حساب التفاضل والتكامل لشوبرت

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 149 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعدّ حساب شوبيرت [ 1 ] فرعًا من الهندسة الجبرية، قدّمه هيرمان شوبيرت في القرن التاسع عشر لحلّ مسائل عدّ مختلفة في الهندسة الإسقاطية ، ولذا يُنظر إليه كجزء من الهندسة التعدادية . وكان الهدف من المسألة الخامسة عشرة لهيلبرت هو إرساء أساس أكثر دقة له . ويرتبط هذا الحساب بالعديد من المفاهيم الحديثة، مثل الفئات المميزة ، ولا تزال جوانبه الخوارزمية وتطبيقاته تحظى باهتمام كبير. يُستخدم مصطلح حساب شوبيرت أحيانًا للدلالة على الهندسة التعدادية للفضاءات الجزئية الخطية لفضاء متجهي، وهو ما يُعادل تقريبًا وصف حلقة التماثل لفضاءات غراسمان. ويُستخدم أحيانًا للدلالة على الهندسة التعدادية الأكثر عمومية للأصناف الجبرية التي تُمثّل فضاءات متجانسة لزمر لي بسيطة. وبشكل أعم، يُفهم حساب شوبيرت أحيانًا على أنه يشمل دراسة مسائل مماثلة في نظريات التماثل المعممة .

الكائنات التي قدمها شوبيرت هي خلايا شوبيرت ، [ 2 ] وهي مجموعات مغلقة محليًا في فضاء غراسماني مُعرَّف بشروط وقوع فضاء فرعي خطي في فضاء إسقاطي مع علامة معينة . لمزيد من التفاصيل، انظر إلى تنوع شوبيرت .

تُتيح نظرية التقاطع [ 3 ] لهذه الخلايا، والتي يُمكن اعتبارها بنية الضرب في حلقة التماثل لـ Grassmannian، والمؤلفة من فئات التماثل المرتبطة بها ، تحديد الحالات التي ينتج عنها تقاطع الخلايا مجموعة محدودة من النقاط. ومن النتائج الرئيسية أن خلايا شوبيرت (أو بالأحرى، فئات إغلاقات زاريسكي الخاصة بها، أو دورات شوبيرت ، أو أصناف شوبيرت ) تُغطي حلقة التماثل بأكملها.

تنشأ الجوانب التوافقية بشكل رئيسي فيما يتعلق بحساب تقاطعات دورات شوبيرت. وبالانتقال من فضاء غراسمان ، وهو فضاء متجانس ، إلى المجموعة الخطية العامة التي تؤثر عليه، فإن مسائل مماثلة تُطرح في تحليل بروهات وتصنيف المجموعات الفرعية المكافئة ( كمصفوفات مثلثية كتلية ).

بناء

يمكن بناء حساب شوبيرت باستخدام حلقة تشاو [ 3 ] الخاصة بـ Grassmannian ، حيث تُمثَّل الدورات المولدة ببيانات مُعرَّفة هندسيًا. [ 4 ] يُرمز إلى Grassmannian بـك{\displaystyle k}-المستويات في ثابتن{\displaystyle n}فضاء متجهي ذو أبعادV{\displaystyle V}مثلجير(ك،V){\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}وحلقة تشاو الخاصة بهاأ*(جير(ك،V)){\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}(لاحظ أن مصطلح غراسماني يُشار إليه أحيانًا بـ)جير(ك،ن){\displaystyle \mathbf {Gr} (ك، ن)}إذا لم يتم تحديد فضاء المتجهات بشكل صريح أو كماجي(ك-1،ن-1){\displaystyle \mathbb {G} (k-1,n-1)}إذا كانت المساحة المحيطةV{\displaystyle V}وك{\displaystyle k}يتم استبدال الفضاءات الفرعية ذات الأبعاد n بإسقاطاتها.) اختيار علامة كاملة (عشوائية)

