سطح مكعب

في الرياضيات ، السطح المكعب هو سطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد يُعرَّف بمعادلة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة. تُعدّ الأسطح المكعبة أمثلة أساسية في الهندسة الجبرية . تُبسَّط النظرية بالعمل في الفضاء الإسقاطي بدلًا من الفضاء الأفيني ، ولذلك تُدرس الأسطح المكعبة عمومًا في الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد.${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$تصبح النظرية أكثر اتساقًا بالتركيز على الأسطح فوق الأعداد المركبة بدلًا من الأعداد الحقيقية ؛ لاحظ أن السطح المركب له بُعد حقيقي يساوي 4. ومن الأمثلة البسيطة على ذلك سطح فيرما المكعب.

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0}$

في${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$. تنطبق العديد من خصائص الأسطح المكعبة بشكل عام على أسطح ديل بيزو .

تتمثل إحدى السمات الأساسية للأسطح المكعبة الملساء X فوق حقل مغلق جبريًا في أنها جميعًا نسبية ، كما أوضح ألفريد كليبش في عام 1866. ^{[ 1 ]} أي أن هناك تناظرًا أحاديًا مُعرَّفًا بواسطة دوال نسبية بين المستوى الإسقاطي${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ناقص مجموعة جزئية ذات بُعد أقل، و X ناقص مجموعة جزئية ذات بُعد أقل. وبشكل أعم، فإن كل سطح مكعب غير قابل للاختزال (قد يكون شاذًا) فوق حقل مغلق جبريًا يكون كسريًا ما لم يكن المخروط الإسقاطي فوق منحنى مكعب. ^{[ 2 ]} في هذا الصدد، تُعد الأسطح المكعبة أبسط بكثير من الأسطح الملساء من الدرجة 4 على الأقل في${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$والتي لا تكون نسبية أبدًا. في خاصية الصفر، تكون الأسطح الملساء من الدرجة 4 على الأقل${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$[ 3 ]^​​​

وبشكل أقوى، أظهر كليبش أن كل سطح مكعب أملس في${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$يكون التضخيم على حقل مغلق جبريًا متماثلًا مع تفجير${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$عند 6 نقاط. ^{[ 4 ]} ونتيجة لذلك، فإن كل سطح مكعب أملس على الأعداد المركبة يكون متماثلًا مع المجموع المتصل${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})}$حيث تشير علامة الطرح إلى تغيير في الاتجاه . وعلى العكس من ذلك، فإن تكبير${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$يكون السطح عند ست نقاط متماثلاً مع سطح مكعب إذا وفقط إذا كانت النقاط في وضع عام، أي لا تقع أي ثلاث نقاط على خط مستقيم واحد، ولا تقع النقاط الست جميعها على قطع مخروطي . وباعتباره متعدد شعب معقد (أو تنوع جبري )، فإن السطح يعتمد على ترتيب تلك النقاط الست.

تبدأ معظم براهين العقلانية للأسطح المكعبة بإيجاد خط على السطح. (في سياق الهندسة الإسقاطية، خط في${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$متماثل مع${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$.) وبشكل أدق، أثبت آرثر كايلي وجورج سالمون في عام 1849 أن كل سطح مكعب أملس فوق حقل مغلق جبريًا يحتوي على 27 خطًا بالضبط. ^{[ 5 ]} هذه سمة مميزة للأسطح المكعبة: فالسطح التربيعي الأملس (من الدرجة 2) مغطى بمجموعة متصلة من الخطوط، بينما معظم الأسطح من الدرجة 4 على الأقل في${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$لا تحتوي على أي خطوط. هناك تقنية أخرى مفيدة لإيجاد الخطوط الـ 27 تتضمن حساب شوبرت الذي يحسب عدد الخطوط باستخدام نظرية تقاطع غراسمانيان للخطوط على${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$.

