التحليل الهندسي

التحليل الهندسي هو فرع من فروع الرياضيات يستخدم أدوات من المعادلات التفاضلية ، وخاصة المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية ، للوصول إلى نتائج جديدة في الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا التفاضلية . يعود استخدام المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية الخطية إلى نظرية هودج على الأقل . وفي الآونة الأخيرة، يشير هذا المصطلح بشكل أساسي إلى استخدام المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية لدراسة الخصائص الهندسية والطوبولوجية للفضاءات، مثل الفضاءات الفرعية في الفضاء الإقليدي ، والفضاءات الريمانية ، والفضاءات التبسيطية . يعود هذا النهج إلى أعمال تيبور رادو وجيسي دوغلاس حول الأسطح الدنيا ، وجون فوربس ناش الابن حول التضمينات المتساوية القياس للفضاءات الريمانية في الفضاء الإقليدي، وأعمال لويس نيرنبرغ حول مسألة مينكوفسكي ومسألة فايل، وأعمال ألكسندر دانيلوفيتش ألكساندروف وأليكسي بوغوريلوف حول الأسطح الفائقة المحدبة . في ثمانينيات القرن العشرين، أسهمت إسهاماتٌ جوهريةٌ من كارين أولينبيك ، ^{[ 1 ]} وكليفورد تاوبس ، وشينغ تونغ ياو ، وريتشارد شون ، وريتشارد هاميلتون، في إطلاق حقبةٍ مثيرةٍ ومثمرةٍ في التحليل الهندسي، لا تزال آثارها مستمرةً حتى يومنا هذا. ومن أبرز إنجازاتهم حلّ غريغوري بيرلمان لتخمين بوانكاريه ، مُكملاً بذلك برنامجاً بدأه ونفّذه ريتشارد هاميلتون بشكلٍ كبير.

يشمل نطاق التحليل الهندسي استخدام الأساليب الهندسية في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية (ويُعرف حينها أيضًا باسم "المعادلات التفاضلية الجزئية الهندسية")، وتطبيق نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية على الهندسة. ويتضمن مسائل تتعلق بالمنحنيات والأسطح، أو المجالات ذات الحدود المنحنية، بالإضافة إلى دراسة مشعبات ريمان في أي بُعد. ويُعتبر حساب التفاضل والتكامل أحيانًا جزءًا من التحليل الهندسي، نظرًا لما تنطوي عليه المعادلات التفاضلية الناشئة عن مبادئ حساب التفاضل والتكامل من محتوى هندسي قوي. كما يشمل التحليل الهندسي التحليل الشامل ، الذي يهتم بدراسة المعادلات التفاضلية على المشعبات ، والعلاقة بين المعادلات التفاضلية والطوبولوجيا .

فيما يلي قائمة جزئية بالمواضيع الرئيسية في التحليل الهندسي:

• نظرية القياس
• الخرائط التوافقية
• مقاييس كاهلر-أينشتاين
• تدفق الانحناء المتوسط
• المشعبات الفرعية الدنيا
• نظريات الطاقة الإيجابية
• منحنيات شبه هولومورفية
• تدفق ريتشي
• مشكلة يامابي
• معادلات يانغ-ميلز

• شون، ريتشارد ؛ ياو، شينغ تونغ (2010). محاضرات في الهندسة التفاضلية . دار النشر الدولية في بوسطن. ISBN 978-1-571-46198-8.
• أندروز، بن (2010). تدفق ريتشي في الهندسة الريمانية: برهان كامل لنظرية كرة التضييق التفاضلية ربعية (  الطبعة الأولى). سبرينغر. ISBN 978-3-642-16285-5.
• جوست، يورغن (2005). الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي (  الطبعة الرابعة). سبرينغر. ISBN 978-3-540-25907-7.
• لي، جيفري م. (2009). المتشعبات والهندسة التفاضلية . الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 978-0-8218-4815-9.
• هيلجاسون، سيجوردور (2000). الزمر والتحليل الهندسي (الهندسة التكاملية، المؤثرات التفاضلية الثابتة، والدوال الكروية) (الطبعة الثانية  ). الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-8218-2673-7.
• هيلجاسون، سيجوردور (2008). التحليل الهندسي على الفضاءات المتناظرة (  الطبعة الثانية). الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-4530-1.