V=(V1⊂⋯⊂Vن-1⊂Vن=V)،خافت⁡Vأنا=أنا،أنا=1،...،ن،{\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V),\quad \dim {V}_{i}=i,\quad i=1,\dots ,n,}

لكل منها متناقصة بشكل طفيفك{\displaystyle k}مجموعة من الأعداد الصحيحةأ=(أ1،...،أك){\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})}، أين

ن-ك≥أ1≥أ2≥⋯≥أك≥0،{\displaystyle nk\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0,}

أي لكل قسم من أقسام الوزن

|أ|=∑أنا=1كأأنا،{\displaystyle {\mathopen {|}}\mathbf {a} {\mathclose {|}}=\sum _{i=1}^{k}a_{i},}

الذي يتناسب مخطط يونغ الخاص به معك×(ن-ك){\displaystyle k\times (nk)}مستطيل الشكل للتقسيم(ن-ك)ك{\displaystyle (nk)^{k}}، نربط ذلك بمجموعة متنوعة من شوبيرت [ 1 ] [ 2 ] (أو دورة شوبيرت )Σأ(V)⊂جير(ك،V){\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}، كما هو مُعرَّف

Σأ(V)={w∈جير(ك،V):خافت⁡(Vن-ك+أنا-أأنا∩w)≥أنا ل أنا=1،...،ك}.{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap w)\geq i{\text{ for }}i=1,\dots ,k\}.}

هذا هو الإغلاق، في طوبولوجيا زاريسكي ، لخلية شوبيرت [ 1 ] [ 2 ]

Xأ(V):={w∈جير(ك،V):خافت⁡(Vج∩w)=أنا للجميع ن-ك-أأنا+أنا≤ج≤ن-ك-أأنا+1+أنا،1≤ج≤ن}⊂Σأ(V)،// n\}\subset \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}),}

والذي يُستخدم عند دراسة التماثل الخلوي بدلاً من حلقة تشاو. وهذه الأخيرة عبارة عن فضاءات تآلفية منفصلة، ​​ذات بُعد|أ|{\displaystyle |\mathbf {a} |}، الذي اتحادهجير(ك،V){\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}.

توصيف مكافئ لخلية شوبيرتXأ(V){\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})}يمكن تقديمها من حيث العلم المزدوج الكامل

V~=(V~1⊂V~2⋯⊂V~ن=V)،{\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V)،}

أين

V~أنا:=Vن∖Vن-أنا،أنا=1،...،ن(V0:=∅).{\displaystyle {\tilde {V}}_{i}:=V_{n}\backslash V_{ni},\quad i=1,\dots ,n\quad (V_{0}:=\emptyset ).}

ثمXأ(V)⊂جير(ك،V){\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}يتكون من تلكك{\displaystyle k}الفضاءات الجزئية ذات الأبعادw⊂V{\displaystyle w\subset V}التي لها أساس(دبليو~1،...،دبليو~ك){\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})} يتكون من عناصر

دبليو~أنا∈V~ك+أأنا-أنا+1،أنا=1،...،ك{\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}

من الفضاءات الفرعية{V~ك+أأنا-أنا+1}أنا=1،...،ك.{\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}.}

منذ فئة التماثل[Σأ(V)]∈أ*(جير(ك،V)){\displaystyle [\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}، والتي تسمى فئة شوبرت ، لا تعتمد على اختيار علامة كاملةV{\displaystyle {\mathcal {V}}}، ويمكن كتابتها على النحو التالي

σأ:=[Σأ]∈أ*(جير(ك،V)).{\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }:=[\Sigma _{\mathbf {a} }]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V)).}

يمكن إثبات أن هذه الفئات مستقلة خطيًا وتولد حلقة تشاو باعتبارها امتدادها الخطي . تُسمى نظرية التقاطع المرتبطة بها حساب شوبيرت . بالنسبة لمتتالية معينةأ=(أ1،...،أج،0،...،0){\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}معأج>0{\displaystyle a_{j}>0}فئة شوبرتσ(أ1،...،أج،0،...،0){\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}}يُشار إليه عادةً بـσ(أ1،...،أج){\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}}فئات شوبرت المعطاة بعدد صحيح واحدσأ1{\displaystyle \sigma _{a_{1}}}تُسمى هذه الفئات (أي التقسيم الأفقي) فئات خاصة . وباستخدام صيغة جيامبيلي أدناه، يمكن توليد جميع فئات شوبيرت من هذه الفئات الخاصة.