عند تغيير معاملات سطح مكعب معقد أملس، تتحرك الخطوط الـ 27 بشكل مستمر. ونتيجة لذلك، تحدد حلقة مغلقة في عائلة الأسطح المكعبة الملساء تبديلاً للخطوط الـ 27. تُسمى مجموعة تبديلات الخطوط الـ 27 الناتجة بهذه الطريقة مجموعة المونودرومي لعائلة الأسطح المكعبة. وكان من الاكتشافات البارزة في القرن التاسع عشر أن مجموعة المونودرومي ليست تافهة وليست المجموعة المتناظرة الكاملة.${\displaystyle S_{27}}$هي مجموعة من الرتبة 51840 ، تعمل بشكل متعدٍّ على مجموعة الخطوط. ^{[ 4 ]} وقد تم التعرف على هذه المجموعة تدريجيًا (من قبل إيلي كارتان (1896)، وآرثر كوبل (1915-1917)، وباتريك دو فال (1936)) على أنها مجموعة ويل من النوع${\displaystyle E_{6}}$، وهي مجموعة تتولد عن طريق الانعكاسات على فضاء متجهي حقيقي سداسي الأبعاد، وترتبط بمجموعة لي${\displaystyle E_{6}}$من البعد 78. ^{[ 4 ]}

يمكن وصف المجموعة نفسها من الرتبة 51840 بمصطلحات توافقية، باعتبارها مجموعة التشاكل الذاتي لمخطط الخطوط الـ 27، حيث يمثل كل خط رأسًا، ويمثل كل خط ضلعًا عند التقائهما. ^{[ 6 ]} تم تحليل هذا المخطط في القرن التاسع عشر باستخدام مخططات فرعية مثل مخطط شلافلي ذي الستة المزدوجة . يُعرف المخطط التكميلي (الذي يمثل كل خطين منفصلين ضلعًا) باسم مخطط شلافلي .

يمكن حل العديد من المسائل المتعلقة بالأسطح المكعبة باستخدام التوافقية الخاصة بـ${\displaystyle E_{6}}$نظام الجذر . على سبيل المثال، يمكن تحديد الخطوط الـ 27 بأوزان التمثيل الأساسي لمجموعة لي${\displaystyle E_{6}}$يمكن وصف مجموعات النقاط الشاذة المحتملة التي يمكن أن تحدث على سطح مكعب من حيث الأنظمة الفرعية لـ${\displaystyle E_{6}}$نظام الجذر. ^{[ 7 ]} أحد تفسيرات هذه العلاقة هو أن${\displaystyle E_{6}}$تنشأ الشبكة كمكمل متعامد للفئة المضادة للكانونية${\displaystyle -K_{X}}$في مجموعة بيكارد${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}}$، بصيغتها التقاطعية (المستمدة من نظرية تقاطع المنحنيات على سطح). بالنسبة لسطح مكعب معقد أملس، يمكن أيضًا تعريف شبكة بيكارد بمجموعة التماثل .${\displaystyle H^{2}(X,\mathbf {Z} )}$.

نقطة إيكاردت هي نقطة تلتقي فيها 3 من أصل 27 خطًا. لا تحتوي معظم الأسطح المكعبة على نقطة إيكاردت، ولكن توجد هذه النقاط على مجموعة فرعية ذات بُعد مشترك -1 من عائلة جميع الأسطح المكعبة الملساء. ^{[ 8 ]}

بافتراض وجود علاقة بين سطح مكعب على X وتكبير لـ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$عند 6 نقاط في الوضع العام، يمكن اعتبار الخطوط الـ 27 على X على النحو التالي: المنحنيات الستة الاستثنائية الناتجة عن التضخيم، والتحويلات الثنائية النسبية للخطوط الـ 15 التي تمر بأزواج من النقاط الـ 6 في${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$والتحويلات الثنائية النسبية للمخروطات الستة التي تحتوي على جميع النقاط الست باستثناء نقطة واحدة. ^{[ 9 ]} يمكن اعتبار سطح مكعب معين بمثابة تكبير لـ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$بأكثر من طريقة واحدة (في الواقع، بـ 72 طريقة مختلفة)، وبالتالي فإن الوصف على أنه تكبير لا يكشف عن التناظر بين جميع الخطوط الـ 27.

العلاقة بين الأسطح المكعبة و${\displaystyle E_{6}}$يُعمم نظام الجذور ليشمل علاقة بين جميع أسطح ديل بيزو وأنظمة جذورها. وهذا أحد تصنيفات ADE العديدة في الرياضيات. وبمتابعة هذه المقارنات، قدمت فيرا سيرغانوفا وأليكسي سكوروبوغاتوف علاقة هندسية مباشرة بين الأسطح المكعبة ومجموعة لي.${\displaystyle E_{6}}$[ ^{10 ]​}

في الفيزياء، يمكن ربط الخطوط الـ 27 بالشحنات الـ 27 الممكنة لنظرية إم على سطح حلقي سداسي الأبعاد (6 زخمات؛ 15 غشاءً ؛ 6 أغشية خماسية )، ومن ثم تعمل المجموعة E6 _{بشكل طبيعي كمجموعة} ازدواجية U. تُعرف هذه العلاقة بين أسطح ديل بيزو ونظرية إم على الأسطح الحلقية بالازدواجية الغامضة .

