عدم انتظام السطح

في الرياضيات، يُعرف عدم انتظام السطح المركب X باسم عدد هودج${\displaystyle h^{0,1}=\dim H^{1}({\mathcal {O}}_{X})}$يُرمز إليه عادةً بالرمز q. ^{[ 1 ]} يُعرَّف عدم انتظام السطح الجبري أحيانًا بأنه عدد هودج هذا، وأحيانًا يُعرَّف بأنه بُعد منوع بيكارد ، وهو نفسه في الخاصية 0 ولكنه قد يكون أصغر في الخاصية الموجبة. ^{[ 2 ]}

يأتي اسم "عدم الانتظام" من حقيقة أنه بالنسبة للأسطح الأولى التي تم فحصها بالتفصيل، فإن الأسطح الملساء المعقدة في${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ثم يختفي الخلل. بعد ذلك، يظهر الخلل كمصطلح "تصحيح" جديد يقيس الفرق${\displaystyle p_{g}-p_{a}}$من النوع الهندسي والنوع الحسابي للأسطح الأكثر تعقيدًا. تُسمى الأسطح أحيانًا منتظمة أو غير منتظمة اعتمادًا على ما إذا كان عدم الانتظام يختفي أم لا.

بالنسبة لمتشعب تحليلي معقد X ذي بُعد عام، فإن عدد هودج${\displaystyle h^{0,1}=\dim H^{1}({\mathcal {O}}_{X})}$يُطلق عليه اسم عدم انتظام${\displaystyle X}$، ويرمز لها بالرمز q .

بالنسبة للأسطح الإسقاطية المعقدة غير المنفردة (أو أسطح كاهلر )، فإن الأرقام التالية متساوية جميعها:

• عدم الانتظام؛
• أبعاد الصنف الألباني ؛
• أبعاد نوع بيكارد ؛
• رقم هودج${\displaystyle h^{0,1}=\dim H^{1}(\Omega _{X}^{0})}$؛
• رقم هودج${\displaystyle h^{1,0}=\dim H^{0}(\Omega _{X}^{1})}$؛
• الفرق${\displaystyle p_{g}-p_{a}}$من الجنس الهندسي والجنس الحسابي .

بالنسبة للأسطح ذات الخاصية الموجبة، أو للأسطح المركبة غير الكاهلرية، لا يلزم أن تكون الأرقام المذكورة أعلاه متساوية.

أثبت هنري بوانكاريه أن بُعد منوع بيكارد للأسطح الإسقاطية المركبة يساوي عدد هودج h ^0,1 ، وينطبق الأمر نفسه على جميع أسطح كاهلر المدمجة. ويظل عدم انتظام أسطح كاهلر المدمجة الملساء ثابتًا تحت التحويلات ثنائية الشكل. ^{[ 3 ]}

بالنسبة للأسطح المركبة المدمجة العامة ، لا يلزم أن يكون عددا هودج h ^1,0 و h ^{0,1 متساويين، ولكن} h ^0,1 إما h ^1,0 أو h ^1,0 +1، وهو يساوي h ^1,0 بالنسبة لأسطح كاهلر المدمجة .

في الحقول ذات الخاصية الموجبة ، تكون العلاقة بين q (المعرفة على أنها بُعد تنوع بيكارد أو ألبانيز) وأعداد هودج h ^0,1 و h ^1,0 أكثر تعقيدًا، ويمكن أن يكون أي اثنين منها مختلفين.

توجد دالة قانونية من سطح F إلى تنوعه الألباني A، والتي تُنشئ تشاكلاً من الفضاء المماسي المشترك للتنوع الألباني (ذي البعد q ) إلى H ^1,0 ( F ). ^{[ 4 ]} وجد جون-إيتشي إيغوسا أن هذه الدالة أحادية، بحيث${\displaystyle q\leq h^{1,0}}$ولكن بعد فترة وجيزة، تم العثور على سطح ذي خاصية 2 مع${\displaystyle h^{1,0}=h^{0,1}=2}$ومتنوعة بيكارد ذات البعد 1، بحيث يمكن أن تكون قيمة q أقل تمامًا من كلا عددي هودج. ^{[ 4 ] في الخاصية الموجبة ،} لا يكون أي من عددي هودج محدودًا دائمًا بالآخر. أثبت سير أنه من الممكن أن ينعدم h1,0 بينما يكون h0,1 موجبًا ^، بينما أثبت مامفورد أنه بالنسبة لأسطح إنريكيس في الخاصية 2 ^، من الممكن أن ينعدم h0,1 بينما يكون h1,0 موجبًا ^{. [ 5 ] [ 6 ]}

قدّم ألكسندر غروتينديك وصفًا كاملاً لعلاقة q بـ${\displaystyle h^{0,1}}$في جميع الخصائص. بُعد الفضاء المماسي لمخطط بيكارد (عند أي نقطة) يساوي${\displaystyle h^{0,1}}$[ ^{7 ]} في الخاصية 0، أظهرت نتيجة لبيير كارتييه أن جميع مخططات الزمر من النوع المحدود غير شاذة، وبالتالي ^فإن بُعد فضاءها المماسي هو بُعدها. من ناحية أخرى، في الخاصية الموجبة، من الممكن أن يكون مخطط الزمرة غير مُختزل عند كل نقطة بحيث يكون بُعده أقل من بُعد أي فضاء مماسي، وهو ما يحدث في مثال إيغوسا. يُبين مامفورد أن الفضاء المماسي لمتنوعة بيكارد هو الفضاء الجزئي من H ^0,1 الذي تم إفناؤه بواسطة جميع عمليات بوكشتاين من H ^0,1 إلى H ^0,2 ، وبالتالي فإن عدم الانتظام q يساوي h ^0,1 إذا وفقط إذا اختفت جميع عمليات بوكشتاين هذه. ^{[ 6 ]}