اصطلاحات تدوينية أخرى

في بعض المصادر، [ 1 ] [ 2 ] خلايا شوبيرتXأ{\displaystyle X_{\mathbf {a} }}وأصناف شوبرتΣأ{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}يتم تصنيفها بشكل مختلف، حيثSλ{\displaystyle S_{\lambda }}وS¯λ{\displaystyle {\bar {S}}_{\lambda }}، على التوالي، حيثλ{\displaystyle \lambda }هو التقسيم المكمل لـأ{\displaystyle \mathbf {a} }مع أجزاء

λأنا:=ن-ك-أك-أنا+1{\displaystyle \lambda _{i}:=nk-a_{k-i+1}}،

مخطط يونغ الخاص به هو مكمل لمخطط يونغ الخاص بـأ{\displaystyle \mathbf {a} }في داخلك×(ن-ك){\displaystyle k\times (nk)}مستطيل الشكل (معكوس، أفقيًا وعموديًا).

اتفاقية تسمية أخرى لـXأ{\displaystyle X_{\mathbf {a} }}وΣأ{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}يكونجل{\displaystyle C_{L}}و ج¯ل{\displaystyle {\bar {C}}_{L}}، على التوالي، حيث ل=(ل1،...،لك)⊂(1،...،ن){\displaystyle L=(L_{1},\dots ,L_{k})\subset (1,\dots ,n)} هو الفهرس المتعدد المحدد بواسطة

لأنا:=ن-ك-أأنا+أنا=λك-أنا+1+أنا.{\displaystyle L_{i}:=nk-a_{i}+i=\lambda _{k-i+1}+i.}

الأعداد الصحيحة(ل1،...،لك){\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{k})}تمثل مواقع الارتكاز لتمثيلات عناصرXأ{\displaystyle X_{\mathbf {a} }}في شكل مصفوفة مخفضة .

توضيح

لتوضيح التعريف، لنأخذ مثالاً عاماًك{\displaystyle k}-طائرةw⊂V{\displaystyle w\subset V}سيكون لها تقاطع صفري فقط معVج{\displaystyle V_{j}}لج≤ن-ك{\displaystyle j\leq nk}، بينما

خافت⁡(Vج∩w)=أنا{\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)=i}لج=ن-ك+أنا≥ن-ك.{\displaystyle j=n-k+i\geq nk.}

على سبيل المثال، فيجير(4،9){\displaystyle \mathbf {Gr} (4,9)}، أ4{\displaystyle 4}-طائرةw{\displaystyle w}يمثل فضاء الحلول لنظام من خمس معادلات خطية متجانسة مستقلة. تُغطي هذه المعادلات عمومًا فضاء الحلول عند تقييدها في فضاء جزئي.Vج{\displaystyle V_{j}}معج=خافت⁡Vج≤5=9-4{\displaystyle j=\dim V_{j}\leq 5=9-4}وفي هذه الحالة، يكون فضاء الحل (تقاطع Vج{\displaystyle V_{j}}مع w{\displaystyle w}سيتألف من المتجه الصفري فقط. ومع ذلك، إذاخافت⁡(Vج)+خافت⁡(w)>ن=9{\displaystyle \dim(V_{j})+\dim(w)>n=9}،Vج{\displaystyle V_{j}}وw{\displaystyle w}سيكون لها بالضرورة تقاطع غير صفري. على سبيل المثال، البعد المتوقع لتقاطعV6{\displaystyle V_{6}}وw{\displaystyle w}يكون1{\displaystyle 1}، تقاطعV7{\displaystyle V_{7}}وw{\displaystyle w}له الأبعاد المتوقعة2{\displaystyle 2}وهكذا دواليك.

