السطح الجبري

في الرياضيات ، السطح الجبري هو شكل جبري ثنائي الأبعاد . وبالتالي، فإن السطح الجبري هو حل لمجموعة من المعادلات متعددة الحدود، حيث يوجد اتجاهان مستقلان عند كل نقطة. ومن أمثلة الأسطح الجبرية الكرة ، التي تُحدد بمعادلة متعددة الحدود واحدة.${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.}$ يُعدّ دراسة الهندسة الجوهرية للأسطح الجبرية موضوعًا محوريًا في الهندسة الجبرية . وتُعتبر هذه النظرية أكثر تعقيدًا بكثير من تلك الخاصة بالمنحنيات الجبرية (الحالات أحادية البعد)، وقد طُوّرت بشكل كبير على يد المدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين. ولا تزال هذه النظرية مجالًا بحثيًا نشطًا.

في أبسط الحالات، تُدرس الأسطح الجبرية كمتنوعات جبرية على الأعداد المركبة . على سبيل المثال، الكرة المألوفة (للأعداد الحقيقية).${\displaystyle x,y,z}$يتحول السطح إلى سطح تربيعي معقد ( تآلفي ) ، يضم في آنٍ واحد الكرة والقطع الزائدية ذات الورقة الواحدة والورقتين، مما يسمح بتأجيل بعض التعقيدات (مثل الطوبولوجيا : ما إذا كان السطح متصلاً أم متصلاً اتصالاً بسيطاً ). تشمل الأسطح ذات الدرجة الأعلى ، على سبيل المثال، سطح كومر . يُعد تصنيف الأسطح الجبرية أكثر تعقيداً بكثير من تصنيف المنحنيات الجبرية ، التي لها بُعد واحد، وهي معقدة بالفعل.

قد تحتوي الأسطح الجبرية، مثل المنحنيات الجبرية، على نقاط شاذة، وهي نقاط لا يوجد عندها مستوى مماس . قد تكون النقطة الشاذة نقطة تقاطع ذاتي أو نقطة ينخفض ​​عندها عدد الأبعاد "الحرة"، كما هو الحال عند نقطة التقاء سطحين . ترتبط نظرية الكوارث ارتباطًا وثيقًا بتصنيف النقاط الشاذة على الأسطح. وبالمثل، يمكن تعريف الأسطح الجبرية على حقول أخرى غير الأعداد المركبة. تركز هذه المقالة بشكل أساسي على حالة الأعداد المركبة.

في حالة البعد الأول، تُصنف الأصناف حسب الجنس الطوبولوجي فقط ، أما في البعد الثاني، فيجب التمييز بين الجنس الحسابي.${\displaystyle p_{a}}$والجنس الهندسي${\displaystyle p_{g}}$لأنه لا يمكن التمييز ثنائيًا بين الجنس الطوبولوجي فقط. لذلك، يُستخدم عدم الانتظام لتصنيف الأصناف. وفيما يلي ملخص للنتائج (بالتفصيل، لكل نوع من أنواع الأسطح، يشير إلى كل إعادة توجيه):

تتضمن أمثلة الأسطح الجبرية (κ هو بُعد كودايرا ):

• κ = −∞: ^{المستوى} الإسقاطي ، الأسطح التربيعية في P3 ، الأسطح المكعبة ، سطح فيرونيز ، أسطح ديل بيزو ، الأسطح المسطرة
• κ = 0  : أسطح K3 ، أسطح أبيلية ، أسطح إنريكيس ، أسطح زائدية إهليلجية
• κ = 1: الأسطح الإهليلجية
• κ = 2: أسطح من النوع العام .

للاطلاع على المزيد من الأمثلة، انظر قائمة الأسطح الجبرية .

الأمثلة الخمسة الأولى متكافئة ثنائياً نسبياً . أي، على سبيل المثال، يمتلك السطح المكعب حقل دوال متماثل مع حقل دوال المستوى الإسقاطي ، حيث تكون الدوال النسبية في متغيرين. كما يوفر الضرب الديكارتي لمنحنيين أمثلةً أخرى.

تتميز الهندسة الثنائية النسبية للأسطح الجبرية بثراء كبير، وذلك بفضل عملية النفخ (المعروفة أيضًا بالتحويل المونيدي )، حيث تُستبدل النقطة بمنحنى جميع اتجاهات المماس المحددة الداخلة إليها ( خط إسقاطي ). ويمكن أيضًا نفخ بعض المنحنيات للأسفل ، ولكن مع وجود قيد (يجب أن يكون عدد التقاطع الذاتي -1 ).

ينص معيار ناكاي على ما يلي :

يكون القاسم D على السطح S كافيًا إذا وفقط إذا كان D ² > 0 ولجميع المنحنيات غير القابلة للاختزال C على S يكون D•C > 0 .

تتمتع القواسم الوفيرة بخاصية جيدة، وهي أنها سحب عكسي لحزمة من المستويات الفائقة في الفضاء الإسقاطي، والتي تُعرف خصائصها جيدًا. ليكن${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)}$لتكن المجموعة الأبيلية التي تتكون من جميع القواسم على S. إذن، وفقًا لنظرية التقاطع

${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z}$ :(X,Y)\mapsto X\cdot Y}

يُنظر إليه على أنه شكل تربيعي . ليكن

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0,{\text{لكل }}X\in {\mathcal {D}}(S)\}}$

ثم${\displaystyle {\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)}$تصبح مجموعة فئات مكافئة عدديًا لـ S و

${\displaystyle Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D}},{\bar {E}})\mapsto D\cdot E}$

كما يصبح شكلاً تربيعياً على${\displaystyle Num(S)}$، أين${\displaystyle {\bar {D}}}$هي صورة قاسم D على S. (في الصورة أدناه)${\displaystyle {\bar {D}}}$(يُختصر بالحرف D. )

بالنسبة لحزمة خطية وافرة H على S ، فإن التعريف

${\displaystyle \{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.}$

يُستخدم في النسخة السطحية من نظرية مؤشر هودج :

ل${\displaystyle D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0}$أي تقييد شكل التقاطع إلى${\displaystyle \{H\}^{\perp }}$هي صيغة تربيعية سالبة محددة.

تم إثبات هذه النظرية باستخدام معيار ناكاي ونظرية ريمان-روخ للأسطح. كما استُخدمت نظرية مؤشر هودج في برهان ديلين لتخمين ويل .

تشمل النتائج الأساسية المتعلقة بالأسطح الجبرية نظرية مؤشر هودج ، وتقسيمها إلى خمس مجموعات من فئات التكافؤ الثنائية النسبية، وهو ما يُعرف بتصنيف الأسطح الجبرية . وتُعدّ فئة النوع العام ، ذات بُعد كودايرا 2، كبيرة جدًا ( على سبيل المثال، تقع فيها الأسطح غير المنفردة في P3 ^من الدرجة 5 أو أكبر ).

توجد ثلاثة ثوابت أساسية لأعداد هودج على السطح. من بينها، يُطلق على h ^{1,0 تقليديًا اسم} عدم الانتظام ويُرمز له بـ q ؛ ويُطلق على h ^2,0 اسم الجنس الهندسي p _g . أما الثالث، h ^1,1 ، فهو ليس ثابتًا ثنائي النسب ، لأن التضخيم يمكن أن يُضيف منحنيات كاملة، مع فئات في H ^1,1 . من المعروف أن دورات هودج جبرية وأن التكافؤ الجبري يتطابق مع التكافؤ الهومولوجي ، بحيث يكون h ^1,1 حدًا أعلى لـ ρ، رتبة زمرة نيرون-سيفيري . الجنس الحسابي p _a هو الفرق

الجنس الهندسي - عدم الانتظام.

وهذا يفسر سبب تسمية هذا الشذوذ بهذا الاسم، كنوع من "مصطلح الخطأ".

صاغ ماكس نوثر نظرية ريمان -روخ للأسطح لأول مرة . ويمكن تصنيف عائلات المنحنيات على الأسطح، بمعنى ما، وهي التي تُنتج الكثير من هندستها المثيرة للاهتمام.

• برنامج النموذج الأدنى

• دولغاتشيف، الرابع (2001) [1994]، "السطح الجبري" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• زاريسكي، أوسكار (1995)، الأسطح الجبرية ، سلسلة كلاسيكيات في الرياضيات، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-3-540-58658-6MR 1336146​ 

• برنامج SURFER المجاني لتصور الأسطح الجبرية في الوقت الحقيقي، ويتضمن معرضًا للمستخدمين.
• SingSurf هو عارض ثلاثي الأبعاد تفاعلي للأسطح الجبرية.
• صفحة حول الأسطح الجبرية بدأت في عام 2008
• نظرة عامة وأفكار حول تصميم الأسطح الجبرية