفيزياء الفلكية الفيزياء الذرية الفيزياء الحيوية الفيزياء الكلاسيكية الكهرومغناطيسية الجيوفيزياء الميكانيكا الفيزياء الحديثة الفيزياء النووية بصريات الديناميكا الحرارية
بحث فيزيائي ( قائمة ) List of physics awards List of journals List of unsolved problems
Physics portal  Category
v t e

تشير الفيزياء الرياضية إلى تطوير الأساليب الرياضية لتطبيقها على المشكلات في الفيزياء . تُعرِّف مجلة الفيزياء الرياضية هذا المجال بأنه "تطبيق الرياضيات على المشكلات في الفيزياء وتطوير الأساليب الرياضية المناسبة لمثل هذه التطبيقات وصياغة النظريات الفيزيائية". ^[1] يتضمن التعريف البديل أيضًا تلك الرياضيات المستوحاة من الفيزياء، والمعروفة باسم الرياضيات الفيزيائية . ^[2]

هناك عدة فروع متميزة للفيزياء الرياضية، وهي تتوافق تقريبًا مع أجزاء تاريخية معينة من عالمنا.

يتضمن تطبيق تقنيات الفيزياء الرياضية على الميكانيكا الكلاسيكية عادةً إعادة صياغة صارمة ومجردة ومتقدمة لميكانيكا نيوتن من حيث ميكانيكا لاغرانج وميكانيكا هاملتون (بما في ذلك كلا النهجين في وجود القيود). تتجسد كلتا الصياغتين في الميكانيكا التحليلية وتؤديان إلى فهم التفاعل العميق بين مفاهيم التناظر والكميات المحفوظة أثناء التطور الديناميكي للأنظمة الميكانيكية، كما يتجسد في الصياغة الأكثر بدائية لنظرية نوثر . تم توسيع هذه الأساليب والأفكار إلى مجالات أخرى من الفيزياء، مثل الميكانيكا الإحصائية وميكانيكا المتصل ونظرية المجال الكلاسيكية ونظرية المجال الكمومي . علاوة على ذلك، فقد قدموا أمثلة وأفكارًا متعددة في الهندسة التفاضلية (على سبيل المثال، العديد من المفاهيم في الهندسة السمبلكتيكية وحزم المتجهات ).

في الرياضيات، ربما تكون نظرية المعادلة التفاضلية الجزئية وحساب التفاضل والتكامل وتحليل فورييه ونظرية الجهد وتحليل المتجهات هي الأكثر ارتباطًا بالفيزياء الرياضية. تم تطوير هذه المجالات بشكل مكثف من النصف الثاني من القرن الثامن عشر (على سبيل المثال، بواسطة دالامبيرت وأويلر ولاغرانج ) حتى ثلاثينيات القرن العشرين. تشمل التطبيقات الفيزيائية لهذه التطورات الديناميكا المائية وميكانيكا السماوات وميكانيكا المتصل ونظرية المرونة والصوتيات والديناميكا الحرارية والكهرباء والمغناطيسية والديناميكا الهوائية .

تطورت نظرية الأطياف الذرية (ولاحقًا ميكانيكا الكم ) بالتزامن تقريبًا مع بعض أجزاء المجالات الرياضية للجبر الخطي ، ونظرية الأطياف للمشغلات ، وجبر المشغلات ، وعلى نطاق أوسع، التحليل الوظيفي . تشمل ميكانيكا الكم غير النسبية مشغلات شرودنجر ، ولها صلات بالفيزياء الذرية والجزيئية . نظرية المعلومات الكمومية هي تخصص فرعي آخر.

تتطلب النظريات النسبية الخاصة والعامة نوعًا مختلفًا إلى حد ما من الرياضيات. كان هذا هو نظرية المجموعة ، التي لعبت دورًا مهمًا في كل من نظرية المجال الكمومي والهندسة التفاضلية . ومع ذلك، تم استكمال ذلك تدريجيًا من خلال الطوبولوجيا والتحليل الوظيفي في الوصف الرياضي لظواهر نظرية المجال الكمومي وعلم الكونيات . في الوصف الرياضي لهذه المجالات الفيزيائية، تعد بعض المفاهيم في الجبر المتجانس ونظرية الفئات ^[3] مهمة أيضًا.

تشكل الميكانيكا الإحصائية مجالاً منفصلاً، يتضمن نظرية التحولات الطورية . وهي تعتمد على ميكانيكا هاملتون (أو نسختها الكمومية) وهي وثيقة الصلة بنظرية الإرجوديك الرياضية وبعض أجزاء نظرية الاحتمالات . هناك تفاعلات متزايدة بين التركيبات والفيزياء ، وخاصة الفيزياء الإحصائية.

إن استخدام مصطلح "الفيزياء الرياضية" أمر غريب في بعض الأحيان . فبعض أجزاء الرياضيات التي نشأت في البداية من تطور الفيزياء لا تعتبر في الواقع أجزاء من الفيزياء الرياضية، في حين تعتبر مجالات أخرى وثيقة الصلة بها أجزاء من الفيزياء الرياضية. على سبيل المثال، يُنظر إلى المعادلات التفاضلية العادية والهندسة السمبلكتيكية عمومًا على أنها تخصصات رياضية بحتة، في حين تنتمي الأنظمة الديناميكية وميكانيكا هاملتون إلى الفيزياء الرياضية. استخدم جون هيراباث المصطلح لعنوان نصه لعام 1847 حول "المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية"، وكان النطاق في ذلك الوقت هو "أسباب الحرارة والمرونة الغازية والجاذبية وغيرها من الظواهر العظيمة في الطبيعة". ^[4]

يُستخدم مصطلح "الفيزياء الرياضية" أحيانًا للإشارة إلى الأبحاث التي تهدف إلى دراسة وحل المشكلات في الفيزياء أو التجارب الفكرية ضمن إطار رياضي صارم . وبهذا المعنى، تغطي الفيزياء الرياضية مجالًا أكاديميًا واسعًا للغاية يتميز فقط بمزج بعض الجوانب الرياضية وجوانب الفيزياء النظرية. وعلى الرغم من ارتباطها بالفيزياء النظرية ، ^{[5] فإن} الفيزياء الرياضية بهذا المعنى تؤكد على الصرامة الرياضية من النوع المماثل الموجود في الرياضيات.

