تخمين كيبلر

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

تُعرف حدسية كيبلر ، نسبةً إلى عالم الرياضيات والفلك يوهانس كيبلر من القرن السابع عشر ، بأنها نظرية رياضية تتعلق بتراص الكرات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . وتنص على أنه لا يوجد ترتيب للكرات متساوية الحجم تملأ الفضاء بكثافة متوسطة أكبر من كثافة التراص المكعب المتراص ( المكعب ذو المراكز الوجهية ) والتراص السداسي المتراص . وتبلغ كثافة هذه الترتيبات حوالي 74.05%.

في عام ١٩٩٨، أعلن عالم الرياضيات الأمريكي توماس هيلز ، متبعًا منهجًا اقترحه فيجيس توث (١٩٥٣) ، عن امتلاكه برهانًا لفرضية كبلر. يعتمد برهان هيلز على الاستنفاد، حيث يتضمن التحقق من العديد من الحالات الفردية باستخدام حسابات حاسوبية معقدة. وقد صرّح المحكّمون بأنهم على يقين بنسبة ٩٩٪ من صحة برهان هيلز، وتم قبول فرضية كبلر كنظرية . في عام ٢٠١٤، أعلن فريق مشروع فلايسبك، بقيادة هيلز، عن إنجاز برهان رسمي لفرضية كبلر باستخدام مزيج من مساعدي البرهان إيزابيل وهول لايت . وفي عام ٢٠١٧، نُشر البرهان الرسمي في مجلة منتدى الرياضيات، باي . [ ١ ]

خلفية

مخططات التعبئة المكعبة المتراصة (يسار) والتعبئة السداسية المتراصة (يمين).

تخيل ملء وعاء كبير بكرات صغيرة متساوية الحجم، كإبريق خزفي سعة جالون واحد مثلاً. "كثافة" هذا الترتيب تساوي الحجم الكلي للكرات مقسوماً على حجم الإبريق. ولتحقيق أقصى عدد من الكرات في الإبريق، يجب ترتيبها بين جوانبه وقاعه بأعلى كثافة ممكنة، بحيث تكون الكرات متراصة بإحكام قدر الإمكان.

أظهرت التجربة أن إسقاط الكرات الزجاجية عشوائيًا، دون أي محاولة لترتيبها بإحكام، سيؤدي إلى كثافة تبلغ حوالي 65%. [ 2 ] ومع ذلك، يمكن تحقيق كثافة أعلى من خلال ترتيب الكرات الزجاجية بعناية كما يلي:

  1. بالنسبة للطبقة الأولى من الكرات الزجاجية، رتبها في شكل شبكة سداسية ( نمط خلية النحل ).
  2. ضع الطبقة التالية من الكرات الزجاجية في أدنى الفراغات التي يمكنك إيجادها فوق وبين الكرات الزجاجية في الطبقة الأولى، بغض النظر عن النمط.
  3. استمر بنفس الإجراء المتمثل في ملء الفراغات السفلية في الطبقة السابقة، بالنسبة للطبقة الثالثة والطبقات المتبقية، حتى تصل الكرات الزجاجية إلى الحافة العلوية للإبريق.

في كل خطوة، يوجد خياران على الأقل لكيفية وضع الطبقة التالية، لذا فإن هذه الطريقة غير المخطط لها لتكديس الكرات تُنتج عددًا لا نهائيًا من التراصات متساوية الكثافة. أشهر هذه التراصات هي التراص المكعب المتراص والتراص السداسي المتراص . لكل من هذه التراصات كثافة متوسطة تبلغ

π32=0.740480489...{\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0.740480489\ldots }

تقول فرضية كيبلر أن هذا هو أفضل ما يمكن فعله - لا يوجد ترتيب آخر للكرات له متوسط ​​كثافة أعلى: على الرغم من وجود العديد من الترتيبات المختلفة الممكنة التي تتبع نفس الإجراء مثل الخطوات  1-3، إلا أنه لا يمكن لأي عملية تعبئة (وفقًا للإجراء أو بدونه) أن تتسع لمزيد من الكرات في نفس الإناء.

الأصول

أحد الرسوم البيانية من كتاب Strena Seu de Nive Sexangula ، الذي يوضح حدسية كيبلر

طُرحت هذه الفرضية لأول مرة على يد يوهانس كيبلر ( 1611 ) في بحثه "حول ندفة الثلج السداسية". وكان قد بدأ دراسة ترتيب الكرات نتيجةً لمراسلاته مع عالم الرياضيات والفلك الإنجليزي توماس هاريوت عام 1606. كان هاريوت صديقًا ومساعدًا للسير والتر رالي ، الذي طلب من هاريوت إيجاد صيغ لحساب عدد قذائف المدفع المكدسة، وهي مهمة دفعت بدوره عالم الرياضيات هاريوت إلى التساؤل عن أفضل طريقة لتكديس قذائف المدفع. [ 3 ] نشر هاريوت دراسةً عن أنماط التكديس المختلفة عام 1591، وواصل تطوير نسخة مبكرة من النظرية الذرية . 