السطح المكعب المعقد الأملس في${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$يُعد سطح فيرما المكعب، الذي يُعرَّف بواسطة، السطح الذي يمتلك أكبر مجموعة تماثل ذاتي.

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.}$

مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها هي امتداد${\displaystyle 3^{3}:S_{4}}$، من الأمر 648. ^{[ 11 ]}

السطح المكعب الأملس التالي الأكثر تناظرًا هو سطح كليبش ، والذي يمكن تعريفه في${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$باستخدام المعادلتين

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها هي المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{5}}$، من الرتبة 120. بعد تغيير خطي معقد للإحداثيات، يمكن أيضًا تعريف سطح كليبيش بالمعادلة

${\displaystyle x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}x=0}$

في${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$.

من بين الأسطح المكعبة المعقدة المفردة، يعتبر سطح كايلي المكعب العقدي هو السطح الفريد الذي يحتوي على أكبر عدد من العقد ، 4:

${\displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx=0.}$

مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها هي${\displaystyle S_{4}}$، من الرتبة 24.

على عكس الحالة المعقدة، فإن فضاء الأسطح المكعبة الملساء على الأعداد الحقيقية غير متصل في الطوبولوجيا الكلاسيكية (المبنية على طوبولوجيا R ). وقد حدد لودفيج شلافلي (1863) وفيليكس كلاين (1865) وإتش جي زويثن (1875) مكوناته المتصلة (أي تصنيف الأسطح المكعبة الحقيقية الملساء حتى التماثل ). ^{[ 12 ]} وبالتحديد، توجد 5 فئات تماثل للأسطح المكعبة الحقيقية الملساء X في${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$، وتتميز بطوبولوجيا فضاء النقاط الحقيقية${\displaystyle X(\mathbf {R} )}$فضاء النقاط الحقيقية متماثل شكليًا مع أي من${\displaystyle W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}}$أو الاتحاد المنفصل لـ${\displaystyle W_{1}}$والكرة ثنائية الأبعاد، حيث${\displaystyle W_{r}}$يرمز إلى المجموع المتصل لـ r نسخة من المستوى الإسقاطي الحقيقي${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$في هذه الحالات الخمس، يكون عدد الخطوط الحقيقية الموجودة في X هو 27 أو 15 أو 7 أو 3 أو 3 على التوالي.

يكون السطح المكعب الحقيقي الأملس منطقيًا على R إذا وفقط إذا كان فضاء نقاطه الحقيقية متصلًا، وبالتالي في الحالات الأربع الأولى من الحالات الخمس السابقة. ^{[ 13 ]}

متوسط ​​عدد الخطوط الحقيقية على X هو${\displaystyle 6{\sqrt {2}}-3}$^{[ 14 ]} عندما يتم أخذ عينة من متعددة الحدود المحددة لـXبشكل عشوائي من مجموعة غاوسية المستحثة بواسطةالضرب الداخلي لبومبيري.

يكون سطحان مكعبان أملسان متماثلين كمتنوعات جبرية إذا وفقط إذا كانا متكافئين بواسطة تشاكل خطي ما.${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$تُقدّم نظرية الثوابت الهندسية (GIT) فضاءً معياريًا للأسطح المكعبة الملساء، مع نقطة واحدة لكل فئة تماثل من فئات الأسطح المكعبة الملساء. هذا الفضاء المعياري ذو بُعد 4. وبشكل أدق، هو مجموعة فرعية مفتوحة من الفضاء الإسقاطي الموزون.${\displaystyle \mathbb {P} (1,2,3,4,5)}$، بواسطة سالمون وكلبيش (1860). على وجه الخصوص، هو فضاء رباعي الأبعاد منطقي. ^{[ 15 ]} يمكن ضغط فضاء المعاملات هذا إلى${\displaystyle \mathbb {P} (1,2,3,4,5)}$تستخدم هذه الطريقة حاصل قسمة GIT لجميع الأشكال المكعبة متعددة الاستقرار في 4 متغيرات. تمثل النقاط الإضافية إما أسطحًا مكعبة ذات عقد ( نقاط تفرد دو فال من النوع${\displaystyle A_{1}}$) أو السطح المكعب الفريد بثلاثة${\displaystyle A_{2}}$^{[ 16 ]} على وجه الخصوص ، هذا التكثيف متماثل مع فضاء K-modului للأسطح المكعبة. ^{[ 17 ]}

