سطح من النوع العام

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 19 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، السطح من النوع العام هو سطح جبري ذو بُعد كودايرا  2. وبسبب نظرية تشاو، فإن أي مشعب معقد مضغوط ذو بُعد 2 وبُعد كودايرا 2 سيكون في الواقع سطحًا جبريًا، وبمعنى ما فإن معظم الأسطح تنتمي إلى هذه الفئة.

تصنيف

أظهر جيسيكر أن هناك مخططًا تقريبيًا للمعاملات للأسطح من النوع العام؛ وهذا يعني أنه لأي قيم ثابتة لأعداد تشيرنج12،ج2،{\displaystyle c_{1}^{2},c_{2},}يوجد مخطط شبه إسقاطي يصنف الأسطح من النوع العام باستخدام أعداد تشيرن هذه. ولا تزال مهمة وصف هذه المخططات بشكل صريح بالغة الصعوبة، وهناك عدد قليل من أزواج أعداد تشيرن التي تم وصفها (باستثناء حالة المخطط الفارغ). وتشير بعض الدلائل إلى أن هذه المخططات معقدة للغاية بحيث يصعب وصفها بشكل صريح: فالحدود العليا المعروفة لعدد المكونات كبيرة جدًا، وقد تكون بعض المكونات غير مختزلة في كل مكان، وقد يكون للمكونات أبعاد متعددة، كما أن الأجزاء القليلة التي دُرست بشكل صريح تبدو معقدة نوعًا ما.

أعداد تشيرن للأسطح المعقدة الدنيا

تُعرف دراسة أزواج أرقام تشيرن التي يمكن أن تظهر على سطح من نوع عام باسم "جغرافية أعداد تشيرن ، وهناك إجابة شبه كاملة لهذا السؤال. توجد عدة شروط يجب أن تستوفيها أعداد تشيرن لسطح معقد أدنى من النوع العام:

العديد من أزواج الأعداد الصحيحة (وربما جميعها) التي تحقق هذه الشروط هي أعداد تشيرن لسطح معقد من النوع العام. في المقابل، بالنسبة للأسطح شبه المعقدة ، فإن القيد الوحيد هو:

ج12+ج2≡0(تعديل12)،{\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}},}

ويمكن تحقيق ذلك دائماً. [ 1 ]

أمثلة

هذه مجرد عينة صغيرة من العدد الكبير من الأمثلة على الأسطح ذات النوع العام التي تم اكتشافها. تقع العديد من الأسطح ذات النوع العام التي دُرست على (أو بالقرب من) حواف منطقة أعداد تشيرن المحتملة. وعلى وجه الخصوص، تقع أسطح هوريكاوا على أو بالقرب من "خط نوثر"، والعديد من الأسطح المذكورة أدناه تقع على هذا الخط.ج12+ج2=12χ=12،{\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}=12\chi =12,}أقل قيمة ممكنة للنوع العام، والأسطح على الخط3ج2=ج12{\displaystyle 3c_{2}=c_{1}^{2}}جميعها نواتج قسمة كرة الوحدة في C 2 (ويصعب إيجادها بشكل خاص).

الأسطح التي يكون فيها χ = 1

تمت دراسة هذه الأسطح، الواقعة في الحد السفلي الأيسر في الرسم التخطيطي، بالتفصيل. بالنسبة لهذه الأسطح، يمكن أن تكون قيمة فئة تشيرن الثانية أي عدد صحيح من 3 إلى 11. الأسطح التي تحمل جميع هذه القيم معروفة؛ ومن الأمثلة العديدة التي تمت دراستها:

  • ج² = ٣: المستوى الإسقاطي الزائف (سطح مومفورد). اكتشف مومفورد أول مثال باستخدام الهندسة p -adic، ويوجد ٥٠ مثالًا إجمالًا. لها نفس أعداد بيتي للمستوى الإسقاطي، لكنها ليست متماثلة معه لأن مجموعاتها الأساسية لانهائية.
  • c 2 = 4: سميت أسطح بوفيل نسبة إلى أرنو بوفيل ولها مجموعة أساسية لانهائية.
  • ج 2 ≥ 4: أسطح بورنيات
  • c 2 = 10: أسطح كامبيديلي . تُسمى الأسطح التي لها نفس أرقام هودج بأسطح كامبيديلي العددية .
  • c 2 = 10: أسطح كاتانيز متصلة ببساطة.
  • c 2 = 11: أسطح غودو . تعمل المجموعة الدورية من الرتبة 5 بحرية على سطح فيرما المكون من نقاط(w:x:y:z){\displaystyle (w:x:y:z)}في P 3 مُرضٍw5+x5+y5+z5=0{\displaystyle w^{5}+x^{5}+y^{5}+z^{5}=0}عن طريق رسم الخرائط(w:x:y:z){\displaystyle (w:x:y:z)}ل(w:ρx:ρ2y:ρ3z){\displaystyle (w:\rho x:\rho ^{2}y:\rho ^{3}z)}حيث ρ هو الجذر الخامس للعدد  1. ناتج القسمة الناتج عن هذا الفعل هو سطح غودو الأصلي . تُسمى الأسطح الأخرى المُنشأة بطريقة مماثلة ولها نفس أعداد هودج أحيانًا بأسطح غودو. تُسمى الأسطح التي لها نفس أعداد هودج (مثل أسطح بارلو) بأسطح غودو العددية . المجموعة الأساسية (لسطح غودو الأصلي) دورية من الرتبة  5.
  • عندما يكون c 2 = 11: تكون أسطح بارلو متصلة ببساطة. إلى جانب سطح كريغيرو-غاتازّو، تُعدّ هذه الأسطح الأمثلة الوحيدة المعروفة لأسطح متصلة ببساطة من النوع العام حيث p g  =  0.
  • تُقدّم أسطح تودوروف أمثلة مضادة لنتيجة نظرية توريلي .