القرن التاسع عشر

لم يكن لدى كيبلر برهان على التخمين، وقد اتخذ كارل فريدريش جاوس ( 1831 ) الخطوة التالية ، حيث أثبت أن تخمين كيبلر صحيح إذا كان يجب ترتيب الكرات في شبكة منتظمة . 

هذا يعني أن أي ترتيب تعبئة يُفنّد فرضية كبلر لا بد أن يكون غير منتظم. لكن استبعاد جميع الترتيبات غير المنتظمة الممكنة أمرٌ بالغ الصعوبة، وهذا ما جعل إثبات فرضية كبلر صعبًا للغاية. في الواقع، توجد ترتيبات غير منتظمة أكثر كثافة من ترتيب التعبئة المكعبة المتراصة في حجم صغير بما فيه الكفاية، ولكن من المعروف الآن أن أي محاولة لتوسيع هذه الترتيبات لملء حجم أكبر تُقلل كثافتها دائمًا.

بعد غاوس، لم يُحرز أي تقدم إضافي نحو إثبات حدسية كبلر في القرن التاسع عشر. في عام 1900، أدرجها ديفيد هيلبرت في قائمته التي تضم ثلاثة وعشرين مسألة رياضية لم تُحل - وهي تُشكل جزءًا من المسألة الثامنة عشرة لهيلبرت .

القرن العشرين

خطا لازلو فيجيس توث الخطوة التالية نحو الحل . فقد بيّن فيجيس توث (1953) أن مسألة تحديد أقصى كثافة لجميع الترتيبات (المنتظمة وغير المنتظمة) يمكن اختزالها إلى عدد محدود (وإن كان كبيرًا جدًا) من العمليات الحسابية. وهذا يعني أن البرهان بالاستنفاد ممكن من حيث المبدأ. وكما أدرك فيجيس توث، فإن حاسوبًا سريعًا بما يكفي قادر على تحويل هذه النتيجة النظرية إلى منهج عملي لحل المسألة.

في غضون ذلك، بُذلت محاولات لإيجاد حد أعلى لأقصى كثافة لأي ترتيب ممكن للكرات. وقد حدد عالم الرياضيات الإنجليزي كلود أمبروز روجرز (انظر روجرز (1958) ) قيمة حد أعلى تبلغ حوالي 78%، وخفضت الجهود اللاحقة التي بذلها علماء رياضيات آخرون هذه القيمة قليلاً، لكنها ظلت أكبر بكثير من كثافة التعبئة المكعبة المتراصة التي تبلغ حوالي 74%.

في عام ١٩٩٠، ادّعى وو-يي هسيانغ أنه أثبت حدسية كبلر. وقد حظي برهانه بإشادة من موسوعة بريتانيكا ومجلة ساينس ، كما تم تكريم هسيانغ في اجتماعات مشتركة بين الجمعية الأمريكية للرياضيات وجمعية الرياضيات الأمريكية. [ ٤ ] وادّعى وو-يي هسيانغ ( ١٩٩٣ ، ٢٠٠١ ) أنه أثبت حدسية كبلر باستخدام أساليب هندسية. إلا أن غابور فيجيس توث (نجل لازلو فيجيس توث) ذكر في مراجعته للورقة البحثية: "فيما يتعلق بالتفاصيل، أرى أن العديد من العبارات الرئيسية تفتقر إلى براهين مقبولة". وقدّم هيلز (١٩٩٤) نقدًا مفصلاً لعمل هسيانغ، ردّ عليه هسيانغ (١٩٩٥) . ويُجمع الرأي السائد حاليًا على أن برهان هسيانغ غير مكتمل. [ ٥ ] 

دليل هيلز

باتباع النهج الذي اقترحه لازلو فيجيس توث [ 6 ] ، توصل توماس هيلز ، الذي كان يعمل آنذاك في جامعة ميشيغان ، إلى أن أقصى كثافة لجميع الترتيبات يُمكن إيجادها بتقليل دالة ذات 150 متغيرًا. في عام 1992، وبمساعدة طالبه في الدراسات العليا صموئيل فيرغسون، شرع في برنامج بحثي لتطبيق أساليب البرمجة الخطية بشكل منهجي لإيجاد حد أدنى لقيمة هذه الدالة لكل تكوين من مجموعة تضم أكثر من 5000 تكوين مختلف للكرات. إذا أمكن إيجاد حد أدنى (لقيمة الدالة) لكل تكوين من هذه التكوينات يكون أكبر من قيمة الدالة لترتيب التعبئة المكعبة المتراصة، فسيتم إثبات حدسية كبلر. وقد تطلب إيجاد الحدود الدنيا لجميع الحالات حل حوالي 100000 مسألة برمجة خطية.