تم النظر في المزيد من عمليات ضغط المعاملات. من خلال وضع علامة على سطح $S$، يتم تسمية منحنياته (-1)، مما يسمح بأخذ الاتحاد${\displaystyle B}$من بين جميع المنحنيات (-1) واسأل متى يكون الزوج${\displaystyle (S,B)}$مستقر وفقًا لـ KSBA . درس هاكينج وكيل وتيفيلف هذا التكثيف للأسطح المكعبة وأسطح ديل بيزو الأخرى . ^{[ 18 ]}

ثمة نهج مختلف يأخذ في الاعتبار الأزواج${\displaystyle (S,D)}$أين${\displaystyle S}$هو سطح مكعب و${\displaystyle D}$هو قاسم مضاد للقواعد. باستخدام نظرية التكامل الهندسي (GIT)، يمكن توفير 11 تكثيفًا غير متماثل لهذه الأزواج. ^{[ 19 ]} هذه التكثيفات متماثلة مع معاملات K لهذه الأزواج اللوغاريتمية، على غرار حالة الأسطح. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

يمكن وصف الخطوط على سطح مكعب X فوق حقل مغلق جبريًا بشكل جوهري، دون الرجوع إلى تضمين X في${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$إنها بالضبط المنحنيات (−1) على X ، أي المنحنيات المتماثلة مع${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$التي لها تقاطع ذاتي يساوي -1. كذلك، فإن فئات الخطوط في شبكة بيكارد لـ X (أو ما يعادلها، مجموعة فئات القواسم ) هي بالضبط العناصر u من Pic( X ) التي تحقق${\displaystyle u^{2}=-1}$و${\displaystyle -K_{X}\cdot u=1}$(يستخدم هذا تقييد حزمة خط المستوى الفائق O(1) على${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$إلى X هي حزمة الخط غير القانونية${\displaystyle -K_{X}}$(باستخدام صيغة الإضافة .)

بالنسبة لأي تنوع إسقاطي X ، فإن مخروط المنحنيات يعني المخروط المحدب الذي تشكله جميع المنحنيات في X (في الفضاء المتجهي الحقيقي)${\displaystyle N_{1}(X)}$من دورات أحادية بتردد التكافؤ العددي، أو في مجموعة التماثل${\displaystyle H_{2}(X,\mathbf {R} )}$إذا كان الحقل الأساسي هو الأعداد المركبة). بالنسبة لسطح مكعب، يمتد مخروط المنحنيات بواسطة 27 خطًا. ^{[ 22 ]} على وجه الخصوص، هو مخروط متعدد السطوح منطقي في${\displaystyle N_{1}(X)\cong \mathbf {R} ^{7}}$مع مجموعة تناظر كبيرة، مجموعة ويل لـ${\displaystyle E_{6}}$يوجد وصف مشابه لمخروط المنحنيات لأي سطح من أسطح ديل بيزو.

لا يشترط أن يكون السطح المكعب الأملس X فوق حقل k غير مغلق جبريًا سطحًا نسبيًا فوق k . وكحالة قصوى، توجد أسطح مكعبة ملساء فوق الأعداد النسبية Q (أو الأعداد p-adic).${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$) بدون نقاط عقلانية ، وفي هذه الحالة، من المؤكد أن X ليس عقلانيًا. ^{[ 23 ]} إذا كانت X ( k ) غير فارغة، فإن X على الأقل أحادي العقلانية على k ، وفقًا لبنيامينو سيغري ويانوس كولار . ^{[ 24 ]} بالنسبة لـ k اللانهائي، فإن أحادية العقلانية تعني أن مجموعة النقاط k- العقلانية كثيفة زاريسكي في X.