من ناحية أخرى، تؤكد الفيزياء النظرية على الروابط بين الملاحظات والفيزياء التجريبية ، والتي غالبًا ما تتطلب من علماء الفيزياء النظرية (وعلماء الفيزياء الرياضية بالمعنى الأكثر عمومية) استخدام الحجج الاستدلالية أو الحدسية أو التقريبية. ^[6] لا تعتبر مثل هذه الحجج صارمة من قبل علماء الرياضيات.

يعمل هؤلاء الفيزيائيون الرياضيون في المقام الأول على توسيع وتوضيح النظريات الفيزيائية . وبسبب المستوى المطلوب من الدقة الرياضية، يتعامل هؤلاء الباحثون غالبًا مع أسئلة اعتبرها الفيزيائيون النظريون قد تم حلها بالفعل. ومع ذلك، يمكنهم في بعض الأحيان إظهار أن الحل السابق كان غير مكتمل أو غير صحيح أو ببساطة ساذج للغاية. تعد القضايا المتعلقة بمحاولات استنتاج القانون الثاني للديناميكا الحرارية من الميكانيكا الإحصائية أمثلة. ^{[ بحاجة لمصدر ]} تتعلق الأمثلة الأخرى بالتفاصيل الدقيقة التي تنطوي عليها إجراءات المزامنة في النسبية الخاصة والعامة ( تأثير سانياك ومزامنة أينشتاين ).

لم تؤد الجهود المبذولة لوضع النظريات الفيزيائية على أساس رياضي صارم إلى تطوير الفيزياء فحسب، بل أثرت أيضًا على تطور بعض المجالات الرياضية. على سبيل المثال، كان تطوير ميكانيكا الكم وبعض جوانب التحليل الوظيفي متوازيين في نواحٍ عديدة. وقد حفزت الدراسة الرياضية لميكانيكا الكم ونظرية المجال الكمومي وميكانيكا الإحصاء الكمومي نتائج في جبر المشغل . كما أدت محاولة بناء صياغة رياضية صارمة لنظرية المجال الكمومي إلى بعض التقدم في مجالات مثل نظرية التمثيل .

هناك تقليد للتحليل الرياضي للطبيعة يعود إلى الإغريق القدماء؛ ومن الأمثلة إقليدس ( البصريات )، وأرخميدس ( في توازن المستويات ، وفي الأجسام العائمة)، وبطليموس (البصريات، والتوافقيات). [7] [8] وفي وقت لاحق، بنى العلماء المسلمون والبيزنطيون على هذه الأعمال ، وأعيد تقديمها في النهاية أو ^{أصبحت متاحة} للغرب في القرن الثاني عشر وخلال عصر النهضة .

في العقد الأول من القرن السادس عشر، اقترح عالم الفلك الهاوي نيكولاس كوبرنيكوس مركزية الشمس ، ونشر أطروحة عنها في عام 1543. احتفظ بفكرة بطليموس عن الدوائر الملحمية ، وسعى ببساطة إلى تبسيط علم الفلك من خلال بناء مجموعات أبسط من المدارات الملحمية. تتكون الدوائر الملحمية من دوائر فوق دوائر. وفقًا لفيزياء أرسطو ، كانت الدائرة هي الشكل المثالي للحركة، وكانت الحركة الجوهرية للعنصر الخامس لأرسطو - الجوهر أو الجوهر العالمي المعروف في اليونانية باسم الأثير للهواء النقي الإنجليزي - الذي كان المادة النقية خارج المجال تحت القمري ، وبالتالي كان التركيب النقي للكيانات السماوية. قام الألماني يوهانس كيبلر [1571-1630]، مساعد تايكو براهي ، بتعديل مدارات كوبرنيكوس إلى قطع ناقصة ، وتم صياغتها رسميًا في معادلات قوانين كيبلر لحركة الكواكب .

كان جاليليو جاليلي ، وهو ذري متحمس، قد أكد في كتابه The Assayer عام 1623 أن "كتاب الطبيعة مكتوب بالرياضيات". ^[9] كما دعم كتابه عام 1632، حول ملاحظاته التلسكوبية، مركزية الشمس. ^[10] وبعد أن قدم التجربة، دحض جاليليو علم الكونيات الذي يركز على الأرض من خلال دحض الفيزياء الأرسطية نفسها. أسس كتاب جاليليو عام 1638 Discourse on Two New Science قانون السقوط الحر المتساوي بالإضافة إلى مبادئ الحركة بالقصور الذاتي، مؤسسًا المفاهيم المركزية لما سيصبح ميكانيكا كلاسيكية اليوم . ^[10] بموجب قانون جاليليو للقصور الذاتي بالإضافة إلى مبدأ الثبات الجليلي ، والذي يُسمى أيضًا النسبية الجليلية، لأي جسم يعاني من القصور الذاتي، هناك مبرر تجريبي لمعرفة أنه في حالة سكون نسبي أو حركة نسبية فقط - سكون أو حركة بالنسبة لجسم آخر.

