التكوين (الهندسة)

التكوينات (4 ₃ 6 ₂ ) ( شكل رباعي كامل ، على اليسار) و (6 ₂ 4 ₃ ) (شكل رباعي كامل، على اليمين)

في الرياضيات ، وتحديداً في الهندسة الإسقاطية ، يتكون التكوين في المستوى من مجموعة محدودة من النقاط ، وترتيب محدود من الخطوط ، بحيث تقع كل نقطة على نفس عدد الخطوط، ويقع كل خط على نفس عدد النقاط. ^{[ 1 ]}

على الرغم من دراسة بعض التكوينات المحددة سابقًا (على سبيل المثال، من قبل توماس كيركمان عام 1849)، إلا أن الدراسة الرسمية للتكوينات قدّمها ثيودور راي لأول مرة عام 1876، في الطبعة الثانية من كتابه "هندسة الوضع" ، في سياق مناقشة نظرية ديزارج . كتب إرنست شتاينيتز أطروحته حول هذا الموضوع عام 1894، وشاعت هذه الدراسات بفضل كتاب هيلبرت وكوهن -فوسن "الهندسة التوضيحية " الصادر عام 1932 ، والذي أعيد طبعه باللغة الإنجليزية بعنوان "هيلبرت وكوهن -فوسن" (1952) .

يمكن دراسة التكوينات إما كمجموعات ملموسة من النقاط والخطوط في هندسة محددة، مثل المستويات الإقليدية أو الإسقاطية (ويُقال إنها قابلة للتحقيق في تلك الهندسة)، أو كنوع من هندسة التلاقي المجردة . في الحالة الأخيرة، ترتبط التكوينات ارتباطًا وثيقًا بالرسوم البيانية الفائقة المنتظمة والرسوم البيانية الثنائية المنتظمة ، ولكن مع بعض القيود الإضافية: يمكن ربط كل نقطتين في بنية التلاقي بخط واحد على الأكثر، ويمكن ربط كل خطين بنقطة واحدة على الأكثر. أي أن محيط الرسم البياني الثنائي المقابل ( رسم ليفي للتكوين) يجب أن يكون ستة على الأقل.

الترميز

يُرمز إلى التكوين في المستوى بالرمز ( $p γ ℓ π$ )، حيث $p$ هو عدد النقاط، $وℓ$ هو عدد الخطوط، $وγ$ هو عدد الخطوط لكل نقطة، و $π$ هو عدد النقاط لكل خط. هذه الأعداد تحقق بالضرورة المعادلة

p\gamma =\ell \pi \,

لأن هذا المنتج هو عدد حالات وقوع النقاط على الخطوط ( الأعلام ).

لا يشترط أن تكون التكوينات التي تحمل الرمز نفسه، مثلاً ( $p γ ℓ π$ )، متماثلة كبنى وقوعية . على سبيل المثال، توجد ثلاثة تكوينات مختلفة (9 ₃ 9 _{3 ):}تكوين بابوس وتكوينان أقل أهمية.

في بعض التكوينات، يكون $p = ℓ$ وبالتالي $γ = π$ . تُسمى هذه التكوينات بالتكوينات المتناظرة أو المتوازنة ^{[ 2 ]} ، وغالبًا ما يتم اختصار الترميز لتجنب التكرار. على سبيل المثال، يُختصر (9 ₃ 9 ₃ ) إلى (9 ₃ ).

أمثلة

تشمل التكوينات الإسقاطية البارزة ما يلي:

(1 ₁ )، أبسط تكوين ممكن، يتكون من نقطة تقع على خط. غالبًا ما يتم استبعاده لكونه تافهًا.
(3 ₂ )، المثلث . كل ضلع من أضلاعه الثلاثة يتقاطع مع رأسين من رؤوسه الثلاثة، والعكس صحيح. وبشكل أعم، أي مضلع مكون من $n$ ضلعًا يشكل شكلًا من النوع ( $n 2$ ).
(4 ₃ 6 ₂ )، الشكل الرباعي الكامل
(6 ₂ 4 ₃ )، وهو تكوين باش ، الذي يتضمن الشكل الرباعي الكامل
(7 ₃ )، مستوى فانو . يوجد هذا التكوين كهندسة وقوع مجردة ، لكن لا يمكن إنشاؤه في المستوى الإقليدي .
(8 ₃ )، وهو ما يُعرف بتكوين موبيوس-كانتور . يصف هذا التكوين شكلين رباعيين مُحاطين ومُحاطين ببعضهما البعض في آنٍ واحد. لا يمكن إنشاء هذا التكوين في الهندسة الإقليدية المستوية، ولكن المعادلات التي تُعرّفه لها حلول غير تافهة في الأعداد المركبة .
(9 ₃ )، تكوين بابوس
(9 ₄ 12 ₃ )، وهو تكوين هيسه الذي يتألف من تسع نقاط انعطاف لمنحنى مكعب في المستوى الإسقاطي المركب ، واثني عشر خطًا تحددها أزواج من هذه النقاط. يشترك هذا التكوين مع مستوى فانو في خاصية احتوائه على كل خط يمر بنقاطه؛ وتُعرف التكوينات التي تتمتع بهذه الخاصية بتكوينات سيلفستر-غالاي، وذلك استنادًا إلى نظرية سيلفستر-غالاي التي تُبين أنه لا يمكن إعطاؤها إحداثيات أعداد حقيقية. ^{[ 3 ]}
(10 ₃ )، تكوين ديزارج
(12 ₄ 16 ₃ )، تكوين راي
(12 ₅ 30 ₂ )، وهو الرقم السداسي المزدوج لشلافلي ، ويتكون من 12 خطًا من أصل 27 خطًا على سطح مكعب
(15 ₃ )، وهو تكوين كريمونا-ريتشموند ، الذي يتكون من 15 خطًا مكملًا للرقم ستة المزدوج و15 مستوى مماسًا لها
(15 ₄ 20 ₃ )، تكوين كايلي-سالمن
(16 ₆ )، تكوين كومر
(21 ₄ )، تكوين غرونباوم-ريغبي
(27 ₃ )، تكوين غراي
(35 ₄ )، تكوين دانزر ^{[ 4 ]}
(60 ₁₅ )، تكوين كلاين

ازدواجية التكوينات

الثنائي الإسقاطي لتكوين ( $p γ ℓ π$ ) هو تكوين ( $ℓ π p γ$ ) حيث يتم تبادل دوري "النقطة" و"الخط". ولذلك، تأتي أنواع التكوينات في أزواج ثنائية، باستثناء الحالات التي ينتج فيها عن أخذ الثنائي تكوين متماثل. تُسمى هذه الاستثناءات بالتكوينات ذاتية الثنائية ، وفي هذه الحالات يكون $p = ℓ$ . ^{[ 5 ]}

عدد التكوينات ( $ن 3$ )

يُعطى عدد التكوينات غير المتماثلة من النوع ( $n 3$ )، بدءًا من $n = 7 ، بواسطة المتتالية$

1 ، 1 ، 3 ، 10 ، 31 ، 229 ، 2036، 21399، 245342، ... (التسلسل A001403 في OEIS )

تُحسب هذه الأرقام التكوينات كبنى وقوع مجردة، بغض النظر عن إمكانية تحقيقها. ^{[ 6 ]} وكما يناقش غروب (1997) ، فإن تسعة من التكوينات العشرة (10 ₃ )، وجميع التكوينات (11 ₃ ) و(12 ₃ )، قابلة للتحقيق في المستوى الإقليدي، ولكن لكل $n \geq 16$ يوجد على الأقل تكوين واحد غير قابل للتحقيق ( $n 3$ ). ويشير غروب أيضًا إلى خطأ استمر طويلًا في هذا التسلسل: فقد حاولت ورقة بحثية نُشرت عام 1895 سرد جميع التكوينات (12 ₃ )، ووجدت 228 منها، ولكن التكوين رقم 229، وهو تكوين غروب، لم يُكتشف إلا في عام 1988.

إنشاءات التكوينات المتناظرة

توجد عدة تقنيات لإنشاء التكوينات، تبدأ عمومًا من التكوينات المعروفة. بعض أبسط هذه التقنيات تُنشئ تكوينات متناظرة ( p _{γ ).}

التكوينات الدورية

بعض التكوينات ذاتية التناظر ( p _k ) هي تكوينات دورية، ويمكن إنشاؤها بواسطة "خط مولد" واحد، مثل {0,1,3}، حيث تُفهرس الرؤوس من الصفر، وتُعاد الفهارس في الخطوط اللاحقة دوريًا بتردد p . يضمن هذا إنتاج تكوين متناظر عند صحته. ينتج عن خط المولد غير الصحيح تكوينات منفصلة، أو قد يخالف البديهية التي تنص على وجود خط واحد على الأكثر بين أي نقطتين. ^{[ 7 ]}

كل مضلع كتكوين ( p ₂ ) هو تكوين دوري بديهي بخط مولد { 0,1 }. المثلث (3 ₂ ) له الخطوط {{ 0,1 }، {1,2}، {2,0}}.