أمثلة أخرى

  • أسطح كاستلنوفو : حالة متطرفة أخرى، أثبت كاستلنوفو أنه إذا كانت الحزمة القانونية وفيرة جدًا لسطح من نوع عام، فإنج12⩾3صز-7.{\displaystyle c_{1}^{2}\geqslant 3p_{g}-7.}تُعتبر أسطح كاستلنوفو أسطحًا من النوع العام بحيث تكون الحزمة القانونية وفيرة جدًا، وج12=3صز-7.{\displaystyle c_{1}^{2}=3p_{g}-7.}
  • التقاطعات الكاملة : تقاطع كامل سلس للأسطح الفائقة ذات الدرجاتد1⩾د2⩾⋯⩾دن-2⩾2{\displaystyle d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant \cdots \geqslant d_{n-2}\geqslant 2}في فضاء P ، يكون السطح من النوع العام ما لم تكن درجاته (2)، (3)، (2، 2) (أعداد نسبية)، (4)، (3، 2)، (2، 2، 2) (بعد كودايرا 0). جميع التقاطعات الكاملة متصلة اتصالاً بسيطاً. تُعد الأسطح الفائقة حالة خاصة : على سبيل المثال، في فضاء P3 ، تكون الأسطح غير المنفردة ذات الدرجة 5 أو أعلى من النوع العام (الأسطح الفائقة غير المنفردة ذات الدرجة 4 هي أسطح K3 ، وتلك ذات الدرجة الأقل من 4 هي أسطح نسبية ).    
  • أسطح فانو للخطوط على سطح مكعب ثلاثي الأبعاد.
  • تُعد الأسطح المعيارية لهيلبرت في الغالب من النوع العام.
  • أسطح هوريكاوا هي أسطح يكون فيها q  = 0 وصز=12ج12+2{\displaystyle p_{g}={\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+2}أو12ج12+32{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+{\tfrac {3}{2}}}(مما يعني أنها تقع تقريبًا على حافة "خط نوثر" لمنطقة القيم الممكنة لأعداد تشيرن). جميعها متصلة ببساطة، وقد قدم هوريكاوا وصفًا تفصيليًا لها.
  • المنتجات: ناتج ضرب منحنيين كلاهما من النوع 2 على الأقل هو سطح من النوع العام.
  • تكون الأغطية المزدوجة لمنحنيات الدرجة 2m غير المنفردة في P2 من النوع العام إذا2م⩾8.{\displaystyle 2m\geqslant 8.}(عندما يكون 2m = 2 تكون هذه الأسطح نسبية، وعندما يكون 2m = 4 تكون نسبية أيضًا وتُسمى مستويات ديل بيزو المزدوجة ، وعندما يكون 2m = 6 تكون أسطح K3 .) وهي متصلة ببساطة، ولها أعداد تشيرن.ج12=2(م-3)2،ج2=4م2-6م+6.{\displaystyle c_{1}^{2}=2(m-3)^{2},c_{2}=4m^{2}-6m+6.}

النماذج الكنسية

أثبت بومبيري (1973) أن التطبيق متعدد القواعد φ nK لسطح معقد من النوع العام هو تماثل ثنائي نسبي على صورته عندما يكون n ≥ 5، وأظهر إيكيدال (1988) أن النتيجة نفسها لا تزال قائمة في الخاصية الموجبة. توجد بعض الأسطح التي لا يكون فيها تماثلًا ثنائيًا نسبيًا عندما يكون n = 4. وتستند هذه النتائج إلى نظرية رايدر .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ فان دي فين، أ. (يونيو 1966). "حول أعداد تشيرن لبعض المشعبات المعقدة وشبه المعقدة" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 55 (6): 1624-1627 . Bibcode : 1966PNAS...55.1624V . doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . PMC 224368. PMID 16578639 .  

مراجع