اشتهر رينيه ديكارت بتطوير نظام كامل لعلم الكونيات الشمسي المركزي القائم على مبدأ حركة الدوامة، وهو الفيزياء الديكارتية ، والتي أدى قبولها على نطاق واسع إلى زوال الفيزياء الأرسطية. سعى ديكارت إلى صياغة التفكير الرياضي في العلوم، وطور إحداثيات ديكارتية لرسم المواقع هندسيًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد ووضع علامات على تقدمها على طول تدفق الوقت. ^[11]

كان كريستيان هويجنز ، وهو معاصر أقدم لنيوتن ، أول من وضع تصورًا مثاليًا لمشكلة فيزيائية من خلال مجموعة من المعلمات وأول من وضع تفسيرًا رياضيًا كاملاً للظواهر الفيزيائية غير القابلة للملاحظة، ولهذه الأسباب يُعتبر هويجنز أول فيزيائي نظري وأحد مؤسسي الفيزياء الرياضية الحديثة. ^{[12] [13]}

سعى ديكارت إلى إضفاء الطابع الرسمي على التفكير الرياضي في العلوم، وطور إحداثيات ديكارت لرسم المواقع هندسيًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد ووضع علامات على تقدمها على طول تدفق الوقت. ^[14] قبل ديكارت، اتبعت الهندسة ووصف الفضاء النموذج البنّاء من الإغريق الرياضيين القدماء. بهذا المعنى، شكلت الأشكال الهندسية اللبنة الأساسية لوصف والتفكير في الفضاء، مع كون الوقت كيانًا منفصلاً. قدم ديكارت طريقة جديدة لوصف الفضاء باستخدام الجبر، حتى ذلك الحين، أداة رياضية تستخدم في الغالب للمعاملات التجارية. قدمت الإحداثيات الديكارتية أيضًا فكرة الوقت مقترنًا بالفضاء كمحور آخر للإحداثيات. هذا الإطار الرياضي الأساسي هو أساس كل الفيزياء الحديثة ويستخدم في جميع الأطر الرياضية الأخرى التي تم تطويرها في القرون التالية.

في هذا العصر، كانت المفاهيم المهمة في حساب التفاضل والتكامل مثل النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (التي أثبتها عالم الرياضيات الاسكتلندي جيمس جريجوري عام 1668 ^[15] ) وإيجاد القيم القصوى والدنيا للوظائف عبر التفاضل باستخدام نظرية فيرما (التي وضعها عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرما ) معروفة بالفعل قبل لايبنتز ونيوتن. طور إسحاق نيوتن (1642-1727) بعض المفاهيم في حساب التفاضل والتكامل (على الرغم من أن جوتفريد فيلهلم لايبنتز طور مفاهيم مماثلة خارج سياق الفيزياء) وطريقة نيوتن لحل المشكلات في الفيزياء. لقد كان ناجحًا للغاية في تطبيقه لحساب التفاضل والتكامل على نظرية الحركة. نظرية نيوتن للحركة، والتي تم توضيحها في المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية، والتي نُشرت عام 1687، ^[16] صاغت ثلاثة قوانين غاليليوية للحركة جنبًا إلى جنب مع قانون نيوتن للجاذبية الشاملة على إطار الفضاء المطلق - الذي افترضه نيوتن ككيان حقيقي فيزيائيًا لهيكل هندسي إقليدي يمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات - مع افتراض الوقت المطلق ، مما يبرر معرفة الحركة المطلقة، وحركة الجسم فيما يتعلق بالفضاء المطلق. كان مبدأ الثبات/النسبية الغاليلية ضمنيًا في نظرية نيوتن للحركة. بعد أن قلل ظاهريًا قوانين الحركة السماوية الكبلرية بالإضافة إلى قوانين الحركة الأرضية الغاليلية إلى قوة موحدة، حقق نيوتن صرامة رياضية كبيرة، ولكن مع تراخي نظري. ^[17]

في القرن الثامن عشر، قدم السويسري دانييل برنولي (1700-1782) مساهمات في ديناميكا الموائع والأوتار المهتزة . قام السويسري ليونهارد أويلر (1707-1783) بعمل خاص في حساب التفاضل والتكامل والديناميكيات وديناميكيات الموائع وغيرها من المجالات. كما كان الفرنسي المولود في إيطاليا جوزيف لويس لاجرانج (1736-1813) جديرًا بالملاحظة لعمله في الميكانيكا التحليلية : حيث صاغ ميكانيكا لاجرانج ) والطرق المتغيرة. كما قدم الفيزيائي والفلكي والرياضي الأيرلندي ويليام روان هاميلتون (1805-1865) مساهمة كبيرة في صياغة الديناميكيات التحليلية المسماة ديناميكيات هاميلتون . لعبت ديناميكيات هاميلتون دورًا مهمًا في صياغة النظريات الحديثة في الفيزياء، بما في ذلك نظرية المجال وميكانيكا الكم. قدم الفيزيائي الرياضي الفرنسي جوزيف فورييه (1768 – 1830) مفهوم سلسلة فورييه لحل معادلة الحرارة ، مما أدى إلى ظهور نهج جديد لحل المعادلات التفاضلية الجزئية عن طريق التحويلات التكاملية .

في أوائل القرن التاسع عشر، ساهم علماء الرياضيات في فرنسا وألمانيا وإنجلترا في الفيزياء الرياضية. قدم الفرنسي بيير سيمون لابلاس ( 1749-1827) مساهمات بارزة في علم الفلك الرياضي ونظرية الجهد . عمل سيمون دينيس بواسون (1781-1840) في الميكانيكا التحليلية ونظرية الجهد . في ألمانيا، قدم كارل فريدريش جاوس (1777-1855) مساهمات رئيسية في الأسس النظرية للكهرباء والمغناطيسية والميكانيكا وديناميكيات السوائل . في إنجلترا، نشر جورج جرين (1793-1841) مقالاً عن تطبيق التحليل الرياضي على نظريات الكهرباء والمغناطيسية في عام 1828، والذي بالإضافة إلى مساهماته الكبيرة في الرياضيات حقق تقدمًا مبكرًا نحو وضع الأسس الرياضية للكهرباء والمغناطيسية.