تقوم زمرة غالوا المطلقة لـ k بتبديل الخطوط الـ 27 لـ X فوق الإغلاق الجبري${\displaystyle {\overline {k}}}$من k (عبر مجموعة فرعية من مجموعة ويل لـ${\displaystyle E_{6}}$إذا كان أحد مدارات هذا الفعل يتكون من خطوط منفصلة، ​​فإن X هو تضخيم لسطح ديل بيزو "أبسط" فوق k عند نقطة مغلقة . وإلا، فإن X له عدد بيكارد 1. (مجموعة بيكارد لـ X هي مجموعة جزئية من مجموعة بيكارد الهندسية) .${\displaystyle \operatorname {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}}$في الحالة الأخيرة، أثبت سيغري أن X ليس عددًا نسبيًا أبدًا. وبشكلٍ أدق، برهن يوري مانين على بيان صلابة ثنائي النسب: سطحان مكعبان أملسان ذوا عدد بيكارد 1 على حقل مثالي k يكونان ثنائيي النسب إذا وفقط إذا كانا متماثلين. ^{[ 25 ]} على سبيل المثال، تُعطي هذه النتائج العديد من الأسطح المكعبة على Q التي تكون أحادية النسب ولكنها ليست نسبية.

على عكس الأسطح المكعبة الملساء التي تحتوي على 27 خطًا، تحتوي الأسطح المكعبة الشاذة على عدد أقل من الخطوط. ^{[ 26 ]} علاوة على ذلك، يمكن تصنيفها حسب نوع الشذوذ الذي ينشأ في شكلها الطبيعي. ويتم تصنيف هذه الشذوذات باستخدام مخططات دينكين .

تصنيف

سطح مكعب مفرد طبيعي${\displaystyle X}$في${\displaystyle {\textbf {P}}_{\mathbb {C} }^{3}}$باستخدام الإحداثيات المحلية${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]}$يُقال إن الصيغة في صورتها الطبيعية إذا كانت معطاة بواسطة${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$. اعتمادًا على نوع التفرد${\displaystyle X}$ يحتوي على، وهو متماثل مع السطح الإسقاطي في${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$مقدم من${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$أين${\displaystyle f_{2},f_{3}}$كما هو موضح في الجدول أدناه. هذا يعني أنه يمكننا الحصول على تصنيف لجميع الأسطح المكعبة المفردة. معلمات الجدول التالي هي كما يلي:${\displaystyle a,b,c}$ثلاثة عناصر متميزة من${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$، المعايير${\displaystyle d,e}$في${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1\}}$و${\displaystyle u}$هو عنصر من${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$لاحظ أن هناك سطحين مكعبين منفردين مختلفين مع نقطة تفرد.${\displaystyle D_{4}}$[ ^{27 ]​}

تصنيف الأسطح المكعبة المفردة حسب نوع التفرد ^{[ 27 ]}

التفرد	${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}$	${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})}$
${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-ax_{1})(-x_{0}+(b+1)x_{1}-bx_{2})(x_{1}-cx_{2})}$
${\displaystyle 2A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-2x_{1}+x_{2})(x_{0}-ax_{1})(x_{1}-bx_{2})}$
${\displaystyle A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})}$
${\displaystyle 3A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})}$
${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-2x_{1}+x_{2})}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{2}(x_{0}-x_{1})}$
${\displaystyle 4A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(x_{1}-x_{2})x_{1}}$
${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}x_{1}}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}^{2}}$
${\displaystyle A_{1}2A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}}$
${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}^{3}}$
${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(dx_{0}+ex_{1}+dex_{2})}$
${\displaystyle 2A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}(x_{1}+x_{2})(-x_{1}+dx_{2})}$
${\displaystyle 3A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}^{3}}$
${\displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(x_{0}-ux_{1})}$
${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}x_{2}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}}$
${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}}$
${\displaystyle D_{4}(1)}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}}$
${\displaystyle D_{4}(2)}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}}$
${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}}$
${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{3}}$
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}-x_{0}(x_{0}-x_{2})(x_{0}-ax_{2})}$

في الشكل الطبيعي، كلما كان السطح مكعبًا${\displaystyle X}$يحتوي على واحد على الأقل${\displaystyle A_{1}}$التفرد، سيكون له${\displaystyle A_{1}}$نقطة التفرد عند${\displaystyle [0:0:0:1]}$[ ^{26 ]​}

الخطوط على الأسطح المكعبة المفردة

وفقًا لتصنيف الأسطح المكعبة المفردة، يوضح الجدول التالي عدد الخطوط التي يحتويها كل سطح.

