الهندسة المنفصلة

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة
مجموعة من الدوائر ورسم بياني للقرص الواحد المقابل لها

الهندسة المنفصلة والهندسة التوافقية فرعان من فروع الهندسة يدرسان الخصائص التوافقية والأساليب البنائية للأشكال الهندسية المنفصلة . تتناول معظم مسائل الهندسة المنفصلة مجموعات منتهية أو منفصلة من الأشكال الهندسية الأساسية، مثل النقاط والخطوط والمستويات والدوائر والكرات والمضلعات ، وما إلى ذلك. ويركز هذا المجال على الخصائص التوافقية لهذه الأشكال، مثل كيفية تقاطعها ، أو كيفية ترتيبها لتغطية شكل أكبر.

تتداخل الهندسة المنفصلة بشكل كبير مع الهندسة المحدبة والهندسة الحسابية ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بمواضيع مثل الهندسة المحدودة ، والتحسين التوافقي ، والهندسة الرقمية ، والهندسة التفاضلية المنفصلة ، ​​ونظرية الرسم البياني الهندسي ، والهندسة التوريكية ، والطوبولوجيا التوافقية .

تاريخ

لقد دُرست المجسمات متعددة الأوجه والتبليطات لسنوات عديدة من قبل علماء مثل كيبلر وكوشي ، وتعود أصول الهندسة المنفصلة الحديثة إلى أواخر القرن التاسع عشر. ومن بين المواضيع المبكرة التي دُرست: كثافة تعبئة الدوائر بواسطة ثو ، والتكوينات الإسقاطية بواسطة راي وستينيتز ، وهندسة الأعداد بواسطة مينكوفسكي، وتلوين الخرائط بواسطة تيت وهيوود وهادويجر .

وضع لازلو فيجيس توث ، وإتش إس إم كوكستر ، وبول إيردوس أسس الهندسة المنفصلة . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

المواضيع

المجسمات متعددة الأوجه والمجسمات متعددة الوجوه

المضلع متعدد الأوجه هو شكل هندسي ذو جوانب مسطحة، يوجد في أي عدد من الأبعاد. المضلع هو مضلع متعدد الأوجه في بعدين، ومتعدد السطوح في ثلاثة أبعاد، وهكذا في الأبعاد الأعلى (مثل المضلع الرباعي في أربعة أبعاد). وتوسع بعض النظريات هذا المفهوم ليشمل أشكالًا مثل المضلعات غير المحدودة ( المضلعات اللانهائية والتبليطات )، والمضلعات المجردة .

فيما يلي بعض جوانب متعددات الوجوه التي تمت دراستها في الهندسة المنفصلة:

التعبئة والتغليف والتغطية والبلاط

تعتبر التعبئة والتغطية والتبليط جميعها طرقًا لترتيب الأشياء الموحدة (عادةً الدوائر أو الكرات أو البلاطات) بطريقة منتظمة على سطح أو متعدد .

تُعرف عملية تعبئة الكرات بأنها ترتيب كرات غير متداخلة داخل فضاء مُحيط. عادةً ما تكون الكرات المدروسة متطابقة في الحجم، ويكون الفضاء عادةً فضاءً إقليديًا ثلاثي الأبعاد . مع ذلك، يمكن تعميم مسائل تعبئة الكرات لتشمل كرات غير متساوية، أو فضاءً إقليديًا ذا n بُعد (حيث تُصبح المسألة تعبئة دوائر في بُعدين، أو تعبئة كرات فائقة في أبعاد أعلى)، أو فضاءات غير إقليدية مثل الفضاء الزائدي .

التبليط السطحي هو تغطية سطح مستوٍ ببلاطات باستخدام شكل هندسي واحد أو أكثر، تُسمى البلاطات، دون تداخل أو فراغات. في الرياضيات ، يمكن تعميم التبليط ليشمل أبعادًا أعلى.

تشمل المواضيع المحددة في هذا المجال ما يلي:

الصلابة الهيكلية والمرونة

تُرسم الرسوم البيانية على شكل قضبان متصلة بمفاصل دوارة. يمكن إمالة الرسم البياني الدائري C4 ، المرسوم على شكل مربع، بواسطة القوة الزرقاء ليصبح متوازي أضلاع، لذا فهو رسم بياني مرن. أما K3 ، المرسوم على شكل مثلث، فلا يمكن تغييره بأي قوة تُطبق عليه، لذا فهو رسم بياني صلب.

الصلابة الهيكلية هي نظرية توافقية للتنبؤ بمرونة المجموعات المكونة من أجسام صلبة متصلة بوصلات أو مفاصل مرنة .

تشمل المواضيع في هذا المجال ما يلي:

هياكل الحدوث

النقاط السبع هي عناصر من سبعة خطوط في مستوى فانو ، وهو مثال على بنية التداخل.