عند عرض تقدم مشروعه عام ١٩٩٦، قال هيلز إن النهاية باتت وشيكة، لكن إنجازه قد يستغرق "عامًا أو عامين". وفي أغسطس ١٩٩٨، أعلن هيلز اكتمال البرهان. في تلك المرحلة، كان البرهان يتألف من ٢٥٠ صفحة من الملاحظات و٣ غيغابايت من برامج الحاسوب والبيانات والنتائج.

على الرغم من الطبيعة غير المألوفة للبرهان، وافق محررو مجلة " حوليات الرياضيات" على نشره، شريطة قبوله من قبل لجنة تحكيم مؤلفة من اثني عشر محكمًا. في عام ٢٠٠٣، وبعد أربع سنوات من العمل، أفاد رئيس لجنة التحكيم، غابور فيجيس توث، بأن اللجنة كانت على يقين بنسبة ٩٩٪ من صحة البرهان، لكنها لم تتمكن من تأكيد صحة جميع الحسابات الحاسوبية. في عام ٢٠٠٥، نشرت "حوليات الرياضيات " مقالة هيلز المكونة من ١٠٠ صفحة والتي تصف بالتفصيل الجزء غير الحاسوبي من برهانه ( هيلز، ٢٠٠٥ ). وصف هيلز وفيرغسون (٢٠٠٦) والعديد من الأبحاث اللاحقة الأجزاء الحسابية. حصل هيلز وفيرغسون على جائزة فولكرسون للأبحاث المتميزة في مجال الرياضيات المتقطعة لعام ٢٠٠٩.

برهان رسمي

في يناير 2003، أعلن هيلز عن بدء مشروع تعاوني لإنتاج برهان رسمي كامل لفرضية كبلر. كان الهدف هو إزالة أي شكوك متبقية حول صحة البرهان من خلال إنشاء برهان رسمي يمكن التحقق منه بواسطة برامج التحقق الآلي من البراهين مثل HOL Light و Isabelle . سُمي هذا المشروع Flyspeck ، وهو اختصار لـ FPK، اختصارًا لـ Formal Proof of Kepler (البرهان الرسمي لكبلر) . في بداية هذا المشروع، عام 2007، قدّر هيلز أن إنتاج برهان رسمي كامل سيستغرق حوالي 20 عامًا من العمل. [ 7 ] نشر هيلز "مخططًا" للبرهان الرسمي عام 2012؛ [ 8 ] وأُعلن عن اكتمال المشروع في 10 أغسطس 2014. [ 9 ] في يناير 2015، نشر هيلز و21 متعاونًا معه ورقة بحثية بعنوان "برهان رسمي لفرضية كبلر" على موقع arXiv ، زاعمين أنهم أثبتوا صحة الفرضية. [ 10 ] في عام 2017، تم قبول البرهان الرسمي من قبل مجلة منتدى الرياضيات . [ 1 ]

نظرية ثيو
يُعدّ الترتيب السداسي المنتظم أكثر أنواع الترتيب الدائري كثافةً في المستوى (1890). تبلغ كثافته π ⁄ √ 12 .
النظير ثنائي الأبعاد لتخمين كيبلر؛ البرهان بسيط. ينسب هينك وزيغلر هذه النتيجة إلى لاغرانج، في عام 1773 (انظر المراجع، صفحة 770).
يستخدم برهان بسيط قدمه تشاو وتشونغ من عام 2010 تثليث ديلاوناي لمجموعة النقاط التي تمثل مراكز الدوائر في تعبئة الدوائر المشبعة. [ 11 ]
نظرية قرص العسل السداسي
إن أكثر تقسيم فعال للسطح المستوي إلى مساحات متساوية هو التبليط السداسي المنتظم. [ 12 ]
يتعلق بنظرية ثيو.
تخمين الشكل الاثني عشري
حجم متعدد السطوح فورونوي للكرة في مجموعة من الكرات المتساوية هو على الأقل حجم مجسم اثنا عشري منتظم بنصف قطر داخلي 1. برهان ماكلوغلين، [ 13 ] الذي حصل عليه جائزة مورغان عام 1999 .
مسألة ذات صلة، يستخدم برهانها تقنيات مشابهة لبرهان هيلز لتخمين كيبلر. تخمين من وضع ل. فيجيس توث في خمسينيات القرن العشرين.
مشكلة كلفن
ما هي الرغوة الأكثر كفاءة في ثلاثة أبعاد؟ كان يُعتقد أن بنية كلفن هي الحل ، وساد هذا الاعتقاد لأكثر من مئة عام، إلى أن تم دحضه عام ١٩٩٣ باكتشاف بنية واير-فيلان . يُعدّ اكتشاف بنية واير-فيلان المفاجئ ودحض حدسية كلفن أحد أسباب الحذر في قبول برهان هيلز على حدسية كبلر.
تعبئة الكرات في أبعاد أعلى
في عام 2016، أعلنت مارينا فيازوفسكا عن برهان على التعبئة المثلى للكرات في البعد 8، مما أدى بسرعة إلى حل في البعد 24. [ 14 ] ومع ذلك، لا تزال مسألة التعبئة المثلى للكرات في أبعاد أخرى غير 1 و2 و3 و8 و24 مفتوحة.
تخمين أولام بشأن التعبئة
من غير المعروف ما إذا كان هناك جسم صلب محدب تكون كثافة التعبئة المثلى له أقل من كثافة تعبئة الكرة.