الخطوط على الأسطح المكعبة المفردة ^{[ 27 ]}

التفرد	${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle 2A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle 3A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle 4A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle A_{1}2A_{2}}$	${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle 2A_{2}}$	${\displaystyle 3A_{2}}$	${\displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle D_{4}}$	${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$
عدد الأسطر	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	${\displaystyle \infty }$

مجموعات التشاكل الذاتي للأسطح المكعبة المفردة بدون معلمات

تماثل ذاتي لسطح مكعب مفرد طبيعي${\displaystyle X}$هو تقييد التشاكل الذاتي للفضاء الإسقاطي${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$ل${\displaystyle X}$تحافظ هذه التشاكلات الذاتية على النقاط الشاذة. علاوة على ذلك، فهي لا تُبدّل الشذوذات من أنواع مختلفة. إذا احتوى السطح على شذوذين من النوع نفسه، فقد يُبدّل التشاكل الذاتي بينهما. تُشكّل مجموعة التشاكلات الذاتية على سطح مكعب زمرةً تُسمى زمرة التشاكلات الذاتية . يُبيّن الجدول التالي جميع زمر التشاكلات الذاتية للأسطح المكعبة الشاذة التي لا تحتوي على مُعاملات.

مجموعات التماثل الذاتي للأسطح المكعبة المفردة بدون معلمات ^{[ 27 ]}

التفرد	مجموعة التماثل الذاتي لـ${\displaystyle X}$
${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle 4A_{1}}$	${\displaystyle \Sigma _{4}}$، المجموعة المتناظرة من الرتبة${\displaystyle 4!}$
${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle A_{1}2A_{2}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle \mathbb {C} \rtimes \mathbb {C} ^{\times }}$
${\displaystyle 3A_{2}}$	${\displaystyle (\mathbb {C} )^{2}\rtimes \Sigma _{3}}$
${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$
${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle (\mathbb {C} \rtimes \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle D_{4}(1)}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\rtimes \Sigma _{3}}$
${\displaystyle D_{4}(2)}$	${\displaystyle \Sigma _{3}}$
${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$
${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathbb {C} \rtimes \mathbb {C} ^{\times }}$