يمكن تعريف مستوى فانو ( 7 ₃ )، وهو أصغر تكوين متناظر ذاتي مزدوج من الرتبة 3، بواسطة خط المولد { 0,1,3 } على أنه الخطوط {{ 0,1,3 }، {1,2,4}، {2,3,5}، {3,4,6}، {4,5,0}، {5,6,1}، {6,0,2}}. ويمكن تمثيلها أيضًا في جدول التكوين.

(7 ₃ )
0	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	0
3	4	5	6	0	1	2

أصغر تكوين متناظر ذاتي مزدوج من الرتبة 5 هو ( 21 ₅ )، وهو تكوين دوري ويمكن توليده بواسطة الخط { 0، 3، 4، 9، 11 }. ^{[ 8 ]}

(21 ₅ ) جدول التكوين
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	0
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	0	1	2

المستويات الإسقاطية المحدودة

أي مستوى إسقاطي محدود من الرتبة n ، PG(2, n )، هو تكوين من النوع [( n² + n + 1) _n_{+ 1} ]. وبما أن المستويات الإسقاطية معروفة بوجودها لجميع الرتب n التي هي قوى لأعداد أولية، ^فإن هذه التكوينات توفر عائلات لانهائية من التكوينات المتناظرة.

التشاكلات الذاتية لـ PG(2, n )، حيث n = q ^m ( q عدد أولي)، هي ( ^m! )( n³ ^- 1)( n³ ^-n )( n³ - n² )/( n - ¹⁾ . ^[⁹ ]

ليست كل التكوينات المتناظرة قابلة للتحقيق. تحديدًا، يجب أن يكون n عددًا أوليًا أُسّيًا. على سبيل المثال، التكوين PG(2,6) أو (43 ₇ ) غير موجود. ^{[ 10 ]} مع ذلك، قدّم غروب (1990) بناءً يُبيّن أنه بالنسبة لـ $k \geq 3$ ، يوجد تكوين ( $p k$ ) لجميع $قيم p \geq 2 ℓ k + 1$ ، حيث $ℓ k$ هو طول مسطرة غولومب المثلى من الرتبة $k$ .

تكوينات غير تقليدية

أبعاد أعلى

يمكن تعميم مفهوم التكوين ليشمل أبعادًا أعلى، ^{[ 11 ]} على سبيل المثال، النقاط والخطوط أو المستويات في الفضاء . في مثل هذه الحالات، يمكن تخفيف القيود التي تمنع انتماء نقطتين إلى أكثر من خط واحد، لأنه من الممكن أن تنتمي نقطتان إلى أكثر من مستوى واحد.

ومن التكوينات ثلاثية الأبعاد البارزة تكوين موبيوس ، الذي يتكون من هرمين رباعيي الأوجه متداخلين، وتكوين راي ، الذي يتكون من 12 نقطة و12 مستوى، مع ست نقاط لكل مستوى وستة مستويات لكل نقطة، وتكوين غراي الذي يتكون من شبكة 3×3×3 من 27 نقطة و27 خطًا متعامدًا يمر بها، وتكوين شلافلي المزدوج ذو الستة ، وهو تكوين يحتوي على 30 نقطة و12 خطًا، خطين لكل نقطة، وخمس نقاط لكل خط.

التكوينات الطوبولوجية

يُطلق على التكوين في المستوى الإسقاطي الذي يتم تحقيقه بواسطة النقاط والخطوط الزائفة اسم التكوين الطوبولوجي. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، من المعروف أنه لا توجد تكوينات نقطية خطية (19 ₄ )، ومع ذلك، يوجد تكوين طوبولوجي بهذه المعلمات.

تكوينات النقاط والدوائر

وهناك تعميم آخر لمفهوم التكوين يتعلق بتكوينات النقاط والدوائر، ومن الأمثلة البارزة على ذلك تكوين ميكيل (8 ₃ 6 ₄ ) . ^[²^]

انظر أيضاً

تكوين بيرلز ، وهو مجموعة من 9 نقاط و9 خطوط لا تتساوى جميعها في عدد مرات التقاطع مع بعضها البعض

ملحوظات

↑ في الأدبيات، يتم استخدام مصطلحات التكوين الإسقاطي ( هيلبرت وكوهن -فوسن 1952 ) والتكوين التكتيكي من النوع (1،1) ( ديمبوسكي 1968 ) أيضًا لوصف التكوينات كما هو محدد هنا.
1 2 3 غرونباوم 2009 .
↑ كيلي 1986 .
^ جرونباوم 2008 ، بوبين، جيفاي وبيسانسكي 2015
↑ كوكسيتر 1999 ، الصفحات 106-149
↑ بيتن، برينكمان وبيسانسكي 2000 .
↑ غرونباوم (2009)، ص 67
↑ غرونباوم (2009)، ص 234
↑ الهندسة المحدودة ، بقلم بيتر ديمبوفسكي (1968)
↑ سيكون هذا التكوين مستوى إسقاطي من الرتبة 6 وهو غير موجود وفقًا لنظرية بروك-رايزر .
↑ جيفاي 2014 .

