كثافة التعبئة

كثافة التعبئة أو نسبة التعبئة في حيز معين هي نسبة الحيز الذي تشغله الأشكال المكونة للتعبئة. ببساطة، هي نسبة حجم الأجسام في الحيز إلى حجم الحيز نفسه. في مسائل التعبئة ، يكون الهدف عادةً هو الحصول على تعبئة بأعلى كثافة ممكنة.

لو${\displaystyle K_{1},\dots ,K_{n}}$هي مجموعات فرعية قابلة للقياس من فضاء قياس مضغوط${\displaystyle X}$ وإذا لم تتقاطع أجزاؤهما الداخلية بشكل ثنائي، فإن المجموعة${\displaystyle [K_{i}]}$هل التعبئة في${\displaystyle X}$وكثافة تعبئتها هي $${\displaystyle \eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}.}$$

إذا كانت المساحة المراد تعبئتها لانهائية في القياس، مثل الفضاء الإقليدي ، فمن المعتاد تعريف الكثافة على أنها الحد الأقصى للكثافات التي تظهر في كرات ذات أنصاف أقطار أكبر فأكبر.${\displaystyle B_{t}}$هي كرة نصف قطرها${\displaystyle t}$إذا تمركزت عند نقطة الأصل، فإن كثافة التعبئة${\displaystyle [K_{i}:i\in \mathbb {N} ]}$يكون $${\displaystyle \eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}.}$$ بما أن هذا الحد لا يوجد دائمًا، فمن المفيد أيضًا تعريف الكثافتين العليا والسفلى على أنهما الحد الأعلى والحد الأدنى للكثافة المذكورة أعلاه على التوالي. إذا كانت الكثافة موجودة، فإن الكثافتين العليا والسفلى متساويتان. بشرط أن تتقاطع أي كرة في الفضاء الإقليدي مع عدد محدود فقط من عناصر التعبئة وأن تكون أقطار العناصر محدودة من الأعلى، فإن الكثافة (العليا، السفلى) لا تعتمد على اختيار نقطة الأصل.${\displaystyle \mu (K_{i}\cap B_{t})}$يمكن استبدالها بـ${\displaystyle \mu (K_{i})}$لكل عنصر يتقاطع${\displaystyle B_{t}}$. ^{[ 1 ]} يمكن أيضًا استبدال الكرة بتمددات لجسم محدب آخر، ولكن بشكل عام فإن الكثافات الناتجة ليست متساوية.

غالبًا ما يهتم المرء بالتعبئة التي تقتصر على استخدام عناصر من مجموعة إمداد معينة. على سبيل المثال، قد تكون مجموعة الإمداد هي مجموعة جميع الكرات ذات نصف قطر محدد. كثافة التعبئة المثلى أو ثابت التعبئة المرتبط بمجموعة إمداد هو القيمة العليا للكثافات العليا التي يتم الحصول عليها من خلال التعبئة التي تمثل مجموعات فرعية من مجموعة الإمداد. إذا كانت مجموعة الإمداد تتكون من أجسام محدبة ذات قطر محدود، فستوجد تعبئة تكون كثافة تعبئتها مساوية لثابت التعبئة، ولا يتغير ثابت التعبئة هذا إذا تم استبدال الكرات في تعريف الكثافة بتمددات لجسم محدب آخر. ^{[ 1 ]}

تُعدّ جميع الحركات الإقليدية لجسم محدب ثابت مجموعةً خاصةً من مجموعات البيانات ذات الأهمية.${\displaystyle K}$في هذه الحالة، نسمي ثابت التعبئة ثابت تعبئة${\displaystyle K}$تُعنى فرضية كبلر بثابت التعبئة للكرات الثلاثية. وتنص فرضية أولام للتعبئة على أن الكرات الثلاثية تمتلك أدنى ثابت تعبئة بين جميع الأجسام الصلبة المحدبة. كما تُعد جميع انتقالات الجسم الثابت مجموعة بيانات شائعة ذات أهمية، وهي تُحدد ثابت التعبئة الانتقالي لذلك الجسم.

• عامل التعبئة الذرية
• تعبئة كروية
• قائمة الأشكال ذات ثابت التعبئة المعروف

• وايسشتاين، إريك دبليو. "كثافة التعبئة" . عالم الرياضيات .