• السطح الجبري
• تصنيف إنريكي-كودايرا
• صنف فانو
• حساب التفاضل والتكامل لشوبرت

• بروس، جيه دبليو؛ وول، سي تي سي (1979)، "حول تصنيف الأسطح المكعبة"، مجلة جمعية لندن الرياضية ، 19 (2): 245-256 ، doi : 10.1112/jlms/s2-19.2.245 ، ISSN 0024-6107 ، MR 0533323  
• كايلي، آرثر ( 1849)، "حول المستويات المماسية الثلاثية للأسطح من الرتبة الثالثة" ، مجلة كامبريدج ودبلن للرياضيات ، 4 : 118-138
• كايلي، آرثر (1869)، "مذكرة حول الأسطح المكعبة"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 159 ، الجمعية الملكية: 231-326 ، doi : 10.1098/rstl.1869.0010 ، ISSN 0080-4614 ، JSTOR 108997  
• ديغتاريوف، أ. إ.؛ خارلاموف، ف. م. (2000)، "الخواص الطوبولوجية للأصناف الجبرية الحقيقية: منهج روخلين."، مجلة الدراسات الرياضية الروسية ، 55 (4): 735-814 ، arXiv : math/0004134 ، doi : 10.1070/RM2000v055n04ABEH000315 ، MR 1786731 ، S2CID 250775854  
• دولغاتشيف، إيغور (2012)، الهندسة الجبرية الكلاسيكية: رؤية حديثة ، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/CBO9781139084437 ، ISBN 9781139084437MR 2964027​ 
• جالاردو، باتريسيو؛ مارتينيز جارسيا، جيسوس (2019). "وحدات الأسطح المكعبة ومقسماتها المضادة للقانون" . القس مات. كومبلوت . 32 : 853– 873. أرخايف : 1607.03697 . دوى : 10.1007/s13163-019-00298-y . تم الاسترجاع في 29 سبتمبر 2025 .
• غاياردو، باتريسيو؛ مارتينيز-غارسيا، خيسوس؛ سبوتي، كريستيانو (2020). "تطبيقات طريقة استمرارية المعاملات على الأزواج المستقرة من الدرجة K اللوغاريتمية" . مجلة جمعية لندن الرياضية ، 103 : 729-759 . arXiv : 1811.00088 . doi : 10.1112/jlms.12390 . تاريخ الاسترجاع: 29 سبتمبر 2025 .
• هاكينغ، بول؛ كيل، شون؛ تيفيلف، جينيا (2009). "التكثيفات الزوجية المستقرة، والاستوائية، واللوغاريتمية القانونية لفضاءات المعاملات لأسطح ديل بيزو" . مجلة الرياضيات ، 178 (1): 173-227. arXiv : math/0702505 . doi : 10.1007/s00222-009-0199-1 . تاريخ الاسترجاع: 29 سبتمبر 2025 .
• روبن هارتشورن (1997) [1977]. الهندسة الجبرية . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-90244-9MR 0463157 .​ 
• هندرسون، أرشيبالد (2015) [1911]، الخطوط السبعة والعشرون على السطح المكعب ، سلسلة كامبريدج في الرياضيات، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-1107493513، JFM 42.0661.01 
• هولزر، ستيفان؛ لابس، أوليفر (2006)، "توضيح تصنيف الأسطح المكعبة الحقيقية" (ملف PDF) ، الهندسة الجبرية والنمذجة الهندسية ، سبرينغر، ص 119-134 ، MR 2279847  
• إسكوفسكيخ، ف. أ. (2001) [1994]، "السطح الفائق المكعب" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• كولار، يانوس ؛ سميث، كارين إي .؛ كورتي، أليسيو (2004)، الأصناف العقلانية وشبه العقلانية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/CBO9780511734991 ، ISBN 978-0-521-83207-6، MR 2062787 ، S2CID 117569533  
• مانين ، يوري إيفانوفيتش (1986)، الأشكال المكعبة ، مكتبة شمال هولندا الرياضية، المجلد.  4 (  الطبعة الثانية)، أمستردام: شمال هولندا، ISBN 978-0-444-87823-6، MR 0833513 
• مارتينيز جارسيا، يسوع؛ بابازاشاريو، ثيودوروس ستيليانوس؛ تشاو، جونيان (2024). “K-moduli لأزواج log del Pezzo وأشكال مختلفة من GIT”. أرخايف : 2406.20008 [ math.AG ].
• موكاي، شيغيرو (2003). مقدمة في الثوابت والمعاملات . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.  503 صفحة + xx صفحة تمهيدية. ISBN 0-521-80906-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 سبتمبر 2025 .
• أوداكا، يوجي؛ سبوتي، كريستيانو؛ شمس، سونغ (2016). “المساحات المعيارية المدمجة لأسطح Del Pezzo ومقاييس Kähler-Einstein” . J. جيوم التفاضلية . 102 (1): 127– 172. دوى : 10.4310/jdg/1452002879 . تم الاسترجاع في 29 سبتمبر 2025 .
• ريد، مايلز (1988). الهندسة الجبرية للمرحلة الجامعية . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-35662-6MR 0982494 .​ 
• شلافلي، لودفيج (1863)، "حول توزيع الأسطح من الرتبة الثالثة إلى أنواع، بالإشارة إلى غياب أو وجود نقاط مفردة، وحقيقة خطوطها"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 153 ، الجمعية الملكية: 193-241 ، doi : 10.1098/rstl.1863.0010 ، ISSN 0080-4614 ، JSTOR 108795  
• سيغري، بنيامينو (1942)، الأسطح المكعبة غير المنفردة ، مطبعة جامعة أكسفورد ، MR 0008171 
• سيرغانوفا، فيرا ؛ سكوروبوغاتوف، أليكسي (2007)، "أسطح ديل بيزو ونظرية التمثيل"، الجبر ونظرية الأعداد ، 1 (4): 393-419 ، arXiv : math/0611737 ، doi : 10.2140/ant.2007.1.393 ، MR 2368955 
• سيلهول، روبرت (1989)، الأسطح الجبرية الحقيقية ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1392، سبرينغر-فيرلاغ، doi : 10.1007/BFb0088815 ، ISBN 3-540-51563-1، MR 1015720 

• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "السطح المكعب" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
• خطوط على سطح مكعب من تصميم ريان هوبان (مختبر الهندسة التجريبية في جامعة ميريلاند)، استنادًا إلى عمل ويليام جولدمان، مشروع عروض وولفرام .
• قرص DVD للأسطح المكعبة (54 رسماً متحركاً للأسطح المكعبة، يمكن تنزيلها بشكل منفصل أو كقرص DVD)