قبل بضعة عقود من نشر نيوتن لنظرية جسيمات الضوء، طور الهولندي كريستيان هويجنز (1629-1695) نظرية الموجة للضوء، التي نُشرت عام 1690. وبحلول عام 1804، كشفت تجربة الشق المزدوج لتوماس يونج عن نمط تداخل، وكأن الضوء موجة، وبالتالي تم قبول نظرية الموجة للضوء لهويجنز، وكذلك استنتاج هويجنز بأن موجات الضوء كانت اهتزازات للأثير المضيء . وضع جان أوغستين فرينل نموذجًا لسلوك الأثير الافتراضي. قدم الفيزيائي الإنجليزي مايكل فاراداي المفهوم النظري للمجال - وليس الفعل عن بعد. في منتصف القرن التاسع عشر، اختصر الاسكتلندي جيمس كليرك ماكسويل (1831-1879) الكهرباء والمغناطيسية إلى نظرية المجال الكهرومغناطيسي لماكسويل، واختزلها آخرون إلى معادلات ماكسويل الأربع . في البداية، تم اكتشاف البصريات نتيجة ^{[ بحاجة لتوضيح ]} مجال ماكسويل. وفي وقت لاحق، تم اكتشاف الإشعاع ثم الطيف الكهرومغناطيسي المعروف اليوم أيضًا نتيجة ^{[ بحاجة لتوضيح ]} هذا المجال الكهرومغناطيسي.

عمل الفيزيائي الإنجليزي اللورد رايلي [1842-1919] على الصوت . أنتج الأيرلنديون ويليام روان هاميلتون (1805-1865) وجورج جابرييل ستوكس (1819-1903) واللورد كلفن (1824-1907) العديد من الأعمال الرئيسية: كان ستوكس رائدًا في مجال البصريات وديناميكيات السوائل. حقق كلفن اكتشافات كبيرة في الديناميكا الحرارية . قام هاميلتون بعمل ملحوظ في الميكانيكا التحليلية ، واكتشف نهجًا جديدًا وقويًا يُعرف في الوقت الحاضر باسم ميكانيكا هاميلتون . ترجع المساهمات ذات الصلة جدًا بهذا النهج إلى زميله الألماني عالم الرياضيات كارل جوستاف جاكوبي (1804-1851) على وجه الخصوص في إشارته إلى التحويلات الكنسية . قدم الألماني هيرمان فون هلمهولتز (1821-1894) مساهمات كبيرة في مجالات الكهرومغناطيسية والموجات والسوائل والصوت. في الولايات المتحدة، أصبح العمل الرائد لجوزايا ويلارد جيبس ​​(1839-1903) هو الأساس للميكانيكا الإحصائية . وقد حقق الألماني لودفيج بولتزمان (1844-1906) نتائج نظرية أساسية في هذا المجال. وقد وضع هؤلاء الأفراد معًا أسس النظرية الكهرومغناطيسية، وديناميكا الموائع، والميكانيكا الإحصائية.

بحلول ثمانينيات القرن التاسع عشر، كانت هناك مفارقة بارزة مفادها أن مراقبًا داخل المجال الكهرومغناطيسي لماكسويل قام بقياسه بسرعة ثابتة تقريبًا، بغض النظر عن سرعة المراقب بالنسبة للأجسام الأخرى داخل المجال الكهرومغناطيسي. وبالتالي، على الرغم من فقدان سرعة المراقب باستمرار ^{[ بحاجة لتوضيح ]} بالنسبة للمجال الكهرومغناطيسي، فقد تم الحفاظ عليها بالنسبة للأجسام الأخرى في المجال الكهرومغناطيسي. ومع ذلك، لم يتم الكشف عن أي انتهاك لثبات جاليليو داخل التفاعلات الفيزيائية بين الأجسام. نظرًا لأن المجال الكهرومغناطيسي لماكسويل تم تصميمه على أنه تذبذبات الأثير ، استنتج الفيزيائيون أن الحركة داخل الأثير أدت إلى انجراف الأثير، مما أدى إلى تحول المجال الكهرومغناطيسي، مما يفسر سرعة المراقب المفقودة بالنسبة له. كان تحويل جاليليو هو العملية الرياضية المستخدمة لترجمة المواضع في إطار مرجعي واحد إلى تنبؤات بالمواضع في إطار مرجعي آخر، وكلها مرسومة على إحداثيات ديكارتية ، ولكن تم استبدال هذه العملية بتحويل لورنتز ، الذي صممه الهولندي هندريك لورنتز [1853-1928].

في عام 1887، فشل التجريبيان ميشلسون ومورلي في اكتشاف انجراف الأثير. وقد افترض أن الحركة داخل الأثير تؤدي إلى تقصير الأثير أيضًا، كما هو موضح في انكماش لورنتز . وقد افترض أن الأثير حافظ على محاذاة المجال الكهرومغناطيسي لماكسويل مع مبدأ الثبات الجليلي عبر جميع الأطر المرجعية بالقصور الذاتي ، في حين تم إنقاذ نظرية نيوتن للحركة.

انتقد الفيزيائي النظري والفيلسوف النمساوي إرنست ماخ الفضاء المطلق الذي افترضه نيوتن. كما شكك عالم الرياضيات جول هنري بوانكاريه (1854-1912) في الوقت المطلق. وفي عام 1905، نشر بيير دوهيم نقدًا مدمرًا لأساس نظرية نيوتن للحركة. ^[17] وفي عام 1905 أيضًا، نشر ألبرت أينشتاين (1879-1955) نظريته النسبية الخاصة ، والتي شرحت حديثًا كل من ثبات المجال الكهرومغناطيسي وثبات جاليليو من خلال التخلص من جميع الفرضيات المتعلقة بالأثير، بما في ذلك وجود الأثير نفسه. دحضًا لإطار نظرية نيوتن - الفضاء المطلق والوقت المطلق - تشير النسبية الخاصة إلى الفضاء النسبي والوقت النسبي ، حيث ينكمش الطول ويتمدد الوقت على طول مسار سفر الجسم.