ينص تعريف صنف شوبيرت على أن القيمة الأولى لـج{\displaystyle j}معخافت⁡(Vج∩w)≥أنا{\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)\geq i}عادةً ما تكون أصغر من القيمة المتوقعةن-ك+أنا{\displaystyle n-k+i}بواسطة المعاملأأنا{\displaystyle a_{i}}. الك{\displaystyle k}-طائراتw⊂V{\displaystyle w\subset V}تحدد هذه القيود أنواعًا فرعية خاصة منجير(ك،ن){\displaystyle \mathbf {Gr} (ك، ن)}[ 4 ]​

ملكيات

الإدماج

يوجد ترتيب جزئي على الكلك{\displaystyle k}-tuples whereأ≥ب{\displaystyle \mathbf {a} \geq \mathbf {b} }لوأأنا≥بأنا{\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}لكلأنا{\displaystyle i}وهذا يتيح إدراج أنواع شوبرت

Σأ⊂Σب⟺أ≥ب،{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \Sigma _{\mathbf {b} }\iff \mathbf {a} \geq \mathbf {b} ,}

إن إظهار زيادة في المؤشرات يتوافق مع تخصص أكبر في الأنواع الفرعية.

صيغة الأبعاد

نوع من أعمال شوبرتΣأ{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}له أبعاد مشتركة تساوي الوزن

|أ|=∑أأنا{\displaystyle {\mathopen {|}}\mathbf {a} {\mathclose {|}}=\sum a_{i}}

القسمأ{\displaystyle \mathbf {a} }أو بدلاً من ذلك، وفقًا للاتفاقية الرمزيةSλ{\displaystyle S_{\lambda }}كما هو موضح أعلاه، فإن أبعاده فيجير(ك،ن){\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}الوزن

|λ|=∑أنا=1كλأنا=ك(ن-ك)-|أ|.{\displaystyle {\mathopen {|}}\lambda {\mathclose {|}}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=k(n-k)-{\mathopen {|}}\mathbf {a} {\mathclose {|}}.}

القسم التكميليλ⊂(ن-ك)ك{\displaystyle \lambda \subset (n-k)^{k}}فيك×(ن-ك){\displaystyle k\times (n-k)}مخطط يونغ المستطيل ذو الأبعاد.

هذا مستقر في ظل تضمينات غراسمانيان. أي أن التضمين

أنا(ك،ن):جير(ك،جن)↪جير(ك،جن+1)،جن=فترة{هـ1،...،هـن}{\displaystyle i_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n+1}),\quad \mathbf {C} ^{n}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}

محدد، لـw∈جير(ك،جن){\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}، بواسطة

أنا(ك،ن):w⊂جن↦w⊂جن⊕جهـن+1=جن+1{\displaystyle i_{(k,n)}:w\subset \mathbf {C} ^{n}\mapsto w\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}

يمتلك العقار

أنا(ك،ن)*(σأ)=σأ،{\displaystyle i_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} },}

والإدراج

أنا~(ك،ن):جير(ك،ن)↪جير(ك+1،ن+1){\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,n)\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k+1,n+1)}

يتم تحديده بإضافة عنصر الأساس الإضافيهـن+1{\displaystyle e_{n+1}}لكلك{\displaystyle k}-مستوى، مما يعطي(ك+1){\displaystyle (k+1)}-طائرة،

أنا~(ك،ن):w↦w⊕جهـن+1⊂جن⊕جهـن+1=جن+1{\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:w\mapsto w\oplus \mathbf {C} e_{n+1}\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}