تُعمّم بنى التلاقي المستويات (مثل المستويات الأفينية والإسقاطية ومستويات موبيوس ) كما يتضح من تعريفاتها البديهية. كما تُعمّم بنى التلاقي نظائرها ذات الأبعاد الأعلى، وتُسمى البنى المحدودة أحيانًا بالهندسة المحدودة .

بصورة رسمية، بنية الحدوث هي ثلاثية

ج=(P،ل،أنا).{\displaystyle C=(P,L,I).\,}

حيث P هي مجموعة من "النقاط"، و L هي مجموعة من "الخطوط" وأنا⊆P×ل{\displaystyle I\subseteq P\times L}هي علاقة الحدوث . عناصرأنا{\displaystyle I}تُسمى هذه الأعلام. إذا

(ص،ل)∈أنا،{\displaystyle (p,l)\in I,}

نقول إن النقطة p "تقع على" الخطل{\displaystyle l}.

تشمل المواضيع في هذا المجال ما يلي:

الماترويدات الموجهة

الماترويد الموجه هو بنية رياضية تُجرّد خصائص الرسوم البيانية الموجهة وترتيبات المتجهات في فضاء متجهي فوق حقل مُرتب (خاصةً للفضاءات المتجهة المرتبة جزئيًا ). [ 4 ] في المقابل، يُجرّد الماترويد العادي (أي غير الموجه) خصائص التبعية المشتركة بين الرسوم البيانية ، التي ليست بالضرورة موجهة ، وترتيبات المتجهات فوق الحقول ، التي ليست بالضرورة مرتبة . [ 5 ] [ 6 ]

نظرية الرسم البياني الهندسي

الرسم البياني الهندسي هو رسم بياني ترتبط فيه الرؤوس أو الحواف بأشكال هندسية . ومن الأمثلة على ذلك الرسوم البيانية الإقليدية، والهيكل العظمي لمتعدد السطوح ، ورسوم القرص الواحد ، ورسوم الرؤية .

تشمل المواضيع في هذا المجال ما يلي:

المجمعات التبسيطية

المُركَّب التبسيطي هو فضاء طوبولوجي من نوعٍ مُحدد، يُنشأ عن طريق "ربط" النقاط ، والقطع المستقيمة ، والمثلثات ، ونظائرها ذات الأبعاد n (انظر الرسم التوضيحي). يجب عدم الخلط بين المُركَّبات التبسيطية والمفهوم الأكثر تجريدًا للمجموعة التبسيطية الذي يظهر في نظرية التماثل التبسيطي الحديثة. النظير التوافقي البحت للمُركَّب التبسيطي هو المُركَّب التبسيطي المُجرَّد . انظر أيضًا: المُركَّبات الهندسية العشوائية .

التوافقية الطوبولوجية

استخدم تخصص الطوبولوجيا التوافقية المفاهيم التوافقية في الطوبولوجيا ، وفي أوائل القرن العشرين تحول هذا إلى مجال الطوبولوجيا الجبرية .

في عام ١٩٧٨، انقلب الوضع رأسًا على عقب، إذ استُخدمت أساليب من الطوبولوجيا الجبرية لحل مسألة في التوافقية ، عندما برهن لازلو لوفاس على حدسية كنيسر ، مُدشنًا بذلك دراسة جديدة للتوافقية الطوبولوجية . استخدم برهان لوفاس نظرية بورزوك-أولام ، التي لا تزال تحتل مكانة بارزة في هذا المجال الجديد. لهذه النظرية العديد من الصيغ والنظائر المكافئة، وقد استُخدمت في دراسة مسائل القسمة العادلة .

تشمل المواضيع في هذا المجال ما يلي:

الشبكات والمجموعات المنفصلة

الزمرة المنفصلة هي زمرة G مزودة بطوبولوجيا منفصلة . بهذه الطوبولوجيا، تصبح G زمرة طوبولوجية . الزمرة الجزئية المنفصلة من زمرة طوبولوجية G هي زمرة جزئية H ذات طوبولوجيا منفصلة . على سبيل المثال، تشكل الأعداد الصحيحة Z زمرة جزئية منفصلة من الأعداد الحقيقية R (ذات الطوبولوجيا المترية القياسية )، بينما لا تشكل الأعداد النسبية Q زمرة جزئية منفصلة.

الشبكة في زمرة طوبولوجية متراصة محليًا هي زمرة جزئية منفصلة تتميز بأن فضاء القسمة لها قياس ثابت محدود . في الحالة الخاصة للزمر الجزئية من Rⁿ ، يرقى هذا إلى المفهوم الهندسي المعتاد للشبكة ، وكل من البنية الجبرية للشبكات وهندسة جميع الشبكات مفهومة جيدًا نسبيًا. قدمت نتائج عميقة لبوريل ، وهاريش-تشاندرا ، وموستو ، وتاماغاوا ، وإم إس راغوناثان ، ومارغوليس ، وزيمر ، التي تم التوصل إليها في الفترة من الخمسينيات إلى السبعينيات ، أمثلةً وعممت الكثير من النظرية لتشمل زمر لي العديمة القوة والزمر الجبرية شبه البسيطة على حقل محلي . في التسعينيات، بدأ باس ولوبوتزكي دراسة شبكات الأشجار ، والتي لا تزال مجالًا بحثيًا نشطًا.