استخدمت إحداثيات ديكارت إحداثيات مستقيمة بشكل تعسفي. قدم غاوس، مستوحى من عمل ديكارت، الهندسة المنحنية، واستبدل المحور المستقيمي بمحور منحني. قدم غاوس أيضًا أداة رئيسية أخرى للفيزياء الحديثة، وهي الانحناء. كان عمل غاوس مقتصرًا على بعدين. أدى توسيعه إلى ثلاثة أبعاد أو أكثر إلى إدخال الكثير من التعقيد، مع الحاجة إلى الموتر (الذي لم يتم اختراعه بعد). كان ريمان هو المسؤول عن توسيع الهندسة المنحنية إلى أبعاد N. في عام 1908، طبق أستاذ الرياضيات السابق لأينشتاين هيرمان مينكوفسكي بناء الهندسة المنحنية لنمذجة الفضاء ثلاثي الأبعاد مع المحور أحادي البعد للوقت من خلال التعامل مع المحور الزمني مثل البعد المكاني الرابع - الزمكان رباعي الأبعاد تمامًا - وأعلن الزوال الوشيك لفصل المكان والزمان. ^[18] أطلق أينشتاين في البداية على هذا "التعلم الزائد"، لكنه استخدم لاحقًا زمكان مينكوفسكي بأناقة كبيرة في نظريته النسبية العامة ، ^[19] حيث مدد الثبات إلى جميع إطارات المرجع - سواء كانت تُدرك على أنها بالقصور الذاتي أو على أنها متسارعة - ونسب ذلك إلى مينكوفسكي، الذي توفي آنذاك. تحل النسبية العامة محل الإحداثيات الديكارتية بإحداثيات غاوسية ، وتحل محل الفضاء الإقليدي الفارغ الذي ادعى نيوتن أنه يجتازه على الفور متجه نيوتن لقوة الجاذبية الافتراضية - عمل فوري عن بعد - بحقل جاذبية . مجال الجاذبية هو زمكان مينكوفسكي نفسه، طوبولوجيا رباعية الأبعاد لأثير أينشتاين تم تصميمها على متعدد الشعب لورينتز "ينحني" هندسيًا، وفقًا لموتر انحناء ريمان . لقد تم استبدال مفهوم الجاذبية لنيوتن: "كتلتان تتجاذبان" بالحجة الهندسية: "انحناءات تحويل الكتلة في الزمكان والجسيمات الساقطة الحرة ذات الكتلة تتحرك على طول منحنى جيوديسي في الزمكان" ( كانت الهندسة الريمانية موجودة بالفعل قبل خمسينيات القرن التاسع عشر، بواسطة الرياضيين كارل فريدريش جاوس وبرنارد ريمان في البحث عن الهندسة الجوهرية والهندسة غير الإقليدية)، في جوار الكتلة أو الطاقة. (في ظل النسبية الخاصة - وهي حالة خاصة من النسبية العامة - حتى الطاقة عديمة الكتلة تمارس تأثيرًا جاذبيًا من خلال تكافؤ كتلتها "المنحنية" محليًا لهندسة الأبعاد الأربعة الموحدة للمكان والزمان.)

كان التطور الثوري الآخر في القرن العشرين هو نظرية الكم ، والتي نشأت من المساهمات الرائدة لماكس بلانك (1856-1947) (حول إشعاع الجسم الأسود ) وعمل أينشتاين على التأثير الكهروضوئي . في عام 1912، نشر عالم الرياضيات هنري بوانكاريه Sur la théorie des quanta . ^{[20] [21]} قدم أول تعريف غير ساذج للكمية في هذه الورقة. وقد تبع تطور الفيزياء الكمومية المبكرة إطار عمل استدلالي ابتكره أرنولد سومرفيلد (1868-1951) ونيلز بور (1885-1962)، ولكن سرعان ما حل محله ميكانيكا الكم التي طورها ماكس بورن (1882-1970)، ولويس دي بروجلي (1892-1987)، وفيرنر هايزنبرغ (1901-1976)، وبول ديراك (1902-1984)، وإروين شرودنجر (1887-1961)، وساتيندرا ناث بوس (1894-1974)، وفولفجانج باولي (1900-1958). ويستند هذا الإطار النظري الثوري إلى تفسير احتمالي للحالات، والتطور والقياسات من حيث المشغلات المترافقة الذاتية على فضاء متجه لا نهائي الأبعاد. هذا ما يسمى بمساحة هيلبرت (التي قدمها علماء الرياضيات ديفيد هيلبرت (1862-1943)، وإرهارد شميت (1876-1959) وفريجيز ريسز (1880-1956) بحثًا عن تعميم للفضاء الإقليدي ودراسة المعادلات التكاملية)، وتم تعريفها بدقة داخل النسخة الحديثة البديهية بواسطة جون فون نيومان في كتابه الشهير الأسس الرياضية لميكانيكا الكم ، حيث بنى جزءًا مهمًا من التحليل الوظيفي الحديث على فضاءات هيلبرت، والنظرية الطيفية (التي قدمها ديفيد هيلبرت الذي حقق في الأشكال التربيعية مع عدد لا نهائي من المتغيرات. وبعد سنوات عديدة، تم الكشف عن أن نظريته الطيفية مرتبطة بطيف ذرة الهيدروجين. لقد فوجئ بهذا التطبيق.) على وجه الخصوص. استخدم بول ديراك الإنشاءات الجبرية لإنتاج نموذج نسبي للإلكترون ، وتوقع عزمه المغناطيسي ووجود جسيمه المضاد، البوزيترون .

من بين المساهمين البارزين في الفيزياء الرياضية في القرن العشرين (مرتبة حسب تاريخ الميلاد):