يفعل ذلك أيضاً

أنا~(ك،ن)*(σأ)=σأ.{\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} }.}

وبالتالي، إذاXأ⊂جيرك(ن){\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}وΣأ⊂جيرك(ن){\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}هي خلية ونوع فرعي في غراسمانيانجيرك(ن){\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}ويمكن أيضًا اعتبارها خليةXأ⊂جيرك~(ن~){\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}ونوع فرعيΣأ⊂جيرك~(ن~){\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}داخل غراسمانيانجيرك~(ن~){\displaystyle \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}لأي زوج(ك~،ن~){\displaystyle ({\tilde {k}},{\tilde {n}})}معك~≥ك{\displaystyle {\tilde {k}}\geq k}و ن~-ك~≥ن-ك{\displaystyle {\tilde {n}}-{\tilde {k}}\geq n-k}.

ناتج التقاطع

تم تحديد ناتج التقاطع لأول مرة باستخدام صيغ بييري وجيامبيلي .

تركيبة بييري

في الحالة الخاصةب=(ب،0،...،0){\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\ldots ,0)}توجد صيغة صريحة لحاصل ضربσب{\displaystyle \sigma _{b}}مع فئة شوبرت عشوائيةσأ1،...،أك{\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}مقدم من

σب⋅σأ1،...،أك=∑|ج|=|أ|+بأأنا≤جأنا≤أأنا-1σج،{\displaystyle \sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}{\mathopen {|}}c{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}a{\mathclose {|}}+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbf {c} },}

أين|أ|=أ1+⋯+أك{\displaystyle {\mathopen {|}}\mathbf {a} {\mathclose {|}}=a_{1}+\cdots +a_{k}}،|ج|=ج1+⋯+جك{\displaystyle |\mathbf {c} |=c_{1}+\cdots +c_{k}}تمثل هذه الأوزان أوزان التقسيمات. تُعرف هذه الصيغة باسم صيغة بييري ، ويمكن استخدامها لتحديد حاصل ضرب التقاطع لأي فئتين من فئات شوبيرت عند دمجها مع صيغة جيامبيلي . على سبيل المثال،

σ1⋅σ4،2،1=σ5،2،1+σ4،3،1+σ4،2،1،1.{\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}.}

و

σ2⋅σ4،3=σ4،3،2+σ4،4،1+σ5،3،1+σ5،4+σ6،3{\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}}

تركيبة جيامبيلي

دروس شوبرتσأ{\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }}بالنسبة للتقسيمات ذات أي طولℓ(أ)≤ك{\displaystyle \ell (\mathbf {a} )\leq k}يمكن التعبير عنها كمحدد لـ(ك×ك){\displaystyle (k\times k)}مصفوفة تحتوي على الفئات الخاصة كمدخلات.

σ(أ1،...،أك)=|σأ1σأ1+1σأ1+2⋯σأ1+ك-1σأ2-1σأ2σأ2+1⋯σأ2+ك-2σأ3-2σأ3-1σأ3⋯σأ3+ك-3⋮⋮⋮⋱⋮σأك-ك+1σأك-ك+2σأك-ك+3⋯σأك|{\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}}

تُعرف هذه الصيغة باسم صيغة جيامبيلي . وهي لها نفس شكل متطابقة جاكوبي-ترودي الأولى ، والتي تعبر عن دوال شور العشوائية.sأ{\displaystyle s_{\mathbf {a} }}كمحددات بدلالة الدوال المتناظرة الكاملة{حج:=s(ج)}{\displaystyle \{h_{j}:=s_{(j)}\}}.

على سبيل المثال،

σ2،2=|σ2σ3σ1σ2|=σ22-σ1⋅σ3{\displaystyle \sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}}

و

σ2،1،1=|σ2σ3σ4σ0σ1σ20σ0σ1|.{\displaystyle \sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}.}

الحالة العامة

حاصل ضرب التقاطع بين أي زوج من فئات شوبيرت σأ،σب{\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} },\sigma _{\mathbf {b} }}يُعطى بواسطة

σأσب=∑ججأبجσج،{\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }\sigma _{\mathbf {b} }=\sum _{\mathbf {c} }c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\sigma _{\mathbf {c} },}

أين{جأبج}{\displaystyle \{c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\}}هي معاملات ليتلوود-ريتشاردسون . [ 5 ] صيغة بييري هي حالة خاصة من هذه الصيغة، عندماب=(ب،0،...،0){\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\dots ,0)}له طولℓ(ب)=1{\displaystyle \ell (\mathbf {b} )=1}.

العلاقة مع فئات تشيرن

يوجد وصف سهل لحلقة التماثل، أو حلقة تشاو، للغراسمانيان جير(ك،V){\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}باستخدام فئات تشيرن لحزمتين متجهتين طبيعيتين علىجير(ك،V){\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}لدينا التسلسل الدقيق لحزم المتجهات علىجير(ك،V){\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}

0→تي→V_→سؤال→0{\displaystyle 0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0}

أينتي{\displaystyle T}هي الحزمة التكرارية التي يكون ليفها، فوق أي عنصرw∈جير(ك،V){\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}هو الفضاء الفرعيw⊂V{\displaystyle w\subset V}نفسها، V_:=جير(ك،V)×V{\displaystyle \,{\underline {V}}:=\mathbf {Gr} (k,V)\times V}هي حزمة المتجهات التافهة من الرتبةن{\displaystyle n}، معV{\displaystyle V}كألياف وسؤال{\displaystyle Q}هي حزمة متجهات القسمة من الرتبةن-ك{\displaystyle n-k}، معV/w{\displaystyle V/w}كألياف. فئات تشيرن للحزمتي{\displaystyle T}وسؤال{\displaystyle Q} نكون

جأنا(تي)=(-1)أناσ(1)أنا،{\displaystyle c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1)^{i}},}

أين(1)أنا{\displaystyle (1)^{i}}هو التقسيم الذي يتكون مخطط يونغ الخاص به من عمود واحد بطولأنا{\displaystyle i}و

جأنا(سؤال)=σأنا.{\displaystyle c_{i}(Q)=\sigma _{i}.}

ثم يقدم التسلسل التكراري عرضًا لحلقة تشاو على النحو التالي:

أ*(جير(ك،V))=Z[ج1(تي)،...،جك(تي)،ج1(سؤال)،...،جن-ك(سؤال)](ج(تي)ج(سؤال)-1).{\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}.}

Gr(2,4)

أحد الأمثلة الكلاسيكية التي تم تحليلها هو غراسمانيانجير(2،4){\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}لأنه يُعامل الأسطر فيP3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}باستخدام حلقة تشاوأ*(جير(2،4)){\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))}يمكن استخدام حساب شوبرت لحساب عدد الخطوط على سطح مكعب . [ 4 ]

تشاو رينج

يقدم مطعم تشاو رينغ عرضاً مميزاً.

أ*(جير(2،4))=Z[σ1،σ1،1،σ2]((1-σ1+σ1،1)(1+σ1+σ2)-1){\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}}

وباعتبارها مجموعة أبيلية متدرجة [ 6 ]، فإنها تُعطى بواسطة

أ0(جير(2،4))=Z⋅1أ2(جير(2،4))=Z⋅σ1أ4(جير(2،4))=Z⋅σ2⊕Z⋅σ1،1أ6(جير(2،4))=Z⋅σ2،1أ8(جير(2،4))=Z⋅σ2،2{\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}}

خطوط على سطح مكعب

تذكر أن سطرًا فيP3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}يُعطي بُعدًا2{\displaystyle 2}الفضاء الجزئي لـأ4{\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}وبالتالي عنصر منجي(1،3)≅جير(2،4){\displaystyle \mathbb {G} (1,3)\cong \mathbf {Gr} (2,4)}كذلك، يمكن التعبير عن معادلة الخط المستقيم كجزء منΓ(جي(1،3)،تي*){\displaystyle \Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})}بما أن السطح مكعبX{\displaystyle X}يُعطى على شكل متعدد حدود تكعيبي متجانس عام، ويُعطى هذا على شكل مقطع عامs∈Γ(جي(1،3)،طبيعي3(تي*)){\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))}سطرل⊂P3{\displaystyle L\subset \mathbb {P} ^{3}}هو نوع فرعي منX{\displaystyle X}إذا وفقط إذا اختفى القسم في[ل]∈جي(1،3){\displaystyle [L]\in \mathbb {G} (1,3)}لذلك، فإن فئة أويلر لـطبيعي3(تي*){\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}يمكن دمجها عبرجي(1،3){\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}للحصول على عدد النقاط التي يختفي عندها القسم العامجي(1،3){\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}للحصول على فئة أويلر، يجب أن تكون فئة تشيرن الكلية هيتي*{\displaystyle T^{*}}يجب حسابها، وهي معطاة على النحو التالي

ج(تي*)=1+σ1+σ1،1{\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}

ثم تُقرأ صيغة التقسيم على النحو التالي: المعادلة الرسمية

ج(تي*)=(1+α)(1+β)=1+α+β+α⋅β،{\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}},}

أينج(ل)=1+α{\displaystyle c({\mathcal {L}})=1+\alpha }وج(م)=1+β{\displaystyle c({\mathcal {M}})=1+\beta }بالنسبة لحزم الخطوط الرسميةل،م{\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}}}تعطي معادلة التقسيم العلاقات

σ1=α+β{\displaystyle \sigma _{1}=\alpha +\beta }وσ1،1=α⋅β{\displaystyle \sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta }.

منذطبيعي3(تي*){\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}يمكن اعتبارها المجموع المباشر لحزم الخطوط الرسمية

طبيعي3(تي*)=ل⊗3⊕(ل⊗2⊗م)⊕(ل⊗م⊗2)⊕م⊗3{\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}}

مجموع فئة تشيرن هو

ج(طبيعي3(تي*))=(1+3α)(1+2α+β)(1+α+2β)(1+3β)،{\displaystyle c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta ),}

ويترتب على ذلك أن

ج4(طبيعي3(تي*))=3α(2α+β)(α+2β)3β=9αβ(2(α+β)2+αβ)=9σ1،1(2σ12+σ1،1)=27σ2،2،{\displaystyle {\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\,,\end{aligned}}}

باستخدام حقيقة أن

σ1،1⋅σ12=σ2،1σ1=σ2،2{\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}}وσ1،1⋅σ1،1=σ2،2.{\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}.}

منذσ2،2{\displaystyle \sigma _{2,2}}إذا كانت الفئة العليا، فإن التكامل يكون

∫جي(1،3)27σ2،2=27.{\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27.}

لذلك، هناك27{\displaystyle 27}خطوط على سطح مكعب.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 كلايمان، إس إل ؛ لاكسوف، دان (1972). "حساب شوبرت". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 79 (10). الجمعية الرياضية الأمريكية: 1061-1082 . doi : 10.1080/00029890.1972.11993188 . ISSN 0377-9017 . 
  2. 1 2 3 4 فولتون، ويليام (1997). جداول يونغ. مع تطبيقات على نظرية التمثيل والهندسة، الفصل 9.4 . نصوص طلابية لجمعية لندن الرياضية. المجلد 35. كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN  9780521567244.
  3. 1 2 فولتون، ويليام (1998). نظرية التقاطع . برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-98549-7MR 1644323​​ 
  4. 1 2 3 3264 وكل ذلك (PDF) . ص 132، القسم 4.1، 200، القسم 6.2.1. 
  5. ↑ فولتون، ويليام (1997). جداول يونغ. مع تطبيقات على نظرية التمثيل والهندسة، الفصل 5. نصوص طلابية لجمعية لندن الرياضية. المجلد 35. كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN  9780521567244.
  6. ↑ كاتز، شيلدون . الهندسة العددية ونظرية الأوتار . ص 96.