مراجع

  1. 1 2 هيلز، توماس ؛ آدامز، مارك؛ باور، جيرترود؛ دانغ، تات دات؛ هاريسون، جون؛ هوانغ، لي ترونغ؛ كاليسزيك، سيزاري؛ ماغرون، فيكتور؛ ماكلولين، شون؛ نغوين، تات ثانغ؛ نغوين، كوانغ ترونغ؛ نيبكو، توبياس؛ أوبوا، ستيفن؛ بليسو، جوزيف؛ روت، جيسون؛ سولوفييف، أليكسي؛ تا، ثي هواي آن؛ تران، نام ترونغ؛ تريو، ثي ديب؛ أوربان، جوزيف؛ فو، كي؛ زومكيلر، رولاند (29 مايو 2017). "برهان رسمي لتخمين كيبلر" . منتدى الرياضيات، المجلد 5، العدد 2. doi : 10.1017/fmp.2017.1 . hdl : 2066/176365 .
  2. ↑ لي، شويشيانغ؛ تشاو، ليانغ؛ ليو، يويوو (أبريل 2008). "محاكاة حاسوبية لتعبئة الكرات العشوائية في حاوية ذات شكل عشوائي" . الحواسيب والمواد والأوساط المتصلة . 7 : 109-118 .
  3. ↑ لوتويلر، كريستين (14 سبتمبر 1998). "رصّهم بإحكام" . مجلة ساينتفك أمريكان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 نوفمبر 2021 .
  4. ↑ هيلز، توماس سي. (يونيو 1994). "وضع حدسية كبلر". مجلة الرياضيات الذكية . 16 (3): 47-58 . doi : 10.1007/BF03024356 . S2CID 123375854 . 
  5. ↑ سينغ، سيمون (1997). نظرية فيرما الأخيرة . نيويورك: ووكر. ISBN 978-0-80271-331-5.
  6. ^ فيجيس توث 1953 ، ص. 238.
  7. ↑ بايلز، جينيفر (خريف 2007). "توماس هيلز: برهان البرهان" . مجلة بيتسبرغ الفصلية .
  8. ↑ هيلز، توماس سي. (2012). تعبئة الكرات الكثيفة: مخطط للبراهين الرسمية . سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية. المجلد 400. مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9781139193894 . ISBN  978-0-521-61770-3.
  9. ↑ "مشروع فلايسبيك" . كود جوجل .
  10. ↑ هيلز، توماس ؛ وآخرون . (9 يناير 2015). "برهان رسمي لتخمين كيبلر". arXiv : 1501.02155 [ math.MG ]. 
  11. ↑ تشانغ، هاي تشاو؛ وانغ، لي تشونغ (22 سبتمبر 2010). "برهان بسيط لنظرية ثيو حول تعبئة الدوائر". arXiv : 1009.4322 [ math.MG ].
  12. ↑ هيلز، توماس سي. (20 مايو 2002). "تخمين خلية النحل" . الهندسة المنفصلة والحسابية . 25 : 1-22 . arXiv : math/9906042 . doi : 10.1007/s004540010071 . S2CID 14849112 . 
  13. ↑ هيلز، توماس سي؛ ماكلولين، شون (2010). "تخمين الشكل ذي الاثني عشر وجهًا". مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 23 (2): 299-344 . arXiv : math.MG/9811079 . Bibcode : 2010JAMS...23..299H . doi : 10.1090/S0894-0347-09-00647-X .
  14. ↑ كلاريش، إريكا (30 مارس 2016)، "حل مشكلة تعبئة الكرات في الأبعاد العليا" ، مجلة كوانتا

المنشورات