• ويليام تومسون (اللورد كلفن) [1824–1907]
• أوليفر هيفيسايد (1850-1925)
• جول هنري بوانكاريه (1854–1912)
• ديفيد هيلبرت [1862–1943]
• أرنولد سومرفيلد (1868–1951)
• قسطنطين كاراتيودورى [1873–1950]
• ألبرت أينشتاين [1879–1955]
• إيمي نوثر [1882–1935]
• ماكس بورن [1882–1970]
• جورج ديفيد بيركهوف [1884–1944]
• هيرمان ويل [1885–1955]
• ساتيندرا ناث بوس (1894-1974)
• لويس دي برولي (1892-1987)
• نوربرت وينر [1894–1964]
• جون لايتون سينج [1897–1995]
• ماريو شينبرج [1914-1990]
• فولفغانغ باولي [1900–1958]
• بول ديراك [1902–1984]
• يوجين ويجنر [1902–1995]
• أندريه كولموجوروف (1903-1987)
• لارس أونسيجر [1903–1976]
• جون فون نيومان [1903-1957]
• سين إيتيرو توموناجا (1906–1979)
• هيديكي يوكاوا [1907–1981]
• نيكولاي نيكولايفيتش بوغوليوبوف (1909-1992)
• سوبرامانيان شاندراسيخار (1910-1995)
• مارك كاك [1914–1984]
• جوليان شوينجر [1918-1994]
• ريتشارد فيليبس فاينمان [1918–1988]
• إيرفينج عزرا سيجال [1918–1998]
• ريوغو كوبو [1920–1995]
• آرثر سترونج وايتمان [1922–2013]
• تشين نينغ يانغ [1922– ]
• رودولف هاج [1922–2016]
• فريمان جون دايسون [1923–2020]
• مارتن جوتزويلر [1925-2014]
• عبد السلام [1926–1996]
• يورجن موسر [1928–1999]
• مايكل فرانسيس عطية [1929–2019]
• جويل لويس ليبوفيتز [1930– ]
• روجر بنروز [1931– ]
• إليوت هيرشيل ليب [1932– ]
• ياكير أهارونوف [1932– ]
• شيلدون جلاشو [1932– ]
• ستيفن واينبرغ [1933–2021]
• لودفيج دميتريفيتش فاديف [1934–2017]
• ديفيد رويل [1935– ]
• ياكوف غريغوريفيتش سيناي [1935–]
• فلاديمير إيجوريفيتش أرنولد (1937-2010)
• آرثر مايكل جافي [1937– ]
• رومان فلاديمير جاكيو [1939– ]
• ليونارد سوسكيند [1940– ]
• رودني جيمس باكستر [1940– ]
• مايكل فيكتور بيري [1941– ]
• جيوفاني غالافوتي [1941–]
• ستيفن ويليام هوكينج [1942–2018]
• جيرالد إلدون مارسدن [1942–2010]
• مايكل سي ريد [1942– ]
• جون مايكل كوسترليتز [1943– ]
• إسرائيل مايكل سيجال [1945– ]
• ألكسندر ماركوفيتش بولياكوف [1945–]
• باري سيمون [1946– ]
• هربرت سبون [1946– ]
• جون لورانس كاردي [1947– ]
• جورجيو باريزي [1948- ]
• أبهاي أشتيكار [1949- ]
• إدوارد ويتن [1951– ]
• ف. دنكان هالدين [1951– ]
• أشوك سين [1956– ]
• خوان مارتن مالداسينا [1968– ]

• الرابطة الدولية للفيزياء الرياضية
• منشورات بارزة في الفيزياء الرياضية
• قائمة المجلات العلمية المتخصصة في الفيزياء الرياضية
• نظرية القياس (رياضيات)
• العلاقة بين الرياضيات والفيزياء
• الفيزياء النظرية والحسابية والفلسفية​

• زاسلو، إريك (2005)، الفيزياء ، arXiv : physics/0506153 ، Bibcode :2005physics...6153Z

• ألين، جونت (2020)، دعوة إلى الفيزياء الرياضية وتاريخها ، سبرينغر، رمز الكتاب : 2020imph.book.....A، ISBN 978-3-030-53758-6
• كورانت، ريتشارد ؛ هيلبرت، ديفيد (1989)، طرق الفيزياء الرياضية ، المجلد 1-2، دار نشر إنترساينس
• فرانسواز، جان ب.؛ نابر، جريجوري ل.؛ تسون، تسو س. (2006)، موسوعة الفيزياء الرياضية ، إلسيفير، رقم ISBN 978-0-1251-2660-1
• جوس، جورج ؛ فريمان، إيرا م. (1987)، الفيزياء النظرية (الطبعة الثالثة)، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-65227-0
• كاتو، توسيو (1995)، نظرية الاضطراب للمشغلات الخطية (الطبعة الثانية)، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 3-540-58661-X
• مارجيناو، هنري ؛ مورفي، جورج م. (2009)، رياضيات الفيزياء والكيمياء (الطبعة الثانية)، يونغ بريس، رقم ISBN 978-1444627473
• ماساني، بيزي ر. (1976-1986)، نوربرت وينر : الأعمال الكاملة مع التعليقات ، المجلد 1-4، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا
• مورس، فيليب م .؛ فيشباتش، هيرمان (1999)، طرق الفيزياء النظرية ، المجلد 1-2، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-043316-X
• ثيرينغ، والتر إي. (1978-1983)، دورة في الفيزياء الرياضية ، المجلد 1-4، دار نشر سبرينغر
• تيخوميروف، فلاديمير م. (1991-1993)، الأعمال المختارة لـ AN Kolmogorov ، المجلد 1-3، دار النشر الأكاديمي Kluwer
• تيتشمارش، إدوارد سي. (1985)، نظرية الوظائف (الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة أكسفورد