تشمل المواضيع في هذا المجال ما يلي:

الهندسة الرقمية

تتعامل الهندسة الرقمية مع المجموعات المنفصلة (عادة مجموعات النقاط المنفصلة ) التي تعتبر نماذج أو صورًا رقمية لأجسام الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد .

ببساطة، التحويل الرقمي هو استبدال جسم ما بمجموعة منفصلة من نقاطه. الصور التي نراها على شاشة التلفاز، أو شاشة العرض النقطية للحاسوب، أو في الصحف، هي في الواقع صور رقمية .

مجالات تطبيقها الرئيسية هي رسومات الحاسوب وتحليل الصور . [ 7 ]

الهندسة التفاضلية المنفصلة

الهندسة التفاضلية المنفصلة هي دراسة النظائر المنفصلة للمفاهيم في الهندسة التفاضلية . فبدلاً من المنحنيات والأسطح الملساء، توجد المضلعات والشبكات والمجمعات التبسيطية . وتُستخدم في دراسة رسومات الحاسوب والتوافقية الطوبولوجية .

تشمل المواضيع في هذا المجال ما يلي:

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ باش، يانوس؛ وآخرون  . (2008)، الهندسة البديهية، في Memoriam László Fejes Tóth ، معهد ألفريد ريني للرياضيات
  2. ^ كاتونا، GOH (2005)، “لازلو فيجيس توث – النعي”، Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica ، 42 (2): 113
  3. ^ باراني ، إيمري (2010) ، “الهندسة المنفصلة والمحدبة” ، في هورفاث ، يانوس (محرر) ، بانوراما للرياضيات المجرية في القرن العشرين، أنا ، نيويورك: سبرينغر، الصفحات من 431 إلى 441، ISBN  9783540307211
  4. ^ روكافيلار 1969. بيورنر وآخرون، الفصول 1-3. بوكوفسكي، الفصل الأول. زيغلر، الفصل السابع.
  5. ^ بيورنر وآخرون، الفصول 1-3. بوكوفسكي، الفصول 1-4.
  6. ↑ نظرًا لأن الماترويدات والماترويدات الموجهة هي تجريدات لمفاهيم رياضية أخرى، فإن معظم الكتب ذات الصلة مكتوبة لعلماء الرياضيات وليس لعامة الناس. وللتعرف على الماترويدات الموجهة، يُنصح بدراسة كتاب نيرينغ وتوكر في التحسين الخطي ، والذي يتضمن أفكارًا متعلقة بالماترويدات الموجهة، ثم الانتقال إلى محاضرات زيغلر حول متعددات الوجوه.
  7. ↑ انظر لي تشين، الهندسة الرقمية والمنفصلة: النظرية والخوارزميات، سبرينغر، 2014.

مراجع

  • بيزديك، أندراس (2003). الهندسة المنفصلة: تكريما لعيد ميلاد دبليو كوبربيرج الستين . نيويورك، نيويورك: مارسيل ديكر. رقم ISBN 0-8247-0968-3.
  • بيزديك، كارولي (2010). المواضيع الكلاسيكية في الهندسة المنفصلة . نيويورك، نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4419-0599-4.
  • بيزديك، كارولي (2013). محاضرات في ترتيبات الكرات - الجانب الهندسي المنفصل . نيويورك، نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-1-4614-8117-1.
  • الأماكن القريبة : ديزا، أنطوان؛ يي ينيو (2013). الهندسة المنفصلة والتحسين . نيويورك، نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 978-3-319-00200-2.
  • براس، بيتر؛ موسر، ويليام؛ باتش، يانوس (2005). مشاكل البحث في الهندسة المتقطعة . برلين: سبرينغر. ISBN 0-387-23815-8.
  • باتش، يانوس ؛ أغاروال، بانكاج ك. (1995). الهندسة التوافقية . نيويورك: وايلي-إنترساينس. ISBN 0-471-58890-3.
  • غودمان، جاكوب إي. وأورورك، جوزيف (2004). دليل الهندسة المنفصلة والحسابية، الطبعة الثانية . بوكا راتون: تشابمان آند هول/سي آر سي. رقم ISBN 1-58488-301-4.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  • غروبر، بيتر م. (2007). الهندسة المحدبة والمنفصلة . برلين: سبرينغر. ISBN 978-3-540-71132-2.
  • ماتوسيك، جيري (2002). محاضرات في الهندسة المنفصلة . برلين: سبرينغر. رقم ISBN 0-387-95374-4.
  • فلاديمير بولتيانسكي ، هورست مارتيني ، بيترو س. سلطان (1997). رحلات في الهندسة التوافقية . سبرينغر. ISBN 3-540-61341-2.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )