جبر المؤثرات

في التحليل الوظيفي ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، فإن جبر المؤثرات هو جبر للمؤثرات الخطية المستمرة على فضاء متجهي طوبولوجي ، مع عملية الضرب التي يتم إجراؤها عن طريق تركيب التطبيقات .

غالباً ما تُصاغ النتائج التي يتم الحصول عليها في دراسة جبر المؤثرات بعبارات جبرية ، بينما تكون التقنيات المستخدمة تحليلية للغاية في كثير من الأحيان . ^{[ 1 ]} على الرغم من أن دراسة جبر المؤثرات تُصنف عادةً كفرع من فروع التحليل الوظيفي، إلا أن لها تطبيقات مباشرة في نظرية التمثيل ، والهندسة التفاضلية ، والميكانيكا الإحصائية الكمومية ، والمعلومات الكمومية ، ونظرية الحقل الكمومي .

يمكن استخدام جبر المؤثرات لدراسة مجموعات عشوائية من المؤثرات ذات العلاقات الجبرية المحدودة في آن واحد . من هذا المنظور، يمكن اعتبار جبر المؤثرات تعميمًا لنظرية الطيف لمؤثر واحد. وبشكل عام، فإن جبر المؤثرات عبارة عن حلقات غير تبادلية .

يشترط عادةً أن يكون جبر المؤثرات مغلقًا ضمن بنية طوبولوجية محددة للمؤثرات ، وذلك في إطار جبر المؤثرات الخطية المتصلة ككل. وبالتحديد، هو مجموعة من المؤثرات التي تتمتع بخصائص الإغلاق الجبري والطوبولوجي. في بعض التخصصات، تُعتبر هذه الخصائص بديهية ، وتصبح الجبريات ذات البنية الطوبولوجية المحددة موضوعًا للبحث.

على الرغم من أن جبر المؤثرات يتم دراسته في سياقات مختلفة (على سبيل المثال، جبر المؤثرات التفاضلية الزائفة التي تعمل على فضاءات التوزيعات )، فإن مصطلح جبر المؤثرات يستخدم عادة للإشارة إلى جبر المؤثرات المحدودة على فضاء باناخ أو، بشكل أكثر تحديدًا، للإشارة إلى جبر المؤثرات على فضاء هيلبرت قابل للفصل ، مزود بطوبولوجيا معيار المؤثرات .

في حالة المؤثرات على فضاء هيلبرت، تُعطي الخريطة المرافقة الهرميتية على المؤثرات انعكاسًا طبيعيًا ، مما يوفر بنية جبرية إضافية يمكن فرضها على الجبر. في هذا السياق، تُعد جبر المؤثرات ذاتية الترافق ، أي أنها مغلقة تحت أخذ المرافقات، من أفضل الأمثلة المدروسة. وتشمل هذه الجبر C* ، وجبر فون نيومان ، وجبر AW* . يمكن توصيف جبر C* بسهولة بشكل مجرد من خلال شرط يربط بين المعيار والانعكاس والضرب. يمكن تعريف جبر C* المعرف بشكل مجرد على أنه جبر فرعي مغلق معين من جبر المؤثرات الخطية المستمرة على فضاء هيلبرت مناسب. وينطبق الأمر نفسه على جبر فون نيومان.

يمكن اعتبار جبر المؤثرات التبادلية ذاتية الترافق بمثابة جبر الدوال المتصلة ذات القيم المركبة على فضاء متراص محليًا ، أو جبر الدوال القابلة للقياس على فضاء قياسي قابل للقياس . وبالتالي، غالبًا ما يُنظر إلى جبر المؤثرات العامة على أنها تعميمات غير تبادلية لهذه الجبر، أو بنية الفضاء الأساسي الذي تُعرَّف عليه الدوال. وقد تم تطوير هذه الرؤية كفلسفة للهندسة غير التبادلية ، التي تسعى إلى دراسة مختلف الكائنات غير الكلاسيكية و/أو الشاذة باستخدام جبر المؤثرات غير التبادلية.

من أمثلة جبر المؤثرات الذي ليس ذاتي الترافق ما يلي:

• جبر الأعشاش ،
• العديد من جبر الشبكة للفضاءات الفرعية التبادلية ،
• العديد من جبر النهايات .

• جبر باناخ – نوع خاص من البنية الجبرية 
• ميكانيكا المصفوفات – صياغة ميكانيكا الكم 
• الطوبولوجيات على مجموعة المؤثرات على فضاء هيلبرت
• جبر المؤثرات الرأسية – الجبر المستخدم في نظريات الحقول المطابقة ثنائية الأبعاد ونظرية الأوتار 

• بلاكادار، بروس (2005). جبر المؤثرات: نظرية جبر C* وجبر فون نيومان . موسوعة العلوم الرياضية. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 3-540-28486-9.
• م. تاكيساكي، نظرية جبر المؤثرات I ، سبرينغر، 2001.