• Arfken, George B .; Weber, Hans J.; Harris, Frank E. (2013)، الطرق الرياضية للفيزيائيين: دليل شامل (الطبعة السابعة)، Academic Press، ISBN 978-0-12-384654-9(الأساليب الرياضية للفيزيائيين، حلول للأساليب الرياضية للفيزيائيين (الطبعة السابعة)، archive.org)
• باين، سلجوق ش. (2018)، الأساليب الرياضية في العلوم والهندسة (الطبعة الثانية)، وايلي، ISBN 9781119425397
• بواس، ماري إل. (2006)، الأساليب الرياضية في العلوم الفيزيائية (الطبعة الثالثة)، وايلي، ISBN 978-0-471-19826-0
• بوتكوف، يوجين (1968)، الفيزياء الرياضية ، أديسون ويسلي
• حسني، صدري (2009)، الأساليب الرياضية لطلاب الفيزياء والمجالات ذات الصلة ، (الطبعة الثانية)، نيويورك، سبرينغر، eISBN 978-0-387-09504-2
• جيفريز، هارولد ؛ سويرلز جيفريز، بيرثا (1956)، طرق الفيزياء الرياضية (الطبعة الثالثة)، مطبعة جامعة كامبريدج
• مارش، آدم (2018)، "الرياضيات للفيزياء: دليل مصور"، الفيزياء المعاصرة ، 59 (3)، العالم العلمي: 329، رمز Bibcode :2018ConPh..59..329N، doi :10.1080/00107514.2018.1501430، ISBN 978-981-3233-91-1
• ماثيوز, جون ; Walker، Robert L. (1970)، الطرق الرياضية للفيزياء (الطبعة الثانية)، WA بنيامين، ISBN 0-8053-7002-1
• مينزل، دونالد هـ. (1961)، الفيزياء الرياضية ، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-60056-4
• رايلي، كين ف .؛ هوبسون، مايكل ب.؛ بينس، ستيفن ج. (2006)، الأساليب الرياضية للفيزياء والهندسة (الطبعة الثالثة)، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-86153-3
• ستاكجولد، إيفار (2000)، مشاكل القيمة الحدية للفيزياء الرياضية ، المجلد 1-2، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، رقم ISBN 0-89871-456-7
• ستاركوفيتش، ستيفن ب. (2021)، هياكل الفيزياء الرياضية: مقدمة ، سبرينغر، رمز Bibcode :2021smpa.book.....S، ISBN 978-3-030-73448-0

• بلانشارد، فيليب ؛ برونينج، إروين (2015)، الأساليب الرياضية في الفيزياء: التوزيعات، مشغلات فضاء هيلبرت، الأساليب المتغيرة، والتطبيقات في الفيزياء الكمومية (الطبعة الثانية)، سبرينغر، رمز الكتاب : 2015mmpd.book.....B، ISBN 978-3-319-14044-5
• كاهيل، كيفن (2019)، الرياضيات الفيزيائية (الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-1-108-47003-2
• جيروتش، روبرت (1985)، الفيزياء الرياضية ، مطبعة جامعة شيكاغو، رقم ISBN 0-226-28862-5
• حساني، صدري (2013)، الفيزياء الرياضية: مقدمة حديثة لأسسها (الطبعة الثانية)، Springer-Verlag، Bibcode :2013mpmi.book .....H، ISBN 978-3-319-01194-3
• ماراثي، كيشور (2010)، موضوعات في الرياضيات الفيزيائية ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-1-84882-938-1
• ميلستين، جريجوري ن.؛ تريتياكوف، مايكل ف. (2021)، الأعداد العشوائية للفيزياء الرياضية (الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-3-030-82039-8
• ريد، مايكل سي .؛ سيمون، باري (1972-1981)، أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة ، المجلد 1-4، أكاديميك بريس
• ريتشماير، روبرت د. (1978-1981)، مبادئ الفيزياء الرياضية المتقدمة ، المجلد 1-2، دار نشر سبرينغر
• رودولف، جيرارد؛ شميدت، ماثياس (2013-2017)، الهندسة التفاضلية والفيزياء الرياضية ، المجلد 1-2، سبرينغر
• سيروف، فاليري (2017)، سلسلة فورييه، تحويل فورييه وتطبيقاتها في الفيزياء الرياضية ، سبرينغر، ISBN 978-3-319-65261-0
• سيمون، باري (2015)، دورة شاملة في التحليل ، المجلد 1-5، الجمعية الرياضية الأمريكية
• Stakgold, Ivar ; Holst, Michael (2011), Green's Functions and Boundary Value Problems (الطبعة الثالثة)، Wiley، ISBN 978-0-470-60970-5
• ستون، مايكل؛ جولدبارت، بول (2009)، "الرياضيات للفيزياء: جولة إرشادية لطلاب الدراسات العليا"، فيزياء اليوم ، 62 (10)، مطبعة جامعة كامبريدج: 57، رمز Bibcode :2009PhT....62j..57S، doi :10.1063/1.3248483، ISBN 978-0-521-85403-0
• Szekeres, Peter (2004)، دورة في الفيزياء الرياضية الحديثة: المجموعات، فضاء هيلبرت والهندسة التفاضلية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-53645-5
• تايلور، مايكل إي. (2011)، المعادلات التفاضلية الجزئية ، المجلد 1-3 (الطبعة الثانية)، سبرينغر.
• ويتاكر، إدموند ت .؛ واتسون، جورج ن. (1950)، دورة في التحليل الحديث: مقدمة إلى النظرية العامة للعمليات اللانهائية والوظائف التحليلية، مع شرح للوظائف المتعالية الأساسية (الطبعة الرابعة)، مطبعة جامعة كامبريدج