مراجع

بيرمان، ليا دبليو. (17 نوفمبر 2006)، " التكوينات المتحركة ( ن ₄ )" ، المجلة الإلكترونية للتوافقية ، 13 (1): R104، doi : 10.37236/1130.
بيتن، أ؛ برينكمان، ج؛ بيسانسكي، ت . (2000)، "حساب التكوينات المتناظرة"، الرياضيات التطبيقية المنفصلة ، 99 ( 1-3 ): 331-338 ، doi : 10.1016/S0166-218X(99)00143-2.
بوبين، ماركو. جيفاي، غابور؛ Pisanski، T. (2015)، “إعادة النظر في تكوين Danzer”، التقدم في الهندسة ، 15 (4): 393–408 ، أرخايف : 1301.1067 ، دوى : 10.1515/advgeom-2015-0019.
كوكسيتر، إتش إس إم (1999)، "التكوينات ذاتية الازدواجية والرسوم البيانية المنتظمة"، جمال الهندسة ، دوفر، رقم ISBN 0-486-40919-8
ديمبوفسكي ، بيتر (1968)، الهندسة المحدودة ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ، الفرقة 44، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 3-540-61786-8، MR 0233275
جيفاي، غابور (2014)، "إنشاءات لتكوينات النقاط والخطوط الكبيرة (nk ₎ " ، آرس ماثيماتيكا كونتمبورانيا ، 7 : 175-199، doi : 10.26493/1855-3974.270.daa.
غروب، هارالد ( 1990)، "حول وجود وعدم وجود التكوينات n _k "، مجلة التوافقية وعلوم نظم المعلومات ، 15 : 34-48
غروب، هارالد (1997)، "التكوينات وتحقيقها"، الرياضيات المتقطعة ، 174 ( 1-3 ): 137-151 ، doi : 10.1016/S0012-365X(96)00327-5.
غرونباوم، برانكو ( 2006)، "تكوينات النقاط والخطوط"، في ديفيس، تشاندلر؛ إيلرز، إريك دبليو (محرران)، إرث كوكسيتر: انعكاسات وإسقاطات ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 179-225 .
غرونباوم، برانكو (2008)، "تأملات في مثال من دانزر"، المجلة الأوروبية للتوافقية ، 29 (8): 1910-1918، doi : 10.1016/j.ejc.2008.01.004.
غرونباوم، برانكو (2009)، تكوينات النقاط والخطوط ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد 103، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ISBN 978-0-8218-4308-6.
هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952)، الهندسة والخيال ( الطبعة الثانية)، تشيلسي، ص 94-170 ، ISBN 0-8284-1087-9{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
كيلي، إل إم (1986)، "حل لمسألة سيلفستر-غالاي لـ جيه بي سير"، الهندسة المنفصلة والحسابية ، 1 (2): 101-104 ، doi : 10.1007/BF02187687.
بيسانسكي، توماز ؛ سيرفاتيوس، بريجيت (2013)، التكوينات من وجهة نظر رسومية ، سبرينغر، ISBN 9780817683641.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو ، "التكوين" ، عالم الرياضيات

[1] في الأدبيات، يتم استخدام مصطلحات التكوين الإسقاطي ( هيلبرت وكوهن -فوسن 1952 ) والتكوين التكتيكي من النوع (1،1) ( ديمبوسكي 1968 ) أيضًا لوصف التكوينات كما هو محدد هنا.

[FOOTNOTEGrünbaum2009-2] 1 2 3 غرونباوم 2009 .

[FOOTNOTEKelly1986-3] كيلي 1986 .

[4] جرونباوم 2008 ، بوبين، جيفاي وبيسانسكي 2015

[5] كوكسيتر 1999 ، الصفحات 106-149

[FOOTNOTEBettenBrinkmannPisanski2000-6] بيتن، برينكمان وبيسانسكي 2000 .

[7] غرونباوم (2009)، ص 67

[8] غرونباوم (2009)، ص 234

[9] الهندسة المحدودة ، بقلم بيتر ديمبوفسكي (1968)

[10] سيكون هذا التكوين مستوى إسقاطي من الرتبة 6 وهو غير موجود وفقًا لنظرية بروك-رايزر .

[FOOTNOTEGévay2014-11] جيفاي 2014 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

)

[ 10 ]

[ 11 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	0
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	0	1	2

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	0
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	0	1	2