• أبراهام، رالف ؛ مارسدن، جيرولد إي. (2008)، أساسيات الميكانيكا: عرض رياضي للميكانيكا الكلاسيكية مع مقدمة للنظرية النوعية للأنظمة الديناميكية (الطبعة الثانية)، دار النشر AMS Chelsea، رقم ISBN 978-0-8218-4438-0
• آدم، جون أ. (2017)، الأشعة والموجات والتشتت: موضوعات في الفيزياء الرياضية الكلاسيكية ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-14837-3
• أرنولد، فلاديمير آي. (1997)، الأساليب الرياضية في الميكانيكا الكلاسيكية (الطبعة الثانية)، دار سبرينغر للنشر، رقم ISBN 0-387-96890-3
• بلوم، فريدريك (1993)، المشاكل الرياضية للنظرية الكهرومغناطيسية غير الخطية الكلاسيكية ، مطبعة CRC، رقم ISBN 0-582-21021-6
• بوير، فرانك؛ فابري، بيير (2013)، أدوات رياضية لدراسة معادلات نافير-ستوكس غير القابلة للضغط والنماذج ذات الصلة ، سبرينغر، رقم ISBN 978-1-4614-5974-3
• كولتون، ديفيد؛ كريس، راينر (2013)، طرق المعادلات التكاملية في نظرية التشتت ، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، رقم ISBN 978-1-611973-15-0
• سيارليت، فيليب ج. (1988-2000)، المرونة الرياضية ، المجلد 1-3، إلسفير
• جالدي، جيوفاني ب. (2011)، مقدمة إلى النظرية الرياضية لمعادلات نافير-ستوكس: مشاكل الحالة المستقرة (الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-09619-3
• هانسون، جورج دبليو؛ ياكوفليف، ألكسندر ب. (2002)، نظرية المشغل للكهرومغناطيسية: مقدمة ، سبرينغر، رقم ISBN 978-1-4419-2934-1
• كيرش، أندرياس؛ هيتليش، فرانك (2015)، النظرية الرياضية لمعادلات ماكسويل التوافقية الزمنية: أساليب التوسع والتكامل والتباين ، سبرينغر، رمز الكتاب : 2015mttm.book.....K، ISBN 978-3-319-11085-1
• كنوف، أندرياس (2018)، الفيزياء الرياضية: الميكانيكا الكلاسيكية ، سبرينغر، ISBN 978-3-662-55772-3
• Lechner, Kurt (2018)، الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية: منظور حديث ، Springer، ISBN 978-3-319-91808-2
• مارسدن، جيرولد إي .؛ راتيو، تيودور إس. (1999)، مقدمة في الميكانيكا والتناظر: شرح أساسي للأنظمة الميكانيكية الكلاسيكية (الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-1-4419-3143-6
• مولر، كلاوس (1969)، أسس النظرية الرياضية للموجات الكهرومغناطيسية ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-3-662-11775-0
• رام، ألكسندر ج. (2018)، التشتت بالعقبات والإمكانات ، مجلة العلوم العالمية، رقم ISBN 9789813220966
• Roach, Gary F.; Stratis, Ioannis G.; Yannacopoulos, Athanasios N. (2012)، التحليل الرياضي للمشكلات الحتمية والعشوائية في الكهرومغناطيسية للوسائط المعقدة ، مطبعة جامعة برينستون، رمز Bibcode :2012mads.book.....R، ISBN 978-0-691-14217-3

• بايز، جون سي .؛ مونياين، خافيير بي. (1994)، حقول القياس، والعقد، والجاذبية ، وورلد ساينتيفيك، رقم ISBN 981-02-2034-0
• فارغ، جيري؛ إكسنر, بافيل ; Havlíček، Miloslav (2008)، مشغلو الفضاء في هيلبرت في فيزياء الكم (الطبعة الثانية)، سبرينغر، ISBN 978-1-4020-8869-8
• إنجل، إيبرهارد؛ دريزلر، راينر م. (2011)، نظرية الكثافة الوظيفية: دورة متقدمة ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-3-642-14089-1
• جليم، جيمس ؛ جافي، آرثر (1987)، فيزياء الكم: وجهة نظر التكامل الوظيفي (الطبعة الثانية)، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 0-387-96477-0
• هاج، رودولف (1996)، فيزياء الكم المحلية: الحقول والجسيمات والجبر (الطبعة الثانية)، دار سبرينغر للنشر، رقم ISBN 3-540-61049-9
• هال، بريان سي. (2013)، نظرية الكم للرياضيين ، سبرينغر، رمز الكتاب : 2013qtm..book.....H، ISBN 978-1-4614-7115-8
• هاملتون، مارك جيه دي (2017)، نظرية القياس الرياضية: مع التطبيقات على النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات ، سبرينغر، رمز الكتاب : 2017mgta.book.....H، ISBN 978-3-319-68438-3
• هوكينج، ستيفن دبليو ؛ إليس، جورج إف آر (1973)، البنية واسعة النطاق للزمكان ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-20016-4
• جاكيو، رومان (1995)، مواضيع متنوعة في الفيزياء النظرية والرياضية ، مجلة العلوم العالمية، رقم ISBN 9810216963
• لاندسمان، كلااس (2017)، أسس نظرية الكم: من المفاهيم الكلاسيكية إلى الجبر المؤثر ، سبرينغر، رمز الكتاب : 2017fqtf.book.....L، ISBN 978-3-319-51776-6
• Moretti, Valter (2017)، Spectral Theory and Quantum Mechanics: Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation، Unitext، المجلد 110 (الطبعة الثانية)، Springer، Bibcode :2017stqm.book.....M، doi :10.1007/978-3-319-70706-8، ISBN 978-3-319-70705-1، S2CID  125121522
• روبرت، ديدييه؛ كومبسكيور، مونيك (2021)، الحالات المتماسكة وتطبيقاتها في الفيزياء الرياضية (الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-3-030-70844-3
• تاساكي، هال (2020)، فيزياء ورياضيات الأنظمة الكمومية المتعددة الأجسام، سبرينغر، رقم ISBN 978-3-030-41265-4، OCLC  1154567924
• Teschl, Gerald (2009)، الطرق الرياضية في ميكانيكا الكم: مع التطبيقات على مشغلات شرودنجر، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 978-0-8218-4660-5
• ثيرينغ، والتر إي. (2002)، الفيزياء الرياضية الكمومية: الذرات والجزيئات والأنظمة الكبيرة (الطبعة الثانية)، دار سبرينغر للنشر، رمز الكتاب : 2002qmpa.book.....T، رقم ISBN 978-3-642-07711-1
• فون نيومان، جون (2018)، الأسس الرياضية لميكانيكا الكم ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-17856-1
• ويل، هيرمان (2014)، نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ، مارتينو فاين بوكس، رقم ISBN 978-1614275800
• يندوراين، فرانسيسكو ج. (2006)، نظرية تفاعلات الكوارك والغلوون (الطبعة الرابعة)، سبرينغر، رقم ISBN 978-3642069741
• زيدلر، إيبرهارد (2006-2011)، نظرية المجال الكمومي: جسر بين علماء الرياضيات والفيزياء ، المجلد 1-3، سبرينغر

• الوسائط المتعلقة بالفيزياء الرياضية على ويكيميديا ​​كومنز